Bất đẳng thức hay và khó

550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 1 SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ** 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC Họ và tên : Trần Mạnh Cường Tổ : Khoa học tự nhiên Đơn vị : Trường THCS Kim Xá – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc VĨNH PHÚC, XUÂN NHÂM THÌN 2012 . www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 2 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC ** 1.Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng 2 5111 ³ + + + + + a c c b b a . 2.Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng 2 23 )1()1()1( 222222 ³-++-++-+ accbba 3.Cho a,b,c )1;0( Î .Chứng minh rằng 1)1)(1)(1( < + cbaabc 4.Cho a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng 3+++³ + + + + + cba c ba b ac a cb 5.Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 6.Cho a,b,c là ba số dương và x,y,z là ba số có giá trị thuộc đoạn ú û ù ê ë é 2 1 ;0 Biết rằng a + b + c = x + y + z = 1. Chứng minh rằng ax + by + cz ³ 8abc 7.Cho a,b,c ,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1.Chứng minh rằng ax + by + cz + cbacabcabzxyzxy ++£++++ ))((2 8.Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng )(4 9 )()()( 222 cba ba c ac b cb a ++ ³ + + + + + 9.Cho a,b,c 0 ³ .Chứng minh rằng abcccabbbcaaaaccccbbbbaa +++++³++++++++ 222422442244224 222 10.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 2 .Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 bacacbcba +++++³ 11. Cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh rằng 4 7 1 )6)(9)(8)(31( £ ++++ zzyyxx xyz . 12.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng 5(a 2 + b 2 + c 2 ) £ 6(a 3 + b 3 + c 3 ) + 1 . 13.Cho 0,2,, ,, 21 >³Î anRxxx n sao cho 1 , 2 22 2 2 121 - £+++=+++ n a xxxaxxx nn Chứng minh rằng : ú û ù ê ë é Î n a x i 2 ;0 , i = 1,2, ,n. 14.Cho a,b,c Î (0;1) .Chứng minh rằng 1 444 ³ - + - + - cbba ca baac bc accb ab 15.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc £ 1.Chứng minh rằng cba a c c b b a ++³++ www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 3 16. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 3 6 1 . a b c ab bc ca + ³ + + + + 17. Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng a c c b b a a c c b b a 222 2 3 2 3 2 3 ++³++ 18. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.Chứng minh rằng a) xyz 8 1 £ b) x + y + z 2 3 £ c) xy + yz + zx 222 4 3 zyx ++££ d) xy + yz + zx xyz2 2 1 +£ 19. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng xy + yz + zx 1113 222 ++++++³ zyx 20. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x,y,z > -1 .Chứng minh rằng 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ³ ++ + + ++ + + ++ + yx z xz y zy x 21. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng 2 222 ³ + + + + + + + + b a ac a c cb c b ba 22.Cho a,b,c ³ 0 thoả mãn điều kiện a 4 + b 4 + c 4 £ 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) .Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 £ 2(ab + bc + ca) 23. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = xyz.Chứng minh rằng a) xyz ³ 27 b) xy + yz + zx ³ 27 c) x + y + z ³ 9 d) xy + yz + zx ³ 2(x + y + z) + 9 24. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 3.Chứng minh rằng zxyzxyzyx ++³++ 25. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 3 2 . 2 . 2 . ³ +++ + + +++ + + +++ + b a c c b a ac a c b b a c cb c b a a c b ba 26. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b cb c a ba b c ac a c c b b a + + + + + + + + ³++ 27. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng c b a cabcab b ab a c a ca c b c bc b a ++ ++ ³ + - + + - + + - )(3 22 3 22 3 22 3 28.Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z thoả mãn đi ều kiện a + x = b + y = c + z = 1.Chứng minh rằng 3 111 )( ³ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +++ cxbzay xyzabc 29. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng )( 4 1 2 2 2 cba b a c ca a c b bc c b a ab ++£ ++ + ++ + ++ 30.