Tứ giác nội tiếp (2009 – 2010) 1) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF lần lượt cắt (O) tại A’, B’, C’. C/m: • BH.BE + CH.CF = BC 2 • H và A’ đối xứng nhau qua BC • B’C’ // EF • DE.DF = DC.DB c) Xác định điểm K trên cung nhỏ cung BC để cho BHCK là hình bình hành d) Với K tìm được ở câu c. Gọi I là giao điểm của AK với EF. C/m: ECIEKI ˆ ˆ = 2) Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm BC. Vẽ BH vuông góc DE ( H thuộc DE). Đường thẳng BH cắt DC ở K a) Tính góc CHK b) AH cắt DB tại M. C/m: MH.MA = MB.MD c) Cho cạnh hình vuông = a. Tính EH theo a d) C/m: M, E, K thẳng hàng. 3) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN (M, N là tiếp điểm) và 1 cát tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q. Gọi E là trung điểm PQ a) C/m: 5 điểm O, E, M, A, N cùng thuộc 1 đường tròn b) C/m: EA là phân giác của góc MEN c) Gọi I là giao điểm của MN và EA. C/m: MA 2 = AI.AE d) Gọi K là giao điểm của ME với (O). C/m: KN // AQ e) C/m: tam giác KEN cân 4) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, Q. C/m: a) Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp b) 4 điểm: B, C, E, F cùng thuộc 1 đường tròn c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC d) H và M đối xứng nhau qua BC e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 5) Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Vẽ đường tròn đường kính AH. Đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F a) C/m: AEHF là hình chữ nhật b) C/m: BEFC là tứ giác nội tiếp c) C/m: AB.AE = AC.AF d) Gọi M là giao điểm của CE và BF.Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC 6) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a) C/m: tứ giác CEHD nội tiếp b) 4 điểm A, E, D, B cùng nằm trên 1 đường tròn c) C/m: BC = 2ED d) C/m: DE là tiếp tuyến của (O) e) Tính DE, biết DH = 2cm; AH = 6cm 7) Cho đường tròn (O; R). Từ 1 điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì. Kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm). Kẻ AC vuông góc MB; BD vuông góc MA. Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB a) C/m: tứ giác AMBO nội tiếp b) C/m: 5 điểm O, K, A, M, B cùng thuộc 1 đường tròn c) C/m: OI.OM = R 2 ; OI.IM = IA 2 d) C/m: OAHB là hình thoi e) C/m: O, H, M thẳng hàng f) Tìm quĩ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d 8) Cho 3 điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kì đi qua B và C ( BC không là đường kính của (O)). Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến (O) ( E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm EF, giao điểm của FI với (O) là D. C/m: a) AE 2 = AB.AC b) Tứ giác AEOF nội tiếp c) 5 điểm A, E, O, I, F cùng thuộc 1 đường tròn d) ED // AC e) Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc 1 đường thẳng cố định 9) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho 3AI = 2AO. Kẻ dây MN vuông góc AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C ≠ M, N, B). AC cắt MN tại E a) C/m: Tứ giác IECB nội tiếp b) C/m: Tam giác AME đồng dạng tam giác ACM c) C/m: AM 2 = AE.AC d) C/m: AE.AC – AI.IB = AI 2 e) Xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất 10) Trên đường tròn (O; R), đường kính AB lấy 2 điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B ( 2 điểm M, E ≠ A, B). AM cắt BE tại C, AE cắt BM tại D a) C/m: MCED là 1 tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. C/m: BE.BC = BH.BA c) C/m: các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường thẳng CD d) Cho biết 30 ˆ ,45 ˆ == EABMAB . Tính diện tích tam giác ABC theo R. 11) Cho đường tròn (O; R), 1 dây cung CD có trung điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO, OM tại P và Q a) C/m: tứ giác SPMQ, ABOM nội tiếp b) C/m: SA 2 = SD.SC c) C/m: OM, OQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm S d) Khi BC // SA. C/m: tam giác ABC cân e) Xác định S thuộc tia đối của tia DC để C, O, B thẳng hàng 12) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), phân giác góc B và góc C cắt (O) tại D, E và chúng cắt nhau tại F. I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB, AC a) C/m: tam giác EBF, tam giác DAF cân b) C/m: tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB c) Tứ giác AIFK là hình gì? Vì sao? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. 13) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Kẻ cát tuyến DEF song song với AB cắt AC tại I a) C/m: 5 điểm O, B, I, C, D cùng thuộc 1 đường tròn b) C/m: DC 2 = DE.DF c) C/m: I là trung điểm EF d) EF cắt BC tại K. C/m: BK.BC = AB.KD e) Giả sử OD = 2R, J là giao điểm của đoạn OD với (O). C/m: OJ.CD = BC.JD 14) Cho góc nhọn xAy. Từ điểm B trên tia Ax kẻ BH vuông góc Ay tại H và BD vuông góc với phân giác At của xAy tại D a) C/m: Tứ giác ABHD nội tiếp xác định tâm O đường tròn này b) C/m: OD//AH c) Gọi M là giao điểm của AD và BH. C/m: MA.MD = MB.MH d) Tiếp tuyến tại B với (O) cắt tia Ay tại E và tia At tại F. C/m: Tứ giác HDFE nội tiếp e) Kẻ FK vuông góc với Ay ( K thuộc Ay). C/m: B, D, K thẳng hàng f) Cho 60 ˆ =yAx . Tính S HDFE theo R là bán kính của (O) 15) Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh AB và AD sao cho 45 ˆ =NCM ; CM và CN cắt đường chéo BD theo thứ tự ở E và F, NE và MF cắt nhau tại H a) C/m: Tứ giác BCFM và DNEC nội tiếp b) C/m: CH vuông góc MN c) C/m: A, M, E, F, N cùng thuộc 1 đường tròn d) So sánh S CEF và S MNFE 16) Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM = 3cm. Vẽ đường tròn tâm O có đường kính BM. Đường tròn này cắt AC ở E ( khác A) a) Tính bán kính đường tròn (O) b) C/m: DC tiếp xúc với (O) c) C/m: tam giác BEM vuông cân d) Tiếp tuyến Bx cắt DC tại K. C/m: M, E, K thẳng hàng 17) Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Vẽ 2 tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). a) C/m: Tứ giác OMAN nội tiếp. Định tâm đường tròn này b) C/m: OA vuông góc MN tại I và AI.AO = AM 2 c) Gọi K là điểm thuộc đoạn OM, đường thẳng AK cắt (O) tại E và F ( E nằm giữa A và F). C/m: AE.AF = AI.AO d) C/m: EIAFIC ˆˆ = 18) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ (O) đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại D khác A a) C/m: AC là tiếp tuyến của (O) và AD là đường cao của tam giác ABC b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD của (O’), AM cắt (O) tại N. C/m: N là điểm chính giữa cung AD của (O) c) C/m: 3 điểm O, N, O’ thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm MN. C/m: tứ giác AOIO’ nội tiếp được xác định tâm 19) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) và đường cao AH ( H thuộc BC). Vẽ đường kính AD của (O). a) C/m: AB.AC = AD.AH b) Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại E, F; AD cắt EF, BC lần lượt tại I, K. C/m: tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc EF c) Vẽ KM vuông góc AB tại M và KN vuông góc AC tại N. C/m: 1. = KN KM HF HE d) Cho 3 ˆ ˆ CAB HAB = ; AH = 6cm; BH = 3cm. Tính S ABC 20) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O; R) có đường cao AD; đường kính AM. AD cắt (O) tại K a) C/m: Tứ giác BCMK là hình thang cân b) Gọi H là điểm đối xứng với K qua BC. C/m: H là trực tâm của tam giác ABC c) BH cắt AC tại E, CH cắt AB tại F. C/m: Tứ giác BFHD và BFEC nội tiếp d) C/m: AH.AD = AE.AC = AF.AB e) C/m: DH là phân giác của góc EDF. Từ đó suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF f) Kéo dài BH cắt (O) tại K’. C/m: K’ và H đối xứng nhau qua E g) C/m: AB.AC = AD.AM h) C/m: R BCACAB S ABC 4 = i) C/m: trung điểm I của AH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF j) Cho AE = 3; CE = 4; BH = 4. Tính HE 21) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm M thuộc tia đối của tia AB, vẽ tiếp tuyến MC, MD ( C, D thuộc (O)). Vẽ CE vuông góc BD tại E. Gọi F là trung điểm của CE, BF cắt (O) tại G. Họi H là giao điểm của AB và CD a) C/m: HF vuông góc CE b) C/m: Tứ giác CGHF nội tiếp c) C/m: Tứ giác MGHD nội tiếp d) C/m: BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MGC 22) Cho đường tròn (O; R), S ở ngoài (O) sao cho SO = 2R. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB đến (O), kẻ cát tuyến SMN, I là trung điểm MN. Kẻ MH vuông góc AO, MH cắt AB tại E, cắt AN tại D. a) C/m: tam giác SAB đều. Tính S ABS b) C/m: S, A, O, I, B cùng thuộc 1 đường tròn c) C/m: SA 2 = SM.SN d) C/m: tứ giác IEMB nội tiếp e) C/m: E là trung điểm MD 23) Cho AB là dây cung của (O) có I là trung điểm AB. Qua I vẽ 2 dây cung CD và EF ( C, E thuộc cung AB nhỏ), CF cắt AB tại M, ED cắt AB tại N. Kẻ OH vuông góc DE; OK vuông góc CF a) C/m: ID.IC = IE.IF b) C/m: tam giác HEI đồng dạng tam giác KCI c) C/m: I là trung điểm MN d) Giả sử CD vuông góc với EF, J là trung điểm CE. C/m: FD = 2OJ 24) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại E. Gọi K và M lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. C/m: a) AMDK là tứ giác nội tiếp b) Tam giác AKM cân c) AD 2 = AB.AC – DB.DC d) S AKEM = S ABC 25) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ), đường tròn (O) đường kính BC cắt AB tại F và AC tại E; CF và BE cắt nhau tại H. C/m: a) AH vuông góc BC tại D ( D thuộc BC ) b) AF.AB = AH.AD = AE.AC c) Tứ giác DOEF nội tiếp d) Cho BC = 2R và 60 ˆ =CAB . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DOEF theo R 26) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. Các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt AB, AC thứ tự tại H và K C/m: a) Tam giác AHK cân b) Các tứ giác KICD và HIBE nội tiếp được c) AKIH là hình thoi d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác ADIE là hình thoi 27) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O; R ) ( AB < AC ). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H a) C/m: các tứ giác AEHD và BCDE nội tiếp được đường tròn b) Kẻ đường kính AI của (O). Gọi (d) là tiếp tuyến tại A của (O). C/m: (d) // DE c) Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại M và N. C/m: AI vuông góc với MN d) Gọi K là điểm đối xứng của O qua BC. Tính độ dài HK theo R 28) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) (AB < AC). Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) C/m: tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này b) Vẽ đường kính AK của (O). C/m: AK vuông góc EF c) C/m: H, I, K thẳng hàng d) Biết 2 1 = BC FE . Tính FE theo R 29) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) C/m: Các tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn (BCEF) b) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I. C/m: AK là đường kính của (O) c) Cho góc BAC = α , C/m: EF = AH.sin α d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, N là giao điểm của AK và BC. C/m: MN//KH 30) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB>AC), nội tiếp (O). 3 đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H a) C/m: BCEF nội tiếp. Xác định tâm I và bán kính của đường tròn (BCEF) b) Vẽ đường kính AK của (O). C/m: 3 điểm H, I, K thẳng hàng c) Gọi M là giao điểm AH và EF, N là giao điểm của AK và BC. C/m: MN//HK d) Cho AH = BC = 2a. Tính góc BAC 31) Cho (O). Từ M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC sao cho tâm O nằm trong tam giác ABC. Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu của A lên MO a) C/m: MAOI nội tiếp b) C/m: MA 2 = MB.MC và tứ giác CHOB nội tiếp c) C/m: 2 2 AB AC MB MC = d) Tia OI cắt (O) tại N, AN cắt CB tại K. C/m: KC.MA = KB.MC 32) Cho đường tròn (O) dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung BC lớn (AC>AB; AC>CB). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. a) C/m: ED//BC b) C/m: Tứ giác PACQ nội tiếp c) C/m: PBCQ là hình thang d) Gọi R là giao điểm AD với BC. C/m: CRCQCE 111 += 33) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R) các đường cao BD, CE cắt nhau tại H a) C/m: Các tứ giác AEHD, BEDC nội tiếp b) Vẽ đường kính AN của (O). C/m: BHCN là hình bình hành c) C/m: AN vuông góc ED d) Gọi F, K lần lượt là trung điểm của AH và BC. C/m: đường tròn đường kính FK qua trung điểm của BC 34) Cho M nằm ngoài đường tròn (O, R), đường kính AB ( A nằm giữa M, O). Trên cùng nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến ME vả cát tuyến MCD với (O) a) C/m: ME 2 = MC.MD b) Kẻ dây EF vuông góc AB tại H. C/m: CDOH nội tiếp c) CD cắt EB tại I. C/m: F, O, I thẳng hàng d) C/m: HN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OB . CE b) C/m: Tứ giác CGHF nội tiếp c) C/m: Tứ giác MGHD nội tiếp d) C/m: BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MGC 22) Cho đường tròn (O; R), S ở ngoài (O) sao cho SO = 2R. Kẻ các tiếp tuyến. Tứ giác nội tiếp (2009 – 2010) 1) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a) Tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,. cân b) C/m: tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB c) Tứ giác AIFK là hình gì? Vì sao? d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK. 13)