BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 NĂM 2020

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP NĂM 2020 Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 - 2021 (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: Tốn lớp – Vịng (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) 2x  x  2x    x  5x  x   x a) Rút gọn A Cho A  b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình: (x  x  1)2  x2  10 x  b) Chứng minh rằng: Nếu Bài 1 1 1    a  b  c  abc ta có    a b c a b c (4,0 điểm) a) Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn M x2 y2 2x x Chứng minh: xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x Câu 2y y x2 ) 4y(y 1) (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Vẽ đường cao AH  H  BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh Câu (2,0 điểm) Cho a b c BPC AH BC   BH BI Tìm GTNN biểu thức: a L a b b b c c c a  HẾT  Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƢỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN (2020 – 2021) Câu (4,0 điểm) Cho A  2x  x  2x    x  5x  x   x a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Lời giải a) Rút gọn A A x    x  3 x  3   x   x   (x  2)(x  3) x2  x  A (x  2)(x  3) A  x   x    x  (x  2)(x  3) x 3 (ĐKXĐ: x  2;3 ) b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên A x4  1 x 3 x 3 Để A nguyên Đặt số nguyên x3  k (1) với k  Z , k  x 3 (1)  x   k  3  k  x     k  7 Lại có:  x  3    k Vậy với x   Câu với k  z, k  0; 7 A có giá trị số nguyên k (4,0 điểm) a) Giải phương trình: (x  x  1)2  x2  10 x  Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1    a  b  c  abc ta có    a b c a b c b) Chứng minh rằng: Nếu Lời giải a) Giải phương trình: (x  x  1)2  x2  10 x    x  5x  1   x  x  1     x  x   1  x   x2  5x    x  Vậy tập nghiệm phương trình là: S  0;5 1 1 1 2   2       4 a b c a b c ab ac bc b) Ta có:  1 2(a  b c) 1 2abc  2 2 4     4 a b c abc a b c abc Vậy: Câu 1   2 a b2 c2 (4,0 điểm) a) Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn M x2 2x x 2y y Chứng minh: xy bình phương số hữu tỷ y2 b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x x2 ) 4y(y 1) Lời giải a) Ta có : 2x x 2y y y 2x 1 2x y 2xy x 2y 2xy 2y x x x x y xy 3xy x y 3xy 3xy 2 Ta có: M x2 y2 Vì x, y nên 3xy số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ xy x y 3xy 3xy b) Ta có : x2 ) x(1 x x x2 x2 x3 4y(y 1) 1 x 4y (1) 4y 2y Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi d x2 1, x Do 2y Ta có: x d số lẻ d số lẻ x2 d x x d Lại có: x d d mà d số lẻ nên d Do đó: x x hai số nguyên tố Với x, y số tự nhiên 2y số phương nên x số phương Lại có x va x hai số phương liên tiếp x x Thay x vào phương trình (1) ta tìm y y Vậy cặp số tự nhiên (x, y) 0;0 ; 0;1 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Vẽ đường cao AH  H  BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BPC AH BC   BH BI Lời giải P A Q I K B H C a) Chứng minh KAC  PBC Hai tam giác CKP CAB có CKP  CAB  90 ACB chung nên CKP CAB Do suy CK CA  Đến ta lại có CAK CP CB CBP nên KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ BPC Ta có AKH vng cân H nên AKH  90 Do từ CAK CBP ta AKH  CPB  45 Suy BAP vuông cân A nên BP  AB Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có BHA Suy BH AB  BA AC BAC nên BH AB BH AB BH BP BH 2BQ BQ         BC BP BC BP 2BC BC AB BC AB Do BHQ BPC AH BC   BH BI c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh Ta có BAP vng cân A với AQ đường trung tuyến nên AQ phân giác Do AI phân giác ngồi ABC Suy IB AB  IC AC Lại có BHA AB HB  Kết hợp kết lại ta AC HA BAC nên IC HA IB  BC HA BC HA AH BC    1    1 IB HB IB HB IB HB BH BI Câu (2 điểm)Cho a b Tìm GTNN biểu thức: L c a a b b b c c c a Lời giải a Ta có A a b a b a b b c b c a b a b b a a c a c b c c a b c a a b b c a b a c b c c b a b c c a Dấu " " xảy a Vậy GTNN A c a c a a c a b b c c a a b a c b c b c c a c a c b b c c a c a b a b a b b c a (Do a b b c 0) c a b c  HẾT  Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút Câu 1: ( 2,5 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n3  n2    36n  n    b) Cho P  n4  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Câu 2: (2,0 điểm) a) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn a  2020 2020  1 chia hết  2021a  b) Cho đa thức F  x   x3  ax  b với  a, b  R  Biết đa thức F  x  chia cho  x   dư 12, F  x  chia cho  x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: B   6a  3b  11 26  5a  5b  Câu 3: (1.5 điểm) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương Câu 4: (2 điểm) Câu 5: Chứng minh a  b  c  b  c  a   c  a  b  a  b  c   b  a  c  a  c  b  (2 điểm) 2 x  y x y   2 Cho x  y  1, xy  Tính P  y 1 x 1 x y  Câu 6: (1,5 điểm) Cho x   y Câu 7: (2 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  xy( x  2)( y  6)  12 x2  24 x  y  y  2050 (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 8: Câu 9: 2 y y2 y4 y8 x     2020 Tính tỉ số ? 4 8 x y x  y x y x y y Liên hệ tài liệu word môn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 10: (1 điểm) Cho lưới vng có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiơ lưới số -1, 0, Xét tổng số theo cột, theo hàng theo hàng chéo Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị HẾT Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƢỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN HUYỆN LẬP THẠCH Năm học: 2020-2021 Câu 1: ( 2,5 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n3  n2    36n  n    b) Cho P  n4  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Lời giải 2 a) A   n3  n2    36n   n  n2  n2    62   n  n3  7n   62        A  n  n3  7n   n3  7n    n  n   n  1 n  3 n  1 n  3 n   Tích số liên tiếp nên A b) Cho P  n4  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Nếu n   P    số nguyên tố ( thỏa mãn) n   P  54   629 số nguyên tố ( loại) Nếu n  5, n  n có dạng: n  5k  1 k  1 n  5k   P   5k    5k    5k    5k    4  P  n4    5k  1    5k    5k    5k   4.5k  4 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho n  5k   P   5k    5k    5k  22   5k  23  24  4  P   5k    5k    5k  22   5k  23  20 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho n  5k   P   5k    5k    5k  32   5k  33  34  4  P  n4    5k  3    5k    5k    5k  32  4.5k.33  85 4 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho n  5k   P   5k    5k    5k  42   5k  43  44  4  P   5k    5k    5k  42   5k  43  260 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho Vậy n  Câu 2: (2,0 điểm) Liên hệ tài liệu word môn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn a  2020 2020  1 chia hết  2021a  b) Cho đa thức F  x   x3  ax  b với  a, b  R  