Bài tập VDC tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải chi tiết

x+2 , sao cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất.. Tọa độ điểm M là:.[r]

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG - Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a là TCĐ đồ thị hàm số y = f ( x ) có các điều kiện sau: lim y = +∞ lim+ y = −∞ lim− y = +∞ lim− y = −∞ x→a+ x→a x→a x→a +) Đường thẳng y = b là TCN đồ thị hàm số y = f ( x ) có các điều kiện sau: lim y = b lim y = b x →+∞ x →−∞ = y f= ( x) - Cho P( x) Q( x) Đkiện cần: giải Q ( x ) = ⇔ x = x0 là TCĐ thỏa mãn đk đủ Điều Kiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P ( x) và Q( x) xác định Đkiện 2: x0 là TCĐ  x0 không phải nghiệm P ( x) ⇒ x = x0 là TCĐ lim f ( x) = ∞  x0 là nghiệm P ( x) ⇒ x = x → x0 Cần nhớ: y  ax  b d (c  0, ad  bc  0) luôn có đường tiệm cận đứng là: x   c cx  d - Hàm số y = f(x) có TXD: D Đkiện cần: D phải chứa +∞ −∞ Đkiện đủ: y f= ( x) = Dạng 1: P( x) Q( x)  Bậc P (x ) nhỏ bậc Q(x )  lim y   Tiệm cận ngang Ox : y  x   Bậc P (x ) bậc Q(x )  lim y  x  HÖ sè x bËc cao cña P( x )   HÖ sè x bËc cao cña Q( x ) Suy tiệm cận ngang y    Bậc P (x ) lớn bậc Q(x )  lim y    Không có tiệm cận ngang x  Dạng 2: y= f ( x)= u − v (hoặc u − v ): Nhân liên hợp ⇒ = y f ( x= ) - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn" Ví dụ câu 13 x2 + x + x y= ≈ = ±1 x → ±∞ ⇒ y = ±1 là hai đường TCN x −3 x - Kỹ sử dụng máy tính (tham khảo): u2 − v (hoặc u+ v u −v ) u+ v 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 x x  9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 x x  B – BÀI TẬP DẠNG TIỆM CẬN KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 1: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Đồ thị hàm số y = có tất bao nhiêu đường tiệm cận đứng? B A Câu 2: (Thị Xã Quảng Trị) Đồ thị hàm số y = A Câu 3: C D x x2 − có bao nhiêu đường tiệm cận? ( x − 1)( x + 5) B C D (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận? A Câu 4: B Câu 5: B Câu 8: A Câu 9: A Câu 10: x + 2019 − x là D x + 16 − là x2 + x D C x − + 3x + là: x2 − x B A A x (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị y= Câu 7: C B − x2 + x có bao x2 − x − D (Ngô Quyền Hà Nội) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Câu 6: C (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A 2x −1 +1 x2 − x Đồ thị hàm số = y C D x + x + − x + có bao nhiêu tiệm cận ngang? C B Số tiệm cận đồ thị hàm số = f ( x) B x2 − 2x − x2 − x là: C = y f= Số đường tiệm cận đồ thị hàm số ( x) B D C D x2 − 2x − x2 − x D (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A Câu 11: B C là f ( x) − D (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  thỏa mãn lim f ( x ) = −1 ; x→−∞ lim f ( x ) = và f ( x ) =1 ⇔ x =0 Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang đồ thị hàm số x→+∞ y= là: f ( x) −1 A Câu 12: B C D (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  , có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số y = A có tất bao nhiêu đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? f ( x) + B C D Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y = A Câu 14: có bao nhiêu tiệm cận đứng f (3 − x ) − B C D (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận đứng? f ( x − 2x + 2) + B A D C Câu 15: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = 2018 x f ( x) ( f ( x) − 1) có bao nhiêu đường tiệm cận? y x O B A C Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên hàm số g ( x ) = A  Đồ thị hàm f ( x ) D hình vẽ Hỏi đồ thị x2 −1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f ( x) − f ( x) B C D Câu 17: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = (x − 2x) 1− x ( x − 3)  f ( x ) + f ( x ) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A C B D Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = ( x − x ) ( x − )  f ( x ) + f ( x ) A Câu 19: 2− x B có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C D (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm hình vẽ đây Đặt g ( x ) = x2 − x , hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường f ( x) − f ( x) tiệm cận đứng ? A Câu 20: B D (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị (x hàm số g ( x) = − 3x + ) x − x  f ( x ) − f ( x )  A C B có bao nhiêu tiệm cận đứng? C D Câu 21: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d hình vẽ Đồ thị hàm số g ( x ) A Câu 22: Câu 23: 2 x ( f ( x ) ) − f ( x )    có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C D (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ ( x − 2) x có bao nhiêu tiệm cận đứng? ( x + 3) ( f ( x) − f ( x) ) B C D (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d hình vẽ = y g= Số đường tiệm cận đồ thị hàm số ( x) A + x + 3) x + x B bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = A (x = ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị B (x (x 2 − x − 3) x + 2 − x ) ( f ( x ) ) + f ( x )    C Đồ thị là D hàm số x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? Câu 24: Cho hàm số y = A B C D 2x − (C ) Gọi M là điểm trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai x−2 đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d là Câu 25: Cho hàm số y = A B 10 Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) hàm số y = (H) nhỏ là A B Câu 27: C C D 2x −1 có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận x +1 D x+2 , cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số là nhỏ Tọa độ điểm M là: (Sở Vĩnh Phúc) Cho M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y = A ( 4;3) B ( 0; −1) C (1; −3) D ( 3;5 ) x+2 , có đồ thị (C) Gọi P, Q là điểm phân biệt nằm trên (C) cho tổng x−2 khoảng cách từ P Q tới đường tiệm cận là nhỏ Độ dài đoạn thẳng PQ là: Câu 28: Cho hàm số y = B A C D 2 x+2 có đồ thị ( C ) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x +1 ( C ) đến tiếp tuyến ( C ) Giá trị lớn d có thể đạt là: Câu 29: Cho hàm số y = A 2 B C 3 D DẠNG TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ Câu 30: (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số y = tiệm cận