Một mở rộng của định lý davenport trên trương hàm nhiều biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VIỆT DŨNG MỘT MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG VIỆT DŨNG MỘT MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức sở số học đại số tuyến tính 1.2 Bậc hàm hữu tỉ 1.3 Trường định chuẩn 1.4 Tương tự số nguyên đa thức 10 ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN 17 2.1 Định lý Davenport 17 2.2 Định lý Davenport suy rộng cho số mũ tổng quát 18 2.3 Định lý Davenport suy rộng cho nhiều hàm số biến 19 2.4 Định lý Davenport suy rộng cho nhiều hàm số nhiều biến 19 2.5 Chứng minh Định lý 2.4 20 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 MỞ ĐẦU Sự phát triển số học, đặc biệt thời gian gần đây, chịu ảnh hưởng lớn tương tự số nguyên đa thức Nói cách khác, có giả thuyết chưa chứng minh với số nguyên, người ta thường cố gắng chứng minh điều tương tự cho đa thức Điều thường dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu đa thức, ta có phép tính đạo hàm Sự tương tự với tính chất đa thức gợi ý đường có nhiều hi vọng chứng minh Định lý Fermat Năm 1983 R.C.Mason chứng minh Định lý Mason Một tương tự Định lý cuối Fermat đa thức suy từ Định lý Mason (xem [1]) Trong luận văn này, kí hiệu F trường đóng đại số, đặc số Không tồn đa thức a(x),b(x),c(x) khác số, nguyên tố F thỏa mãn phương trình an + bn = cn , n ≥ Từ Định lý Mason ta suy nhiều hệ thức đa thức Định lý Davenport([4]) Giả sử f (x), g(x) đa thức biến khác số nguyên tố F cho f = g Khi ta có: deg(f − g ) ≥ deg(f ) + Khẳng định tương tự Định lý Davenport với số nguyên chưa chứng minh Giả thuyết Hall Giả sử x,y số nguyên dương cho x3 = y Khi với số ε tùy ý, tồn số C(ε) phụ thuộc ε cho x3 − y ≥ C(ε)x −ε Như vậy, Định lý Fermat, Định lý Davenport giả thuyết Hall có liên hệ chặt chẽ với Vì mảng đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Dựa vào báo "An Extension of Davenport’s Theorem for Function of Several Variables, International Journal of Algebra, Vol 2, 2008, No 10, 2008" tác giả Nguyễn Thành Quang Phan Đức Tuấn, luận văn trình bày mở rộng Định lý Davenport cho hàm nhiều biến Luận văn gồm chương: Chương Giới thiệu kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức trường định chuẩn, số học, đại số tuyến tính số tương tự số nguyên đa thức có nêu chứng minh Định lý Fermat dựa giả thuyết abc Chương Trình bày chi tiết mở rộng Định lý Davenport hàm nhiều biến Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng mở rộng Định lý Davenport chứng minh Định lý Davenport mở rộng trường hàm nhiều biến Luận văn hoàn thành bảo tận tình PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Tốn học Phịng đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh giúp đỡ cho tơi có điều kiện thuận lợi Ngồi ra, tơi xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè bạn lớp Cao học 18 - Đại số lý thuyết số Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức sở số học đại số tuyến tính 1.1.1 Định lý số học Mọi số nguyên lớn biểu diễn cách dạng tích số số nguyên tố, thừa số nguyên tố không giảm 1.1.2 Định lý Với số nguyên a b, tồn số nguyên x y cho ax + by = d, d ước chung lớn a b 1.1.3 Hệ Các số nguyên a, b nguyên tố tồn số nguyên x, y cho ax + by = 1.1.4 Định nghĩa Cho a số nguyên, ta định nghĩa a, kí hiệu N0 (a) tích ước nguyên tố phân biệt a N0 (a) = p p/a Ví dụ N0 (720) = N0 (24 32 5) = 2.3.5 = 30, N0 (9) = N0 (3.3) = 1.1.5 Định nghĩa Cho V khơng gian vectơ trường F Ta nói vectơ v1 , , phụ thuộc tuyến tính tồn a1 , , an ∈ F không đồng thời cho: a1 v1 + a2 v2 + + an = Hệ vectơ khơng phụ thuộc tuyến tính gọi độc lập tuyến tính Hay nói cách khác hệ vectơ {v1 , , } không gian vectơ V độc lập tuyến tính phương trình a1 v1 + a2 v2 + + an = có nghiệm a1 = a2 = · · · = an = 1.1.6 Định nghĩa Cho hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm khoảng (a, b) Khi Định thức Wronskian f g xác định sau f g W(f, g) = det f g = f g − f g 1.1.7 Định lý Nếu hai hàm số f (x), g(x) có đạo hàm khoảng (a, b) phụ thuộc tuyến tính W(f, g) = Chẳng hạn hệ {sinx, 2sinx} phụ thuộc tuyến tính Khi sinx 2sinx W(sinx, 2sinx) = det cosx 2cosx = 1.1.8 Định nghĩa (Định thức Wronskian) Cho f1 , f2 , fn đa thức nhiều biến thuộc vành F[x1 , ,xl ] trường F khả vi đến cấp n − Khi Định thức Wronskian f1 , f2 , fn xác định sau:   f1 f2 · · · fn  f1 f2 · · · fn   W(f1 , f2 , , fn ) = det    (n−1) (n−1) (n−1) f1 f2 · · · fn 1.1.9 Định lý Cho n đa thức f1 , f2 , fn nhiều biến vành F[x1 , ,xl ] trường F khả vi đến cấp n − Nếu hệ f1 , f2 , fn phụ thuộc tuyến tính W (f1 , , fn ) = 1.2 Bậc hàm hữu tỉ 1.2.1 Định nghĩa Xét hàm phân thức f , giả sử ta viết f dạng f= f1 , f2 f1 , f2 đa thức khác nguyên tố F[x1 ,xl ] Bậc f kí hiệu degf , định nghĩa deg f1 − deg f2 Cho p đa thức bất khả quy khác Ta viết f dạng f = pα g1 , g2 cho p khơng ước g1 , g2 g1 , g2 đa thức thuộc F[x1 ,xl ], α gọi bậc f p kí hiệu µpf 1.2.2 Định lý Cho f, g đa thức p ∈ F[x1 , ,xl ] đa thức bất khả quy khác hằng, ta có: a)µpf +g ≥ min{µpf ,µpg }, b)µpf g = µpf + µpg , c)µpf g = µpf − µpg Chứng minh Giả sử µpf = m; µpg = n m ≤ n ta viết f = pm f1 g1 ; g = pn , f2 g2 p khơng ước f , g , g , f a) Khi f +g =p m f1 g1 + pn−m f2 g2 =p m f1 g2 + g1 f2 pn−m f g2 Suy µpf +g ≥ m = min{µpf ,µpg } b) Ta có f g = f1 f2 m+n g1 g2 p Vì p khơng ước f , g , g , f nên không ước f1 f2 , g1 g2 Do µpf g = m + n = µpf + µpg c) Ta có f1 g2 m−n f = p g f2 g1 Tương tự b) ta có µpf g = m − n = µpf − µpg 1.3 Trường định chuẩn 1.3.1 Định nghĩa Một trường K gọi trường định chuẩn K xác định ánh xạ ϕ : K → R1 thỏa mãn điều kiện sau: 1) ϕ(0) = 0, ϕ(a) > với = a ∈ K, 2) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ∀a, b ∈ K, 3) ϕ(a + b) ≤ ϕ(a) + ϕ(b) ∀a, b ∈ K 1.3.2 Định nghĩa Một định chuẩn ϕ trường K định chuẩn không Acsimet nếu: ϕ(a + b) ≤ max(ϕ(a), ϕ(b)), với a, b ∈ K 15 Chọn n0 = [log3 k+6]+1 suy mâu thuẫn Trường hợp (x, y, z) = d = cách giản ước thừa số chung ta phương trình trường hợp Như vậy, dựa vào giả thuyết abc, Định lý Fermat tiệm cận giải xác định C(ε) = C(1) tốn chứng minh Định lý cuối Fermat giải trường hợp n ≥ n0 Chẳng hạn, chọn C(ε) = ε = định lý cuối Fermat n ≥ Các trường hợp n < chứng minh trước Vào năm 1825, Ơle chứng minh với n = 3, từ phương trình x4 + y = z khơng có nghiệm nguyên dương Fermat suy định lý cuối Fermat với n = 4, Diricle với n = Thậm chí Kummer (1810-1893) dùng lý thuyết khó sắc bén số ngun tố quy để chứng minh Định lý Fermat với số nguyên tố n < 100 trừ số nguyên tố phi quy 37, 59 67 Tương tự định lý Davenport cho đa thức ta có Giả thuyết Hall cho số nguyên phát biểu vào năm 1965 1.4.6 Giả thuyết Hall Giả sử x, y số nguyên dương cho x3 − y = Khi đó, với ε = 0, tồn số C (ε) cho x3 − y > C(ε)x −ε Chứng minh Thật trước hết ta có phân tích x3 = (x3 − y ) + y Để tiện lợi ta giả sử x3 − y > Theo giả thuyết abc ta có m ax x3 , x3 − y , y 1+ε ≤ C(ε)[N0 (x3 (x3 − y )y )] Dễ thấy N0 (xyz) ≤ N0 (x)N0 (y)N0 (z) N0 (xn ) = N0 (x) ≤ x 16 Do 1+ε x3 ≤ Cε[N0 (x3 (x3 − y )y )] Suy 1+ε 1+ε x3 ≤ C(ε)x1+ε (x3 − y ) y 1+ε 1+ε ⇔x2−ε ≤ C(ε)(x3 − y ) y (1.5.1) Tương tự 1+ε 1+ε y ≤ C(ε)x1+ε (x3 − y ) ⇔y ≤ C(ε)x 1+ε 1−ε (x − y ) y 1+ε 1−ε (1.5.2) Thay (1.5.2) vào (1.5.1) rút gọn ta được: 2+2ε x ≤ C(ε)(x3 − y ) 1−5ε ⇔x3 − y ≥ Đặt C(ε1 ) = 4ε C(ε) , ε1 = ε+1 Khi ta có x − y 1 x C(ε) > C(ε1 )x −ε1 1−5ε 2+2ε 17 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN Trong chương ta nghiên cứu Định lý Davenport cho đa thức nhiều biến Đã có vài kết tiếp nối Định lý Davenport [5, Định lý 1.5] Nhưng khơng phải tổng qt hóa Định lý Davenport họ ý đến trường hợp hàm f1l1 , fklk khơng có khơng điểm chung Chương tơi trình bày lại mở rộng Định lý Davenport đa thức nhiều biến tác giả Nguyễn Thành Quang Phan Đức Tuấn nêu [7] 2.1 Định lý Davenport Giả sử f, g đa thức biến khác số nguyên tố trường F, cho f = g Khi ta có deg(f − g ) ≥ deg f + Chứng minh Ta dùng Định lý Mason với a = g2, b = f − g2, c = f Ta có a + b = c Theo Định lý Mason, ta có deg a ≤ n0 (abc) − 18 hay deg g ≤ n0 (g (f − g )f ) − hay deg f + Định lý Davenport chứng minh deg(f − g ) ≥ 2.1.1 Nhận xét Trong đánh giá Định lý Davenport, ta thấy số mũ tốt Chẳng hạn f (t) = t2 + 4, g(t) = t3 + 6t deg(f − g ) = = deg(f ) + Nhờ đánh giá này, giải nhiều toán tồn đa thức Bằng cách