K không gian và không gian tích

vinh2004 ******* Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa đào tạo sau đại học ----------o0o---------- Kiều Mạnh Hùng k-không gian và không gian tích Chuyên ngành : toán Giải tích Mã số : 604601 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đinh Huy Hoàng Vinh 2004 ******* Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 Chơng I. K-không gian .4 1.1. Một số định nghĩa và tính chất cơ bản .4 1.2. K-không gian .6 Chơng II. Điều kiện cần và đủ đối với tích của hai không gian X ì Y là k-không gian 14 Kết luận .34 Tài liệu tham khảo 35 2 vinh2004 ******* 3 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa đào tạo sau đại học ----------o0o---------- Kiều Mạnh Hùng k-không gian và không gian tích Luận văn thạc sỹ toán học Vinh 2004 ******* Mục lục Mục lục 1 Mở đầu 2 Chơng 1. K-không gian .5 1.1. Một số định nghĩa và tính chất cơ bản .5 1.2. K-không gian .7 Chơng 2. Điều kiện cần và đủ đối với tích của hai không gian X ì Y là k-không gian 15 Kết luận .36 Tài liệu tham khảo 37 4 mở đầu Nh ta đã biết tích của một k-không gian với một không gian mêtric khả li không nhất thiết là một k- không gian (xem [3] và [10]). Nên tích của hai k- không gian cha hẳn đã là k-không gian. Do đó vấn đề đặt ra là tìm điều kiện để tích của hai không gian là k-không gian. Vấn đề này đã đợc nhiều tác giả quan tâm. Trong các tài liệu [17], [18] và [19] Yoshio Tanaka đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để tích các không gian dãy là k-không gian, tích các ảnh đóng của các không gian mêtric là k-không gian và tích các CW- phức là k-không gian. Trong [14] đã đa ra những đặc trng để tích X ì Y là một k- không gian nếu X và Y là những không gian tổng quát hơn không gian dãy, ảnh đóng của không gian mêtric, không gian CW-phức, chẳng hạn nh X và Y đợc làm trội bởi những loại k-không gian này. Sau một quá trình nghiên cứu các bài báo liệu trên và các tài liệu tham khảo, dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng chúng tôi lựa chọn đề tài "K-không gian và không gian tích". Luận văn tập trung nghiên cứu về k-không gian và nghiên cứu một số điều kiện cần và đủ để tích X ì Y là k-không gian. Với mục đích đó luận văn đ- ợc viết thành hai chơng. Chơng 1. K-không gian. Đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Sau đó chúng tôi đa ra và chứng minh một số đặc trng của k-không gian nh các Mệnh đề 1.2.4, 1.2.5, 1.2.7 và 1.2.9. Chơng 2. Điều kiện cần và đủ đối với tích của hai không gian X ì Y là k- không gian. 5 Dựa vào [14] chúng tôi trình bày chi tiết nhiều đặc trng để không gian tích X ì Y là k-không gian. Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Đinh Huy Hoàng, ngời hớng dẫn trực tiếp tôi hoàn thành luận văn. Cũng cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán Trờng Đại Học Vinh đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và cảm ơn tất cả bạn bè đã giúp đỡ tôi trong việc tìm kiếm tài liệu tham khảo. Do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô và quý bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn đợc hoàn chỉnh hơn. Vinh, tháng 11 năm 2004 Tác giả Kiều Mạnh Hùng 6 7 Chơng 1 K- không gian 1.1. Một số định nghĩa và tính chất cơ bản Trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm cần dùng cho việc nghiên cứu trong chơng 2. 1.1.1. Định nghĩa ([14]). Giả sử X là một không gian tôpô, C là một phủ của X. Khi đó ta nói X đợc xác định bởi C hay C xác định X nếu tập F X là đóng trong X khi và chỉ khi F C là đóng trong C với mọi C C . Nhận xét. +) Trong định nghĩa trên ta cũng có thể thay "đóng " bởi "mở". +) Rõ ràng mọi không gian đều đợc xác định bởi phủ mở. 1.1.2. Định nghĩa ([14]). Cho X là một không gian tôpô và C là một phủ đóng của X. Ta nói không gian X đợc làm trội bởi C nếu hợp của các tập con C ' của C là đóng trong X, và hợp này đợc xác định bởi C ' . Nhận xét. +) Dễ thấy mọi không gian đều đợc làm trội bởi phủ đóng bảo tồn bao đóng di truyền. +) Nếu X đợc làm trội bởi C thì X đợc xác định bởi C . Nhng ngợc lại không đúng (xem [16]). 1.1.3. Định nghĩa ([14]). Không gian X đợc gọi là không gian thoả mãn điều kiện (C) Nếu X là ảnh đóng của song-k-không gian paracompact (C 0 ) Nếu X là ảnh đóng của không gian paracompact compact địa phơng. (C 1 ) Nếu X là ảnh đóng của song-k-không gian đếm đợc. 8 (Q) Nếu X là ảnh thơng Lindơlôp của song-k-không gian paracompact, trong đó ảnh Lindơlôp có nghĩa là ảnh qua ánh xạ với nghịch ảnh của một điểm là Lindơlôp. Nhận xét. (C 0 ) mạnh hơn (C) và (C 1 ) yếu hơn (C). Mọi M-không gian paracompact X, cũng nh mọi ảnh đóng của X thoả mãn (C). Trong trờng hợp đặc biệt mọi không gian Lasnev (tức là ảnh đóng của một không gian mêtric) thoả mãn (C). Mọi không gian Fréchet đợc làm trội bởi song-k-không gian thoả mãn (C). Mọi không gian Fréchet đợc làm trội bởi không gian paracompact địa ph- ơng thoả mãn (C 0 ). [15] K -không gian thoả mãn (Q) bởi vì chúng là ảnh thơng của không gian Lindơlôp compact địa phơng. 1.1.4. Định nghĩa ([14]). Không gian X đợc gọi là -compact địa ph- ơng nếu mỗi điểm của X có một lân cận mà bao đóng là -compact. ở đây không gian đợc gọi là -compact nếu mỗi tập con với lực lợng có điểm hội tụ. 9 1.2 k-không gian Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa về k-không gian, c-không gian Sau đó nêu lên và chứng minh các mệnh đề về k-không gian 1.2.1. Định nghĩa ([14]). +) Không gian X đợc gọi là k-không gian nếu X đợc xác định bởi phủ gồm các tập con compact. +) Không gian X đợc gọi là không gian dãy nếu X đợc xác định bởi phủ gồm các tập con mêtric compact. +) Không gian X đợc gọi là c-không gian nếu X đợc xác định bởi phủ gồm các tập con đếm đợc. +) Cho là bản số vô hạn, không gian X đợc gọi là k -không gian nếu X đợc xác định bởi phủ C gồm các tập con compact với lực lợng của C nhỏ hơn hoặc bằng +) Không gian X đợc gọi là địa phơng < k nếu mỗi điểm x X có một lân cận U x mà bao đóng x U là một k )( x -không gian, trong đó )(x +) Không gian X đợc gọi là k -địa phơng nếu X là địa phơng < k . Nhận xét. +) Không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất là không gian dãy. +) Không gian dãy là k-không gian +) Không gian X là c-không gian nếu và chỉ nếu khi x A thì x C với mọi tập đếm đợc C A +) Không gian dãy và không gian khả li di truyền là c-không gian 1.2.2. Định nghĩa ([14]). +) Không gian X đợc gọi là Fréchet nếu khi x A thì tồn tại một dãy trong A hội tụ đến x 10