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện 1 2222 =+++ dcba .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a 3 (b + c + d) + b 3 (c + d + a) + c 3 (d + b + a) + d 3 (a + b + c) 31. Cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh rằng 1 ))(())(())(( £ +++ + +++ + +++ yzxzz z xyzyy y zxyxx x 32. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng www.VNMATH.com 550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng 4 ữ ứ ử ỗ ố ổ + + + + + + + + + + ba c ac b cb a c ba b ac a cb 4 33. Cho x,y,z l cỏc s thc dng .Chng minh rng 3(x 2 y + y 2 z + z 2 x)(xy 2 + yz 2 + zx 2 ) xyz(x + y + z) 3 34. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin { } { } 1,,min,,max Ê- cbacba Chng minh rng 1 + a 3 + b 3 + c 3 + 6abc 3a 2 b + 3b 2 c + 3c 2 a 35. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.Chng minh rng 8(x + y + z) 3 Ê 10(x 3 + y 3 + z 3 ) + 11(x + y + z)(1 + 4xyz) 12xyz . 36. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a 2 + b 2 + c 2 = 3. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 333 2 5 2 5 2 5 ữ ứ ử ỗ ố ổ + ++ ữ ứ ử ỗ ố ổ + ++ ữ ứ ử ỗ ố ổ + + ba c ac b cb a 37. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng 27 + ữ ứ ử ỗ ố ổ ++++ ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ + cba cba ab c ca b bc a 111 )(6222 222 38. Cho a,b,c ẻ (0;1) tho món iu kin ab + bc + ca = 1 .Chng minh rng ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ - + - + - - + - + - c c b b a a c c b b a a 222 222 111 4 3 111 39.Cho x,y,z Ê 1 tho món iu kin x + y + z = 1.Chng minh rng 10 27 1 1 1 1 1 1 222 Ê + + + + + zyx 40.Cho 1=++ zyx .Chng minh rng (1 x) 2 (1 y) 2 (1 z) 2 2 15 xyz(x + y)(y + z)(z + x) 41. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xyz = x + y + z + 2. Chng minh rng a) xy + yz + zx 2(x + y + z) b) xyzzyx 2 3 Ê++ 42. Cho x,y,z l cỏc s thc tho món iu kin x 2 + y 2 + z 2 = 2.Chng minh rng 2 + Ê + + xyzzyx 43. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng 0 + - + + - + + - + + - b a ad a d dc d c cb c b ba . 44. Cho x,y l cỏc s thc dng . Chng minh rng x y + y x > 1. 45. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng (a + b)(b + c)(c + a) 4(a + b + c 1) 46. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng (a 2 + b 2 + c 2 )(a + b c) (b + c a) (c + a b) Ê abc(ab + bc + ca) 47. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng 3 + a + b + c + abc cba a c c b b a c b a + + + + +++++ 1 )1)(1)(1( 3 111 48. Cho n xxx , ,, 21 l cỏc s thc dng tho món iu kin 1 21 = n xxx .Chng minh rng n n n i n n i n i n i n x xxn ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ ồ+ồ+P == = 1 )1(. 11 1 49. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng a 3 + b 3 + c 3 + abcd min ỵ ý ỹ ợ ớ ỡ + 279 1 , 4 1 d www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 5 50. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng å (1+ a 2 ) 2 (1 + b 2 ) 2 (a – c) 2 (b – c) 2 ³ (1+ a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(a – b) 2 (b – c) 2 (c – a) 2 51. Cho n xxx , ,, 21 , Ryyy n Î, ,, 21 thoả mãn điều kiện 1 22 2 2 1 22 2 2 1 =+++=+++ nn yyyxxx Chứng minh rằng ÷ ø ö ç è æ -£- å = n i ii yxyxyx 1 2 1221 12)( 52.Cho n aaa , ,, 21 là các số nguyên dương khác nhau từng đôi một . Chứng minh rằng ) ( 3 12 21 22 2 2 1 nn aaa n aaa +++ + ³+++ 53. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng 4 33 )3()3()3( ³ + + + + + cabc ba bcab ac abca cb 54. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện (1+ a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) = 16.Chứng minh rằng 53 £ - + + + + + £ - abcdbdacdacdbcab 55. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) ³ 9(ab + bc + ca) 56. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn các điều kiện zyx £ £ < 0 , x + y + z = xyz + 2. Chứng minh rằng a) (1 – xy)(1 - yz)(1 - zx) ³ 0 b) x 2 y £ 1 , x 3 y 2 £ 27 32 57. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c ³ abc .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là đúng 6 632 ,6 632 ,6 632 ³++³++³++ b a c a c b c b a . 58. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng (x – 1)(y – 1)(z – 1) 1036 -£ . 59. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 )()()( 222333333 accbba ac ac cb cb ba ba -+-+- £ + - + + - + + - 60. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 5 – a 2 + 3)(b 5 – b 2 + 3)(c 5 – c 2 + 3) ³ (a + b + c) 3 . 61. Cho n xxx , ,, 21 > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện 1 1 2 11 += ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ åå == n x x n k k n k k Chứng minh rằng )1( 2 4 1 2 1 2 1 2 - ++> ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ åå == nn n n k k n k k x x 62. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ³ (1 + a)(1 + b)(1 + c) . 63. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng .8 )(2 )2( )(2 )2( )(2 )2( 22 2 22 2 22 2 £ ++ ++ + ++ ++ + ++ ++ bac bac cab cab cba cba 64.Cho x,y là các số thực dương và m,n là các số nguyên dương .Chứng minh rằng (n – 1)(m – 1)(x m+n + y m+n ) + (m + n – 1)(x m y n + x n y m ) ³ mn(x m + n – 1 y + y m + n – 1 x) . www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 6 65. Cho a,b,c,d,e là các số thực dương thoả mãn điều kiện abcde = 1. Chứng minh rằng 3 10 1 1 1 1 1 ³ ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + eabc ea eabe deab de dead cdea cd cdec bcde bc bcdb abcd ab abca . 66.Cho ) 2 ;0(,, p Îcba .Chứng minh rằng 0 )sin( )sin().sin(.sin )sin( )sin().sin(.sin )sin( )sin().sin(.sin ³ + - - + + - - + + - - ab acbcc ca cbabb cb cabaa 67. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng . 333333222222444 cabcabaccbbaaccbbacba +++++³+++++ 68. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng ax + by + cz + ).)(( 3 2 ))(( 222222 zyxcbazyxcba ++++³++++ 69.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng .213 ÷ ø ö ç è æ ++³ ÷ ø ö ç è æ -++ c a b c a b a c c b b a 70. Cho n xxx , ,, 21 > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện 1 21 =+++ n xxx .Chứng minh rằng . 1 1 1 11 ÕÕ == ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ³ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + n i i i n i n x xn x 71. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4.Chứng minh rằng 20 £ - + + £ abccabcab 72. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng { } .)(,)(,)(max 3 222 3 accbbaabc cba £- + + 73. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng . 3 . 2 . 3 3 3 cbaba a abcaba +++ £ ++ 74. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x + y + z) 3 = 32xyz.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 444 )( zyx zyx ++ ++ 75. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + b) 3 (b + c) 3 (c + d) 3 (d + a) 3 ³ 16 42222 )( dcbadcba +++ 76. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ca ca bc bc ab ab - + - + - 1 )( 1 )( 1 )( 444 77. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng )1( 3 )1( 1 )1( 1 )1( 1 33 abcabc accbba + ³ + + + + + 78. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 9. Chứng minh rằng 2(a + b + c) – abc £ 10 79. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2222222 )( 9111 zyxxzxzzyzyyxyx ++ ³ ++ + ++ + ++ 80. Cho ba số thực dương a ,b ,c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ³ 1 .Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 a b c a ab b b bc c c ca a + + ³ + + + + + + + + www.VNMATH.com 550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng 7 81. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng 2(a 3 + 1)(b 3 + 1)(c 3 + 1)(d 3 + 1) (1 + abcd)(1+ a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 )(1+ d 2 ) . 82. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng (a + b) 4 + (b + c) 4 + (c + a) 4 7 4 (a 4 + b 4 + c 4 ) . 83. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng . 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 c b a a c c b b a + + + + + Ê ++ + ++ + ++ 84. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin 21ab + 2bc + 8ca Ê 12.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = . 321 c b a ++ 85. Cho a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xy + yz + zx = 3. Chng minh rng 3)()()( + + ++ + ++ + yx b a c xz a c b zy c b a 86. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng . 5 3 )( )( )( )( )( )( 22 2 22 2 22 2 ++ -+ + ++ -+ + ++ -+ cba cba bac bac acb acb 87. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng (a 2 + b 2 ) (b 2 + c 2 )( c 2 + a 2 ) 8(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) 2 88. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin abcd = 1. Chng minh rng 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 2222 + + + + + + + dcba 89. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng b a c a c b c b a b a c a c b c b a + + + + + + + + + + 22 2 22 2 22 2 90. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc + a + c = b. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau P = 222 1 3 1 2 1 2 c b a + + + - + 91.Cho n s thc n aaa , ,, 21 .Chng minh rng 2 1 2 ) ( * j nji i i i aaa ++Ê ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ ồồ ÊÊÊ Nẻ 92. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng 3 222 Ê + + + + + ac c cb b ba a 93. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng (xy + yz + zx) 4 9 )( 1 )( 1 )( 1 222 ỳ ỷ ự ờ ở ộ + + + + + xzzyyx 94.Cho n xxx , ,, 21 l cỏc s thc dng tho món iu kin ế = Ê+ n i n i x 1 2)13( . Chng minh rng . 316 1 1 n x n i i + ồ = 95.Cho n aaa , ,, 21 l cỏc s thc dng. Chng minh rng www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 8 (n – 1)(a 1 n + a 2 n + …+ a n n ) + n a 1 a 2… a n ³ ( a 1 + a 2 + … + a n) (a 1 n -1 + a 2 n -1 + …+ a n n - 1 ) 96. Cho n xxx , ,, 21 > 0 thoả mãn điều kiện 1 21 = n xxx . Chứng minh rằng nxxx n i ij nji i -³- åå =£££ 1 2 2 1 )( . 97. Cho n aaa , ,, 21 1 1 - < n và a 1 + a 2 + … + a n = 1, n > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . )1(1 1 21 å = n i i n an aaa 98. Cho n aaa , ,, 21 [ ) 1;0Î thoả mãn điều kiện a = 3 3 22 2 2 1 ³ +++ n aaa n Chứng minh rằng 222 2 2 2 1 1 1 1 11 a na a a a a a a n n - ³ - ++ - + - 99. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a + b + c)(x + y + z) = (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 Chứng minh rằng abcxyz 36 1 < . 100. Cho n xxx , ,, 21 > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện 1 21 = n xxx .Tìm hằng số k n nhỏ nhất sao cho 1 1 1 1 1 1 1 21 -£ + ++ + + + n xkxkxk nnnn . 101. Cho n xxx , ,, 21 > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện 1 22 2 2 1 =+++ n xxx .Tìm hằng số k n lớn nhất sao cho (1 – 1 x ) (1 – 2 x )… (1 – x n ) nn xxxk 21 ³ 102. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 2 3 )( 1 )( 1 )( 1 333 ³ + + + + + bacacbcba 103. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 555555 £ + + + + + + + + ca a c ca bc c b bc ab b a ab 104. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + £ + + + + + + 105. Cho x,y,z là các số thực dương và tích xyz = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 x y y z x z + + £ + + + + + + . 106. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 1 £ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx . 107. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 S 4x 3y 4y 3x 25xy = + + + 108. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 9 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y + + + = + + + + + 109.Cho x,y,z là ba số dương và thoả mãn điều kiện 1 £ + + zyx .Chứng minh rằng .82 111 2 2 2 2 2 2 ³+++++ z z y y x x 110.Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện xyz = 1.Chứng minh rằng 33 1 11 33 3333 ³ ++ + ++ + ++ zx xz yz zy xy yx . Khi nào đẳng thức xẩy ra ? 111.Cho x ,y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 . A x y x y y = - + + + + + - 112. Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện ( ) 2 2 x y xy x y xy + = + - Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 33 11 yx + . 113. Cho a≥b> 0. Chứng minh rằng a b b b a a ÷ ø ö ç è æ +£ ÷ ø ö ç è æ + 2 1 2 2 1 2 114. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 3333 2 3 2 3 2 18111 c b a b ca a bc c ab + + ³ + + + + + 115. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 2 1 1)1( 1 1)1( 1 1)1( 1 222222 £ +++ + +++ + +++ accbba 116. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 £ ÷ ø ö ç è æ +- ÷ ø ö ç è æ +- ÷ ø ö ç è æ +- a c c b b a 117. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 4 3 )1)(1()1)(1()1)(1( 333 ³ ++ + ++ + ++ ba c ca b cb a 118. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng 4 1 1 1 1 £ + + + + + b ca a bc c ab 119. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng 132 222 £+++ abccba 120.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng 34 1 ³+++ abc cba 121. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng cabcabbcaabccab +++³+++++ 1 . 122. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 8(1 – a)(1 – b)(1 – c) . 123. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng 3 1 1 1 22 ³ + + + b b a a www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 10 124.Cho các số thực x,y .Chứng minh rằng 3(x + y + 1) 2 + 1 ³ 3xy . 125. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 33 3 11 )(2 a b b a ba ba +³ ÷ ø ö ç è æ ++ . 126.Cho a,b,c ³ 1. Chứng minh rằng )1(111 +£-+-+- abccba . 127. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng 2 3 1 1 1 1 1 1 222 £ + + + + + zyx . 128. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 888 222 ³ + + + + + abc c cab b bca a . 129. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ³ ++ + ++ + ++ + ++ c b a d b a d c a d c b d c b a . 130. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng 3 1 3333 ³ ++ + ++ + ++ + ++ c b a d b a d c a d c b d c b a . 131. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab c ab ca b ca bc a bc 2 2 2 222 + + + + + £ ab c c ca b b bc a a 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + £ . 132. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng cba ab c ca b bc a ++³++ 333 . 133. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3. Chứng minh rằng 2 3 1 1 1 1 1 1 ³ + + + + + ca bc ab . 134. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1+ + + + + + ³++ b a cb c b ba a c c b b a . 135.Cho a,b,c 4 3 -³ và a + b + c = 1. Chứng minh rằng 10 9 1 1 1 222 £ + + + + + c c b b a a . 136. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1 .Chứng minh rằng 2 6336 99 6336 99 6336 99 ³ ++ + + ++ + + ++ + xxzz xz zzyy zy yyxx yx . 137.Cho 0 > ³ ³ zyx .Chứng minh rằng 222 222 zyx y xz x zy z yx ++³++ . 138. Cho 0 > ³ ³ cba .Chứng minh rằng cba b ca a bc c ba +-³ - + - + - 43 222222 . 139. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng www.VNMATH.com [...]... tr nh nht ca biu thc P = 3(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a 2 + b 2 + c 2 284 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P= - x 2 + 4 x + 21 - - x 2 + 3x + 10 285 Cho x,y l hai s thc khụng õm thay i.Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc P= ( x - y )(1 - xy ) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 286.Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc Chng minh rng ổ 1 1 1 ử 3(a - b)(b - c)(c - a ) (a + b + c)ỗ + + ữ + 9... Chng minh rng 9 1 1 ử 1 1 1 ổ 1 Ê 2ỗ + + ữÊ + + a+b+c ốa+b b+c c+aứ a b c 351 Cho x,y,z l cỏc s thc Chng minh rng x2 - y2 y2 - z2 z2 - x2 + + Ê 0 2x 2 + 1 2 y 2 + 1 2z 2 + 1 352 Cho x ,y l cỏc s thc thay i tho món iu kin x 2 + xy + y 2 = 1 Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca biu thc A = x3y + xy3 353 Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho món iu kin a2 + b2 + c2 = 1 Chng minh rng a b c 3 + 2 + 2 (a . 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 1 SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ** 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC Họ và tên : Trần Mạnh Cường . VĨNH PHÚC, XUÂN NHÂM THÌN 2012 . www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 2 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC ** 1.Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn. âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 2 S 4x 3y 4y 3x 25xy = + + + 108. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả