Một tương tự của định lý mason cho hàm nguyên p adic nhiều biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ THANH DUY MỘT TƢƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ MASON CHO HÀM NGUYÊN p-ADIC NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ THANH DUY MỘT TƢƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ MASON CHO HÀM NGUYÊN p-ADIC NHIỀU BIẾN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 84 60 104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2018 MỤC LỤC TRANG MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƢƠNG ĐỊNH LÝ MASON VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Vai trò tƣơng tự số nguyên đa thức 1.2 Định lý Mason 1.3 Ứng dụng Định lý Mason giải phƣơng trình hàm 13 CHƢƠNG TƢƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ MASON 20 CHO HÀM NGUYÊN p-ADIC NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số khái niệm ký hiệu 20 2.2 Độ cao hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến 22 2.3 Một tƣơng tự định lý Mason ứng dụng 25 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN ● gcd  x, y  : Ước chung lớn số nguyên x, y ● gcd  f , g  : Ước chung lớn đa thức f , g ● rad  a  : Căn số nguyên a ● n f : Số nghiệm phân biệt đa thức f ● deg  f  : Bậc đa thức f ● rad  f  : Căn đa thức f ● p : Chuẩn p-adic ● O  1 : Đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r ● p : Trường số p-adic ●    , , m   ● r( m)   r1 , , rm    ● Dr  z  p m ,   1  m   m : Bộ m số tự nhiên , z   z1 , , zm    m ● f  z1 , , zm    a z1  ● f r( m ) zm m  , z   z11 : z p  r , r  , r  : Đĩa Dr  ● Dr  Dr   Dr , r( m)   r1 , , rm   (m) m p m p , r   r11 rm m  p : Đĩa Dr  (m) m p z11 , zi  Dri : Hàm phân hình m biến đĩa Dr( m )  max a r  : Chuẩn hàm phân hình nhiều biến f 0   ● W  f , g  : Định thức Wronskian hàm f , g ● H f (r m ) : Hàm độ cao hàm phân hình m biến f ● N f  r( m )  : Hàm đếm không điểm (tính bội) hàm f ● N f  r( m )  : Hàm đếm không điểm (khơng tính bội) hàm f ● N f  a, r( m )  : Hàm đếm không điểm (tính bội) hàm f  a ● N f  a, r( m )  : Hàm đếm khơng điểm (khơng tính bội) hàm f  a ● Ai  x    1 , , i 1 , x, ri 1 , , rm  ; x, i  ,0  i  ri , i  1, , m ● Bi  x    1 , , i 1 , x, i 1 , , m  ; x, i  ,0  i  ri , i  1, , m  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lý sau Fermat (1601 – 1665), hay gọi Định lý Fermat lớn, ghi vào sách kỷ lục Guiness giới tốn khó thời đại: Khơng tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn phương trình Fermat x n  y n  z n , với số nguyên n  Trên đường tìm tịi lời giải cho Định lý Fermat lớn, nhờ phép tương tự số nguyên đa thức, Mason khám phá định lý đẹp mà sau gọi gọi Định lý abc cho đa thức biến trường đóng đại số với đặc sơ khơng (xem [9], [10]) Mặc dù từ Định lý Mason chưa suy Định lý sau Fermat, song Định lý Mason cho ta công cụ hiệu để giải toán liên quan đến phương trình nghiệm nguyên đa thức Chẳng hạn, hệ quan trọng tương tự Định lý Fermat cho ba đa thức khác không, không đồng thời số trường