Về biểu diễn của nhóm

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Nguyễn thị phơng về biểu diễn của nhóm về biểu diễn của nhóm Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS. TS. ngô sỹ tùng Vinh - 2009 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng 1. Vành nhóm và biểu diễn nhóm 1.1. Một số khái niệm . 1.2. Biểu diễn nhóm . 1.3. Biểu diễn bất khả quy Chơng 2. Một số tính chất của Biểu diễn nhóm . 2.1. Các đặc trng của biểu diễn . 2.2. Vành biểu diễn của một nhóm . 2.3. Biểu diễn của các nhóm Abel Kết luận . tài liệu tham khảo Lời nói đầu Nh ta đã biết, mô tả nhóm có rất nhiều cách, mô tả bằng định nghĩa nhóm, mô tả bằng ánh xạ đẳng cấu, mô tả bằng một tập sinh và quan hệ giữa chúng, mô tả bằng biểu diễn nhóm. Luận văn này nhằm tìm hiểu một cách hệ thống các cấu trúc của nhóm bằng cách xét các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu diễn nhóm là một lý thuyết có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong Toán học mà nó còn có ứng dụng trong Hoá học lợng tử, Vật lý lợng tử . Lý thuyết biểu diễn nói chung và biểu diễn nhóm nói riêng đợc các nhà toán học dày công nghiên cứu và kết quả thu đợc là rất phong phú, các kết quả của nó đợc phát triển theo sự phát triển của Toán học. Trong luận văn này, với sự mong muốn của bản thân đợc nghiên cứu về biểu diễn nhóm thông qua các đặc trng của nó, và sự gợi ý của giáo viên hớng dẫn, thầy Ngô Sỹ Tùng, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách có hệ thống về biểu diễn nhóm. Dựa vào lý thuyết biểu diễn luận văn sẽ tập trung làm rõ vấn đề của biểu diễn nhóm và sẽ cung cấp một vài ví dụ về mối quan hệ khăng khít giữa các khái niệm nhóm, vành và môđun đây là vấn đề đã dợc J. P. Serre [5] trình bày (trong cách trình bày lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn). Nội dung của luận văn này giới hạn trong trờng hợp nghiên cứu biểu diễn nhóm. Xét các tính chất của một biểu diễn bất khả quy và từ đó mô tả các đặc trng của một số nhóm cụ thể. Luận văn đợc chia làm hai chơng. Chơng I. Vành nhóm và biểu diễn nhóm Nội dung của chơng này là hệ thống một số khái niệm đã biết về vành, môđun và chơng này cũng trình bày khái niệm vành nhóm, một số loại biểu diễn nhóm. Cụ thể: 1.1. Một số khái niệm. 1.2. Biểu diễn nhóm. 1.3. Biểu diễn bất khả quy. Chơng II. Một số tính chất của biểu diễn nhóm Nội dung của chơng này là trình bày một số tính chất đặc trng của một biểu diễn (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.5). Đặc biệt chứng minh chi tiết công thức đặc trng của biểu diễn chính quy của nhóm G (Định lý 2.1.4), biểu diễn bất khả quy của G thông qua vành biểu diễn (Định lý 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5). Biểu diễn của nhóm Abel, thể hiện qua (Định lý 2.3.1, Hệ quả 2.3.2, Định lý 2.3.3) và các ví dụ minh hoạ cho kết quả trên. Chơng này đợc viết thành ba nội dung sau. 2.1. Các đặc trng của biểu diễn. 2.2. Vành biểu diễn của một nhóm. 2.3. Biểu diễn của nhóm Abel. Vì trình độ và thời gian có hạn, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy, cô giáo bộ môn Đại số cùng các bạn học viên Cao học khoá 15 để luận văn này đợc hoàn thiện hơn. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của thầy. Nhân dịp này tác giả cũng xin cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán cùng tất cả các thầy, cô giáo trong khoa Toán, khoa sau Đại học đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Xin cảm ơn tình cảm bạn bè, ngời thân đã dành cho tác giả. Vinh, tháng 11 năm 2009. Tác giả Chơng 1. vành nhóm và biểu diễn nhóm 1.1. Một số khái niệm 1.1.1. Định nghĩa. R - môđun M đựơc gọi là đơn (hay bất khả quy) nếu 0M và nó chỉ có hai R - môđun con là 0 và M . 