Bµi 24 Gọi R, r là bán kính đờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác và r1 là bán kính đờng tròn qua ba tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh tam giác.[r]
(1)Những Bất đẳng thức thờng gặp Nh÷ng kiÕn thøc thêng gÆp (a+b)2 4ab Bất đẳng thức hay dùng cho a+b a+ b )n , n lµ sè tù nhiªn n a +bn ≥¿ DÊu b»ng x¶y a= b víi n ch½n, a2 = b2 nÕu n lÎ gi¶i ph¬ng tr×nh: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1)6+ (x + √ )6 = 18- √ x+ √5 ¿6 ¿ √ −1 ¿6=¿ 9-4 −1 − x ¿ +¿ ¿ ¿ √ 5+1 √5 x = Bµi 3 a b c + + ≥ a+ b+c ; víi a, b, c d¬ng bc ca ab Chøng minh Gi¶i: a4 + b4 2a2b2 a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2 a2b2 + b2c2 2ab2c a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c) 3 a b c 4 a + b + c abc(a + b + c) , chia abc + + ≥ a+ b+c bc ca ab Bµi Chøng minh: a a+ √ ( a+b)(a+ c) Víi a, b, c > + b + b+ √ (b+ a)(b+ c) c 1 c+ √ (c +b)(c +a) a − √ bc ¿ ≥ Gi¶i: √(a+ b)(a+ c) ≥ √ ab+ √ac (a+b)(a+c)- √ ac+ √ ab ¿2 =¿ ¿ a a a √ ≤ = a+ √( a+b)(a+ c) a+ √ ab+ √ ac √ a+ √b+ √ c Céng ba vÕ l¹i cã (®pcm) Bµi Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng vµ + + = a + b + c Chøng minh: a b c a + b + c 3abc Gi¶i: Tõ + + = a + b + c ab + bc + ca = abc(a+b+c) a b c a + b + c ab + bc + ca a2 + b2 + c2+ 2(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) (a+b+c)2 3(ab + bc + ca) = 3abc(a+b+c) a + b + c 3abc Bµi 1 + + ≥1 Chứng minh bất đẳng thức: ab+1 bc+1 ca+ víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng vµ a2 + b2 + c2 = 1 + + ≥ Gi¶i: Sö dông + + ≥ 2 x y z x+ y+ z ab+1 bc+1 ca+ ab+ bc+ ca+3 (2) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca dÊu b»ng a = b = c 9 ≥ 2 =1 ab+ bc+ ca+3 a +b +c +3 dÊu b»ng a = b = c = √ Bµi Gäi a, b, c lµ ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh a3 + b3 + 3abc > c3 Gi¶i: a+b> c vµ a2 - ab + b2 > 0, a3 + b3 + 3abc = (a+b)(a2-ab+b2) + 3abc > > c(a2-ab+b2) + 3abc = c(a+b)2 > c3 Bµi Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng vµ cã tæng b»ng Chøng minh √ a+ √ b+ √c ab + bc + ca 2 Gi¶i: a2 +b2+c2 +2(ab+bc+ca) = ab+bc+ca = 9− a −b − c Thay vµo ta cÇn chøng minh: a +b +c + 2( √ a+√ b+ √ c ) a2 + √ a = a2 + √ a + √ a √3 √ a √ a a2 = 3a Céng c¸c vÕ ta cã (®pcm) Bµi Cho a, b lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a2 + b3 a3 + b4 Chøng minh: a3 + b3 Gi¶i: C¸ch 1: Tríc hÕt chøng minh a + b2 a2 + b3 Gi¶ sö a + b2 < a2 + b3 2(a2 + b3) > a + b2+ a3 + b4 2(a2 + b3) v« lý a + b2 a2 + b3 a3 + b4 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 (1+a2 ) + (1+b4) 2(a + b2) a2 + b3 + a3 + b4 a3 + b3 C¸ch 2: B»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng Gi¶ sö a3 + b3 > Chøng minh: a2 + b3 < a3 + b4 Tõ √ 2 a +b a +b ≤ 2 √ 3 a +b 2 a +b ¿ 2¿ √ ¿ < a3 +b ¿ 2(a3 +b3 ) =a3+b3 ¿ √¿ a2 - a3 < b3- b2 , nhng b2(b - 1)2 b3 - b2 b4 - b3 a2- a3 < b4 - b3 a2 + b3 < a3 + b4 Bµi Cho a, b, c là các số thực đặt M = a + b + c + √ a2 +b2 +c −ab − bc − ca Chøng minh M max{3a, 3b, 3c} vµ mét sè: √ M −3 a ; √ M − b ; √ M −3 c b»ng tæng hai sè Gi¶i: 3(b - c)2 4b2 + 4c2 - 4bc b2 + c2 + 2bc 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) (2a - b - c)2 2 √ a2 +b2 +c −ab − bc − ca 2a - b – c céng hai vÕ víi a + b + c T¬ng tù M 3b, M 3c M max{3a, 3b, 3c} 2 đặt x = √ M −3 a , y = √ M −3 b , z = √ M −3 c a= M − x ,b= M − y ,c= M − z c−a¿ b − c ¿ 2+ ¿ x2 + y2 + z2 =6 a −b ¿ 2+ ¿ ¿ √¿ x2 + y2 + z2=2 √ x 4+ y + z − x y − y z − z x2 x4+y4+z4 - 2x2y2- 2y2z2 – 2z2x2 = (x2+y2)2 - 2z2(x2+y2) + z4 - 4x2y2 = (x + y + z)(x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 3 (3) Bµi Cho sè thùc a, b, c, d vµ a2 + b2 Chøng minh: (ac + bd - 1)2 (a2 + b2 - 1)( c2 + d2 - 1) Gi¶i: NÕu c2 + d2 bÊt đẳng thức đúng Chúng ta chứng minh c2 + d < 1, đặt x = 1- a2 - b2 và y = 1- c2 - d x, y B®t (2 - 2ac - 2bd)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 4xy ((a-c)2+(b-d)2+x+y)2 (x + y)2 4xy Bµi 10 3 Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng vµ ab+bc+ca = Chøng minh a + b + c ≥ b c a Gi¶i: a3+b3 ab(a+b) a + b2 ab+a2 céng l¹i (c®pcm) b Bµi 10 Chøng minh: 3 b + 2c a+b+ c 2 c +a a +b b a ab 2 = a 2 a b +c b +c a + 2 b +c Giải: a2 + b2 2ab từ đó Bµi 11 Cho a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng vµ cã tæng b»ng Chøng minh: 2 2 a b c d + + + ≥ a+b b+c c +d d+ a a2 + a+b ≥ a Gi¶i: a+b Dêu b»ng a = b = c=d = Bµi 12 Cho a, b, c víi < a, b, c Chøng minh: 1) + + a + b+ c 2) a b c 1 + + ak + bk + ck (k lµ lµ sè tù nhiªn) ak b k c k Gi¶i:1) (a-1)(b-1)(c-1) = abc - ab - bc - ca + a + b + c-1= =1- − − + a+b+ c -1= − − + a+b+ c a b c a b c 2) <a < a - 1 (a-1)(b-1)(c-1) (ak-1)(bk-1)(ck-1) (ak-1)(bk-1)(ck-1) = akbkck- akbk- bkck- ckak+ak+bk+ck-1 1 + k + k ak + bk + ck k k a b c Bµi 13 Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ cã tæng b»ng Chøng minh: a2b + b2c + c2a (CanMO1999) 27 Gi¶i: Gäi x =max{a, b, c} a b c a2b + b2c + c2a a2b + b2c + c2a + c(ab + (a-b)(b-c))= = a2b+ 2abc +bc2 = (a + c)2b = 4( - b)( - b)b 2 2 27 dÊu b»ng a = , b = , c = 3 * a c b a b + b c + c a = a2c + c2b + b2a + (a-c)(c-b)(a-b) a2c + c2b + b2a ( trë l¹i trêng hîp trªn) 2 27 (4) dÊu b»ng x¶y ho¸n vÞ a = , b = , c = 3 Bµi 14 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh: a b + c + 2 √a + bc √ b +8 ca √ c + ab ≥ (IMO-2001) Giải: Cách 1- f(a, b, c) = f(ka, kb, kc) đặt abc = a = √a +8 bc √ , đặt x = + 1+ a , y = + a , z = + b c 1 + + ≥1 √x √ y √ z √ xy + √ yz+ √ zx ≥ √ xyz xy + yz + zx + √ xyz ( √ x+ √ y + √ z ) xyz x=1+ a √ 99 = a 24 a 23 √a √ x≥ 3 a √a abc ¿ ¿ ¿ √¿ 27 √ xyz ≥ ¿ √ x+ √ y + √ z ≥ √ √ xyz=9 C¸ch a a √3 a ≥ Chøng minh: √a 2+ bc a √3 a+ b √3 b +c √3 c 3 3 2 a √ a+b √b+ c √ c ¿ ≥ √ a ( a + bc) ¿ a √3 a ¿2=¿ 3 3 3 3 a √ a+b √b+ c √ c ¿2 − ¿ (b √ b+c √ c) (2 a √ a+b √ b+c √ c) = ¿ bc ¿2 a √a ¿ 3 3 3 ¿ 3 (b √ b+c √ c) (a √ a+ a √ a+ b √ b+c √ c) a √ a+b √ b+ c √ c ¿ ≥ ¿ ¿ ¿ √3 ¿ 3 +8 bc √ a2=√ a 2(a2 +8 bc) , t¬ng tù b b √3 b c c √3 c ≥ ≥ , √b 2+ ca a √3 a+b √3 b+ c √3 c √c +8 ab a √3 a+b √3 b+ c √3 c a b c + + ≥ Më réng ,k8 √a + kbc √b + kca √ c + kab √1+ k céng l¹i (®pcm) Bµi 15 Chứng minh bất đẳng thức ab+ bc+ ca + abc 7 với a, b, c là các số dơng và có tổng 1(Chọn đội tuyển QG 2004) Gi¶i: NÕu a a ≥ bc abc , a+ b+c = 1 b + c , a < ab + ac < NÕu a < 2 < 7 19 9 ab + bc + ac + abc 9a > 0, bc b+ c ¿2 ¿ , bc ¿ ¿ 1− a ¿2 ¿ ¿ ¿ (5) ab + bc + ac - abc = bc(1- a ) + a(b+c) 7 −a ¿2 ¿ ¿ 9a (1− )¿ (7 - 9a)(1 - a)2 + 28a(1 - a) (a + 1)(3a - 1)2 DÊu b»ng a = b = c = Bµi 16 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng a+b+c = abc Chøng minh: √1+a + √1+b + √1+c Gi¶i: §Æt a = tg , b = tg , c = tg, vãi , , (0,/2) vµ + + = tg( + + ) = tg α +tg β+ tg γ − tg α tg β tg γ = a+ b+c −abc − tg α tg β − tg β tg γ − tg γ tg α 1− ab − bc −ca cos + cos + cos = cos + cos - cos( + ) = 2cos( α + β )cos( α − β )-2cos2 2 sin α+β α+β α+β γ γ γ 2 +1 2cos - 2cos +1=2sin - 2sin + 1= -1)2 − ¿ 2 2 2 2 Bµi 17 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh: a+b +c ¿ 1 2¿ + + a(a+c) b(b+ a) c( c+b) 27 ¿ 1 Gi¶i: + + a(a+ c) b(b+ a) c( c+ b) √3 abc (a+ b)(b+c )(c +a) a + b + c √3 abc , a + b + c = (a+ b+b+c+c+a) √3 (a+ b)(b+ c)(c +a) 2 (a+b+c)2 √3 (a+b)(b+ c)(c + a)abc thay vµo (®pcm) Bµi 18 T×m hµm sè f(x) biÕt r»ng víi mäi sè thùc x, y, z ta cã: f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + 2y + 3z) Gi¶i: Thay