đóng đại số có đặc số khơng Vì vậy, có nhiều phiên Định lý Mason diễn đạt chứng minh nhà toán học thời gian gần Chẳng hạn, vào năm 2014, luận án tiến sĩ với tựa đề “Các Định lý abc trường hợp hàm” bảo vệ Đại học New Mexico (Hoa Kỳ) tác giả Cristina Toropu (xem [11]) Dựa vào báo có liên quan đến lĩnh vực tác giả Phạm Ngọc Hoa [5], luận văn đọc tìm hiểu “Một tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p-adic nhiều biến” Phƣơng pháp công cụ nghiên cứu - Khai thác vai trò tương tự số nguyên đa thức hệ số p-adic; - Khai thác vai trò tương tự đa thức hàm nguyên p-adic; - Vận dụng tính chất hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến; - Sử dụng hàm công cụ lý thuyết Nevanlinna p-adic (hàm đếm khơng điểm tính bội, hàm đếm khơng điểm khơng tính bội, hàm xấp xỉ, hàm độ cao,…) Nội dung luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có hai chương Chương giới thiệu về: Vai trò tương tự số nguyên đa thức; trường đóng đại số với đặc số không; Định lý Mason; ứng dụng Định lý Mason việc giải toán liên quan đến phương trình đa thức Chương giới thiệu về: Hàm chỉnh hình phân hình p-adic nhiều biến; độ cao hàm công cụ khác hàm phân hình p-adic; tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p-adic nhiều biến Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ngành Tốn thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên Phịng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh - tận tình giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tới Trường Đại học Kinh tế Công nghiệp Long An, đơn vị tổ chức tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành chương trình liên kết đào tạo sau đại học Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện TÁC GIẢ VÕ THỊ THANH DUY CHƢƠNG ĐỊNH LÝ MASON VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Vai trò tƣơng tự số nguyên đa thức 1.1.1 Vai trò tƣơng tự số nguyên đa thức Trên tập hợp số nguyên tập hợp đa thức có hệ số lấy trường số p  trường đóng đại số với đặc số (chẳng hạn trường số phức adic p ) có nhiều khái niệm kết giống sau đây: TT Đa thức Số nguyên Số nguyên tố Đa thức bất khả quy Giá trị tuyệt đối số nguyên Bậc đa thức Định lý phép chia có dư số Định lý phép chia có dư đa thức ngun Thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn Thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn hai số nguyên hai đa thức Mỗi số nguyên lớn phân Mỗi đa thức có bậc lớn tích thành tích thừa số phân tích thành tích đa thức nguyên tố bất khả quy Ước nguyên tố đa thức Nghiệm đa thức Mỗi số nguyên n  có hữu hạn Mỗi đa thức có bậc n có khơng q n (khơng q n ) ước nguyên tố nghiệm Căn số nguyên Căn đa thức Số mũ ước nguyên tố Cấp nghiệm bội đa thức 10 Phân số hữu tỉ thương hai số Phân thức hữu tỉ thương hai nguyên đa thức 11 Trường số hữu tỉ Trường phân thức hữu tỉ … … … Theo Hà Huy Khoái [1] phát triển số học, đặc biệt thời gian gần đây, chịu ảnh hưởng lớn tương tự số nguyên đa thức Nói cách khác, có giả thuyết chưa chứng minh với số nguyên, người