chứng minh tương tự trên, ta mở rộng định lý Davenport cho số mũ lũy thừa nguyên m n 2.2 Định lý Davenport suy rộng cho số mũ tổng quát Cho m, n số nguyên dương lớn Giả sử f (t), g(t) đa thức phức, khác số, nguyên tố cho f m = g n Khi ta có deg(f m − g n ) ≥ mn − n − m deg(f ) + n mn − m − n deg(g) + m Từ công thức ta suy bất đẳng thức sau: deg(f m − g n ) ≥ deg (f ) + Khi giải toán hệ cách thay m, n deg f − g ≥ số nguyên dương khác 19 2.3 Định lý Davenport suy rộng cho nhiều hàm số biến Xét đa thức biến f1 , f2 , fk (k ≥ 3) với hệ số F khơng có nghiệm chung, khơng đồng thời đa thức Cho số nguyên k lj ≤ kl1 + k(k − 1) dương lj (1 ≤ j ≤ k) cho l1 ≤ l2 ≤ ≤ lk j=1 Giả sử hệ f1l1 , f2l2 , , fklk độc lập tuyến tính F Khi ta có:   1−  2.4 k j=1  k − 1 lj    k l l max deg(fjj ) ≤ deg  fjj  − (k − 1) j=1 Định lý Davenport suy rộng cho nhiều hàm số nhiều biến Lấy đa thức khác số f1 , , fk (k ≥ 2) F[x1 , ,xl ] lj số nguyên dương cho l1 ≤ l2 ≤ ≤ lk thỏa mãn điều kiện sau: 1) Các hàm f1l1 , fklk khơng có không điểm chung, k lj ≤ kl1 + k(k − 1) 2) j=1 Giả sử f1l1 , fklk độc lập tuyến tính F ta có:     k k   k−1 l l max deg(fjj ) ≤ deg  1− fjj  − (k − 1)  lj  j=1 j=1 Với l = 1, k = 2, l1 = 2, l2 = 3, f1 = f, f2 = −g ta thu Định lý Davenport 20 2.5 Chứng minh Định lý 2.4 Để chứng minh Định lý 2.4 ta cần chứng minh số bổ đề Trước hết ta có: ∆ tốn tử vi phân dạng: −1 ∆ = (µ1 µm ) ∂ µm ∂ µ1 ∂xµ1 ∂xµmm Với µi ≥ số nguyên, ta kí hiệu hạng ∆ m ρ(∆) = µi i=1 Chú ý Định nghĩa trên, với µi = ta quy ước: Ta khử µi ta xét ∂ µi µ ∂x1 i tốn tử đơn vị 2.5.1 Bổ đề Cho ϕ đa thức nhiều biến số thỏa mãn ∆ϕ = 0, p đa thức bất khả quy khác Khi đó: µp∆ϕ ≥ − min{µpϕ ,ρ(∆)}+µpϕ Chứng minh Đặt µpϕ = m Khi tồn đa thức f cho ϕ = pm f Ta có ∂ϕ ∂f ∂p = pm−1 p + mf ∂xi ∂xi ∂xi Từ ta có: µp∂ϕ ≥ m − ∂xi Do µp∂ϕ ≥ µpϕ − ∂xi 21 Áp dụng bất đẳng thức liên tiếp ρ(∆) lần ta có µpϕ ≤ µp∂ϕ + ≤ µp∂2 ϕ + + ≤ ≤ µp∆ϕ + ρ(∆) ∂xi ∂ xi Suy µp∆ϕ ≥ µpϕ − ρ(∆) Vì µp∆ϕ ≥ ta có µp∆ϕ ≥ − min{µpϕ ,ρ(∆)}+µpϕ Lấy ∆0 , , ∆s cho ρ(∆i ) ≤ i đa thức h0 , hs F[x1 , ,xl ], tổng quát hóa Wronskian có dạng: W [h0 , ,hs]=det|∆i hj |0≤i,j≤s (2.4.1.1) Một số kết tiếng K F Roth khẳng định hàm độc lập tuyến tính F tồn tổng quát hóa Wronskian dạng (2.4.1.1) không triệt tiêu Cho f đa thức F[x1 , ,xl ] f = pl11 plkk , với p1 , , pk đa thức bất khả quy phân biệt l1 , , lk số nguyên Khi n ∈ N ta đặt min(n,l1 ) g = p1 min(n,lk ) .pk ta kí hiệu Nn (f ) = deg g , 22 2.5.2 Bổ đề Cho f0 , , fn+1 n+2 đa thức F[x1 , ,xl ] g0 , , gn+1 đa thức F[x1 , ,xl ] cho f0 g0 , , fn gn độc lập tuyến tính F thỏa mãn g0 f0 + + gn+1 fn+1 = Khi n+1 max deg fi gi ≤ n+1 deg(gj ) − n Nn (fj ) + j=0 j=0 Chứng minh Với giả thiết f0 g0 , , fn gn độc lập tuyến tính, ta có tồn mở rộng Wronskian f0 g0 , , fn gn không triệt tiêu Ta đặt W(g0 f0 , , gn fn ) , g0 f0 gn fn g0 f0 gn+1 fn+1 Q= W(g0 f0 , , gn fn ) P = Do đó, ta có: gn+1 fn+1 = P Q (2.4.1.1) Nên deg fn+1 gn+1 f0 fn+1 + = deg W(f0 g0 , , fn gn ) n+1 deg gj + deg P j=0 Trước hết ta chứng minh f0 fn+1 ≤ deg W(f0 g0 , , fn gn ) n+1 Nn (fj ) j=0 Giả sử p đa thức bất khả quy khác ước f0 f1 fn+1 Theo giả thiết ta có tồn υ,0 ≤ υ ≤ n + cho p không ước fυ Bằng giả thiết g0 f0 + + gn+1 fn+1 = 0, 23 ta suy g0 f0 + + gυ−1 fυ−1 + gυ+1 fυ+1 + + gn+1 fn+1 = −gυ fυ Áp dụng tính chất định thức ta có phép biến đổi sau: W (g0 f0 , gυ fυ , , gn fn )   g0 f0 ··· gυ fυ ··· gn fn  = det  (g0 f0 )(n) · · · (gυ fυ )(n) · · · (gn fn )(n)   g0 f0 ··· (gn+1 fn+1 + gi fi ) ··· gn f n i=υ     = − det    (n) (n) (n) (n)  (g0 f0 ) · · · (gn+1 fn+1 ) + (gi fi ) · · · (gn fn ) i=υ  g0 f0 ··· gn+1 fn+1 ··· gn fn  = − det  (g0 f0 )(n) · · · (gn+1 fn+1 )(n) · · · (gn fn )(n)   g0 f0 ··· gυ−1 fυ−1 gυ+1 fυ+1 ··· gn+1 fn+1  =(−1)n−k+1 det  (g0 f0 )(n) · · · (gυ−1 fυ−1 )(n) (gυ+1 fυ+1 )(n) · · · (gn+1 fn+1 )(n)  Do ta có µp f0 fn+1 W(g0 f0 , ,gn fn ) = µp f0 fυ−1, fυ+1 , ,fn+1 W(g0 f0 , ,gυ−1 fυ−1 ,gυ+1 fυ+1 , ,gn+1 fn+1 ) n+1 µpfj − µpW(g0 f0 , gυ−1 fυ−1 gυ+1 fυ+1 , ,gn+1 fn+1 ) = j=0 Theo định nghĩa định thức W (g0 f0 , , gυ−1 fυ−1 , gυ+1 fυ+1 , , gn+1 fn+1 ) tổng số hạng sau δ∆0 gα0 fα0 ∆n gαn fαn với αi ∈ {0, , n + 1} \ {v} , δ = ±1 24 Theo Bổ đề 2.5.1 ý ρ(∆i ) ≤ i ≤ n, ta có: µp∆0 fα ≥ ∆1 fα1 ∆n fαn 0≤j≤n − min{n, µpfα µpfα g j αj g j αj µpfα + µpgα − min{n, µpfα +µpgα } } = j j j 0≤j≤n p\fαj p\fαj µpfα + µpgα − min{n, µpfα }- min{n, µpgα } ≥ j j j j 0≤j≤n p\fαj n+1 µpfα j ≥ − min{n, µpfα } j 0≤j≤n µpfj − = j=0 min{n, µpfj } 0≤j≤n p\fαj p\fαj Theo Định lý 2.3.1, ta có: µpW(f0 , fυ−1 ,fυ+1 , ,fn+1 ) ≥ µp n j=0 fαj min{n, µpfj } − 0≤j≤n+1 p\fj Theo Định nghĩa bậc hàm ta có f0 fn+1 deg ≤ W(f0 g0 , , fn gn ) n+1 Nn (fi ) i=0 Tiếp theo ta chứng minh rằng: deg P ≤ −n Ta có biến đổi  g0 f ··· gn f n  P = det  g0 f0 gn fn (g0 f0 )(n) · · · (gn fn )(n)   ···    = det  (n) (n) (g0 f0 ) (gn fn ) · · · g0 f0 gn fn  (2.4.1.2) j 25 Ta có Định thức P tổng số hạng sau đây: δ ∆0 gβ0 fβ0 ∆1 gβ1 fβ1 ∆n gβn fβn gβ0 fβ0 gβ1 fβ1 gβn fβn Với số hạng, ta có: ∆0 gβ0 fβ0 ∆1 gβ1 fβ1 ∆n gβn fβn gβ0 fβ0 gβ1 fβ1 gβn fβn ∆0 gβ0 fβ0 ∆1 gβ1 fβ1 ∆n gβn fβn = deg + deg + deg gβ0 fβ0 gβ1 fβ1 gβn fβn ≤ − ρ(∆0 ) − ρ(∆1 ) − ρ(∆n ) deg Chú ý n ≤ ρ(∆0 ) + ρ(∆1 ) + + ρ(∆n ) ≤ n(n + 1) , nên deg P ≤ −n (2.4.1.3) Từ (2.4.1.1),(2.4.1.2),(2.4.1.3) ta có: n+1 deg fn+1 gn+1 ≤ n+1 deg(gj ) − n Nn (fj ) + j=0 j=0 Áp dụng tương tự g0 f0 , g1 f1 , , gn fn , ta có: n+1 max deg fj gj ≤ 0≤j≤n+1 n+1 deg(gj ) − n Nn (fj ) + j=0 j=0 Chứng minh Định lý 2.4 Ta đặt f0 = f1 l1 + + fk lk h = ( f1 , fk ) 26 Khi tồn đa