x = y = -z f(2x) f(0) Thay x=z=-y f(2x) f(0) f(x) = const Bµi 19 Chøng minh [ √ n+√ n+1+√ n+2 ] = [ √ n+8 ], víi n sè tù nhiªn Gi¶i Thùc ®©y lµ chøng minh b®t: 1 ( √ n+1− √ n )( √ n+1+ √ n ) = √ n+1− √ n = >> = √n+1+ √n √n+ 2+ √n+ √ n+2− √ n+1 √ n+1 > √ n+2+ √ n √ n+√ n+1+√ n+2 < √ n+1 = √ n+9 Chứng minh √ n+√ n+1+√ n+2 > √ n+8 với n =0 và n = đúng n 2, n(n+2)-(n+ )2 = n − 49 > víi n 2, √ n(n+2) > n + 9 81 Tõ √ n+1 > √ n+2+ √ n 2( √ n+√ n+1+√ n+2 )>3( √ n+2+ √ n ) ( √ n+√ n+1+√ n+2 )2 > (2n+2+ √ n(n+2) )> (2n+2 +2n+2 ) =9n+8 4 (6) Bµi 20 Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng cã tÝch b»ng Chøng minh: 1 1 1 + + ≤ + + a+b+1 b+c +1 a+ c+ a+2 b+2 c+2 Giải: đặt x = a + b+ c và y = ab + bc + ca (x, y 3) x +4 x+ y +3 x+ y+ 12 3x2y + xy2 + 6xy - 5x2 - y2 - 24x - 3y - 27 ≤ x +2 x+ xy+ y x+ y +9 (3x2y - 5x2 - 12x) + (xy2 - y2 - 3x - 3y) + (6xy - 9x - 27) , đúng x, y Bµi 21 a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh: < ab + bc + ca - abc 28 27 Gi¶i: Gi¶ sö c b a , tõ 2- a = b + c > a a < XÐt: ab+bc+ca-abc-1 = a(b+c)+bc(1-a)-1=a(2-a)+bc(1-a)-1=(1-a)(bc+a-1) b < 1, c <1 (b-1)(c-1)>0 bc + 1- b-c> bc+a-1>0 VÕ tr¸i ®pcm b+ c ¿ ¿ bc ¿ ¿ a a = (1- ) =1- a+ bc+a-1 a (1− a) a2 27 (3a+1)(3a-2)2 Bµi 22 Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng Chøng minh: 1) a6b6 + b6c6 + c6a6 + 3a4b4c4 2a3b3c3(a3+b3+c3) 2) a6+b6+c6+3a2b2c2 2(a3b3+b3c3+c3a3) Gi¶i: 1) Chia hai vÕ cho a4b4c4 §Æt x = a2 ; y= bc b2 ;z= ac c2 ab 1 + + + 2(x+y+z) x y z ( − ¿2 + 2(x-1)(y-1) + (yz-1)2 0, v× xyz = nªn bao giê còng tån t¹i hai ba x y sè x, y, z cïng lín h¬n hoÆc nhá h¬n 2) Tơng tự nh trên chia hai vế cho a2b2c2 ; đặt x = 1sau đó trở lại nh 1) Bµi 23 Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng nhá h¬n Chøng minh Gi¶i: √1+a + ab ;y= c2 √1+a + bc a2 ;z= √1+b ≤ ac xyz = b2 √ 1+ ab 1 1 + ≤ ≤ 2( + ) 2 2 1+ ab 1+ a 1+b 1+ a 1+b √1+b √ (2+a +b )(1+ab) 2(1+a2+b2+a2b2) a2+b2 +2 a2b2- (a2+b2)ab-2ab (ab-1)(a-b)2 dÊu b»ng a= b 2 Bµi 24 Gọi R, r là bán kính đờng tròn ngoại, nội tiếp tam giác và r1 là bán kính đờng tròn qua ba tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với các cạnh tam giác Chøng minh: 2r1 r √ Rr (7) Bµi 25 n Chøng minh: √ n! ¿ ¿ Bµi 26 a) bc + ac + ab ≥ a+ b+c b) c) n −1 √(n −1)! n+1√(n+1)! (víi n lµ c¸c sè tù nhiªn n 2) a b c 1 1 1 + + ≥ + + a b c √ ab √ bc √ ca b2 − a2 + c2 −b + a2 − c , hd c +a a+b b+c đặt u = a+b, v=b+c, z = c+a b2 − a2 = c +a b+a ((b+c )−(c+ a)) c+ a Bµi 27 Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng cã tÝch b»ng Chøng minh: (a-1+ )(b-1+ )(1+c- ) b c x y Gi¶i: §Æt a = c y z ;b= ;c= z x abc = xyz (a-1+ )(b-1+ )(c- 1+ ) = ( x -1+ z )( y -1+ x )( z -1+ x ) b c c y y z z x z (x+z-y)(y+x-z)(z+x-y) xyz trở lại bài toán đơn giản Bµi 28 a, b, c lµ ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh Híng dÉn : a2 > (b-c)2 a2 + 2bc > b2 + c2 a2 +2 bc b2 +2 ac c2 +2 ba + 2 + 2 >3 b2 +c a +c b +a Bµi 29 2 a, b, c, d lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b < Chøng minh a2 +b2 < c+ d Híng dÉn :(c + d) < 2(c + d ) , (a+b) > a + b 2 2 2 c +d 2 a +b <( a+b )2 < 2 c+ d 2( c + d ) Bµi 30 a, b, c > Chøng minh: a2 b2 c2 + + 2 a +2 bc b +2ca c +2 ab 2 Gi¶i: b2 + c2 2bc a2 + b2 + c2 a2 +2bc a a2 từ đó: a +2 bc a +b +c 2 2 2 a b c a b c + + + + =1 2 2 2 2 2 2 a +2 bc b +2ca c +2 ab a +b +c a +b +c a +b +c bc ca + 2 a +2 bc b +2ca ab 1 c2 +2 ab VP + 2VT = = VP + 2VT VT + VT Bµi 31 Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh: 2 a+b+ c ¿ ¿ b+c ¿2 a 2+¿ ¿ ¿ + b+c +a ¿ ¿ c+ a ¿2 b 2+¿ ¿ ¿ + c+ a+b ¿ ¿ a+ b ¿2 2c +¿ ¿ ¿ 8 (8) a+b+ c ¿2 a+b+ c ¿2 a+b+ c ¿2 ¿ ¿ ¿ 2 b+c ¿ b+c ¿ b+c ¿2 Gi¶i: (3) + (3) + (3)1 2 2 a +¿ a +¿ a +¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b+c ¿2 a+ c ¿2 a+b ¿ 2 2 a +¿ b +¿ c +¿ + + 2( a2 +b2 +c2 )+ ( bc −ab − ac) 2( a2 +b2 + c2 )+ (ac − ba − bc) 2( a2 +b2 + c2 )+ (ab −cb − ac) ¿ ¿ ¿ Sö dông (x+y)2 2(x2+y2) VT (a 2+b 2+ c 2)+4 ( bc − ab− ac+ ac −ab − bc +ab − bc − ac) 1 a2+ 2(b2 +c ) Bài 32(đề thi ts Nguyễn Trãi) Cho a, b, c > , a < bc vµ 1+a3 = b3 + c3 Chøng minh + a < b + c Gi¶i: (1+a)(1-a+a2) = (b+c)(b2-bc+c2) + a < b + c 1-a+a2 > b2- bc+c2 Gi¶ sö 1+a b+c b2- bc+c2 1-a+a2 (b+c)2 - 3bc (1+a)2 - 3a > (1+a)2 - 3bc (b+c)2 > (1+a)2 b +c >1 + a Bµi 33 a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng vµ ab + bc + ca = Chøng minh: 1 + + 3(a+b+c) a b c Giải: qui đồng abc(a+b+c) ab+ bc+ ca ¿2 ¿ abc(a+b+c) =(abac+bcba+cacb) = ¿ ¿ dÊu b»ng a=b=c= Bµi 34 Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c Chøng minh: 1< Gi¶i: P = a √a + b a + √a + b2 + b √b + c b + √b + c + c 2 √2 +a c 1 + + P= 2 2 √c +a √1+ x √ 1+ y √1+ z √c Víi x=b/a; y=c/b; z = a/c xyz = P > dÔ dµng ≤ víi ab <1 √1+b √ 1+ ab + Gi¶ sö z Q = xyz =1 ; đặt t=1/z √1+ z √ 1+ xy t 2t + Q= √ + = √ t + √ 1+t ; (1+t √ 2(1+ t2 ) ) 1+t 1+ t √ 1+ t 1+t 1+t 1+t √ √ √2 t + √ 1+t √ 2t + 2(1+t ) 3t + b×nh ph¬ng cã: (t-1)2 √ 1+ t 1+t Sö dông + √1+a Bµi 35 Cho tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn lµ a vµ hai c¹nh gãc vu«ng lµ b, c Chøng minh (b+ c) √ b +(b − c) √ c < √ √ a √ a √3 (9) Gi¶i: b + c b −c ¿2 ¿ b+ c ¿2 +¿ a; ¿ √¿ b −c ¿2 ¿ b+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ (b + c) √ b + (b - c) √ c dÊu b»ng kh«ng x¶y ra: (b + c) : (b - c) = √ b : √ c=¿ : Bµi 35 a, b, c (0; /2) Chøng minh: sin a sin( a− b)sin(a − c) sin(b +c) + sin b sin(b − c)sin (b −a) sin(c+ a) sin c sin(c − a)sin (c −b) 0 sin( a+b) + Chøng minh: Gi¶ sö a b c P sin a sin( a− b) sin(a − c) sin(b +c) sin b sin(a− c)sin( a −b) sin( c+ a) - + sin c sin(a − c)sin (b − c) = sin(a+b) Bµi 36 Sử dụng định lý Lagrăngs (f(x) liên tục [a; b] và có đạo hàm (a; b) tồn c (a; b) tho¶ m·n f(b)-f(a) = (b-a)f'(c) Chøng minh r»ng x = kh«ng lµ nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh: sin( x +1) √3 cos x − sin x √3 cos( x +1)< √3 cos x cos ( x+ 1) sin(x +1) sin x sin x −3 <1 , xÐt hµm sè f (t)= , √ cos x √cos (x +1) √cos x ¸p dông b®t Cosi f , (x )>1 f(x+1) - f(x) > Gi¶i: f , (x )= cos x +1 3 cos x √ cos x Bµi 37 sin x √3 cos( x −1)− sin(x − 1) √3 cos x > √3 cos x cos ( x − 1) Chøng minh r»ng x = e lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh Gi¶i > e; e-1 >1, 71828 > π sine>0; sin(e-1) > 0; cose<0; cos(e-1) <0 sin x f (t)= ; (e-1; e) ( π ; π ) ; f(e)-f(e-1) > √ cos x Ph¬ng ph¸p dån biÕn §Ó chøng minh f(x1, x2, , xn) ta ®a vÒ f(x1, x2, , xn) f( √ x1 x2 , √ x1 x2 , x3 , xn) HoÆc f(x1, x2, , xn) f( x1 + x2 x +x , , x3 , xn) 2 x + x2 chøng minh f( √ x1 x2 , √ x1 x2 , x3 , xn) hoÆc f( Bµi 36: a, b, c > vµ abc = Chøng minh a2 + b2 c2 + ab + bc + ca + a + b + c Gi¶i: f(a, b, c) = a2 + b2 c2 + - (ab + bc + ca + a + b + c) f (a , b , c) − f (a , √ bc , √ bc) = ¿ √ b − √ c ¿2 ¿ √ b+ √ c ¿ ≥ √ bc= ≥ 4> 1+ a √a ¿ ¿ Chøng minh f (a , √ bc , √ bc)≥ ; √a −1 ¿2 +2 ≥ a+2 √a a2 +¿ , x1 + x2 , x3 , xn) (10) a2+2 2a + a + √ a Bµi 37: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng Chøng minh a+ b+c ¿ 2 2 2 2(a + b + c )+3 √ a b c ≥ ¿ a+ b+c ¿ XÐt f (a , b , c)=¿ , gi¶ sö a b c 2 2 2 2(a + b + c )+3 √ a b c −¿ 2 a+ b+c ¿ a+ √ bc ¿ = f (a , b , c)− f (a , √ bc , √ bc) = 2(a 2+ b2+ c 2)+3 √ a2 b2 c −¿ 2(a 2+2 bc)− ❑√ a2 b2 c 2+ ¿ ¿ √ b − √ c ¿2 ¿ ¿ dÔ dµng chøng minh b + c 2a a+ √ bc ¿2 Chøng minh: 2(a 2+2 bc)+ ❑√ a2 b2 c − ¿ a2 +3 √ a2 b2 c ≥ a √ bc ( cosi cho sè) 0 (11)