Biết đa thức F  x  chia cho  x   dư 12, F  x  chia cho  x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: B   6a  3b  11 26  5a  5b  Lời giải a) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn a  2020 2020  1 chia hết  2021a  Nếu a chẵn:    2020 Mà  2020     1 a  1 số lẻ  vơ lý Có a3  2021a  a a  2021 2020 2020 +Nếu a lẻ       2020  1  a  2021 Mà  a  2021 số chẵn  vơ lý Có a3  2021a  a a  2021 2020 2 Vậy không tồn số nguyên a b) Cho đa thức F  x   x3  ax  b với  a, b  R  Biết đa thức F  x  chia cho  x   dư 12 F  x  chia cho  x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: B   6a  3b  11 26  5a  5b  x3  ax  b   x    x  x  a    b   a   x3  ax  b   x  1  x  x  a  1  b   a  1  a  b  5 a  b   a    12     2a  b  b  2  b   a  1  6 B   6a  3b  11 26  5a  5b    6.3  3.2  11 26  5.3  5.2   Vậy B  Câu 3: (1.5 điểm) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A C' N M H B' C A' I B ⋅ ′ S HBC HA BC HA′ a) Ta= có ; = S ABC ⋅ AA′ BC AA′ S HC ′ S HAC HB′ Tương= tự: HAB = ; S ABC CC ' S ABC BB′ HA′ HB′ HC ′ S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA′ BB′ CC ′ S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC , ABI , ACI BI AB AN AI CM IC = = ; = ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN.CM = BN IC.AM = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức:  x +1 x2 −  x2 + x − − A=  :  − x x − x  x2 − x +  x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x + x + x − = 1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: + + = x y z c Tìm số nguyên x để đa thức x3 − x + x − chia hết cho đa thức x + Bài 3: (4,0 điểm) a Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a + b + c = Tính giá trị biểu thức a a − b2 − c2 c2 + a − b2 P= 2 c b − c − a c2 − a − b2 b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a + b + c + 2abc < Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H ∈ BC ), MK vng góc với CD ( K ∈ CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC + CK KD = BM MD c Xác định vị trí điểm M BD để ( BH HC + CK KD ) lớn Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c ( a − b ) = 20202019 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức:  x +1 x2 −  x2 + x − − A=  :  − x x − x  x2 − x +  x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Lời giải a) ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ x ≠ −1  x +1 x2 −  x2 + x A=  − − :  − x x − x  x2 − 2x +  x x + 1)( x − 1) + x − x + x ( x + 1) ( = : x ( x − 1) ( x − 1) x + ( x − 1) = x ( x − 1) x ( x + 1) = x −1 x2 Vậy với x ≠ 0, x ≠ x ≠ −1 A = b) Ta có A = x −1 x2 x −1 x2 x −1 − A− = x2 4 −x + 4x − = 4x2 − ( x − 2) = ≤0 x2 ⇒ A− ≤ (với x thuộc ĐKXĐ ) ⇒ A≤ Dấu " = " xảy x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy GTLN biểu thức A = x = Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x + x + x − = 1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: + + = x y z c Tìm số nguyên x để đa thức x3 − x + x − chia hết cho đa thức x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a Giải phương trình: x + x + x − = x4 + x2 + x − = ⇔ x4 − x2 + x2 − x + 8x − = ⇔ x4 − x2 + x2 − x + 8x − = ⇔ x ( x − 1) + x ( x − 1) + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x3 + x + x + ) = ⇔ ( x − 1)( x + ) ( x − x + ) =  x − =0  ⇔ x + =  x − x + = vơ nghiệm Phương trình x − x + = x = ⇔  