đứng A Câu 31: B C D (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số y = các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận  m ≠  A  m>2    m < −2 m >  B  m ≠ C −2 < m < x−2 có đúng x − mx + m 1− x Tìm tất x − 2mx + m > D   m < −2 Câu 32: ax + x − có đồ thị ( C ) ( a, b là các số x + bx + dương, ab = ) Biết ( C ) có tiệm cận ngang y = c và có đúng tiệm cận đứng Tính tổng (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y = T = 3a + b − 24c A T = Câu 33: B D T = 11 D C 12 x −3 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc x − 3mx + (2m + 1) x − m đoạn [ −6;6] tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số y = A Câu 35: C T = (Cụm THPT Vũng Tàu) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số x − 3x + không có đường tiệm cận đứng? y= x − mx − m + A 10 Câu 34: B T = B C 12 D 11 (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị 2x −1 có đúng đường tiệm cận là y= ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) m để A {0} B ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) C ∅ D ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) Câu 36: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số g ( x) = đồ thị hàm 2018 h ( x ) − m2 − m số với h ( x ) = mx + nx3 + px + qx ( m , n , p , q ∈  ) Hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) là B 10 A 11 Câu 37: A 2007 A D 20 (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2019; 2019] tham số m để đồ thị hàm số y = Câu 38: C x −3 có đúng hai đường tiệm cận x + x−m B 2010 C 2009 D 2008 (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Có bao nhiêu giá trị nguyên 4036 x + m ∈ ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang mx + B 2018 C 4036 D 25 Câu 39: x +1 có đồ thị ( C ) Biết ( C ) có tiệm cận ax + ngang và tồn tiếp tuyến ( C ) song song và cách tiệm cận ngang ( C ) khoảng (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số y = Mệnh đề nào đây đúng ? 1  A a ∈  ;1 2  Câu 40:  3 B a ∈ 1;   2  1 C a ∈  0;   2 (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = A −1 ≤ m < mx + có đúng đường tiệm cận x +1 B −1 ≤ m ≤ C m < −1 Câu 41: Tìm tất các giá trị thực m để đồ thị hàm số y = A m = Câu 42: 3  D a ∈  ;  2  B m < D m > x2 + mx + có hai đường tiệm cận ngang C m > D m > Tìm tất các giá  x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m trị thực tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hàm số y = 0 < m <  A  m ≠ m <  B  m ≠ 2 0 ≤ m ≤  D  m ≠ C m > Câu 43: Tìm tất các giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = 2x − ( m − 1) x + x −1 hai tiệm cận ngang? A m = Câu 44: B m ∈ (1; ) ∪ ( 4; +∞ ) A S = [8;9 ) Câu 45: D m > 12 + x − x có đồ thị ( Cm ) Tìm tập S tất các giá trị x − x + 2m có đúng hai tiệm cận đứng (TTHT Lần 4) Cho hàm số y = tham số thực m để ( Cm ) C m < có đúng  9 B S =  4;   2  9 C S =  4;   2 x + + ax + b (Thuận Thành Bắc Ninh) Cho hàm số y = ( x − 1) D S = ( 0;9] có đồ thị (C) Biết đồ thị hàm số (C) không có tiệm cận đứng Tính giá trị T = 2a − 3b A − 11 Câu 46: B C 19 D (TTHT Lần 4) Tập hợp tất các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 1+ x +1 có đúng hai tiệm cận đứng là y= x − mx − 3m 1 1  1  1 A ( 0; +∞ ) B  0;  C  ;  D  0;  4 2  2  2 Câu 47: Tìm tất các giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A m > m < −1 C ≤ m ≤ Câu 49: C A −2 B mx − x − mx + có tiệm cận ngang là: D x3 + x + − x + x + + mx có tiệm cận ngang Tổng C −3 D (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị m y x3 − x − − 25 x − x + − x có tiệm cận ngang Tích tham số m để đồ thị hàm số = các phần tử S là B −84 A Câu 51: có đúng ba (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y= các phần tử S là Câu 50: x − 2mx + m + B < m < D m < Câu 48: Số các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y= A B x − + 2017 C 21 D −21 (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y= x − x + − 64 x3 + x − x + + mx có tiệm cận ngang Tổng bình phương tất các phần tử S là B 15 A 10 Câu 52: D 51 (Thuận Thành Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để đồ thị hàm số x + m −3 có đúng đường tiệm cận? y= x+5 A Câu 53: C 50 B C D (Kim Liên) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( tan x ) = cos x Tìm tất các số thực m để đồ thị hàm số g ( x ) = 2019 có hai đường tiệm cận đứng f ( x) − m A m < B < m < C m > D m < 2mx + m Với giá trị nào tham số m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận x −1 ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích Câu 54: Cho hàm số y = A m = B m = ± C m = ±4 D m ≠ ±2 2x +1 ax + 1 và g ( x ) = với a ≠ Tìm tất các giá trị thực x+2 x +1 dương a để các tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích là Câu 55: Cho đồ thị hai hàm số f ( x ) = A a = B a = C a = D a = Câu 56: x+a có đồ thị ( C ) x−a (với a là số thực dương) Gọi P , Q là điểm phân biệt nằm trên ( C ) cho tổng khoảng cách (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y = từ P tới hai đường tiệm cận ( C ) là nhỏ và tổng khoảng cách từ Q tới hai đường tiệm cận ( C ) là nhỏ Độ dài đoạn thẳng PQ là A 2a + B a C 2a + D a TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A – KIẾN THỨC CHUNG - Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a là TCĐ đồ thị hàm số y = f ( x ) có các điều kiện sau: lim y = +∞ lim+ y = −∞ lim− y = +∞ lim− y = −∞ x→a+ x→a x→a x→a +) Đường thẳng y = b là TCN đồ thị hàm số y = f ( x ) có các điều kiện sau: lim y = b lim y = b x →+∞ x →−∞ = y f= ( x) - Cho P( x) Q( x) Đkiện cần: giải Q ( x ) = ⇔ x = x0 là TCĐ thỏa mãn đk đủ Điều Kiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P ( x) và Q( x) xác định Đkiện 2: x0 là TCĐ  x0 không phải nghiệm P ( x) ⇒ x = x0 là TCĐ lim f ( x) = ∞  x0 là nghiệm P ( x) ⇒ x = x → x0 Cần nhớ: y  ax  b d (c  0, ad  bc  0) luôn có đường tiệm cận đứng là: x   c cx  d - Hàm số y = f(x) có TXD: D Đkiện cần: D phải chứa +∞ −∞ Đkiện đủ: y f= ( x) = Dạng 1: P( x) Q( x)  Bậc P (x ) nhỏ bậc Q(x )  lim y   Tiệm cận ngang Ox : y  x   Bậc P (x ) bậc Q(x )  lim y  x  HÖ sè x bËc cao cña P( x )   HÖ sè x bËc cao cña Q( x ) Suy tiệm cận ngang y    Bậc P (x ) lớn bậc Q(x )  lim y    Không có tiệm cận ngang x  Dạng 2: y= f ( x)= u − v (hoặc u − v ): Nhân liên hợp ⇒ = y f ( x= ) - Kĩ thuật "ước lượng bậc nhỏ hơn" Ví dụ câu 13 x2 + x + x y= ≈ = ±1 x → ±∞ ⇒ y = ±1 là hai đường TCN x −3 x - Kỹ sử dụng máy tính (tham khảo): u2 − v (hoặc u+ v u −v ) u+ v 9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 x x  9  Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   10 x x  B – BÀI TẬP DẠNG TIỆM CẬN KHÔNG CHỨA THAM SỐ Câu 1: (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Đồ thị hàm số y = A có tất bao nhiêu đường tiệm cận đứng? B C 2x −1 +1 x2 − x D Lời giải Chọn D 1  Tập xác định hàm số là = D  ; + ∞  \ {2} 2   2x −1 +1 = +∞  xlim +  →2 x − x Ta thấy  nên x = là tiệm cận đứng  lim x − + = −∞   x → 2− x − x Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = Câu 2: (Thị Xã Quảng Trị) Đồ thị hàm số y = A B x x2 − có bao nhiêu đường tiệm cận? ( x − 1)( x + 5) C D Lời giải Chọn D Tập xác định: D = Ta có lim y = x → +∞ ( −∞ ; − 2] ∪ [ 2; + ∞ ) \ {−5} x x2 − x x2 − lim = và lim y = lim = −1 x → +∞ ( x − 1)( x + ) x → −∞ x → −∞ ( x − 1)( x + ) Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang: y = và y = −1 Lại có: lim − y = x → ( −5 ) lim − x → ( −5 ) x x2 − = −∞ Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −5 ( x − 1)( x + 5) Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận Câu 3: A (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Đồ thị hàm số y = nhiêu đường tiệm cận? B C Lời giải Chọn D Tập xác định: D = ( −1;1] − x2 + x có bao x2 − x − D Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang  x =−1 ∈ [ −1;1] x2 − x − = ⇔   x = ∉ [ −1;1] − x2 + x − x2 + x lim = lim+ = +∞ x →−1+ x − x − x →−1 ( x + 1)( x − ) Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Câu 4: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B C x x + 2019 − x D là Lời giải Chọn C TXĐ: D =  Ta có: x + 2019 − x = vô nghiệm, nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng x Mặt khác: lim x + 2019 − x x →+∞ = lim x ( x + 2019 + x 2019 x →+∞ ) = +∞ x x x −1 lim = lim = lim= lim = x →−∞ x + 2019 − x x →−∞ x + 2019 − x x →−∞ − x + 2019 − x x →−∞ − + 2019 − x2 x2 x2 Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = − Câu 5: (Ngô Quyền Hà Nội) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = B A C x + 16 − là x2 + x D Lời giải Chọn A TXĐ: D = [ −16; + ∞ ) \ {−1;0} 1 x + 16 − x Xét lim y lim lim = = = lim = x →0 x →0 x →0 x +x ( x + x ) x + 16 + x→0 ( x + 1) x + 16 + ( ) ( ) Suy đường thẳng x = không phải là tiệm cận đứng đồ thị hàm số Xét lim+ y = lim+ x →−1 x →−1 x + 16 − = +∞ ; lim− y = lim− x →−1 x →−1 x2 + x x + 16 − = −∞ x2 + x Suy đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là x = −1 Câu 6: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị y= A x − + 3x + là: x2 − x B C D Lời giải Chọn A 1 1   Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  ;1 ∪ (1; + ∞ ) 2 2   Tiệm cận đứng: x − + 3x + x − + 3x + = −∞ lim+ y = lim+ = +∞ ; lim− y = lim− x→1 x→1 x→1 x→1 x ( x − 1) x ( x − 1) Suy x = là tiệm cận đứng Tiệm cận ngang: − +3+ 2 2 x − + 3x + x x x là tiệm cận ngang lim y lim lim 3⇒ y= = = →+∞ x→+∞ x→+∞ x x −x 1− x − +3+ 2 2 x − + 3x + x x x là tiệm cận ngang = = lim y lim lim 3⇒ y= x→−∞ x→−∞ x →−∞ x −x 1− x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận Câu 7: x + x + − x + có bao nhiêu tiệm cận ngang? Đồ thị hàm số = y A C B D Lời giải Chọn A TXĐ: D =  Ta có= lim y lim x →+∞ x →+∞ ( ) 4x + x + x + − x + = lim 4x2 + 4x + + 4x2 + x →+∞ 4+ x lim suy đường thẳng y = là tiệm cận ngang = x →+∞ 4+ + + 4+ x x x Ta có= lim y lim x →−∞ = lim x →−∞ x →−∞ 4+ ( x ) 4x + x + x + − x + = lim − 4+ + − 4+ x x x 4x2 + 4x + + 4x2 + x →−∞ = −1 suy đường thẳng y = −1 là tiệm cận ngang Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Câu 8: A Số tiệm cận đồ thị hàm số = f ( x) B x2 − 2x C Lời giải Chọn C − x2 − x là: D  x > x − 2x > Điều kiện:  ⇔ x − x > x <  f ( x) = x2 − 2x − x2 − x = x2 − x − x2 − x x2 − x x2 − 2x = x2 − x x2 − 2x ( x x2 − x + x2 − 2x ) lim f ( x ) = ⇒ y = x →±∞ Ta có: +) lim f ( x ) = ⇒ y = là tiệm cận ngang, x →±∞ +) lim− f ( x ) = lim− x →0 = lim− − x − x x →0 ( x2 − x x2 − 2x x →0 ( x x2 − x + x2 − 2x −1 x2 − x + x2 − 2x ) ) ) là tiệm cận đứng = +∞ ⇒ x = = −∞ ⇒x= là tiệm cận đứng +) lim+ f ( x ) = lim+ x→2 x→2 x2 − x x2 − 2x ( x x2 − x + x2 − 2x = y f= Số đường tiệm cận đồ thị hàm số ( x) Câu 9: A 2 x − 2x − x2 − x C B D Lời giải Chọn B  x2 − 2x ≥  x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ )   ⇔  x ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) ⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪ [ 2; +∞ ) Điều kiện xác định:  x − x ≥    x − 2x − x − x ≠ x ≠ 1 = = lim Khi đó: lim− f ( x ) lim − x →0 x → 0− x − x − x − x x→0 − x ( − x ) − − x (1 − x ) = lim− x →0 1 = +∞ −x − x − 1−x ⇒x= là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Có lim+ y =lim+ x→2 x→2 Có lim y = lim x →+∞ x →+∞ x2 − x − x2 − x x2 − 2x − x2 − x =− ⇒ x =2 không là đường tiệm cận đồ thị hàm số = lim x →+∞ x2 − x + x2 − x = lim x →+∞ −x ⇒y= −2 là đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 1− + 1− x x = −2 −1 Có lim y x →−∞ − 1− − 1− x − 2x + x − x x x lim= lim= lim = 2 →+∞ x →−∞ x →−∞ x −x −1 x − 2x − x − x 2 là đường tiệm cận ngag đồ thị hàm số ⇒y= Vậy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận Câu 10: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A B C là f ( x) − D Lời giải Chọn D ) có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa x1 ∈ ( −∞; −1) , x2 ∈ ( −1;0 ) , x3 ∈ ( 0;1) , x4 ∈ (1; +∞ ) Suy đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng f ( x) − là x = x1 , x = x2 , x = x3 , x = x4 (hay f ( x) = Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f ( x) − = 2 Vì lim y lim = = nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x →−∞ x →−∞ f ( x ) − f ( x) − 2 Vì lim y lim = = nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x →+∞ x →+∞ f ( x ) − f ( x) − Do đó đồ thị hàm số y = có tiệm cận ngang là y = , y = f ( x) − Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = Câu 11: là f ( x) − (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  thỏa mãn lim f ( x ) = −1 ; x→−∞ lim f ( x ) = và f ( x ) =1 ⇔ x =0 Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang đồ thị hàm số x→+∞ y= A là: f ( x) −1 B C Lời giải Chọn A D Ta có lim x→−∞ 1 1 1 = = ∞ (vì lim f ( x ) = ) = = = − và lim x→+∞ f ( x ) − x→+∞ lim f ( x ) − f ( x ) − lim f ( x ) − −1 − x→+∞ x→−∞ nên y = − là tiệm cận ngang Ta có lim = ∞ (vì f ( x ) =1 ⇔ x =0 ) nên x = là tiệm cận đứng f ( x) −1 x →0 Vậy chọn đáp án A Câu 12: (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  , có bảng biến thiên sau: Hỏi đồ thị hàm số y = có tất bao nhiêu đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? f ( x) + A B C Lời giải D Chọn A Ta có: lim f ( x ) = ⇒ lim x →−∞ x →−∞ 1 1 ⇒ Đồ thị hàm số y = có tiệm ngang là y = = f ( x) + f ( x) + lim f ( x ) = +∞ ⇒ lim x →+∞ x →−∞ 1 có tiệm ngang là y = ⇒ Đồ thị hàm số y = = f ( x) + f ( x) + −2 (1) Xét phương trình f ( x) + = ⇔ f ( x) = Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm x1 = −1 , x2 ∈ ( 0; ) , x3 ∈ ( 2; +∞ ) Suy đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là x = −1 , x = x2 , x = x3 f ( x) + Vậy đồ thị hàm số có tất tiệm cận Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận đứng f (3 − x ) − A B C Lời giải Chọn C Ta thấy f ( x ) = có nghiệm ⇒ đồ thị hàm số y = Câu 14: D 1 có tiệm cận đứng f (3 − x ) − (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu tiệm cận đứng? f ( x − 2x + 2) + B A C D Lời giải Chọn C − Số tiệm cận đứng là số nghiệm phương trình f ( x − x + ) = Theo bảng ta có f ( x ) + 5= a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x1 < 0; x2 , x3 > 1) , a ≠ Do x − x + = ( x − 1) ( ) + ≥ nên f x − x + =− ⇔ x =1 ± x2 − 1; x =1 ± x3 − − có nghiệm nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Vì phương trình f ( x − x + ) = Câu 15: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = có bao nhiêu đường tiệm cận? 2018 x f ( x) ( f ( x) − 1) y x O B A C D Lời giải Chọn B Ta có g ( x) là hàm phân thức hữu tỷ với bậc tử nhỏ bậc cảu mẫu nên lim g ( x) = , x →±∞ đó đồ thị hàm số g ( x) có đúng tiệm cận ngang = f ( x) 0= & f ( x) có nghiệm phân biệt khác nên đồ thị hàm số g ( x) có Mỗi phương trình đúng tiệm cận đứng Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm f ( x ) hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A x2 −1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? f ( x) − f ( x) B C D Lời giải  f ( x) = Chọn A Xét f ( x ) − f ( x ) = 0⇔  f ( x ) = Xét f ( x ) = có nghiệm x1 ≠ ±1 và x2 = là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành x = Trường hợp này có tiệm cận đứng Xét f ( x ) = có nghiệm x3 ≠ ±1 và x4 = −1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = x = −1 Trường hợp này có tiệm cận đứng Vậy đồ thị có tiệm cận đứng Câu 17: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = A (x − 2x) 1− x ( x − 3)  f ( x ) + f ( x ) B có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C Lời giải Chọn D D Câu 18: Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = ( x − x ) 2− x ( x − )  f ( x ) + f ( x ) A B có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C D Chọn D Câu 19: (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm hình vẽ đây Đặt g ( x ) = x2 − x , hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) có bao nhiêu đường f ( x) − f ( x) tiệm cận đứng ? A B C Lời giải Chọn C Xét h( x) = x − x = x( x − 1) có hai nghiệm đơn là x = và x = D  f ( x) = Xét k ( x) = f ( x) − f ( x) , ta có k ( x)= ⇔   f ( x) = Ta có f ( x ) là hàm đa thức có đồ thị hàm hình vẽ nên:  f ( x ) = có hai nghiệm x = a < −1 (nghiệm đơn) và x = (nghiệm kép)  f ( x ) = có ba nghiệm đơn x =c ∈ (a ; −1) , x = và x= b > Như vậy, ta thấy: Hàm số y = g ( x) có nghiệm đơn x = mẫu triệt tiêu với trên tử nên Nghiệm kép x = mẫu và tử thì có x = là nghiệm đơn, đó không triệt tiêu hết, x = là tiệm cận đứng hàm số y = g ( x) Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng là x = a , x = b , x = c và x = Câu 20: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị (x hàm số g ( x) = − 3x + ) x − x  f ( x ) − f ( x )  A B có bao nhiêu tiệm cận đứng? C D Lời giải Chọn A  x= x1 ∈ ( 0;1) (1) ⇔  đó nghiệm x = là nghiệm kép và x = x1 là nghiệm đơn x =  x =1 ( ) ⇔  x = x2 ∈ (1;2 ) đó các nghiệm trên là nghiệm đơn  = x x3 > Vậy g ( x) = x − 1)( x − ) x − (= x f ( x )  f ( x ) − 1 ( x − 1)( x − ) x − a x ( x − x1 )( x − ) ( x − 1)( x − x2 )( x − x3 ) x −1 x ( x − x1 )( x − )( x − x2 )( x − x3 ) Dựa trên điều kiện x ≥ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là các đường thẳng x = , x = x2 và x = x3 Câu 21: (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d hình vẽ Đồ thị hàm số g ( x ) A (x = + x + 3) x + x x ( f ( x ) ) − f ( x )    có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? C Lời giải B ( a, b, c, d ∈ R ) có đồ thị D   x ≤ −1    x>0  Điều kiện  f ( x) ≠  f ( x) ≠   ( x + x + 3) x + x ( x + 1)( x + 3) = Ta có g ( x ) =    x ( f ( x )) − f ( x )   x x( x + 1) ( f ( x ) ) − f ( x )  , rõ ràng x = là tiệm cận đứng đồ thị g ( x )  f ( x) = Xét phương trình ( f ( x ) ) − f ( x ) = 0⇔  f ( x ) =  x = −3 Với f ( x )= ⇔  đó x = −3 là nghiệm nghiệm kép, nên mẫu có nhân tử  x = x1 ∈ ( −1;0 ) ( x + 3) đó x = −3 là tiệm cận đứng  x = −1  Với f ( x ) = ⇔  x = x2 ∈ ( −3; −1) , ba nghiệm này là nghiệm đơn, nên =  x x3 ∈ ( −∞; −1) f ( x ) − 2= k ( x + 1)( x − x2 )( x − x3 ) , ta thấy g ( x ) thì ( x + 1) bị rút gọn nên có thêm x x3 ∈ ( −∞; −1) là tiệm cận đứng x = x2 ∈ ( −3; −1) và = 0; x = −3; x = x2 ; x = x3 Vậy tóm lại đồ thị có tiệm cận đứng là x = Chọn D Câu 22: (THPT SỐ TƯ NGHĨA LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số g ( x) = ( x − 2) x có bao nhiêu tiệm cận đứng? ( x + 3) ( f ( x) − f ( x) ) A B C D Lời giải Chọn C x + =  ⇔  f ( x) = Xét phương trình: ( x + 3) ( f ( x) − f ( x) ) =  f ( x) =  x + =0 ⇔ x =−3 mặt khác x = −3 hàm số y = g ( x) không xác định nên đường thẳng x = −3 không là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số  x = −2  x = −1  f ( x)= ⇔  , x =  x = Với x = −1, x = −2 hàm số y = g ( x) không xác định nên đường thẳng x = −1, x = −2 không là tiệm cận đứng đồ thị hàm số Với = x 1,= x : Hàm số xác định = x 1,= x và = x 1,= x không là nghiệm tử số nên hai đường thẳng = x 1,= x là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = x x0 < nên hàm số y = g ( x) không xác  f ( x)= ⇔  ta thấy x = là nghiệm tử số và =  x = x0 x 2;= x x0 không là tiệm cận đứng định đó hai đường thẳng= Vậy đồ thị hàm số y = g ( x) có tiệm cận đứng Câu 23: (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d hình vẽ Đồ thị hàm số = y g= Số đường tiệm cận đồ thị hàm số ( x) A B (x − x − 3) x + 2 ( x − x ) ( f ( x ) ) + f ( x ) C là D Lời giải Chọn B  x ≥ −2 x ≠  Điều kiện:  x ≠1  ( f ( x ) )2 + f ( x ) ≠  = y g= Khi đó ta có ( x) ( x + 1)( x − 3) x + ( x2 − x ) ( f ( x ) ) + f ( x ) Ta có lim g ( x ) = (do bậc tử nhỏ bậc mẫu) ⇒ y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+∞ Khi x = ; x = ta có tử số khác và mẫu số nên x = ; x = là hai đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = g ( x )  f ( x) = 0⇔ Xét ( f ( x ) ) + f ( x ) =  f ( x ) = −1  x = α ∈ ( −2; −1) +) f ( x ) = từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy f ( x )= ⇔  x = ⇒ x = α ; x = là hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (vì tử khác ) y = g ( x )  x = −1  +) f ( x ) = −1 từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy f ( x ) =−1 ⇔  x =β ∈ ( 0; )  x= γ ∈ 2; +∞ ( )  a ( x + 1)( x − β )( x − γ ) Do đó f ( x ) + = y g= = Vậy ( x) (x ( x − 3) x + ⇒x= β; − x ) f ( x ) a ( x − β )( x − γ ) x = γ là hai tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = g ( x) Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? Câu 24: Cho hàm số y = A B C Lời giải D Chọn D Phương pháp tự luận  x −2  Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x +   = ∆: y ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 +  x −5  Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng là A  −1;  x0 +    Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang là B ( x0 + 1;1)  Ta có IA= , IB= x0 + ⇒ IA.IB= 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB là S IAB = pr , suy x0 + S IAB IA.IB IA.IB IA.IB r= = = ≤ = 3− 2 p IA + IB + AB IA + IB + IA + IB IA.IB + 2.IA.IB  xM =−1 + ⇒ y0 =1 −  Suy rmax =2 − ⇔ IA =IB ⇔ x0 − =3 ⇔   xM =−1 − ⇒ y0 =1 +    IM 3; − ⇒ IM = ( ) Phương pháp trắc nghiệm = IB ⇒ ∆ IAB vuông cân I ⇒ IM ⊥ ∆  IA  x =−1 + ⇒ yM =1 −  cxM + d =± ad − bc ⇒ xM + =± + ⇔  M  xM =−1 − ⇒ yM =1 +  ⇒ IM = 2x − (C ) Gọi M là điểm trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến x−2 hai đường tiệm cận đồ thị (C) Giá trị nhỏ d là Câu 25: Cho hàm số y = A B 10 C Lời giải Chọn D  2x −  Tọa độ điểm M có dạng M  x0 ;  với x0 ≠ x0 −   = x − ( d1 ) = , y − ( d2 ) Phương trình tiệm cận đứng, ngang là Ta có d = d ( M , d1 ) + d ( M , d ) = x0 − + ≥2 x0 − D Câu 26: Số điểm thuộc đồ thị (H) hàm số y = (H) nhỏ là A 2x −1 có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận x +1 B C D Lời giải Chọn B  2x −1  TCĐ: x = −1 ; TCN: y = Gọi M  x; ∈(H )  x +1  Tổng khoảng cạc từ M đến hai tiệm cận là: d = x + + ⇒ d =2 ⇔ x + = 2x −1 3 − = x +1 + ≥ x +1 = x +1 x +1 x +1 ⇔ ( x + 1) =3 ⇔ x =± − ⇒ có tất điểm thuộcd dồ thị (H) thỏa x +1 mãn đề bài x+2 , cho x−2 tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị hàm số là nhỏ Tọa độ điểm M là: A ( 4;3) B ( 0; −1) C (1; −3) D ( 3;5 ) Câu 27: (Sở Vĩnh Phúc) Cho M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y = Lời giải Chọn A Vì M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y = x+2  a+2 nên M  a;  (với a  ) x−2  a−2 Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số là : ∆1 : x = và Δ : y  a − và = d d ( M ;= Suy : d1= d( M ;∆1 = ∆2 ) ) a+2 −= a−2 = a−2 a−2 Vây tổng khoàng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: 4 d = d1 + d = a − + ≥ a−2 = a−2 a−2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a − + Dấu xảy : a − = 4 ≥ a−2 = a−2 a−2 = a−2 = a 4 ⇔ ( a − 2) = ⇔  ⇔ a−2  a =0  a − =−2 Vậy M ( 4;3) Mà a > ⇒ a = x+2 , có đồ thị (C) Gọi P, Q là điểm phân biệt nằm trên (C) cho tổng x−2 khoảng cách từ P Q tới đường tiệm cận là nhỏ Độ dài đoạn thẳng PQ là: Câu 28: Cho hàm số y = A B C Lời giải D 2 Chọn A x+2 có tiệm cận ngang y = và tiệm cận đứng x = Suy tọa độ giao điểm hai x−2 đường tiệm cận là I (2;1) Đồ thị hàm số y =  x +2 Gọi P  x0 ;  ∈ ( C ) Khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận x0 −   S = d ( A, d1 ) + d ( A, d ) = x0 − + ⇒ S = ⇔ x0 − = ⇒ P ( 4; −3) , Q ( 0; −1) x0 + 4 − = x0 − + ≥ x0 − = x0 − x0 − x0 −  x0 − =2  x0 =4; y =−3 ⇔ ( x0 − ) = ⇔  ⇒ x0 −  x0 − =−2  x0 =0; y =−1 ⇒ PQ = x+2 có đồ thị ( C ) Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận đồ thị x +1 ( C ) đến tiếp tuyến ( C ) Giá trị lớn d có thể đạt là: Câu 29: Cho hàm số y = A 2 B C 3 D Lời giải Chọn B Ta có y′ = −1 ( x + 1) Giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số là I ( −1;1)  a+2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  a;  ∈ ( C ) là:  a +1  y = −1 ( a + 1) ( x − a) + a+2 ⇔ x + ( a + 1) y − a − 4a − = a +1 −1 + ( a + 1) − a − 4a − = + ( a + 1) Khoảng cách từ I = ( −1;1) đến tiếp tuyến là: d Vì + ( a + 1) ≥ ( a + 1) = 2 a + nên d ≤ Dấu xảy a = a = −2 a +1 a +1 = −2a − + ( a + 1) DẠNG TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ Câu 30: A (ĐH Vinh Lần 1) Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số y = tiệm cận đứng B Chọn B C Lời giải Dễ thấy tử số có nghiệm x = Do đó để đồ thị hàm số y = thì cần xét hai trường hợp sau: x−2 có đúng x − mx + m D x−2 có đúng tiệm cận đứng x − mx + m m = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ = m − 4m = ⇔  Trường hợp 1: x − mx + m = m = có nghiệm phân biệt, đó có nghiệm Trường hợp 2: x − mx + m = ∆ = m − 4m > ⇔ ⇔ m∈∅  − 2m + m = Câu 31: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số y = 1− x Tìm tất x − 2mx + các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận  m ≠ m >  m >   A  B  C −2 < m < D  m>2 m≠  m < −2      m < −2 Lời giải Chọn A lim y = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = x →±∞ Để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị có hai đường tiệm cận đứng có hai nghiệm phân biệt x ≠ ⇔ x − 2mx + =   m < −2  m − >  m>2 ⇔ ⇔  1 − 2m + ≠  m ≠ 2 Câu 32: ax + x − có đồ thị ( C ) ( a, b là các số x + bx + dương, ab = ) Biết ( C ) có tiệm cận ngang y = c và có đúng tiệm cận đứng Tính tổng (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số y = T = 3a + b − 24c A T = B T = C T = Lời giải Chọn D D T = 11 a a Tiệm cận ngang y =c ⇒ =c 4 lim y = x →±∞ có nghiệm kép (C) có tiệm cận đứng nên phương trình x + bx + = 1 ∆ = ⇔ b − 144 = ⇔ b = ±12 Vì b > ⇒ b = 12 ⇒ a = ⇒ c = 12 Vậy T = 11 Câu 33: (Cụm THPT Vũng Tàu) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số x − 3x + không có đường tiệm cận đứng? y= x − mx − m + A 10 B C 12 D Lời giải Chọn A x = x − 3x + Ta có x − x + = ⇔  nên đồ thị hàm số y = không có đường tiệm cận đứng x − mx − m + x = vô nghiệm có nghiệm là và và phương trình x − mx − m + = (1) , ta có ∆= m + 4m − 20 nên (1) vô nghiệm và +) Xét phương trình x − mx − m + = ∆ < hay −2 − < m < −2 + +) Phương trình (1) có hai nghiệm là và và m = ( ) Trên khoảng −2 − ; − + có số nguyên là −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1; nên có 10 giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = Câu 34: x − 3x + không có đường tiệm cận x − mx − m + x −3 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc x − 3mx + (2m + 1) x − m đoạn [ −6;6] tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? (Sở Bắc Ninh) Cho hàm số y = A Chọn B B x →±∞ C 12 Lời giải D 11 x −3 x − 3mx + (2m + 1) x − m x −3 lim nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là = x →±∞ x − 3mx + 2m + x − m ( ) Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = Ta có: lim y 3 y = Do đó ( C ) có đường tiệm cận và ( C ) có đường tiệm cận đứng ⇔ x − 3mx + ( 2m + 1) x − m = (1) có nghiệm phân biệt khác x = m Ta có (1) ⇔ ( x − m ) ( x − 2mx + 1) = 0⇔  x − 2mx + =0  m ≠ m ≠   m − >   m < −1 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác ⇔  ⇔   m − 2m + ≠ m > 32 − 6m + ≠   m ≠   5 5  ⇔ m ∈ ( −∞; −1) ∪ 1;  ∪  ;3  ∪ ( 3; +∞ )  3 3  Do m ∈ [ −6;6] , m nguyên nên m ∈ {−6; −5; −4; −3; −2; 2; 4;5;6} Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 35: (CHUYÊN ĐHSP HN) Tập hợp các giá trị 2x −1 có đúng đường tiệm cận là y= ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) m để A {0} B ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) C ∅ D ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) đồ thị hàm số Lời giải Chọn A Có lim y = Nên hàm số luôn có đường tiệm cận ngang y = Vậy ta tìm điều kiện để hàm số không x →±∞ có tiệm cận đứng  mx − x + = (1) Xét phương trình: ( mx − x + 1)( x + 4mx + 1) = ⇔  (2)  x + 4mx + = 2 TH1: Xét m = , ta y = 2x −1 (thỏa ycbt) = − 2 ( −2 x + 1) ( x + 1) x + TH2: Xét m ≠ Có: ∆1 = − m và ∆= 4m − 1 − m < m > ⇔ ⇔ m ∈∅ Th2a Cả phương trình (1) và (2) vô nghiệm: ⇔  −1 < m <  4m − < Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m > ) Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì −1 < m < ) Câu 36: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số g ( x) = 2018 h ( x ) − m2 − m với h ( x ) = mx + nx3 + px + qx ( m , n , p , q ∈  ) Hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm các giá trị m nguyên để số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) là B 10 A 11 C D 20 Lời giải Chọn B  x = −1  Ta có h′ ( x ) = 4mx + 3nx + px + q Từ đồ thị ta có h′ ( x ) =0 ⇔  x = và ( m < )  x =  Suy h′ ( x= ) 4m ( x + 1)  x −  ( x − 3=) 4mx3 − 13mx − 2mx + 15m 4  Suy h ( x ) = mx − Vậy h ( x ) = mx − 13 mx − mx + 15mx + C Từ đề bài ta có C = 13 mx − mx + 15mx Xét h ( x ) − m − m =0 ⇔ m = x − 13 x − x + 15 x −  x = −1  13 Xét hàm số f ( x ) = x − x3 − x + 15 x − ⇒ f ′ ( x ) = x3 − 13 x − x + 15 = ⇔  x =  x =  Bảng biến thiên có nghiệm Để đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h ( x ) − m − m = phân biệt ⇔ phương trình m = x − 13 x − x + 15 x − có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m < ta có − 35 < m < −1 Do m nguyên nên m ∈ {−11; − 10; ; − 2} Vậy có 10 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 37: (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [ −2019; 2019] tham số x −3 có đúng hai đường tiệm cận x + x−m B 2010 C 2009 Lời giải m để đồ thị hàm số y = A 2007 D 2008 Chọn D Xét hàm số y = = +) TXĐ: D x −3 x + x−m [3; +∞ ) − x −3 x x Do đó ĐTHS có tiệm cận ngang y = +) lim y lim = = = lim x →+∞ x →+∞ x + x − m x →+∞ m 1+ − x x +) Để ĐTHS có đường tiệm cận thì phải có thêm tiệm cận đứng Vậy yêu cầu bài toán trở thành: phải có nghiệm lớn Tìm điều kiện để phương trình x + x − m = phải có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < < x2 Trường hợp : Phương trình x + x − m = ⇔ a f (3) < ⇔ 12 − m < ⇔ m > 12 có nghiệm x = thì m = 12 Trường hợp : Phương trình x + x − m = x = Với m = 12 phương trình trở thành: x + x − 12 = ⇔  (tmđk)  x = −4 có nghiệm kép x > Trường hợp : Phương trình x + x − m = Khi m = −1 −1 thì phương trình có nghiệm x = (không thỏa mãn) Theo đề bài m ∈ [ −2019; 2019] , m nguyên đó m ∈ [12; 2019] Vậy có (2019 − 12) + =2008 giá trị m Ý kiến −1 đó (1) luôn có ít (1) có nghiệm thì x1 + x2 = Có thể nhận xét phương trình x + x − m = nghiệm âm Vậy đk bài toán thỏa mãn và (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < < ≤ x2 ⇔ af ( 3) ≤ ⇔ m ≥ 12 Câu 38: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Có bao nhiêu giá trị nguyên 4036 x + m ∈ ( −2019; 2019 ) để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang mx + A B 2018 C 4036 D 25 Lời giải Chọn B  3 Với m < ta có tập xác định hàm số: D =  − − ; −  nên không tồn tiệm cận ngang  m m   Với m = thì lim y = +∞ và lim y = −∞ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ Với m > ta có tập xác định hàm số: D =  Khi đó: 2  x  4036 +  4036 + x   lim x 4036 = = lim y lim = x →+∞ x →+∞ x →+∞ m 3 x m+ m+ x x 2  x  4036 +  4036 + x  = lim x = − 4036 lim y = lim  x →−∞ x →−∞ x →−∞ 3 m −x m + − m+ x x nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = ± 4036 m m >  Suy m ∈ ( −2019; 2019 ) ⇔ m ∈ {1; 2;3; ; 2018} m ∈   Vậy có 2018 giá trị nguyên m Câu 39: x +1 có đồ thị ( C ) Biết ( C ) có tiệm cận ax + ngang và tồn tiếp tuyến ( C ) song song và cách tiệm cận ngang ( C ) khoảng (Đặng Thành Nam Đề 14) Cho hàm số y = Mệnh đề nào đây đúng ?  3 1  A a ∈  ;1 B a ∈ 1;   2 2   1 C a ∈  0;   2 Lời giải Chọn A Để đường cong ( C ) có tiệm cận ngang và khi: a > 1 ; y2 = − a a Suy ta có hai đường tiệm cận ngang là: y1 = Ta có: y ' ax ax + − ( x + 1) ax + = ax + 1 − ax ( ax + 1) Gọi tiếp tuyến đường cong ( C ) điểm M ( xM ; yM ) là đường thẳng ∆ Ta có ∆ song song tiệm ngang ( C ) suy ra: 1 1 ⇒ M  ; +  a a a Ta có khoảng cách từ ∆ đến tiệm cận ngang ( C ) +) y ' ( xM ) = ⇒ − axM = ⇔ xM = 3  D a ∈  ;  2  +) Khoảng cách từ ∆ đến tiệm cận ngang chính là khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang  1 =  1+ − a  d ( M ; y1 ) = a  1  Ta có:  ⇒ ⇔ a = Vậy a ∈  ;1 16 2   d ( M ; y2 ) =  1 1+ + =  a a  Câu 40: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m mx + có đúng đường tiệm cận x +1 B −1 ≤ m ≤ C m < −1 cho đồ thị hàm số y = A −1 ≤ m < D m > Lời giải Chọn A  mx +  +) Nếu m ≥ ta thấy lim  ± m⇒y= ± m là tiệm cận ngang = x →±∞   + x    mx +  lim±   = ±∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng  x →−1  x +   Vậy m ≥ không thỏa mãn đề bài   −1 +) Nếu m < ta có hàm số xác định trên D =  ;  không phải là khoảng vô cùng nên đồ  −m −m  thị hàm số không có tiệm cận ngang  mx +  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = −1 lim±   = ±∞  x →−1  x +    −1 ≤ −1 ≤  Khi đó m phải thỏa mãn hệ  −m −m ⇔ −1 ≤ m <  m<0  Câu 41: Tìm tất các giá trị thực m để đồ thị hàm số y = A m = B m < C m > x2 + mx + có hai đường tiệm cận ngang D m > Lời giải: Đồ thị hàm số y = x2 + có hai đường tiệm cận ngang và các giới hạn mx + lim y = a ( a ∈  ) , lim y = b ( b ∈  ) tồn Ta có: x →+∞ x →−∞ + với m = ta nhận thấy lim y = +∞, lim y = +∞ suy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞  3 + Với m < , đó hàm số có TXĐ D =  − − ; −  , đó lim y, lim y không tồn suy đồ x →+∞ x →−∞ m m  thị hàm số không có đường tiệm cận ngang 2  x 1 +  1+ x  x , lim = + Với m > , đó hàm số có TXĐ D =  suy lim  suy đồ thị x →±∞ x →±∞ m x m+ x m+ x x hàm số có đường tiệm cận ngang Vậy m > thỏa YCBT Chọn C Tìm tất các giá  x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m trị thực tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận m < 0 < m < 0 ≤ m ≤    A  B  C m > D  1 m ≠ m ≠ m ≠ Câu 42: (Hai Bà Trưng Huế Lần1) Cho hàm số y = Lời giải Chọn A  x > m Hàm số xác định   x − ( 2m + 1) x + 2m ≠ Ta có lim = nên đồ thị hàm số luôn có đường tiệm cận ngang y = x →±∞  x − 2m + x + 2m  ( )   x−m Do đó để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có đường tiệm cận đứng Ta có lim+ y = ±∞ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = m làm đường tiệm cận đứng Như ta cần có x→m 1 ≠ 2m   m ≠ có hai nghiệm phân biệt lớn m ⇔ 1 > m ⇔  phương trình x − ( 2m + 1) x + 2m =  2m > m 0 < m <  Câu 43: Tìm tất các giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = 2x − hai tiệm cận ngang? B m ∈ (1; ) ∪ ( 4; +∞ ) A m = C m < ( m − 1) x + x −1 D m > Lời giải Chọn D lim Ta có: lim y = x →+∞ lim y x →+∞ x →+∞ 2x − ( m − 1) x x −1 +1 = lim 2− x →+∞ 2− x − ( m − 1) x + = lim lim x →+∞ x →+∞ x −1 ( m − 1) x + x 1− x ( m − 1) x + x 1− x = 2− ( m − 1) (với m ≥ ) có đúng lim = 2+ x →+∞ ( m − 1) x + x 1− x 2+ = ( m − 1) Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > Câu 44: tham số thực m để ( Cm ) 12 + x − x có đồ thị ( Cm ) Tìm tập S tất các giá trị x − x + 2m có đúng hai tiệm cận đứng (TTHT Lần 4) Cho hàm số y =  9 B S =  4;   2 A S = [8;9 )  9 C S =  4;   2 Lời giải D S = ( 0;9] Chọn C Điều kiện x − x ≥ ⇔ x ∈ [ 0; 4] Dễ thấy 12 + x − x > 0, ∀x ∈ [ 0; 4] có hai nghiệm a, b, a < b thì x − x + 2m < 0, ∀x ∈ ( a; b ) Nhận xét: Nếu phương trình x − x + 2m = có hai nghiệm phân Do đó để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình x − x + 2m = biệt thuộc đoạn ( 0; ) x2 − x = −2m có g ′ ( x ) = x − = ⇔ x = ∈ ( 0; ) Xét g ( x ) = Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) trên đoạn ( 0; ) : x - g' + 0 -8 g -9 có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn ( 0; ) Từ đó ta thấy phương trình x − x + 2m = −9 < −2m < −8 ⇔ < m < Câu 45: (Thuận Thành Bắc Ninh) Cho hàm số y = x + + ax + b ( x − 1) số (C) không có tiệm cận đứng Tính giá trị T = 2a − 3b 11 19 A − B C 4 Lời giải có đồ thị (C) Biết đồ thị hàm D Chọn C Đặt f ( x ) = x + + ax + b ⇒ f ′ ( x )= +a x+3 Để đồ thị hàm số ( C ) không có tiệm cận đứng thì f ( x ) = x + + ax + b = ( x − 1) .g ( x )  + a + b = a = −    f (1) =   ⇔ ⇔ 1 ⇔ ′ +a = b = −  f (1) =   19 Vậy T = 2a − 3b = Câu 46: (TTHT Lần 4) Tập hợp tất các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 1+ x +1 có đúng hai tiệm cận đứng là y= x − mx − 3m 1 1  1  1 A ( 0; +∞ ) B  0;  C  ;  D  0;  4 2  2  2 Lời giải Chọn D Ta thấy + x + > 0, ∀x ≥ −1 có hai nghiệm phân biệt x > −1 Hàm số có đúng hai tiệm cận đứng x − mx − 3m = x Với x ≥ −1 , phương trình x − mx − 3m =0 ⇔ =m x+3 x ( x + 3) − x x + x x = x2 x x ⇒ f ′( x) = = = ⇒ + = ⇔ Đặt f ( x ) =  2 x+3 ( x + 3) ( x + 3)  x = −6 Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) trên khoảng [ −1; + ∞ ) : x -1 - y' +∞ 0 + +∞ y 0 có hai nghiệm phân biệt x > −1 thì Từ bảng biến thiên trên ta thấy để phương trình x − mx − 3m =  1 m∈0 ;   2 Câu 47: Tìm tất các giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A m > m < −1 C ≤ m ≤ B < m < D m < Lời giải x − + 2017 x − 2mx + m + có đúng ba Chọn B Ta có lim y = 0, đồ thị hàm số luôn có đường tiệm cận ngang y = x →+∞ Để ĐTHS có ba đường tiệm cận ⇔ ĐTHS có đúng đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình x − 2mx + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn ∆ ' >  ⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) >  ( x1 − 1) + ( x2 − 1) > m − m − > m ∈ ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )   ⇔  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > ⇔ m + − 2m + > ⇔2<m<3 x + x − >  2m − >   Câu 48: Số các giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y= A B mx − x − mx + có tiệm cận ngang là: C D Lời giải Chọn C = y x m− − mx + Để hàm số có giới hạn hữu hạn vô cực thì hệ số x phải triệt tiêu x +) x → −∞ ⇒ y = − x m − hạn = y x m− +) x → +∞ ⇒ − mx + suy hệ số x là − m − m ≠ nên giới hạn này không hữu x − mx + suy hệ số x là x m = m − m =0 ⇔  m = Với m = thay trở lại hàm số không xác định x → +∞ Với m = ⇒= y = lim x →+∞ x − x − x + ⇒ lim = y lim x →+∞ −2 x − x2 − 4x + x + = x →+∞ x − x − ( x − 1) x2 − 4x + x + −2 = −1 Vậy có giá trị thực m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Câu 49: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y= các phần tử S là A −2 B x + x + − x + x + + mx có tiệm cận ngang Tổng C −3 Lời giải Chọn A = lim y lim x →+∞ x →+∞ ( x + x + − x + x + + mx ) D = lim x →+∞ ( x + x + − x + x − x + x + + ( m − 1) x Ta có: lim x →+∞ ( = lim x →−∞ x →−∞ ( ) ( ) − x3 + 3x + − x = ; lim x − x + x + = x →+∞ *= lim y lim x →−∞ ) ( x + x + − x + x + + mx ) x + x + − x − x − x + x + + ( m + 3) x Ta có: lim x →−∞ ( ) ) ( ) x3 + 3x + − x = ; lim x − x + x + = x →−∞ m −1 = = m * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y lim y hữu hạn ⇔  ⇔ x →+∞ x →−∞  m + =0  m =−3 Câu 50: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị m y x3 − x − − 25 x − x + − x có tiệm cận ngang Tích tham số m để đồ thị hàm số = các phần tử S là A B −84 C 21 D −21 Lời giải Chọn B m   = * lim y lim  x − x − − 25 x − x + − x  x →+∞ x →+∞    m   = lim  x3 − x − − x + x − 25 x − x + −  +  x  x →+∞ 2    Ta có: lim x →+∞ ( ) x3 − x − − x =− ) ( ; lim x − 25 x − x + = 10 12 x →+∞ m   lim y lim  x3 − x − − 25 x − x + − x  *= x →−∞ x →−∞    m   = lim  x − x − − x − x − 25 x − x + +  −  x  x →−∞ 2    Ta có: lim x →−∞ ( ) x3 − x − − x =− ) ( − ; lim x − 25 x − x + = 12 x →−∞ 10 m  +3=  m = −6 * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y lim y hữu hạn ⇔  ⇔ x →−∞ x →+∞  m = 14 7 − m =  Câu 51: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Gọi S là tập tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y= x − x + − 64 x3 + x − x + + mx có tiệm cận ngang Tổng bình phương tất các phần tử S là A 10 B 15 C 50 D 51 Lời giải Chọn C = lim y lim x →+∞ = lim x →+∞ Ta có: x →+∞ ( ( lim x →+∞ x →−∞ x →−∞ Ta có: ) x − x + − x + x − 64 x3 + x − x + + (m − 1) x ( *= lim y lim = lim x − x + − 64 x + x − x + + mx ) ) ( −5 x − x + − x = lim x − 64 x3 + x − x + = − 16 , x →+∞ x →−∞ ( ) ( x − x + − 64 x + x − x + + mx ) x − x + + x + x − 64 x3 + x − x + + (m − 7) x lim x →−∞ ( ) ) ) ( x − x + − x = lim x − 64 x3 + x − x + = − x →−∞ 6, 16 m −1 = = m * Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ lim y lim y hữu hạn ⇔  ⇔ x →−∞ x →+∞ = −7 = m m Câu 52: (Thuận Thành Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để đồ thị hàm số x + m −3 có đúng đường tiệm cận? y= x+5 A B C D Lời giải Chọn A x + m −3 x + m−9 = Ta có y = x+5 ( x + 5) x + m + ( ) Dễ thấy lim y= 0, ∀m Do đó đồ thị hàm số có đường TCN là y = x →+∞ Để đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng ta xét thường hợp sau: −5 là nghiệm tử −5 làm x + m không xác định TH1: −5 là nghiệm tử thì −5 + m − = ⇔ m = 14 Thử lại: x + 14 − 1 = lim = Không có TCĐ x →−5 ( x + 5) x + 14 + x→−5 x + 14 + = lim y lim x →−5 TH2: −5 làm ( ) x + m không xác định thì −5 ∉ [ −m; +∞ ) ⇔ −5 < −m ⇔ m < Khi đó không tồn lim y nên không đường tiệm cận đứng x →−5 Mặt khác đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên dương m nên m ∈ {1; 2;3; 4} Vậy m ∈ {1; 2;3; 4;14} Câu 53: (Kim Liên) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( tan x ) = cos x Tìm tất các số thực hàm số g ( x ) = A m < Chọn B 2019 có hai đường tiệm cận đứng f ( x) − m B < m < C m > Lời giải D m < m để đồ thị cos x Ta có= cos x ) (= 2 (1 + tan x ) m Yêu cầu bài toán tương đương tìm , suy f ( tan x ) = (1 + tan x ) tương đương phương trình Xét hàm số h ( x ) = h′ ( x ) =− 4x (1 + x ) (x ) +1 2019 để đồ thị hàm số g ( x ) = ( hay f ( x ) = ) x2 + −m (1 + x ) 2 có hai đường tiệm cận đứng −m = có hai nghiệm phân biệt (1 + x ) 2 ⇒ h′ ( x ) = 0⇔ x= Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, phương trình ( ) x2 + −m = có hai nghiệm phân biệt và < m < Câu 54: Cho hàm số y = 2mx + m Với giá trị nào tham số x −1 m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m = B m = ± C m = ±4 D m ≠ ±2 Lời giải Chọn C Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thì m ≠ Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận là= x 1,= y 2m Hình chữ nhật tạo tiệm cận và trục tọa m= ±4 độ có diện tích là 2m =⇔ Câu 55: Cho đồ thị hai hàm số f ( x ) = dương A a = 2x +1 ax + và g ( x ) = với a ≠ Tìm tất các giá trị thực x +1 x+2 a để các tiệm cận hai đồ thị hàm số tạo thành hình chữ nhật có diện tích là B a = C a = Lời giải D a = Chọn B Đồ thị hàm số f ( x ) = 2x +1 có hai đường tiệm cận là x = −1 và y = x +1 Đồ thị hàm số g ( x ) = ax + có hai đường tiệm cận là x = −2 và y = a x+2 Hình chữ nhật tạo thành từ bốn đường tiệm cận hai đồ thị trên có hai kích thước là và a − a = 4⇔ Theo giả thiết, ta có a − = Vì a > nên chọn a =  a = −2 Câu 56: x+a có đồ thị ( C ) x−a (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y = (với a là số thực dương) Gọi P , Q là điểm phân biệt nằm trên ( C ) cho tổng khoảng cách từ P tới hai đường tiệm cận ( C ) là nhỏ và tổng khoảng cách từ Q tới hai đường tiệm cận ( C ) là nhỏ Độ dài đoạn thẳng PQ là A 2a + B a C Đồ thị hàm số ( C ) có đường tiệm cận là: TCN   Ta có D a Lời giải Chọn D Gọi P  m; 2a + a ∆1 : y = và TCĐ ∆ : x = m+a  n+a  , Q  n;  ∈ ( C ) , m ≠ n , m ≠ a, n ≠ a m−a  n−a *) d ( P, ∆1 ) + d ( P, ∆ ) = m − a + Dấu “=” xảy ⇔ m −= a m+a 2a 2a −1 = m − a + ≥ m−a = 2a m−a m−a m−a ( ( ) ) m = a + 2a ⇒ P a + 2a ; 2a + 2a ⇔ m = m−a a a P a a a 2 ;1 − ⇒ − −  *) d ( Q, ∆1 ) + d ( Q, ∆ ) = n − a + n+a 2a 2a −1 = n − a + ≥ n−a = 2a n−a n−a n−a ( ( ) ) n = a + 2a ⇒ Q a + 2a ; 2a + 2a  Dấu “=” xảy ⇔ n −= a ⇔ n = n−a a a Q a a ;1 a − ⇒ − −  Vì P, Q là điểm phân biệt nên ta chọn P a + 2a ; 2a + ; Q a − 2a ;1 − 2a ( PQ Do vậy= = 16a a ) ( )