Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc Ay tại H và BD vuông góc với phân giác At của xAy tại D a C/m: Tứ giác ABHD nội tiếp xác định tâm O đường tròn này b C/m: OD//AH c Gọi M là giao điể[r]
(1)Tứ giác nội tiếp (2009 – 2010) 1) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt (O) A’, B’, C’ C/m: BH.BE + CH.CF = BC2 H và A’ đối xứng qua BC B’C’ // EF DE.DF = DC.DB c) Xác định điểm K trên cung nhỏ cung BC BHCK là hình bình hành ^E K E=I C d) Với K tìm câu c Gọi I là giao điểm AK với EF C/m: I ^ 2) Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC Vẽ BH vuông góc DE ( H thuộc DE) Đường thẳng BH cắt DC K a) Tính góc CHK b) AH cắt DB M C/m: MH.MA = MB.MD c) Cho cạnh hình vuông = a Tính EH theo a d) C/m: M, E, K thẳng hàng 3) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN (M, N là tiếp điểm) và cát tuyến bất kì cắt đường tròn P, Q Gọi E là trung điểm PQ a) C/m: điểm O, E, M, A, N cùng thuộc đường tròn b) C/m: EA là phân giác góc MEN c) Gọi I là giao điểm MN và EA C/m: MA2 = AI.AE d) Gọi K là giao điểm ME với (O) C/m: KN // AQ e) C/m: tam giác KEN cân 4) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) M, N, Q C/m: a) Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp b) điểm: B, C, E, F cùng thuộc đường tròn c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC d) H và M đối xứng qua BC e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 5) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Vẽ đường tròn đường kính AH Đường tròn này cắt AB E, cắt AC F a) C/m: AEHF là hình chữ nhật b) C/m: BEFC là tứ giác nội tiếp c) C/m: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là giao điểm CE và BF.Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC 6) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), các đường cao AD, BE cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a) C/m: tứ giác CEHD nội tiếp b) điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn (2) c) C/m: BC = 2ED d) C/m: DE là tiếp tuyến (O) e) Tính DE, biết DH = 2cm; AH = 6cm 7) Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì Kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm) Kẻ AC vuông góc MB; BD vuông góc MA Gọi H là giao điểm AC và BD, I là giao điểm OM và AB a) C/m: tứ giác AMBO nội tiếp b) C/m: điểm O, K, A, M, B cùng thuộc đường tròn c) C/m: OI.OM = R2; OI.IM = IA2 d) C/m: OAHB là hình thoi e) C/m: O, H, M thẳng hàng f) Tìm quĩ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d 8) Cho điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) bất kì qua B và C ( BC không là đường kính (O)) Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến (O) ( E, F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm BC, K là trung điểm EF, giao điểm FI với (O) là D C/m: a) AE2 = AB.AC b) Tứ giác AEOF nội tiếp c) điểm A, E, O, I, F cùng thuộc đường tròn d) ED // AC e) Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc đường thẳng cố định 9) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho 3AI = 2AO Kẻ dây MN vuông góc AB I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C M, N, B) AC cắt MN E a) C/m: Tứ giác IECB nội tiếp b) C/m: Tam giác AME đồng dạng tam giác ACM c) C/m: AM2 = AE.AC d) C/m: AE.AC – AI.IB = AI2 e) Xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ 10) Trên đường tròn (O; R), đường kính AB lấy điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B ( điểm M, E A, B) AM cắt BE C, AE cắt BM D a) C/m: MCED là tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB b) Gọi H là giao điểm CD và AB C/m: BE.BC = BH.BA c) C/m: các tiếp tuyến M và E đường tròn (O) cắt điểm nằm trên đường thẳng CD d) Cho biết B ^A M =45∘ , B ^A E=30∘ Tính diện tích tam giác ABC theo R 11) Cho đường tròn (O; R), dây cung CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO, OM P và Q a) C/m: tứ giác SPMQ, ABOM nội tiếp b) C/m: SA2 = SD.SC (3) c) C/m: OM, OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S d) Khi BC // SA C/m: tam giác ABC cân e) Xác định S thuộc tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng 12) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), phân giác góc B và góc C cắt (O) D, E và chúng cắt F I, K là giao điểm DE với AB, AC a) C/m: tam giác EBF, tam giác DAF cân b) C/m: tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB c) Tứ giác AIFK là hình gì? Vì sao? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK 13) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến B và C (O) cắt D Kẻ cát tuyến DEF song song với AB cắt AC I a) C/m: điểm O, B, I, C, D cùng thuộc đường tròn b) C/m: DC2 = DE.DF c) C/m: I là trung điểm EF d) EF cắt BC K C/m: BK.BC = AB.KD e) Giả sử OD = 2R, J là giao điểm đoạn OD với (O) C/m: OJ.CD = BC.JD 14) Cho góc nhọn xAy Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc Ay H và BD vuông góc với phân giác At xAy D a) C/m: Tứ giác ABHD nội tiếp xác định tâm O đường tròn này b) C/m: OD//AH c) Gọi M là giao điểm AD và BH C/m: MA.MD = MB.MH d) Tiếp tuyến B với (O) cắt tia Ay E và tia At F C/m: Tứ giác HDFE nội tiếp e) Kẻ FK vuông góc với Ay ( K thuộc Ay) C/m: B, D, K thẳng hàng f) Cho x ^A y=60∘ Tính SHDFE theo R là bán kính (O) 15) Cho hình vuông ABCD Gọi M, N là điểm trên cạnh AB và AD cho ^ N =45 ∘ ; CM và CN cắt đường chéo BD theo thứ tự E và F, NE và MF cắt MC H a) C/m: Tứ giác BCFM và DNEC nội tiếp b) C/m: CH vuông góc MN c) C/m: A, M, E, F, N cùng thuộc đường tròn d) So sánh SCEF và SMNFE 16) Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm Điểm M thuộc cạnh AD cho AM = 3cm Vẽ đường tròn tâm O có đường kính BM Đường tròn này cắt AC E ( khác A) a) Tính bán kính đường tròn (O) b) C/m: DC tiếp xúc với (O) c) C/m: tam giác BEM vuông cân d) Tiếp tuyến Bx cắt DC K C/m: M, E, K thẳng hàng 17) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm) a) C/m: Tứ giác OMAN nội tiếp Định tâm đường tròn này b) C/m: OA vuông góc MN I và AI.AO = AM2 c) Gọi K là điểm thuộc đoạn OM, đường thẳng AK cắt (O) E và F ( E nằm A và F) C/m: (4) AE.AF = AI.AO d) C/m: C ^I F= A ^I E 18) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Vẽ (O) đường kính AB và (O’) đường kính AC Hai đường tròn này cắt D khác A a) C/m: AC là tiếp tuyến (O) và AD là đường cao tam giác ABC b) Gọi M là điểm chính cung CD (O’), AM cắt (O) N C/m: N là điểm chính cung AD (O) c) C/m: điểm O, N, O’ thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm MN C/m: tứ giác AOIO’ nội tiếp xác định tâm 19) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O) và đường cao AH ( H thuộc BC) Vẽ đường kính AD (O) a) C/m: AB.AC = AD.AH b) Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC E, F; AD cắt EF, BC I, K C/m: tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc EF HE KM c) Vẽ KM vuông góc AB M và KN vuông góc AC N C/m: HF KN =1 ^ B AC d) Cho B ^A H = ; AH = 6cm; BH = 3cm Tính SABC 20) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao AD; đường kính AM AD cắt (O) K a) C/m: Tứ giác BCMK là hình thang cân b) Gọi H là điểm đối xứng với K qua BC C/m: H là trực tâm tam giác ABC c) BH cắt AC E, CH cắt AB F C/m: Tứ giác BFHD và BFEC nội tiếp d) C/m: AH.AD = AE.AC = AF.AB e) C/m: DH là phân giác góc EDF Từ đó suy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF f) Kéo dài BH cắt (O) K’ C/m: K’ và H đối xứng qua E g) C/m: AB.AC = AD.AM AB AC BC h) C/m: S ABC= 4R i) C/m: trung điểm I AH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF j) Cho AE = 3; CE = 4; BH = Tính HE 21) Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ điểm M thuộc tia đối tia AB, vẽ tiếp tuyến MC, MD ( C, D thuộc (O)) Vẽ CE vuông góc BD E Gọi F là trung điểm CE, BF cắt (O) G Họi H là giao điểm AB và CD a) C/m: HF vuông góc CE b) C/m: Tứ giác CGHF nội tiếp c) C/m: Tứ giác MGHD nội tiếp d) C/m: BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MGC 22) Cho đường tròn (O; R), S ngoài (O) cho SO = 2R Kẻ các tiếp tuyến SA, SB đến (O), kẻ cát tuyến SMN, I là trung điểm MN Kẻ MH vuông góc AO, MH cắt AB E, cắt AN D a) C/m: tam giác SAB Tính SABS b) C/m: S, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn c) C/m: SA2 = SM.SN (5) d) C/m: tứ giác IEMB nội tiếp e) C/m: E là trung điểm MD 23) Cho AB là dây cung (O) có I là trung điểm AB Qua I vẽ dây cung CD và EF ( C, E thuộc cung AB nhỏ), CF cắt AB M, ED cắt AB N Kẻ OH vuông góc DE; OK vuông góc CF a) C/m: ID.IC = IE.IF b) C/m: tam giác HEI đồng dạng tam giác KCI c) C/m: I là trung điểm MN d) Giả sử CD vuông góc với EF, J là trung điểm CE C/m: FD = 2OJ 24) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) E Gọi K và M là hình chiếu D trên AB và AC C/m: a) AMDK là tứ giác nội tiếp b) Tam giác AKM cân c) AD2 = AB.AC – DB.DC d) SAKEM = SABC 25) Cho tam giác ABC có góc nhọn ( AB < AC ), đường tròn (O) đường kính BC cắt AB F và AC E; CF và BE cắt H C/m: a) AH vuông góc BC D ( D thuộc BC ) b) AF.AB = AH.AD = AE.AC c) Tứ giác DOEF nội tiếp d) Cho BC = 2R và B ^A C=60∘ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác DOEF theo R 26) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC Các đường phân giác góc B và góc C cắt I và cắt (O) D và E Dây DE cắt AB, AC thứ tự H và K C/m: a) Tam giác AHK cân b) Các tứ giác KICD và HIBE nội tiếp c) AKIH là hình thoi d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ADIE là hình thoi 27) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) ( AB < AC ) Hai đường cao BD và CE cắt H a) C/m: các tứ giác AEHD và BCDE nội tiếp đường tròn b) Kẻ đường kính AI (O) Gọi (d) là tiếp tuyến A (O) C/m: (d) // DE c) Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC M và N C/m: AI vuông góc với MN d) Gọi K là điểm đối xứng O qua BC Tính độ dài HK theo R 28) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) (AB < AC) Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H a) C/m: tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn này b) Vẽ đường kính AK (O) C/m: AK vuông góc EF c) C/m: H, I, K thẳng hàng FE d) Biết BC = Tính FE theo R (6) 29) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF cắt H a) C/m: Các tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp Xác định tâm I đường tròn (BCEF) b) Gọi K là điểm đối xứng H qua I C/m: AK là đường kính (O) c) Cho góc BAC = α , C/m: EF = AH.sin α d) Gọi M là giao điểm AH và EF, N là giao điểm AK và BC C/m: MN//KH 30) Cho tam giác ABC có góc nhọn (AB>AC), nội tiếp (O) đường cao AD, BE, CF đồng qui H a) C/m: BCEF nội tiếp Xác định tâm I và bán kính đường tròn (BCEF) b) Vẽ đường kính AK (O) C/m: điểm H, I, K thẳng hàng c) Gọi M là giao điểm AH và EF, N là giao điểm AK và BC C/m: MN//HK d) Cho AH = BC = 2a Tính góc BAC 31) Cho (O) Từ M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC cho tâm O nằm tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu A lên MO a) C/m: MAOI nội tiếp b) C/m: MA2 = MB.MC và tứ giác CHOB nội tiếp MC AC2 c) C/m: MB = AB d) Tia OI cắt (O) N, AN cắt CB K C/m: KC.MA = KB.MC 32) Cho đường tròn (O) dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung BC lớn (AC>AB; AC>CB) Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D và C cắt E Gọi P, Q là giao điểm các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE a) C/m: ED//BC b) C/m: Tứ giác PACQ nội tiếp c) C/m: PBCQ là hình thang 1 d) Gọi R là giao điểm AD với BC C/m: CE =CQ + CR 33) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O; R) các đường cao BD, CE cắt H a) C/m: Các tứ giác AEHD, BEDC nội tiếp b) Vẽ đường kính AN (O) C/m: BHCN là hình bình hành c) C/m: AN vuông góc ED d) Gọi F, K là trung điểm AH và BC C/m: đường tròn đường kính FK qua trung điểm BC 34) Cho M nằm ngoài đường tròn (O, R), đường kính AB ( A nằm M, O) Trên cùng nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến ME vả cát tuyến MCD với (O) a) C/m: ME2 = MC.MD b) Kẻ dây EF vuông góc AB H C/m: CDOH nội tiếp c) CD cắt EB I C/m: F, O, I thẳng hàng d) C/m: HN là tiếp tuyến đường tròn đường kính OB (7) (8)