ta thường cố gắng chứng minh kiện tương tự cho đa thức Điều thường dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu đa thức, ta có phép tính đạo hàm, đạo hàm số nguyên triệt tiêu 1.1.2 Căn số nguyên ([1]) Cho a số nguyên, ta định nghĩa a , ký hiệu rad(a ) , tích ước nguyên tố phân biệt a : rad(a)   p p|a Ví dụ rad(36)  rad(22  32 )    Nhận xét Với số nguyên a, b ta ln có rad(ab)  rad(a)rad(b) Hơn nữa, số nguyên a, b nguyên tố rad(ab)  rad(a)rad(b) Nhờ tương tự số nguyên đa thức, dẫn xuất đến khái niệm sau 1.1.3 Căn đa thức ([1]) Giả sử f  x  p  x trường số p -adic p đa thức bậc n  Nếu 1 , , m nghiệm phân biệt f  x  ta phân tích f  x  thành tích nhân tử tuyến tính f ( x)  an  x  1   x    k k  x  m  km , ki   ,i  p , an  p p sau: , an  Căn đa thức f  x  , kí hiệu rad( f ), định nghĩa rad( f )   x  1  x    Nhận xét Giả sử f ,g  p m  x   m     x  i  i 1  x đa thức có bậc n  f ' đạo hàm bậc f Khi đó, ta có: 1)deg  rad  f    deg  f  ; rad  f   f ; gcd  f , f ' 2) deg  rad  fg    deg  rad  f   deg  rad  g   ; 3) rad  fg   rad  f  rad  g   gcd  f , g   1.1.4 Số nghiệm phân biệt đa thức Giả sử f  x  đa thức bậc n p có phân tích:  x  m  f ( x)  an  x  1   x    k k km , ki   ,i  p , an  p , an  Khi đó, số nghiệm phân biệt f kí hiệu n f Như vậy,  kn n f  deg  rad  f   deg  f   k1  k2  Rõ ràng, n f  deg  f  Chú ý rằng, f , g đa thức nguyên tố trường p n fg  n f  n g Tổng quát hơn, f1, , fr đa thức nguyên tố đơi trường n f1 p fr  n f1   n fr 1.1.5 Định lí Giả sử f đa thức biến trường f hàm bậc f Khi đó, rad  f  p Ký hiệu f ' đạo ước f ' vành đa thức p  x Chứng minh Giả sử f  x   a  x  1  k  x  n  kn , ki   ,i  p ,a  p , a  Khi đó, tính tốn đơn giản cho ta đạo hàm bậc f là: f '  ak1  x  1  k 1  x  n  kn  akn  x  1   k Sử dụng định nghĩa đa thức ta có: rad  f    x  1   x  n  Do  x  n   x  n  k 1 k 1  a  x  1   x  n  a  x  1   rad  f   x  1  f k kn n  x  n  kn 1 Như vậy, hạng tử đa thức f ' chia hết cho ước đa thức f ' vành đa thức p f rad  f  Vì vậy, f rad  f   x  1.2 Định lý Mason 1.2.1 Trƣờng có đặc số không ([3]) Cho F trường với đơn vị Nếu n1  0, với số ngun dương n , ta nói trường F có đặc số Trong trường hợp ngược lại, tồn số nguyên dương n cho n1 = 0, ta gọi số nguyên dương bé p cho p1  đặc số trường F Đặc số trường F ký hiệu char  F  Như vậy, trường số hữu tỉ, trường số thực, trường số phức trường số p  adic trường có đặc số : char  Trường p   0; char    0; char    0; char  có đặc số số nguyên tố p : char  1.2.2 Mệnh đề Trên trường p p p     p , đa thức khác có đạo hàm bậc khác không Chứng minh Giả sử f  x   p  x  đa thức khác trường f  x   a0  a1x  p có biểu diễn  an x n ; n  1,  F , an  Khi đó, đạo hàm bậc hình thức f  x  f '  x   a1  a2 x  Vì trường p   n  1 an1x n2  nan x n1; n  1,  F , an  có đặc số nên nan  , f '  x   1.2.3 Định nghĩa ([3]) Ta gọi trường F trường đóng đại số đa thức f  x   F  x với bậc n  1, có nghiệm F Theo định lý đại số [3], trường số phức Ngoài ra, trường số p  adic p trường đóng đại số trường đóng đại số (xem [8]) 18 n deg  b   deg  b n   n ab   n a  nb   deg  a   deg  b   Như vậy, ta có n deg  a   deg  a   deg  b   1, n deg  b   deg  a   deg  b   Cộng hai bất đẳng thức lại ta có  n  2  deg  a   deg b   2 Ta gặp mâu thuẫn với n  Đối với nghiệm hàm hữu tỉ ta cần giả thiết mạnh n  1.3.7 Mệnh đề Giả sử n  Khi đó, phương trình x n  y n  khơng có nghiệm hàm phân thức hữu tỉ khác f , g  p  x Chứng minh Giả sử có cặp hàm hữu tỉ phân thức khác u, v  u n  v n  , Ta viết u  p  x cho a b v  dạng phân thức, a, b, c  c c p  x  Khi a n  bn  c n Không tính tổng qt ta giả thiết gcd  a, b, c   Áp dụng Định lý Mason với ba đa thức a n , bn , c n ta có n deg  a   deg  a n   n a nb n c n   n abc   n a  nb  n c   deg  a   deg  b   deg  c   Như ta có đồng thời ba bất đẳng thức 19 n deg  a   deg  a   deg  b   deg  c    n deg  b   deg  a   deg  b   deg  c   n deg  c   deg  a   deg  b   deg  c    Cộng ba bất đẳng thức chiều viết ta có  n  3  deg  a   deg  b   deg  c    3 Ta gặp phải mâu thuẫn với n  Như vậy, Tiết 1.3 này, áp dụng Định lý Mason chứng minh số kết phương trình đa thức với hệ số p - adic Đây tương tự đa thức kết số học phương trình Diophantine (xem [10]) 20 CHƢƠNG TƢƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ MASON CHO HÀM NGUYÊN p-ADIC NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số khái niệm ký hiệu 2.1.1 Chuẩn p  adic trƣờng số hữu tỉ ([3]) Giả sử p số nguyên tố cố định Khi đó, số hữu tỉ   , viết cách nhất:  a n p , n , b a, b số nguyên không chia hết cho p Định nghĩa hàm số p : Chúng ta kiểm tra hàm Acsimet trường số hữu tỉ  p : xác định p  0;  p  p  n  chuẩn (giá trị tuyệt đối) không sau: Thật vậy, giả sử   số hữu tỉ, tương tự  ta viết  c m p , m , d c, d số nguyên không chia hết cho p Khi đó, p số nguyên tố nên ta viết: a b  c m  ac n m p  p ,  d  bd    p n  số nguyên ac bd không chia hết cho p Do  p  ac n m p  p  ( nm )  p  n p  m   bd p p  p Không tính tổng quát giả sử n  m , p số nguyên tố nên viết    a n c m adp nm  bc m x k p  p  p  p ,k  m , b d bd y 21 số ngun x y khơng chia hết cho p Do     p  p  k  p  m  max  p  n , p  m   max  p ,  Hàm số p :  p  gọi hàm giá trị tuyệt đối p-adic (chuẩn p–adic) trường số hữu tỉ 2.1.2 Chỉ số p  adic trƣờng số hữu tỉ ([8]) Giả sử p số nguyên tố cố định Khi đó, số hữu tỉ   , viết cách nhất:  a n p , n , b a, b số nguyên không chia hết cho p Định nghĩa hàm số ord p :  xác định ord p  n Ta có 1) ord p  ; 2) ord p    ord p    ord p    ; 3) ord p      ord p   ,ord p    Ta gọi hàm ord p :  hàm số p  adic trường số hữu tỉ 2.1.3 Trƣờng số p - adic ([8]) Giả sử p số nguyên tố Chúng ta ký hiệu: p bổ sung đầy đủ trường số hữu tỉ theo chuẩn p  adic gọi trường số p  adic Giá trị tuyệt đối (chuẩn) cho p p  p 1 Trường p p p chuẩn hố đầy đủ khơng đóng đại số bao đóng đại số trường p Trường p đóng đại số khơng đầy đủ p bổ sung đầy đủ theo chuẩn p  adic p Chú ý rằng, đóng đại số đầy đủ   z  : hàm cộng tính 2.1.4 Một số ký hiệu khác ([5]) p mở rộng hàm ord p p trường 22 Với số thực r  cố định, ta ký hiệu b m    b1 , , bm  , bi  b    b1 , , bi 1 , b, bi 1 , , bm  ;   b m ,is   bi  bis   b1 , , bi 1 , bis , bi 1 , , bm ;  bi    b1, , bi1, bi1, , bm  ; Dr   z  D r  z  p : z  r ; p : z  r ; r m    r1 , r2 , , rm  ;     r m ,is   ri ris  r1 , , ri 1 , ris , ri 1 , , rm ; Dr m  Dr1  Dr  m  D r1   Drm ; D ; rm     , ,  m  ,  i  ;     z   z1 , , zm  ; z   z1 m 1  p   m; zm ; r   r11 rm m ; ; log  log p 2.2 Độ cao hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến 2.2.1 Hàm chỉnh hình p  adic nhiều biến ([5]) Giả sử m  số nguyên Một hàm chỉnh hình p  adic m biến đĩa Dr  chuỗi hình thức m m biến z m   z1 , , zm  với hệ số a    p : f z m  f  z1 , , zm    a z  , zi  Dri , i  1, 2, , m,  0 cho lim a r     23 Từ định nghĩa trên, suy tồn cặp số  , ,  m   m cho a r  đạt giá trị lớn Do đó, ta định nghĩa chuẩn hàm chỉnh hình p  adic nhiều biến f f  sup a r  r m  0   gọi hàm nguyên p- m p Mỗi hàm chỉnh hình p-adic m biến adic m biến 2.2.2 Bổ đề [7] Với i  1, , m giả sử ri , , ri số thực dương cho ri  q  ri Giả sử f s  z1 , , zm  , s  1, , q q hàm chỉnh hình khác khơng đĩa q Dr  Khi đó, tồn u m,i   Dr  m ,i  cho: m ,is s s   f s u m,i   f s r s  m ,is  , s  1,2, , q 2.2.3 Độ cao hàm chỉnh hình p  adic nhiều biến ([5]) Độ cao hàm chỉnh hình p  adic m biến đĩa Dr  m f  z1 , , zm    a z  , zi  Dri ,  0 định nghĩa bởi: H f (r m )  log f r m Nếu f  z1 , , zm   đặt H f (r m )   Giả sử f hàm chỉnh hình p  adic nhiều biến khác khơng đĩa Dr m , ta viết f  z1 , , zm     k 0 i 1, , m fi ,k  zi zik Đặt    I f r m   , ,  m   m : a r   f r( m )  24   r      r  , n1i , f  r( m )   max  i :   , ,  i , ,  m   I f  r( m )  , n2i , f (m)  i :   , ,  i , ,  m   I f  (m) ni , f  0,0   k : fi ,k  zi   ,    f  r( m )    n1i , f  r( m )   n2i , f  r( m )  m i 1 Ta gọi r m   r1 , , rm  , ri  điểm cốt lõi hàm f  f  r( m)   Với số i  1, , m cố định ta đặt ni , f  0,0   , k1  n1i , f  r( m)  , k2  n2i , f  r( m)  Khi tồn    , ,  m   I f  r( m)  ,    1 , , m   I f  r( m)  cho  i  k1 , i  k2 Chúng ta ý hàm sau f  z1 , , zm   fi ,  zi zi , f k  z1 , , zm   f i ,k  zi zik , f k  z1 , , zm   f i ,k  zi zik 1 2 Các hàm không đồng không Xét tập hợp  U if ,r   u  u m  Dr  : f  u   f m m r m  , f u   f r m , f k u   f k 1 r m  , f k u   f k 2 r m , i  1, , m Áp dụng Bổ đề 2.2.2, ta có U if ,r  tập khác rỗng Với m u U if ,r  ta đặt m fi ,u  z   f (u1 , , ui 1 , z, ui 1 , , um ), z  Dr i 2.2.4 Hàm đếm hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến ([5]) Với phần tử a  ta định nghĩa ni , f  a, r( m)   n1i , f a  r( m)  , i  1, , m Cố định số thực 1 , , m ,0  i  ri , i  1, , m Với x  ( m )   1 , ,  m  , Ai  x    1 , , i 1 , x, ri 1 , , rm  , i  1, , m, Bi  x    1 , , i 1 , x, i 1 , ,  m  , i  1, , m Định nghĩa hàm đếm hàm chỉnh hình p-adic f đặt p 25 N f  a, r( m )   r m nk , f  a, Ak  x   dx  ln p k 1  x k k Nếu a  ta đặt N f  r( m)   N f  0, r( m)  Khi r ni , f  a, Bi  x   N f  a, Bi  ri    dx ln p  x i i Trong [7], Hà Huy Khoái xác lập mối liên hệ sau hàm độ cao H f  r( m )  hàm đếm N f  r( m )  hàm chỉnh hình nhiều biến f 2.2.5 Định lý [7, Theorem 3.2] Giả sử f hàm chỉnh hình khác khơng Dr ( m ) Ta có H f  r( m )   H f  ( m )   N f  r( m )  2.3 Một tƣơng tự Định lý Mason ứng dụng 2.3.1 Hàm phân hình p –adic nhiều biến [5] Ta gọi hàm f  f1 , f1 , f f2 hàm chỉnh hình p – adic m biến đĩa Dr (tương ứng m p (m) ), khơng có khơng điểm chung, hàm phân hình p – adic m biến đĩa Dr (tương ứng (m) 2.3.2 Độ cao hàm phân hình p –adic nhiều biến ([5]) Giả sử f  phân hình đĩa Dr (tương ứng (m) đĩa Dr (tương ứng (m) m p m p m p ) f1 hàm f2 ), f1 , f hàm chỉnh hình ), khơng có khơng điểm chung a  H f  r( m )   max H f  r( m )  , 1i  i N f  a, r( m )   max N f af  a, r( m )  1i  Nếu a  ta đặt N f  r( m)   N f  0, r( m)  p Ta đặt 26 Nếu    , ,  m  số f hàm phân hình m biến, ký hiệu  f đạo hàm riêng  f z1 zm m 2.3.3 Bổ đề ([6, Lemma 4.2]) Giả sử f  số m p f1 hàm phân hình khác f2 Khi đó, tồn số    0, ,0,  1e ,0, ,0  cho  1e  1,  f  1 f f  f f1 1 f 22 định thức Wronskian  f1 W  f   W  f1 , f   det    f f2  f  1 không đồng không  Đặt G  G G q 1 ,   , ,   lấy tất cách chọn q 1 khác gồm q  số tập hợp 1, ,q  1 Gi  f1  f , i  1, , q; Gq1  f Đặt   H G Be  re   max H G   , ,  1 q1 q1  B  r  e e Chúng ta có bổ đề sau 2.3.4 Bổ đề [5] Ta có     H G Be  re    q  1 H f Be  re   O 1 , O 1 khơng phụ thuộc vào re Sử dụng Bổ đề 2.3.4, Phạm Ngọc Hoa [5] chứng minh định lý 2.3.5 Phương pháp chứng minh Phạm Ngọc Hoa tương tự hoá phép chứng minh Vũ Hoài An [4] 27 2.3.5 Định lý ([5, Theorem 3.2, pp 17]) Giả sử f hàm phân hình  p m p , i  1, , q Khi đó, ta có  q  1 H f  Be  re     N f  a j , Be  re    N f  , Be  re    log re  O 1 q j 1 2.3.6 Định lý ([5]) Giả sử a  a  z( m)  , b  b  z( m)  , c  c  z( m)  hàm nguyên m p khơng có khơng điểm chung khơng đồng thời số cho a  b  c Khi đó, với e  1, , m ta có   max H a  Be  re   , H b  Be  re   , H c  Be  re    N abc  Be  re    log re  O 1 , n1e,a  Be  re   , n1e,b  Be  re   , n1e,c  Be  re   đồng không Chứng minh Đặt f  Nếu a b ,g  c c n1e,a  Be  re   , n1e,b  Be  re   , n1e,c  Be  re   khơng đồng khơng Khi đó, W  f  ,W  g  không đồng không a  b  c Sử dụng Định lý 2.3.5 ý N g  Be  re    N b  Be  re   , nhận H f  Be  re    N f  Be  re    N f  , Be  re    N f 1  Be  re    log re  O 1  N a  Be  re    N b  Be  re    N c  Be  re    log re  O 1  N abc  Be  re    log re  O 1 Tương tự ta có H g  Be  re    N abc  Be  re    log re  O 1 Hơn     max H a  Be  re   , H b  Be  re   , H c  Be  re    max H f  Be  re   , H g  Be  re   định lý suy từ đánh giá 28 Giả sử f đa thức m p ta viết f  z( m )   f  z1 , , zm     k 0 i 1, , m f i ,k  zi zik Ta đặt bi ,k  fi ,k  zi  Khi tồn số j cho bi ,k  0, với k  j bi , j  0, đồng thời tồn giới hạn lim N f  Bi  ri   ri  log ri Đặt ni , f  j; ni , f  lim ri  N f  Bi  ri   log ri Từ Định lý 2.3.6 ta thu 2.3.7 Định lý ([5]) (Tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p  adic m biến) Giả sử a  a  z( m)  , b  b  