1.1.2. Chú ý. )i Dễ thấy rằng R - môđun 0M là đơn nếu và chỉ nếu M = Rx , với mọi x M , x 0 . )ii Một không gian véctơ là đơn nếu và chỉ nếu nó có số chiều bằng 1 . )iii Một  - môđun là đơn nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với p  , trong đó p là một số nguyên tố nào đó. 1.1.3. Mệnh đề. (Bổ đề Schur). Giả sử M và N là hai R - môđun đơn. Khi đó mọi đồng cấu khác không : M N đều là đẳng cấu. Nói riêng, ( ) R End M là một thể, với mọi R - môđun đơn M . Chứng minh. Theo giả thiết là một đồng cấu. Nên Ker là một môđun con của M . Mặt khác do 0 và M là một môđun đơn, nên Ker = 0 . Vậy là một đơn cấu (1) . Tơng tự ta có Im = N . Vậy là một toàn cấu (2) . Từ (1) và (2) ta suy ra là một đẳng cấu. Chú ý rằng, mỗi phần tử khác không trong ( ) R End M đều là một đẳng cấu, tức là khả nghịch trong ( ) R End M . Nh thế ( ) R End M là một thể. 1.1.4. Định nghĩa. )i Một môđun đợc gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp của một họ nào đó các môđun con đơn. )ii Vành R có đơn vị 1 0 đợc gọi là nửa đơn nếu mọi R - môđun đều là nửa đơn. Chú ý rằng, nếu R là một vành nửa đơn thì nó xem nh một R - môđun (trái) là tổng trực tiếp của một họ nào đó các môđun con (tức là các iđêan trái) đơn. 1.1.5. Bổ đề. Cho K là một trờng, G là một nhóm, ký hiệu K [ ] G là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức s s G k s , với s là phần tử thuộc G , s k là hệ số trong K , trong đó s k = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn chỉ số s . Trên K [ ] G xác định hai phép toán sau: s k s + s l s = ( s k + ) s l s , ( s k s ) ( t l t ) = s k t l ( st ) , s , t G , s k , t l , s l K . Khi đó K [ ] G lập thành một vành. Chứng minh. )+ Theo Định nghĩa của K [ ] G ta nhận đợc K [ ] G là K - không gian véctơ. Do đó, ( K [ ] G , + ) là một nhóm abel. )+ Cho x = s k s , y = g l g , z = t h t , s , g , t G , s k , g l , h t K . Ta có: ( x y ) z = ( s k s g l g ) t h t = [ ( s k g l ) ( s g ) ] t h t = ( s k g l t h ) ( s g t ) = s k s g l t h ( g t ) = s k s g l t h ( g t ) = x ( y z ) , tơng tự ta cũng chứng minh đợc ( x + y ) z = x z + y z , x ( y + z ) = x y + x z . Dễ dàng thấy rằng [ ] K G có đơn vị 1 = 1 e . Vậy [ ] K G là một vành. Nhận xét: + ) [ ] K G là vành giao hoán khi và chỉ khi G là nhóm Albel + ) Coi G K [ G ] bằng cách đặt tơng ứng s a 1 s , s G . 1.1.6. Định nghĩa. Vành K [ G ] trong bổ đề trên đợc gọi là vành nhóm của G . 1.1.7. Tổng trực tiếp và tích tenxơ các môđun. i ) Giả sử i M là một họ các R - môđun với mọi i I . Gọi i I i M là tập các dãy ( ) i i I x (với i x i M ) có giá trị hữu hạn, tức là hầu hết i x = 0 trừ ra một số hữu hạn chỉ số i với hai phép toán cộng và nhân với vô hớng nh sau: ( ) i i I x + ( ) i i I y = ( i x + i y ) a ( ) i i I x = ( a i x ) i I , trong đó , i x i y i M , a R . Khi đó i I i M là một R - môđun, đợc gọi là tổng trực tiếp của họ môđun { } i i I M . ii ) Tích tenxơ của hai R - môđun M và N là một cặp ( , T ) , trong đó T là một R - môđun và : M ì N T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất sau: Cho U là một R - môđun với mọi cặp ( , U ) , ánh xạ : M ì N U là một ánh xạ song tuyến tính, tồn tại duy nhất một đồng cấu h : T U sao cho = h o 1.2 . Biểu diễn nhóm. Kể từ đây trở đi ta luôn giả thiết G là một nhóm hữu hạn, K là một tr- ờng, còn V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên K . 