các nhóm đồng phôi tôpô và không gian tích của nửa – hình hộp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Y CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ VÀ KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Y CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ VÀ KHÔNG GIAN TÍCH CỦA NỬA – HÌNH HỘP Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN  Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Trọng Hòa TS.Nguyễn Hà Thanh , người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ chuyên môn tinh thần cho hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho học viên cao học khóa 21 kiến thức bản, công cụ, phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu để tự tin cho việc học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, ban chủ nhiệm Thầy Cô giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho hoàn thành khóa học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn học viên khóa chia buồn vui, hỗ trợ lẫn nhau, giúp đỡ vượt qua lúc khó khăn suốt trình học tập Bên cạnh đó, gửi lời cảm ơn đến bạn học viên cao học chuyên ngành hình học tôpô khóa trước nhiệt tình chia kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình tôi, người bên cạnh động viên, giúp đỡ mặt MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu liên quan LỜI NÓI ĐẦU Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 Định nghĩa khái niệm 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Các Tôpô thông thường không gian hàm 12 Chương CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ 22 2.1 Các tính chất Η K (Y ) 22 2.2.Các tính chất Η f (Y ) : 26 2.3 Các tính chất Η + f () ω 36 Chương TÔPÔ TÍCH NỬA – HÌNH HỘP 44 3.1 Định nghĩa 44 3.2 Các tính chất ¬ω đồng phôi với 49 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 CÁC KÍ HIỆU LIÊN QUAN • F(X;Y) hay F : Tập hợp ánh xạ từ X đến Y • C(X;Y) : Tập hợp hàm số liên tục từ X đến Y • C(X) : Tập hợp hàm số thực liên tục từ X đến  • C + (X) : Tập hợp hàm số thực xác định dương từ X đến  • H(Y) : Nhóm tự đồng phôi không gian mêtric Y • H K (Y) : Nhóm tự đồng phôi không gian mêtric Y theo tôpô mở - compact • H f (Y) : Không gian tự đồng phôi không gian mêtric Y theo tôpô mịn • H +f (Y) : Không gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric Y theo tôpô mịn • H K () ; H K ( I ) : Các tự đồng phôi  I, với I = [−1;1] • H + () ;H + () : Các đồng phôi đồng biến  I • ω : Tích Decarter ω theo tôpô hình hộp • ¬ω : Tích Decarter ω theo tôpô nửa – hình hộp LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài : Như biết Cho X; Y hai không gian tôpô, giả sử f : X → Y song ánh cho f ánh xạ ngược f −1 f đồng thời liên tục f gọi phép đồng phôi Không gian tôpô X không gian tôpô Y gọi đồng phôi với có phép đồng phôi từ không gian vào không gian , nói chung , tính chất tôpô có không gian tôpô có không gian tôpô hai không gian tôpô theo quan điểm tôpô chúng Hay nói cách khác , hai không gian tôpô X Y gọi đồng phôi với có ánh xạ liên tục f : X → Y g : Y → X cho thỏa mãn đồng thời f  g = IdY g  f = Id X Ví dụ : Hình vành khuyên : = A {( x; y) ∈  |1 ≤ x + y ≤ 4} đồng phôi với hình trụ B= {( x; y; z ) ∈  | x + y = 1;0 ≤ z ≤ 1} Vì ta hàm liên tục sau f : A → B g : B → A với   x y = f ( x; y )  ; ; x + y − 1  x2 + y  x2 + y   Và g ( x; y; z ) = ( (1 + z ) x;(1 + z ) y ) Thõa mãn : f=  g g=  f Id ta nói f ; g phép đồng phôi mà ta hay gọi vắn tắt đồng phôi Ta gọi H f (Y ) không gian tự đồng phôi không gian mêtric Y theo tôpô mịn ta biết nhóm tôpô Tức , vừa thỏa mãn tiên đề nhóm vừa thỏa tiên đề không gian tôpô ánh xạ sau liên tục : η : H f (Y ) × H f (Y ) → H f (Y ) (g, h)  η ( g , h) = g  h −1 ( nghĩa ,ánh xạ ngược phép toán kết hợp hàm số hàm liên tục ) Trường hợp riêng , gọi H +f () không gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric  theo tôpô mịn , ta biết , có tính chất giống tôpô tích hình hộp ω , hai không gian không đồng phôi với Do động tìm kiếm không gian tôpô tích mà đồng phôi với H +f () không gian tích nửa-hình hộp xem xét , không gian tôpô mịn không gian tôpô tích Tychonoff thô tôpô tích hình hộp Do , nội dung đề tài mà tác giả quan tâm Nội dung đề tài : Nội dung đề tài gồm có chương Chương : Tác giả nêu vắn tắt khái niệm , định nghĩa mà tác giả cho đủ để nhớ lại để thảo luận vấn đề phần sau trọng tâm đề tài Tuy nhiên , khái niệm hay định nghĩa nhắc đến , mà tác giả nêu chổ vấn đề quan tâm Cuối chương tác giả cố gắng nêu nhận xét liên quan đến khái niệm ,nó kết biết báo sách giáo khoa Chương : Tác giả nêu vấn đề đồng phôi không gian hàm Với không gian Hausdorff Y, Gọi Η (Y ) nhóm ( tự ) đồng phôi Y Nếu Η K (Y ) kí hiệu nhóm theo tôpô mở - compact dạng nhóm tôpô Y compact compact địa phương liên thông địa phương [7] Nhưng Η K (Y ) không nhóm tôpô Y không gian mêtric khả li compact địa phương , phép toán lấy nghịch đảo không liên tục Cũng chương này, thấy Y không gian mêtric Η f (Y ) kí hiệu Η (Y ) theo tôpô mịn, Η f (Y ) nhóm tôpô Điều trước tiên ta thấy tôpô mịn Η (Y ) tôpô đồ thị chúng Và thấy vài tính chất Η f (Y ) qua việc nghiên cứu lớp tương đương hai quan hệ tương đương không gian Bây sang không gian đặc biệt,  không gian số thực, gọi Ι khoảng đóng [ −1;1] , gọi ω tập thứ tự đầu tiên, gọi  tập số tự nhiên ω \ {0} Gọi Η + () Η + (Ι) tương ứng đồng phôi đồng biến Η () Η (Ι) Hiển nhiên Η K () Η K (Ι) đồng phôi với tôpô tổng hai lần Η + K () Η + K (Ι) Điều với Η f () Η f (Ι) Vì nghiên cứu tính chất Η () Η (Ι) , cần xét Η + () Η + (Ι) Ta có Η + K (Ι) đồng phôi với ω ( tích ω lần  ) với tôpô tích Tychonoff ( xem [10] [18] ) Không gian Η + K () đồng phôi với Η + K (Ι) , đồng phôi với ω Hơn Η + f (Ι) Η + K (Ι) , đồng phôi với ω Tuy nhiên, Η + f () có tôpô mịn Η + K () Vì câu hỏi đặt xem nhóm tôpô Η + f () có đồng phôi với ω với tôpô mịn tôpô tích Tychonoff hay không – tôpô tích hình hộp không ? Chúng ta thấy tính chất tôpô Η + f () tương tự tính chất ω , ( không gian ω theo tôpô tích hình hộp ) Tuy nhiên , cuối thấy Η + f () không đồng phôi với ω Chương : chương phần trọng tâm đề tài Chúng đưa khái niệm gọi tôpô tích nửa - hình hộp , mà mịn tôpô tích Tychonoff thô tôpô tích hình hộp Tôpô tích nửa - hình hộp ω cho không gian, kí hiệu ¬ω , đối tượng tốt không gian đồng phôi với Η + f () Cuối , nghiên cứu tính chất ¬ω vài kết dự đoán Η + f () đồng phôi với ¬ω Cụ thể , thấy Η + f () nhúng sang ¬ω ngược lại Hơn nửa Η + f () đồng phôi với Q × ¬ω Q không gian ω Mặc dù, tác giả cố gắng thật nhiều, nhiều thiếu sót, sai lầm , tác giả chân thành cảm ơn đóng góp quí báo thầy cô bạn để tác giả nghiên cứu sâu lĩnh vực Chương KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương nhắc lại khái niệm , định nghĩa không gian tôpô Như ta biết tập hợp hàm số , có nhiều tôpô : Tôpô hội tụ điểm , tôpô hội tụ , tôpô hình hộp , tôpô mở - mở , tôpô mở - compact , tôpô Krikorian, tôpô mịn ,tôpô đồ thị …Tuy nhiên, quan tâm đến vài tôpô cần thiết sau mà Như : tôpô hội tụ điểm , tôpô hội tụ , tôpô mở -compact , tôpô hình hộp ; tôpô mịn tôpô đồ thị việc nêu định nghĩa chúng sở Đặc biệt ,chúng ta so sánh không gian tôpô không gian hàm số không gian mịn , thô 1.1 Định nghĩa khái niệm 1.1.1 Định nghĩa không gian tôpô Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X τ thỏa mãn tiên đề sau : ( i ) ∅ ∈τ X ∈τ ( ii ) Nếu U1 ∈τ U ∈τ , U1 ∩ U ∈τ (iii).Nếu ∈τ , ∪  ∈τ với  họ phần tử τ Giả sử X cho tôpô Khi cặp ( X ;τ ) gọi không gian tôpô xác định tập hợp X U ⊂ X , U ∈τ gọi mở phần tử x ∈ X gọi điểm không gian tôpô ( X ;τ ) Trên tập hợp X cho trước , ta có nhiều cấu trúc tôpô khác Khi ta nhận tôpô khác có chung tập X Nếu 57 • Để thấy phép nhúng đóng từ ¬ω sang Η + f () , trước hết giả sử ảnh φ không chứa − 1i hay −1 + 1i với i ∈  Thế i ∈  , Đặt (   φ (ω ) Ti = φ −1 1 − ;1 − i i + 1  ) Và ( T= φ −1  −1 + i + 1; −1 + i   φ (ω ) −i   ) Chú ý {Ti : i ∈ }  {T−i : i ∈ } dạng phân hoạch ω Với x ∈ ¬ω T ⊆ ω , gọi xT kí hiệu phép chiếu x sang với i ∈  , ∏ m∈Ti  m ∏ m∈T− i ∏ m∈T  m Bây  m theo tôpô tích Tychonoff Vì theo định lý 22 , với i ∈  , tồn đồng phôi α i : ∏  m → Η +k ([i − 1; i ]) m∈Ti Và α − i : ∏  m → Η +k ([ −i; −i + 1]) m∈T− i Định nghĩa Φ : ¬ω → Η +f (  ) xác định ( ) ( )  α i xT (t ) i  Φ ( x)(t ) =  α x (t )  − i T− i t ∈ [i − 1; i ] i ∈  t ∈ [ −i; −i + 1] i ∈  Với ∀x ∈ ¬ω t ∈  Ta kiểm tra với t số nguyên, hai cách định nghĩa Φ( x)(t ) chấp nhận Trong định nghĩa này, với x ∈ ¬ω , Φ ( x) hàm định nghĩa tốt chuyển  vào  lấy số nguyên vào Hơn nửa hai số nguyên liên tiếp, Φ( x) đồng phôi đồng biến Do đó, Φ( x) phần tử Η + () Gọi  = Φ(¬ω ) Thế  tập số nguyên, có 58  = {h ∈ Η +f () : h(i) = i, ∀i ∈ } Để làm việc với Φ −1 , đưa định nghĩa Định nghĩa Ψ :  → ¬ω xác định  α i−1 ( h |[i −1;i ] )  n Ψ ( h) n =  −1 α − i ( h |[ − i ;− i +1] )n n ∈ Ti i ∈  n ∈ T− i i ∈  Với h ∈  n ∈ ω Điều rõ cho việc kiểm tra ΨΦ ánh xạ đồng ¬ω ΦΨ ánh xạ đồng , Φ song ánh từ ¬ω lên không gian  Η + f () Hơn nửa, rõ ràng  đóng Η + f () Vì phần lại chứng tỏ Φ Ψ liên tục • Để chứng tỏ Φ liên tục, gọi x ∈ ¬ω gọi ε > Vì α i α −i liên tục, với i ∈  tồn tập hữu hạn Fi Ti F−i T−i tồn ε i ∈ C+ (Ti ) ε −i ∈ C+ (T−i ) cho ( α i ( B( xT ; Fi ; ε i ) ) ⊆ B Φ ( x) |[i −1;i] ; ε |[i −1;i] i ) Và ( α −i ( B( xT ; F−i ; ε −i ) ) ⊆ B Φ ( x) |[−i ;−i +1] ; ε |[−i ;−i +1] −1 ) Gọi S=  { Fi : i ∈ }   { F− i : i ∈ } Là phần tử  Hơn nửa gọi = U ∏U m∈S m × ∏ m∈ω \ S m  ( x − ε (m); xm + ε i (m) ) Um =  m i ( xm − ε − i (m); xm + ε − i (m) ) m ∈ Fi i ∈  m ∈ F− i i ∈  59 Thế x ∈ U Φ(U ) ⊆ B ( Φ( x); ε ) Vậy Φ liên tục • Để chứng tỏ Ψ liên tục, gọi h ∈  gọi = U ∏U m∈S m × ∏ m∈ω \ S m Là sở lân cận Ψ (h) ¬ω , ta giả sử với U m =Ψ ( (h) − δ m ; Ψ (h) + δ m ) với δ m > Với i ∈  , S  Ti S  T−i hữu hạn, ta tìm ε i ∈ C+ (Ti ) ε − i ∈ C+ (T−i ) cho ε i (m) = δ m , ∀S  Ti ε −i (m)= δ m , ∀m ∈ S  T−i Vì α i−1 α −−i1 hàm liên tục, tồn σ i ∈ C+ ([i − 1; i ]) σ − i ∈ C+ ([ −i; −i + 1]) cho : α i−1 ( B(h |[i −1;i ]; σ i ) ⊆ B ( Ψ (h) |T ; ε i ) i Và α −−i1 ( B(h |[ −i ;−i +1]; σ −i ) ) ⊆ B ( Ψ (h) |T ; ε − i ) −i Gọi σ ∈ C+ () cho với i ∈  , σ |[i −1;i] ≤ σ i σ |[−i;−i +1] ≤ σ −i Thế Ψ ( B(h; σ )  ) ⊆ U Điều cho thấy Ψ liên tục, Φ phép nhúng đóng • Đối với phát biểu cuối định lý , ý với S ∈ , tập hợp { x ∈ ¬ ω : xm= 0, ∀m ∈ ω \ S } không gian đóng ¬ω đồng phôi với ω  Mặc dù, không chứng minh Η + f () đồng phôi với ¬ω , phép nhúng thứ nhì định lý 56 chỉnh sửa để thu định lý cuối Định lý dùng hai không gian không gian R = ∏ i∈+  i ,  tập số nguyên  i  Chúng ta nói phần tử x R đồng biến với điều kiện là, với 60 i; j ∈  với i < j , ta có xi < x j Hơn nửa nói x không bị chặn với điều kiện limi →∞ xi = ∞ limi →−∞ xi = −∞ Hai không gian dùng định lý P = { x ∈ R : x đồng biến } Q = { x ∈ R : x đồng biến không bị chặn } Khi P Q không gian R với tôpô tích hình hộp Chúng ta kí hiệu chúng  P Q 3.2.6 Định lý 57 : Tồn đồng phôi Ψ chuyển C +f () lên  P × ¬ω cho Ψ hạn chế tới Η + f () , đồng phôi từ Η + f () lên Q × ¬ω Chứng minh : Ι, A = • Với tích nửa – hình hộp ¬ω , lấy Y = {−1;1} , φ song ánh từ ω lên tập trù mật ( ) Ι \ A ∪ {1 − : i ∈ } ∪ {−1 + : i ∈ } i i Tương tự phép nhúng thứ nhì định lý 56 Với i ∈  , gọi  −1     φ  1 − (i + 1) ;1 − (i + 2)   φ (ω )  Ti =   φ −1   −1 − ; −1 −   φ (ω )  − ( 1) i i      i ≥ i < Hơn nửa với i ∈  , theo định lý 22 tồn đồng phôi α i : ∏  m → Η +K ([ 0;1]) m∈Ti Cuối cùng, với i ∈  , định nghĩa βi : [i; i + 1] → [ 0;1] xác định βi (t ) = t − i • Trước tiên, định nghĩa Φ nghịch đảo Ψ sau Φ : P × ω → C +f () xác định 61 Φ ( ( x; y ) ) (t ) = ( xi +1 − xi ) α i ( yTi )( βi (t )) + xi với ∀( x; y ) ∈ P × ¬ω , i ∈ , t ∈ [i; i + 1] Để kiểm tra Φ ( ( x; y ) ) định nghĩa tốt, rõ ràng Φ ( ( x; y ) ) (i )= xi , ∀i ∈  Φ ( ( x; y ) ) liên tục đồng biến số nguyên liên tiếp, x đồng biến, điều cho thấy Φ ( ( x; y ) ) ∈ C +f () • Bây định nghĩa Ψ : C +f () → P × ¬ω với f ∈ C +f () xác định Ψ= ( f ) ( x; y ) ∈ P × ¬ω f (i )= xi , ∀i ∈     f (i ) ym α i−1  f βi−1 − =   ; ∀i ∈  m ∈ Ti f (i + 1) − f (i )   m  f (i + 1) − f (i )  Để kiểm tra Ψ ( f ) = ( x; y ) định nghĩa tốt, gọi i ∈  m ∈ Ti Lập tức βi−1 ánh xạ chuyển [ 0;1] lên [i; i + 1] với t ∈ [i; i + 1] , f (t ) − f (i ) ∈ [ 0;1] f (i + 1) − f (i ) Vì f đồng biến Ta có, hàm số f (i ) f βi−1 − f (i + 1) − f (i ) f (i + 1) − f (i ) chuyển [ 0;1] lên [ 0;1] , ym định nghĩa tốt • Để kiểm tra ΨΦ ánh xạ đồng  P × ¬ω , gọi ( x; y ) ∈ P × ¬ω gọi ( x / ; y / ) =Ψ ( Φ ( ( x; y ) ) ) Với i ∈  , xi/ = Φ ( ( x; y ) ) (i ) = ( xi +1 − xi ) α i ( yTi )( βi (i )) + xi = ( xi +1 − xi ) α i ( yTi )(0) + xi =xi Vì x / = x Hơn nửa với i ∈  m ∈ Ti , 62  −1  xi / Φ (( x; y )) βi−1 − y= α i  m xi +1 − xi  xi +1 − xi    ( xi +1 − xi )α i ( yTi ) + xi − xi = α i−1  xi +1 − xi   = α i−1 (α i ( yTi ))     m     m m =ym Vì y / = y Điều cho thấy ΨΦ đồng • Để kiểm tra ΦΨ đồng C +f (  ) , gọi f ∈ C +f (  ) gọi f / =Φ ( Ψ ( f ) ) f / (t = ) Với  i∈ t ∈ [i; i + 1]  f (i ) f βi−1 −   ( βi (t ) ) + f (i ) f (i + 1) − f (i )    f (i + 1) − f (i )  ( f (i + 1) − f (i) ) α i  α i−1     f (i ) f (t ) − = ( f (i + 1) − f (i ) )   f (i + 1) − f (i )   f (i + 1) − f (i ) =f (t ) Bây ta thấy f / = f , ΦΨ ánh xạ đồng Ψ định nghĩa tốt song ánh từ C +f () lên  P × ¬ω Bây rõ ràng từ định nghĩa Q, Φ Ψ mà Ψ hạn chế tới Η +f () , chuyển Η +f () lên Q × ¬ω • Để thấy Ψ : C +f () → P × ¬ω liên tục, gọi f ∈ C +f () , gọi ( x; y ) ∈ Ψ ( f ), gọi W = ∏ i∈ Wi sở lân cận x  P gọi = U ∏U m∈S m × ∏ m∈ω \ S m sở lân cận y ¬ω Chúng ta giả sử Wi =( xi − γ i ; xi + γ i ) , γ i > với U m = ( ym − δ m ; ym + δ m ), δ m > Với i ∈  , S  Ti hữu hạn, có ε i ∈ C+ (Ti ) cho ε i (m)= δ m , ∀m ∈ S  Ti , nửa với i ∈  , α i−1 liên tục , có σ i ∈ C+ ([ 0;1]) cho : ( ) α i−1 B ( f βi −1 ; σ i ) ⊆ B ( Ψ ( f ) |T ; ε i ) i 63 Cuối cùng, gọi σ ∈ C+ () cho với i ∈ , σ |[i;i +1] ≤ σ i βi σ (i) ≤ γ i • Bây kiểm tra Ψ ( B ( f ;σ ) ) ⊆ W × U Gọi f / ∈ B ( f ;σ ) gọi ( x / ; y / ) = Ψ ( f / ) Thế với i ∈ , f / (i ) − f (i ) < σ (i ) ≤ γ i , xi/ − x= i Vì xi/ ∈ Wi Điều chứng tỏ x ∈ W Tiếp theo gọi i ∈ , m ∈ S  Ti Vì với t ∈ [i; i + 1] , f / (t ) − f (t ) < σ (t ) ≤ σ i βi (t ), Chúng ta có, cách đặt s βi (t ), với s ∈ [ 0;1] f / βi−1 ( s ) − f βi−1 ( s ) < σ i ( s ) Do đó, ( ) ( Ψ= ( f / ) |Ti α i−1 ( f / βi−1 ) ∈ α i−1 B ( f βi−1 ; σ i ) ⊆ B Ψ ( f ) |Ti ; ε i ) Thế m ∈ S  Ti , ym / − ym < ε i ( m ) = δm Điều chứng tỏ ym ∈ U m , y ∈U Do , Ψ ( B( f ; σ )) ⊆ W × U Vậy Ψ liên tục • Để thấy Φ : P × ¬ω → C +f () liên tục , gọi ( x; y ) ∈ P × ¬ω gọi B ( Φ ( ( x; y ) ) ; ε ) sở lân cận Φ ( ( x; y ) ) C +f () ε ∈ C+ (  ) Với i ∈ , đặt số sau : = εi δi = {ε (t ) : t ∈ [i; i + 1]} , εi xi +1 − xi γ i = {ε i ; ε i −1} 64 Với i ∈ , α i−1 liên tục, nên tồn tập hữu hạn Fi Ti σ i > cho ( ) ( α i B ( yT ; Fi ; σ i ) ⊆ B α i ( yT ) ; δ i i i ) Gọi S = ∪ { Fi : i ∈ } , có tính chất tập điểm tụ φ ( S ) I A Bây gọi W = ∏ i∈ Wi W=i ( xi − γ i ; xi + γ i ) , ∀i ∈  gọi = U ∏ m∈S U m × ∏ m∈ω \ S  m Ở U= ( ym − σ i ; ym + σ i ) , ∀i ∈  m ∈ Fi Thế W × U lân cận m ( x; y )  P × ¬ω • Bây kiểm tra : Φ (W × U ) ⊆ B ( Φ (( x; y )); ε ) Gọi ( x / ; y / ) ∈ W × U , với i ∈  t ∈ [i; i + 1] Φ (( x / ; y / ))(t ) − Φ (( x; y ))(t ) = (x ≤ (x = / / i +1 − x / i ) α i ( y / Ti )( βi (t )) + xi/ − ( xi +1 − xi ) α i ( yTi )( βi (t )) − xi i +1 − x / i ) α i ( y / Ti )( βi (t )) − ( xi +1 − xi ) α i ( y / Ti )( βi (t )) + + ( xi +1 − xi ) α i ( y / Ti )( βi (t )) − ( xi +1 − xi ) α i ( yTi )( βi (t )) + + xi/ − xi ≤ xi/+1 − xi α i ( yTi / )( βi (t ) + xi/ − xi α i ( yTi / )( βi (t ) + ( xi +1 − xi ) α i ( y / Ti )( βi (t )) − α i ( yTi )( βi (t )) + xi/ − xi ≤ xi/+1 − xi +1 + xi/ − xi + ( xi +1 − xi ) α i ( y / Ti )( βi (t )) − α i ( yTi )( βi (t )) < γ i +1 + 2γ i + ( xi +1 − xi ) δ i ≤ ε i + 2ε i + ε i ≤ ε (t ) Do đó, Φ ( ( x / ; y / ) ) ∈ B ( Φ ( ( x; y ) ) ; ε ) , Vì Φ liên tục, Ψ đồng phôi 65 KẾT LUẬN Trên không gian hàm ta thường trang bị nhiều tôpô , tôpô hội tụ điểm , tôpô hội tụ , tôpô mở - compact ,tôpô hình hộp , tôpô mịn , tôpô đồ thị ….các vấn đề thường quan tâm không gian hàm : • Tôpô mịn , thô , chúng ? • Trong điều kiện chúng nhóm tôpô ? • Nghiên cứu tính đồng phôi nhóm tôpô hay nhóm đồng phôi chúng đồng phôi với ? toán quan tâm nhiều nhà toán học Năm 1946 ,Richar.F.Arens chứng minh X không gian Hausdorff compact H K ( X ) , tập hợp tự đồng phôi X theo tôpô mở compact nhóm tôpô Thế trường hợp tổng quát không không gian metric khả li compact địa phương phép lấy hàm ngược không liên tục Bởi , Arens đặt toán mở trường hợp X không compact nhóm tôpô ? Bài toán Jan.J.Dijkstra chứng minh vào năm 2005 “Nếu X không gian Hausdorff compact hay compact địa phương liên thông địa phương H K ( X ) nhóm tôpô ” Trong năm 1960 R.D.Anderson viết tay với tiêu đề “ không gian đồng phôi đồ thị hữu hạn” : • Nhóm tôpô H K+ ( I ) đồng phôi đồng biến đoạn I = [−1;1] theo tôpô mở - compact đồng phôi với ω theo tôpô tích Tychonoff • Nhóm đồng phôi H K+ ( I ) đồng phôi với nhóm H K+ () Như : H K+ ( I )  ω H K+ ()  H K+ ( I ) Cho nên : H K+ ()  ω 66 Hơn nửa , theo A.V.CernaVskil (1969) ta có : nhóm đồng phôi theo tôpô mịn I với nhóm đồng theo tôpô mở-compact I Tức là, H +f ( I ) = H K+ ( I ) Cho nên ta kết luận : H +f ( I )  ω Thế , H +f () mịn H K+ () Nên R.D.Edward đặt vấn đề xem xem có đồng phôi H +f () ω theo tôpô mịn tôpô Tychonoff không ? chẳng hạn tôpô hình hộp ? Câu hỏi nhà toán học nghiên cứu , cho thấy , hai không gian H +f ()  tương tự nhau, chúng thể qua tính chất sau : ω 1/ H +f () ω không gian đồng / Trọng số , tính trù mật , tính phân ô hai không gian có : •c(ω ) = d (ω ) = w(ω ) = c •c( H +f ()) = d ( H +f ()) = w( H +f ()) = c / Số phần tử tập ưu thế(Dominating) hai không gian có d • χ (ω ) = d • χ ( H +f ()) = 4/ Các thành phần liên thông chúng tương tự Như thấy định lý 38 ,39,40,41,42,43 Tuy nhiên cuối thấy chúng không đồng phôi với qua việc xét phép nhúng mệnh đề 45 , 46 hệ 47, không gian H +f () có chứa không gian đóng đồng phôi với ω ω không Do , tôpô tích nửa – hình hộp đặt , định nghĩa tóm tắt sau : • Y không gian mêtric khả li điểm cô lập 67 • A tập khác rỗng compact thật Y • φ song ánh từ tập hữu hạn thứ tụ ω lên tập trù mật Y • S tập hợp tập ω cho tập điểm tụ φ ( S ) chứa A • Tôpô tích nửa – hình hộp ¬X ω X ω có sở gồm họ tập có dạng ∏U m∈S m × ∏ m∈ω \ S Xm X m X U m mở X m Từ định nghĩa tích nửa – hình hộp ta thấy tính chất tương tự ω H +f () Cụ thể sau : Ta xét quan hệ tương đương ¬ω : • Xét quan hệ tương đương ≈ Với S ∈  , gọi ≈S ¬ω xác định x ≈S y với điều kiện tồn m ∈ S cho xn= yn , ∀n ∈ S n > m • Cũng tương tự xét quan hệ tương đương  Với S ∈ , gọi S x  y với S điều kiện ε > 0, tồn m∈S cho xn − yn < ε , ∀n ∈ S n > m • Với S ∈  x ∈ ¬ω , gọi Es ( x), Fs ( x) lớp tương đương quan hệ tương đương ≈S S chứa x • Ta viết x ≈ y với điều kiện x ≈S y, ∀S ∈ .Với x ∈ ¬ω lớp tương đương ≈ chứa x xác định E ( x) = ∩{Es ( x) | S ∈ } lớp tương đương  chứa x xác định F ( x) = ∩{FS ( x) | S ∈} 68 Khi điều ω với ¬ω , tính chất tương tự H +f () ¬ω Nhưng điểm khác biệt ¬ω ω có chứa không gian đóng đồng phôi với ω thật mịn tôpô tích Tychonoff , thô tôpô ω Qua , ta tìm số phép đồng phôi ¬ω với không gian khác thấy định lý sau 1/ Tích nửa – hình hộp ¬ω đồng phôi với ω × ¬ω đồng phôi với ω × ¬ω 2/ Có đồng phôi Ψ C +f ()  P × ¬ω mà hạn chế Ψ đến H +f () ,nó đồng phôi từ H +f () sang Q × ¬ω , định lý 57 Từ định lý 57, có toán mở sau • Liệu ta xây dựng đồng phôi từ C +f () lên ¬ω tương tự cách xây dựng định lý 57 không ? • Nếu ta giử nguyên giả thiết định lý 57 ,nhưng ta thấy P + P = {x ∈ R + : x đồng biến }thì phép đồng phôi có đảm bảo không ? 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO • [1].PGS.TS.Đậu Thế Cấp ,Tôpô Đại Cương NXBGD - 2008 • [2].Nguyễn Hoàng,Nguyễn Định, Hàm Số Biến Số Thực.NXBGD 2009 • [3] PGS.TS Đỗ Văn Lưu ,Giải Tích Hàm.NXBGD - 2001 • [4].GS.Hoàng Tụy , Giải Tích Hiện Đại • [5] Nguyễn An Sum, Bài Giảng tôpô cho sinh viên trường ĐHSP.TP.HCM • [6] Richard.F.Arens, A topology for space of transformations,Ann of Math (2) 47 (1946), 480 – 495 • [7] ,Topologies for Heomorphism Group, Amer,J.Math.68 (1946) 593- 610 • [8] Edward Beckenstein,Lawrence Narici, and Charles Suffel, Topological Algebras North- Holland Mathematies studies, Vol 24 Notas de matematica, No.60 [ Mathematies Note No.60].Amsterdam – newyork –oxford:North- Holland publish Co.,1977 • [9] C.Bessaga and Pelczynski, A Topological Proof that every Separa ble Banach Space is Homeomorphism to a countable product of line, Bull Acard Polon Sci.Ser.Sci.Math.Astronom.phys.17 (1969),487-493 • [10] ,Selected Topics in Infinite –Dimensional Topology Monografie Matematyczne, Tom 58 [ Mathematical Monographs, Vol.58 ] Warsaw PWN – polish Scientific Publisher, 1975 • [11] Henno Brandsma, Overwiew of connectedness in product topologies on ω Topology Atlas,topology Q+A Board : Ask Topologist 2001 A 70 • [12] Jan.J.Dijkstra, On homeomorphism group and the compact – open topology Amer.Math.Monthly 112 (2005), no.10,910- 912 • [13]G.Di Maio, L.Hola, D.Holy, and R.A.McCoy, Topologies on the space of continuous functions, topology Appl.86(1998),no,2,105-122 • [14].Ryszard Engelking, General Topology Translated from the polish by the author.2nd ed.sigma series in Pure Mathematies, 6.Berlin:Heldermann Verlag, 1989 • [15] Leonard Gillman and Meyer Jerison, Rings of Continuous Functions Reprint of the 1960 edition Graduate Text in Mathematies,No.43.New york – Heidelberg:springer-verlag,1976 • [16] Stephen H Hechler, On the existence of certain cofinal subsets of ωω in Axiomatic Set Theory.Providence, R.I:Amer Math.Soc.,1974.155-173 • [17] M.Katetov, Remarks on characters and pseudocharacters, comm Math.Univ.Carolin.1(1960),no.1,20-25 • [18] James Keesling, Using flow to construct Hilbert space factors of function space, Trans Amer.Math.Soc 161(1971),1-24 • [19] Robert A.McCoy and Ibula Ntantu, Topological properties of space of Continuous Functions.Lecture notes in Mathematies, 1315.Berlin : Springer-Verlag,1988 • [20] James R.Munkres, Topology : A First Course Englewood Cliffs, N.J : prentice –Hall, Inc, 1975 • [21] Somashekhar Amrith Naimpally, Graph topology for function space, Trans,Amer.Math.soc.123(1966), 267-272 • [22] H.Poppe, Uber graphentopologien fur abbildunggsraume I,Bull.Acad.Polon.Sci.Ser.Sci.Mth.Astronom.Phys.15(1967), 71-80 71 • [23] Mary Ellen Rudin, Lectuer on Set Theoretic Topology Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematies, No, 23.providence, R.I:American Mathematical Society, 1975 • [24] Lynn Arthur Steen and J.Arthur Seebach, Jr.Counterexample in Topology 2nd ed New York- Heidelberg: Springer- Vaerlag, 1978 • [25] J.van Mill, Infinite – Dimensional Topology Prerequisites and Introduction North – Holland Mathematical Library, 43.Amsterdam: Noth-Holland Publishing Co.1989 • [26] Giovanni vidossich, Characterizing separability of function space, Invent.Math.10(1970),205- 208 • [27] Seth Warner, Topology of compact convergence on continuous function space, Duke math.J.25 (1958), 265-282 [...]... Chương 2 CÁC NHÓM ĐỒNG PHÔI TÔPÔ Trong chương này ta nhắc lại các vấn đề sau : Các tính chất nhóm đồng phôi tôpô gồm H K (Y ) các nhóm đồng phôi theo tôpô mở - compact , H f (Y ) các nhóm đồng phôi theo tôpô mịn và cấu trúc nhóm qua các quan hệ tương đương của nó Đặt biệt , ta xét các tính chất của H +f () các nhóm đồng phôi đồng biến trên  theo tôpô mịn và tính chất của ω tôpô tích hình hộp , ta... thứ nhất • Không gian ( X ;τ ) gọi là không gian rời rạc, và tôpô τ gọi là tôpô rời rạc trên X 1.2 Các tiên đề tách 1.2.1 T0 - không gian Không gian tôpô ( X ;τ ) gọi là T0 - không gian nếu hai điểm phân biệt bất kì x, y của X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x Kí hiệu : XT0 1.2.2 T1 - không gian Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T1 - không gian nếu mọi... gọi là một hình hộp mở trong F Một bộ tất cả các dạng hình hộp mở là một cơ sở của một tôpô trên F Gọi là TôPô Hình hộp 1.3.4.2 Định lý 11: Cơ sở của tôpô hình Hộp Gọi X là một tập hợp , Y là một không gian tôpô , và gọi  là một cơ sở đối với tôpô trên Y Thế thì bộ các tập hợp {∏ Bx | Bx ∈ , với mỗi x ∈ X } là một cơ sở của tôpô hình hộp trên F Chứng minh : Gọi U = ∏ U x là một hình hộp mở bất... cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x Kí hiệu : XT1 Rõ ràng T1 - không gian là T0 - không gian 10 1.2.3 T2 - không gian Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T2 - không gian ( Hay, không gian Hausdorff ) nếu mọi cặp điểm bất kì x, y ∈ X có các lân cận U1 ,U 2 sao cho x ∈ U1 , y ∈ U 2 và U1 ∩ U 2 = ∅ Kí hiệu : XT2 Rõ ràng T2 - không gian là T1 - không gian 1.2.4 T3 - không gian. .. tích hình hộp , ta sẽ thấy hai không gian này rất giống nhau , nhưng cuối chương ta sẽ thấy rằng chúng thật sự không đồng phôi với nhau Đây là vấn đề cốt lỗi nảy sinh khái niệm tôpô nửa – hình hộp mà nó có thể đồng phôi 2.1 Các tính chất của Η K (Y ) Định lý chính liên quan với nhóm Η K (Y ) của các đồng phôi trên không gian mêtric Y, ở đây tôpô không gian các hàm là tôpô mở - compact , là định lý... - không gian ( Hay, không gian chuẩn tắc ) nếu X là T1 - không gian hai tập đóng bất kì không giao nhau trong X, thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V = ∅ Rõ ràng T4 - không gian là T3 - không gian 11 1.2.7 Ví dụ 4: Không gian tôpô X với tôpô Zariski ( tức là , X là tập vô hạn , τ gồm có ∅ và các tập con G ⊂ X sao cho X \ G đếm được ) là T1 - không gian nhưng không là T2 - không. .. Mỗi một không gian tôpô ( X ;τ ) có nhiều cơ sở khác nhau 1.1.5 Trọng số của một không gian tôpô Tập hợp tất cả số phần tử có dạng | | , ở đây  là một cơ sở của không gian tôpô ( X ;τ ) Số phần tử nhỏ nhất của | | được gọi là trọng số của không gian tôpô ( X ;τ ) Kí hiệu : w ( ( X ;τ ) ) 7 1.1.6 Cơ sở con của một không gian tôpô Một họ ρ ⊂ τ được gọi là một cơ sở con của một không gian tôpô ( X... ( không gian chính qui ) Một không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T3 - không gian ( Hay, không gian chính qui ) nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng A ⊂ X sao cho x ∉ A thì tồn tại các tập mở U1 ,U 2 sao cho x ∈ U1 , A ⊂ U 2 và U1 ∩ U 2 = ∅ Kí hiệu : XT3 Rõ ràng không gian chính qui là không gian Hausdorff 1.2.5 T 1 - không gian ( không gian hoàn toàn chính qui ) 3 2 Một không. .. không gian tôpô ( X ;τ ) được gọi là T 1 - không gian ( Hay, không 3 2 gian hoàn toàn chính qui , Hay không gian Tychonoff) Nếu X là T1 - không gian và với mọi x ∈ X và với mọi tập đóng A ⊂ X sao cho x ∉ A thì tồn tại một hàm liên tục f : X → I sao cho f ( x) = 0 và f ( y ) = 1, ∀y ∈ A Rõ ràng không gian Tychonoff là không gian chính qui 1.2.6 T4 - không gian ( không gian chuẩn tắc ) Một không gian tôpô. .. theo tôpô mở-compact , Η K (Y ) kế thừa các tính chất tôpô của CK (Y ) CK (Y ) đồng phôi với không gian tích ω theo tôpô tích Tychonoff 23 Bây giờ chúng ta xét các nhóm tôpô Η +K (Ι) và Η +K () , ở đây các đồng phôi là hàm đồng biến Như đã chỉ ra trong phần giới thiệu Chúng ta có định lý Anderson như sau 2.1.2 Định lý 22 : Nhóm tôpô Η +K (Ι) là đồng phôi với ω Chúng ta thấy rằng Η +K () cũng đồng ... phép đồng phôi Không gian tôpô X không gian tôpô Y gọi đồng phôi với có phép đồng phôi từ không gian vào không gian , nói chung , tính chất tôpô có không gian tôpô có không gian tôpô hai không gian. .. () không gian tự đồng phôi đồng biến không gian mêtric  theo tôpô mịn , ta biết , có tính chất giống tôpô tích hình hộp ω , hai không gian không đồng phôi với Do động tìm kiếm không gian tôpô. .. tìm kiếm không gian tôpô tích mà đồng phôi với H +f () không gian tích nửa- hình hộp xem xét , không gian tôpô mịn không gian tôpô tích Tychonoff thô tôpô tích hình hộp Do , nội dung đề tài