z( m)  , c  c  z( m)  hàm ngun m p khơng có khơng điểm chung không đồng thời số cho a  b  c Khi đó, với e  1, , m ta có max ne,a , ne,b , ne,c   ne,abc  1, ne,a , ne,b , ne,c đồng không Chứng minh Đặt f  a b ,g  c c Giả sử ne,a , ne,b , ne,c không đồng thời không Khi đó, theo giả thiết, tồn số e cho W  f  W  g  không triệt tiêu (xem Bổ đề 2.3.3) Áp dụng Định lý 2.3.6 để ý 29 ne ,abc  lim re  N abc  Be  re   log re , thu Định lý 2.3.7 Như vậy, tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p  adic nhiều biến chứng minh 30 KẾT LUẬN Trên sở đọc tìm hiểu báo [5] tác giả Phạm Ngọc Hoa số tài liệu khác, luận văn trình bày nội dung sau: Vai trò tương tự số nguyên đa thức đường tìm tịi lời giải cho Định lý lớn Fermat Các kiến thức liên quan đến trường số p-adic Định lý Mason cho đa thức biến trường số p-adic (Định lý 1.2.6) Hàm nguyên p-adic nhiều biến; độ cao hàm đếm hàm nguyên p-adic nhiều biến Hàm phân hình p-adic nhiều biến; độ cao hàm đếm hàm phân hình padic nhiều biến Một tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p-adic nhiều biến (Định lý 2.3.7) Ngoài ra, tiết 1.3, áp dụng Định lý Mason tác giả tự chứng minh số kết phương trình đa thức với hệ số p - adic Đây tương tự đa thức kết số học phương trình nghiệm nguyên 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Thị Hồng Loan, Phan Đức Tuấn (2017), Số học đại, Nhà xuất Đại học Vinh TIẾNG ANH [4] Vu Hoai An (2002), p–adic Poisson – Jensen formula in several variables, Vietnam Journal of Mathematics, 30 (1), pp 43-54 [5] Pham Ngoc Hoa (2008), An analogue of Mason’s theorem for p-adic entire functions in several variables, Journal of Science of HNUE, Natural Sci., 53 (1), pp 12-21 [6] P C Hu and C C Yang (1997), Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, Izv Nats Acad Nauk Armenii Nat., 32 (3), pp 4667 [7] Ha Huy Khoai (1993), Heights of p-adic holomorphic functions and applications, RIMS Lect Notes Ser Kyoto, 819, pp 96-105 [8] N Koblitz (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer [9] R C Mason (1984), Diophantine Equations over Function Fields, Cambridge University Press [10] M B Nathanson (2000), Elementary Method in Number Theory, Springer [11] C Toropu (2014), ABC theorems in the functional case, PhD thesis in mathematics, The University of New Mexico 32 ... hàm nguyên p-adic nhiều biến Hàm phân hình p-adic nhiều biến; độ cao hàm đếm hàm phân hình padic nhiều biến Một tương tự Định lý Mason cho hàm nguyên p-adic nhiều biến (Định lý 2.3.7) Ngoài ra,... giải cho Định lý lớn Fermat Các kiến thức liên quan đến trường số p-adic Định lý Mason cho đa thức biến trường số p-adic (Định lý 1.2.6) Hàm nguyên p-adic nhiều biến; độ cao hàm đếm hàm nguyên p-adic. .. CHƢƠNG TƢƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ MASON 20 CHO HÀM NGUYÊN p-ADIC NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số khái niệm ký hiệu 20 2.2 Độ cao hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến 22 2.3 Một tƣơng tự định lý Mason ứng