x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình S= {1; −2} 1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: + + = x y z Khơng tính tổng quát giả sử x ≤ y ≤ z *) Khi x = ⇒ khơng tìm giá trị y ,z *) Khi x=2 ⇒ 1 + = x y +) y = khơng tìm z +) y = ta có z = +) y = ta có z = +) y ≥ mà y ≤ z ⇒ z ≥ Khơng có giá trị y, z thỏa mãn *) Khi x = ⇒ 1 + = y z +) y = thay vào ta z = +) y ≥ ⇒ z ≥ ⇒ ⇒ 1 1 1 + + ≤ + + = Chứng minh tương tự − a > 0,1 − b > Do (1 − a )(1 − b )(1 − c ) > ⇔ − ( a + b + c ) + ab + bc + ac − abc > ⇔ − ( a + b + c ) + ( ab + bc + ac ) − 2abc > (1) Ta có (a + b + c) = a + b + c + ( ab + ac + bc ) ⇔ 22 = a + b + c + ( ab + ac + bc ) ⇔ ( ab + ac + bc ) =4 − ( a + b + c ) Thay vào biểu thức (1) ta − ( a + b + c ) + ( ab + bc + ac ) − 2abc > ⇔ − 2.2 + − ( a + b + c ) − 2abc > ⇔ ( a + b + c ) + 2abc < (dpcm) Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H ∈ BC ), MK vng góc với CD ( K ∈ CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC + CK KD = BM MD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c Xác định vị trí điểm M BD để ( BH HC + CK KD ) lớn Lời giải E A B I F N M D O H C K a Gợi ý: - Chứng minh tứ giác OAFD hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường - Chứng minh AD ⊥ OF b Chứng minh: BH HC + CK KD = BM MD = DC + BC (định lý Pytago) Xét tam giác vuông BDC ta có BD Do ( MD + MB ) = ( KD + KC ) + ( HB + HC ) 2 ⇒ MD + MB + MD.MB = KD + KC + HB + HC + DK KC + HB.HC dễ dàng chứng minh MD = DK + HC 2 MB = HB + KC BM MD Do BH HC + CK KD = c Để ( BH HC + CK KD ) lớn ⇒ MB.MD Mà lớn ( MD + MB ) MB.MD ≤ BD = dấu "=" xảy MB = MD ⇒ M ≡ O Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c ( a − b ) = 20202019 Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 20202019 a ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c ( a − b ) = 20202019 ⇒ a ( b − c ) + b3 ( c − b + b − a ) + c ( a − b ) = 20202019 ⇒ a ( b − c ) + b3 ( c − b ) + b3 ( b − a ) + c ( a − b ) = 20202019 ⇒ ( b − c ) ( a − b3 ) − ( a − b ) ( b3 − c ) = 20202019 ⇒ ( a − b )( b − c ) ( a + ab + b − b − bc − c ) = 20202019 ⇒ ( a − b )( b − c ) ( a − c + ab − bc ) = 20202019 ⇒ ( a − b )( b − c ) ( a − c + ab − bc ) = ⇒ ( a − b )( b − c )( c − a )( a + b + c ) = 20202019 * Nếu a, b, c có hai số chia cho có số dư a − b  b − c  c − a  * Nếu a, b, c chia cho có số dư khác a + b + c  Do ( a − b )( b − c )( c − a )( a + b + c ) a, b, c ∈ Z mà 2020 không chia hết 20202019 không chia hết cho Do khơng tồn a, b, c ∈ Z thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ LAI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN CẤP THÀNH PHỐ LỚP NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm)  x + 3x   6x  + − P  Cho biểu thức:= :  2  x + 3x + 9x + 27 x +   x − x − 3x + 9x − 27  a) Rút gọn P b) Với x > giá trị biểu thức P khơng nhận giá trị nào? Bài 2: (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 − 19 x − 30 b) Tìm số nguyên n để B = n − n + 13 số phương Bài 3: (4,0 điểm) a) Giả sử đa thức f ( x ) chia cho x − dư 11 , chia cho x − x + dư x + Tìm phần dư chia f ( x ) cho g ( x ) = x3 − x + x − 1 yz zx xy + + = Tính giá trị biểu thức sau: B = + + x y z x y z Bài 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC > CB , nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM BCEF Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh rằng: a) AE ⊥ BN b) M , D, H , F thẳng hàng c) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB b) Cho Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x2 + 2x + x2 + = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT  x + 3x   6x  + − P  Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: = :  2  x + 3x + 9x + 27 x +   x − x − 3x + 9x − 27  a) Rút gọn P b) Với x > giá trị biểu thức P không nhận giá trị nào? Lời giải  x + 3x   6x  + − P  a)= :  2  x + 3x + 9x + 27 x +   x − x − 3x + 9x − 27      ( x + 3) x + 3x 6x  :  = + −  ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + 3)   x − ( x + ) ( x + 3)  = x + 3x + 3x + x2 + − x : ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x − 3) x+3 x −3 x+3 b) Vì P = ⇒ P.x − 3.P =+ x ⇔ ( P − 1) x =+ 3P x −3 TH 1: Nếu P =⇒ 0x = (vơ lí) ⇒ loại 3P + TH : Nếu P ≠ ⇒ x = P −1  3P + >  P > 3P + P + > >0⇔ ⇔ + Do x > ⇒  3P + < P −1  P < −1    P − < 3P + + Do x ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ −3 (đúng) P −1 3P + + Do x ≠ −3 ⇒ ≠ −3 ⇒ P ≠ ⇔ P ≠ P −1 Vậy với x > P khơng nhận giá trị thỏa mãn −1 ≤ P ≤ Bài 2: (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 − 19 x − 30 b) Tìm số nguyên n để B = n − n + 13 số phương Lời giải a = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x3 − 19 x − 30 = x3 − x + x − 25 x + x − 30 = x ( x − 5) + 5x ( x − 5) + ( x − 5) = ( x − 5) ( x + 5x + ) = ( x − 5) ( x + x + 3x + ) = ( x − 5)( x + )( x + 3) b Do n − n + 13 số phương = a ( a ∈ Z , ∀n ∈ Z ) Đặt n − n + 13 ⇔ 4n − 4n + 52 = 4a ⇔ 4n − 2.2n.1 + + 51 =4a ⇔ ( 2n − 1) + 51 = 4a 2 ⇔ 51 = 4a − ( 2n − 1) ( 2a − 2n + 1) ( 2a + 2n − 1) ⇔ ( 2a − 2n + 1) ( 2a + 2n − 1) ∈ Ư ( 51) Mà Ư ( 51) = {±1; ±3; ±17; ±51} ⇔ 51 = Ta có bảng sau: 2a-2n+1 2a+2n-1 51 n 13 a 13 -1 -51 -13 -17 -51 -1 -12 -13 51 13 13 17 -3 -17 -4 -3 -17 -3 -4 17 -4 Vậy n − n + 13 số phương n ∈ {±3; ±4; ±13; −17} Bài 3: (4,0 điểm) a) Giả sử đa thức f ( x ) chia cho x − dư 11 , chia cho x − x + dư x + Tìm phần dư chia f ( x ) cho g ( x ) = x3 − x + x − b) Cho yz zx xy 1 + + = Tính giá trị biểu thức sau: B = + + x y z x y z Lời giải a) Có: g ( x ) = x3 − x + x − = ( x − ) ( x − x + 1) Đặt đa thức chia f(x) cho g(x) ax + bx + c 11 Ta có: f(x) : (x-2) dư 11 ⇒ f ( ) = Vì= f ( x) g ( x).Q ( x ) + ax + bx + c ⇒ f (2) = 0.Q(2) + 4a + 2b + c ⇒ f (2) = 4a + 2b + c 11 Hay: 4a + 2b + c = f ( x) g ( x).Q ( x ) + ax + bx + c Vì= ⇒ f ( x) ( x − x + 1) ⇒ g ( x).Q( x) x − x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nên f ( x) : ( x − x + 1) dư x + ⇒ ax + bx + c : ( x − x + 1) dư x + ⇒ ax + bx += c a ( x − x + 1) + ( b + a ) x + ( c + a ) Đặt tính chia b + a = ⇒ ⇒ b−c = 1(1) c + a = Có: 4a + 2b + c = 11 ⇒ 4a + 3b + c − b = 11( ) a + b = ⇒ 4a + 4b = 12 ⇒ b = ⇒ a =3−b =3 Mà b − c = ⇒ c = b − = − = −1 Vậy phần dư chia f(x) cho g(x) x − Chứng minh a + b3 + c3 = b) Xét toán phụ: a + b + c = 3abc (*) Giải toán phụ: a + b + c =0 ⇔ a + b =−c Có: a + b3 + c 12 mà Từ (1) (2) ⇒ 4a + 3b = = a + b3 − ( a + b ) = a + b3 − a − 3ab ( a + b ) − b3 = −3ab ( a + b ) = 3abc Áp dụng tốn (*) Có: 1 + + = x y z 1 ⇒ + + = (1) x y z xyz Có: yz xz xy B= + + x y z xyz xyz xyz = + + x y z  1 1 = xyz  + +  y z  x = B Thay (1) vào B được: xyz = xyz Vậy B = Bài 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC > CB , nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vng ACNM BCEF Gọi H giao điểm AE BN, D giao điểm BE AN Chứng minh rằng: a) AE ⊥ BN b) M , D, H , F thẳng hàng c) Đường thẳng MF qua điểm cố định C di chuyển AB Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải M N D H O A F E C B = 450 (t/c) a) Có: MNCA hình vng(gt) ⇒ DAB  = 450 (t/c) EFBC hình vng(gt) DBA Có:  + DBA + 1800 DAB ADB = 1800 ⇒ 450 + 450 +  ADB = ADB = 900 ⇒ ⇒ BD ⊥ AN Xét ∆NAB có: + BD ⊥ AN (cmt ) + NC ⊥ AB ( gt ) + BD ∩ CN = { E} ⇒ E trực tâm tam giác ∆NAB (t/c) ⇒ AE ⊥ BN (t/c trực tâm) b) Gọi MC ∩ AN = {O} mà MNCA hình vng (gt) ⇒ O trung điểm MC, AN MC = AN (t/c) AE ⊥ BN (cmt ) ⇒ AH ⊥ BN ⇒ ∆ANH vuông H Mà O trung điểm AN (cmt) ⇒ HO = AN (t / c) = 900 ⇒= HO MC= ( AN MC ) ⇒ ∆MHC vuông H(t/c) ⇒ CHM  = 900 Tương tự: CHF  = 900 + 900 = 1800  = MHC  + CHF Ta có: MHF ⇒ M , H , F thẳng hàng (1) Gọi FE ∩ AN = {X }  MN = AC + AMNC hình vng (gt) ⇒  (t / c ) XAC = 450   Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com = + EFBC hình vng (gt) ⇒ FCB 450 ( t / c )  ⇒ XAC = FCB ⇒ XA / / CF (hai góc đồng vị) (2) + EFBC hình vng (gt) ⇒ EF / / BC (t / c) Hay XF / / AC (3) Từ (2) (3) ⇒ XFCA hình bình hành (dh) MN ⇒ XF = AC (t / c) mà MN = AC (cmt) ⇒ XF =  =450 ⇒   =450 (đối đỉnh) XED =BEF + EFBC hình vng (gt) ⇒ BEF = 900 Mà BD ⊥ AN ⇒ EDX ⇒ ∆EDX vuông cân D (t/c) ⇒ DE = DX (t / c) Tương tự: DE = DN ⇒ DX = DN + XFCA hình bình hành(cmt) ⇒ XF / / AC (t/c) + ACNM hình vng (gt) ⇒ AC / / MN (t/c) ⇒ XF / / MN (t / c) =  (so le trong) ⇒ MND FXD  = FXD  (cmt ) ∆MND ∆FXD có: MND DX = DN (cmt) MN = XF (cmt) ⇒ ∆MND = ∆FXD(c.g c)  = ⇒ MDN FDX  + MDX = 1800 Mà MDN =  + MDX ⇒ FDX 1800 = ⇒ MDF 1800 ⇒ ba điểm M, D, F thẳng hàng (4) Từ (1) (4) ⇒ M , D, F , H thẳng hàng (đpcm) c) ∆MND = ∆FDX (cmt ) ⇒ MD = FD ⇒ M trung điểm MF(cmt) Kẻ DZ ⊥ AB ( Z ∈ AB ) Mà MA ⊥ AB, FB ⊥ AB (hình vng) ⇒ DZ / / MA / / FB ⇒ MABF hình thang Mà D trung điểm MF(cmt) ⇒ Z trung điểm AB ⇒ DZ đường trung bình hình thang MABF (định nghĩa) MA + BF AC + CB AB  MA = AC ,  ⇒= DZ = =   2  BF = CB  Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AB cố định ⇒ DZ cố định Mà Z trung điểm AB cố định ⇒ D cố định AB Lại có: DZ = (cmt ) DZ ⊥ AB (cách vẽ) Có: AB cố định ⇒ ⇒ Điểm D thuộc hai đường thẳng // AB cách AB khoảng AB Vậy MN qua điểm D thuộc hai đường thẳng //AB cách AB khoảng Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = AB x2 + 2x + x2 + Lời giải Xét: x + − ( x + x + 3) x − x + −A = = 2= x2 + x2 + ⇔ A≤2 Dấu “ = ” xảy x + =0 ⇔ x =−2 Xét: ( x + x + 3) − x − x + x + = = = A −1 x2 + x2 + ⇔ A ≥1 Dấu “ = ” xảy x + =0 ⇔ x =−2 Vậy A = x = −2 A max = x = ( x − 1) ≥0 x2 + ( x + 2) x2 + ≥0 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...  ub  20202 020202 0 10b chia hết cho 2021 a b so 2020 Mà 10b 2021 nguyên tố Từ 20202 020202 0 chia hết cho 2021 (vơ lí) a b so 2020 Vậy điều giả sử sai Vậy có tồn số có dạng 20202 020202 0 chia... y8 x     2020 Tính tỉ số ? 4 8 x y x  y x y x y y Lời giải Xét y  không thoả mãn giả thi? ??t Vậy y  y y2 y4 y8     2020 Ta có x  y x  y x  y x8  y  y4 y y2 y8        2020. .. x2  y  xy  x  y  2020 Có tồn hay khơng số có dạng 20202 020202 0 chia hết cho 2021? HẾT HƢỚNG DẪN GIẢI UBND THỊ XÃ TỪ SƠN- PGD VÀ ĐT ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2020- 2021 MƠN: TỐN Thời