thức g0 , g1 , gk cho f0 = g0 hl1 , f1 = g1 h, , fk = gk h Suy g0 = g1 l1 + g1 l1 hl2 −l1 + + gk hlk −l1 Để đơn giản, ta đặt l max deg fjj = fαlα 1≤j≤k Theo Bổ đề 2.5.2,  k deg gαlα hlα −l1 ≤ Nk−1 (g0 ) + k Nk−1 gj lj +  j=1  lj − kl1  deg h − (k − 1) j=1  k ≤ deg g0 + (k − 1) k lj − kl1  deg h − (k − 1) deg gj +  j=1  j=1 Do cách thêm bớt ta được: deg gαlα hlα k l1 deg gj h + deg hl1 − deg hl1 − k (k − 1) deg h ≤ deg g0 h + (k − 1) j=1   k lj − kl1  deg h − (k − 1) + j=0 k ≤ deg f0 + (k − 1)  = deg f0 + j=1 k ≤ deg f0 + j=1  lj − kl1 − k (k − 1) deg h − (k − 1) deg fj +  j=1 k k j=0  k  k−1 l deg fjj +  lj − k (k − 1) − kl1  deg h − (k − 1) lj j=1   k k−1 deg fαlα +  lj − k (k − 1) − kl1  deg h − (k − 1) lj j=1 27 Suy   k 1 − j=1   k k − 1 deg fαlα ≤ deg f0 +  lj − kl1 − k (k − 1) deg h − (k − 1) lj j=1 k lj − kl1 − k (k − 1) ≤ nên Theo giả thiết ta có deg h = j=1 k lj − kl1 − k (k − 1) deg h ≤ j=1 Từ k 1− j=1 k−1 lj l max deg(fjj ) ≤ deg Ta kết thúc chứng minh Định lý k j=1 l fj j − (k − 1) 28 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, luận văn hoàn thành vấn đề sau: Giới thiệu trình bày tương tự số học đa thức: Định lý Mason, Định lý Fermat đa thức, Định lý Davenport Trình bày số vấn đề liên quan đến giả thuyết abc Định lý Fermat tiệm cận Trình bày chứng minh chi tiết kết suy rộng Định lý Davenport trường hàm nhiều biến nhờ kỹ thuật Wronskian Luận văn sâu tìm hiểu Lý thuyết Nevanlina trường hàm chuẩn không Acsimet 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Thành Quang(2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Thành Quang(2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội Tiếng Anh [4] H.Davenport, On f (t) − g (t) (1965), Norske Vid Selsk Forh (Trondheim); 38, 86-87 [5] P.C Hu and C.C Yang (2001), Note on a generalized abc- conjecture over functions fields, Ann Math Blaise Parcal, 8, No 1, 61-71 [6] S.lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, SpringerVerlag [7] Nguyen Thanh Quang, Phan Duc Tuan (2008), An Extension of Davenport’s Theorem for Function Variables, International Journal of Algebra, Vol 2, 2008, No 10, 469-475 ... 10 ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN 17 2.1 Định lý Davenport 17 2.2 Định lý Davenport suy rộng cho số mũ tổng quát 18 2.3 Định lý Davenport suy rộng. .. minh Định lý Fermat dựa giả thuyết abc Chương Trình bày chi tiết mở rộng Định lý Davenport hàm nhiều biến Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng mở rộng Định lý Davenport chứng minh Định lý. .. 2+2ε 17 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ DAVENPORT TRÊN TRƯỜNG HÀM NHIỀU BIẾN Trong chương ta nghiên cứu Định lý Davenport cho đa thức nhiều biến Đã có vài kết tiếp nối Định lý Davenport [5, Định lý 1.5] Nhưng