1.2.1. Định nghĩa. )i Cho GL ( V ) là nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính của V . Một biểu diễn (tuyến tính) của G trong V là một đồng cấu nhóm : G GL ( V ) . )ii V đợc gọi là một không gian biểu diễn của G (hay là một G - không gian). Số chiều của V trên K đợc gọi là cấp của biểu diễn. Nếu K = Ô , Ă hoặc Ê thì ta nói là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tơng ứng) của G . 1.2.2. Ví dụ. Cho GL ( K ) là nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính cấp một của K . Khi đó mỗi biểu diễn cấp một của G là một đồng cấu : G GL ( K ) K . Nhận xét. Do G là nhóm hữu hạn, đặt g G= ta có g s e= với mọi s G . Do đó, g s = ( s ) g = ( g s ) = ( e ) = 1 trong * K . Nh thế, s là một căn bậc g của đơn vị 1 trong * K ( trong đó ký hiệu ( )s = s ), với mọi s G . Từ đó ta có thể thấy rằng các biểu diễn phức là phong phú hơn các biểu diễn thực, bởi vì trong * Ê có đúng g căn bậc g của 1 , trong khi đó * Ă chỉ chứa nhiều nhất là hai căn bậc g của 1 (tuỳ theo g chẵn hay g lẻ). 1.2.3. Nhận xét. Ký hiệu ( s ) bởi s , s G . )i st = s t , s , t G . )ii e = i V d , e G )iii 1 s = ( s 1 ) , s G . Chứng minh. )i st = ( ) st = ( ) s ( ) t = s t . )ii e = ( ) e = V eid = V id . )iii 1 s = ( ) 1 ( )s = 1 ( ) s . 1.2.4. Mệnh đề. Giả sử V là một K - không gian véctơ. Khi đó V , là một không gian biểu diễn của G nếu và chỉ nếu V là một [ ] K G - môđun. Chứng minh. Giả sử có một biểu diễn tuyến tính : ( )G GL V . Khi đó trang bị trên V một tích vô hớng nh sau: [ ] K G ì V V ( ) s s G k s v ữ a s s G k s ữ v = ( ) s s s G k v , là một cấu trúc [ ] K G - môđun. Ngợc lại, giả sử V là một [ ] K G - môđun, ánh xạ : G ( )GL V , đợc xác định nh sau: ( ) . , s v s v = s G , v V , khi đó 1 s ( )sv = ( 1 s s ) v = e v = v hay 1 s s = i V d .Do đó, s ( )GL V . Hơn nữa, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) st s t v st v v = = . Vậy là một biểu diễn tuyến tính của G . 1.2.5. Định nghĩa. Cho [ ] K G là một K - không gian véctơ với cơ sở G . Ta có ánh xạ : G GL ( [ ])K G , đợc xác định bởi S ( t k t ) = t k ( )st là một đồng cấu nhóm. Nó đợc gọi là biểu diễn chính quy của nhóm G (với hệ số trong K ). 1.2.6. Bổ đề. Cho V , W là các không gian véctơ hữu hạn chiều và hai biểu diễn : G GL ( V ) , : G GL ( W ) của nhóm G . Khi đó, tổng trực tiếp và tích trực tiếp của hai biểu diễn : G GL ( V W ) , : G GL ( V W ) , của chúng đợc xác định nh sau: ( ) s ( v , w ) = ( s ( )v , s ( )w ) ( ) s ( v w ) = s ( )v s ( )w , với s G và v V , w W . Chú ý rằng chỉ tích tenxơ trên K . Để chứng tỏ rằng và là các biểu diễn tuyến tính ta nhận xét rằng tổng trực tiếp của hai đẳng cấu tuyến tính là một đẳng cấu tuyến tính, và tích tenxơ trên trờng K của hai đẳng cấu tuyến tính là một đẳng cấu tuyến tính. 1.3. Biểu diễn bất khả quy. Biểu diễn : ( )G GL V đợc gọi là bất khả quy nếu V không có G - không gian con nào khác V và 0 . Có nghĩa, là một biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một [ ] K G - môđun đơn. Định lý sau đây cho chúng ta thấy rằng, mọi biểu diễn đều quy về các biểu diễn bất khả quy. 1.3.1. Định lý. Nếu đặc số của trờng K không chia hết cấp của nhóm G thì [ ] K G là một vành nửa đơn, tức là mọi biểu diễn tuyến tính của G trong một K - không gian véctơ đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy.