cũng là trung điểm của DE quan Chứng minh hệ đường kính và dây cung rằng các đường tròn => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có I và O tiếp xúc hai đường chéo vuông góc với nhau nhau tại A.. [r]
(1)Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900 CF là đường cao => CF AB => BFC = 900 Như E và F cùng nhìn BC góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â là góc chung AE AH => AEH ADC => AD AC => AE.AC = AH.AD * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung BE BC => BEC ADC => AD AC => AD.BC = BE.AC Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 = C2 => CB là tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB là đương trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E1 = E2 => EB là tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A AHE 1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp O Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm H trên đường tròn Chứng minh D B Lời giải: ED = BC Xét Chứng minh tứ DE là tiếp giác tuyến CEH đường tròn D ta (O) có: Tính độ dài CEH = DE biết DH = 900 ( Vì BE là Cm, AH = đường cao) Cm CDH = ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp (2) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Theo giả thiết: BE là đường Mà B1 = A1 ( vì cao => BE AC => BEA = cùng phụ với góc 90 ACB) => E1 = E3 AD là đường => E1 + E2 = E2 cao => AD + E3 BC => Mà E1 + E2 = BDA = 900 BEA = 900 => E2 Như E và D cùng nhìn AB + E3 = 900 = OED góc 90 => E và D cùng => DE OE E nằm trên đường tròn đường Vậy DE là tiếp kính AB tuyến đường Vậy bốn điểm A, E, D, tròn (O) E B cùng nằm trên Theo giả thiết AH = đường tròn cm => OH = OE = 3 Theo giả thiết tam giác ABC cm.; DH = Cm => OD cân A có AD là đường cao = cm áp dụng định lí nên là đường trung tuyến Pitago cho tam giác => D là trung điểm BC OED vuông E ta có Theo trên ta có BEC = 900 = OD2 – OE2 ED2 Vậy tam giác BEC vuông – 32 ED = 4cm E có ED là trung tuyến => DE Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai = BC 4.Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tuyến Ax, By Qua tiếp tam giác AHE nên O là điểm M thuộc nửa kẻ tiếp trung điểm AH => OA = đường tròn OE => tam giác AOE cân tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần O => E1 = A1 (1) lượt C và D Các đường thẳng AD và BC Theo trên DE = BC => tam cắt N giác DBE cân D => E3 = B1 (2) 1.Chứng minh AC + BD = CD 2.Chứng minh COD = 900 AB 3.Chứng minh AC BD = 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 5.Chứng minh MN AB 1.Theo tính chất 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ hai tiếp giác ACDB đạt giá trị nhỏ tuyến cắt ta Lời giải: có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC là tia phân giác góc AOM; OD là tia phân giác góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900 3.Theo trên COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC AB BD = Theo trên COD = 900 nên OC OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực BM => BM OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD) 5.Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại có I là trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đường trung bình hình thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB là tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD Theo trên AC // BD (3) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp CN AC => BN BD , mà CA = CM; DB = CN CM DM nên suy BN DM => MN // BD mà BD AB => MN AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B Do đó BI BK MA, gọi H là giao điểm AC và BD, hayIBK = 900 I là giao điểm OM và AB Tương tự ta Chứng minh tứ giác AMBO nội có ICK = tiếp 90 B và C Chứng minh năm điểm O, K, A, cùng nằm trên M, B cùng nằm trên đường đường tròn đường tròn kính IK đó B, C, Chứng minh OI.OM = R2; OI I, K cùng nằm trên IM = IA2 đường tròn Chứng minh OAHB là hình thoi Ta có Chứng minh ba điểm O, H, M C1 = thẳng hàng C2 (1) ( Tìm quỹ tích điểm H M di vì CI là chuyển trên đường thẳng d phân Lời giải: giác (HS tự làm) góc Vì K là trung điểm NP nên OK ACH NP ( quan hệ đường kính C2 + I1 = 900 (2) ( vì IHC = 900 ) Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 K, A, B cùng nhìn OM góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn I1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân O) Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 90 hay AC OC Vậy tuyến cắt nhau); OA = OB = R AC là tiếp tuyến đường tròn (O) => OM là trung trực AB => Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => OM AB I CH = 12 cm Theo tính chất tiếp tuyến ta có 2 AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) OAM = 900 nên tam giác OAM CH 12 vuông A có AI là đường cao áp dụng hệ thức cạnh và CH2 = AH.OH => OH = AH 16 = (cm) đường cao => OI.OM = OA2 hay 2 2 2 OH HC 12 225 OC = = 15 (cm) OI.OM = R ; và OI IM = IA Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì AC hay OB // AH ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH (4) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi Theo trên OAHB là hình thoi => OH AB; theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) cắt CA E .Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : 1.Chứng minh tam giác BEC cân BEC là tam giác (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 Gọi I là hình chiếu A trên cân => B1 = BPAO=90 (gt NOAB) BE, Chứng minh AI = AH => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; 3.Chứng minh BE là tiếp tuyến AOP = OBN (theo (3)) => AOP = đường tròn (A; AH) OBN => OP = BN (5) 4.Chứng minh BE = BH + DE Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành Lời giải: (HD) ( vì có hai cạnh đối song song và AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và nhau) AE = AC (2) Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đường cao OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ vừa là đường trung tuyến BEC => Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB Ta có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt I nên chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH I làI.trực tâm tam giác POJ (6) AI = AH và BE AI I => BE là tiếp tuyến (A; AH) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED vì có PAO = AON = ONP = Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến nhật => K là trung điểm PO ( t/c Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P đường chéo hình chữ nhật) (6) cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp hai tiếp tuyến cắt AONP là hình chữ nhật => APO = xúc với (O) M ) => AOP NOP ( so le) (7) Chứng minh tứ giác AOM Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có APMO nội tiếp đường (2) PO là tia phân giác APM => APO = tròn Từ (1) và (2) => MPO (8) Chứng minh BM // OP ABM = AOP Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK Đường thẳng vuông góc với AB (3) là trung tuyến đông thời là đường cao O cắt tia BM N Chứng minh tứ => IK PO (9) giác OBNP là hình bình hành Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: (HS tự làm) 2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc tâm AOM chắn cung AM => ABM = (1) OP là tia phân giác AOM ( t/c Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K (5) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF là tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH là hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Lời giải: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KEF = 900 (vì là hai góc kề bù) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx E, F (F B và E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD là tứ giác nội tiếp 3.Tứ giác AC DB nội Lời giải: tiếp 1.C thuộc nửa đường tròn (O) nên ACB = 900 ( nội tiếp => chắn nửa đường tròn ) => A BC AE BD Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB ABE = 900 ( Bx là tiếp + vuông A có AM IB ( theo trên) tuyến ) => tam giác ABE A áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => AI2 = IM IB vuông B có BC là đường CD Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => cao => AC AE = AB (hệ = IAE = MAE => AE = ME (lí ……) thức cạnh và đường 1800 => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung cao ), mà AB là đường kính nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1) nên AB = 2R không đổi ECD + Theo trên ta có AEB = 90 => BE AF hay BE là đường đó AC AE không đổi ACD = cao tam giác ABF (2) 2. ADB có ADB = 900 ( nội 1800 ( Vì là Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân B tiếp chắn nửa đường tròn ) hai góc kề BAF là tam giác cân B có BE là đường cao nên => ABD + BAD = 900 (vì bù) => đồng thời là đương trung tuyến => E là trung tổng ba góc tam ECD = điểm AF (3) giác 180 )(1) ABD Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân ABF có ABF = 900 ( BF ( cùng bù giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) là tiếp tuyến ) với ACD) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là => AFB + BAF = 900 (vì Theo trên đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là tổng ba góc tam giácABD = trung điểm HK (6) 1800) (2) DFB => Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường Từ (1) và (2) => ABD = ECD = chéo vuông góc với trung điểm đường) DFB ( cùng phụ với DFB Mà (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK BAD) EFD + hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang DFB = 1800 Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn thì AKFI ( Vì là hai phải là hình thang cân góc kề bù) AKFI là hình thang cân M là trung điểm cung AB nên suy Thật vậy: M là trung điểm cung AB => ABM = ECD + MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) EFD = 0 Tam giác ABI vuông A có ABI = 45 => AIB = 45 180 , mặt (8) khác ECD Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 45 => AKFI là hình và EFD là thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) hai góc đối Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tứ giác tiếp đường tròn (6) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp CDFE đó tứ giác CEFD là tứ giác nội Tam giác SPB tiếp vuông P; tam giác SMS’ vuông Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB M => B1 = S’1 và điểm M bất kì trên nửa đường tròn cho (cùng phụ với S) AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua (3) AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi Tam giác PMS’ cân P là chân đường P => S’1 = M1 vuông góc từ S đến AB (4) 1.Gọi S’ là giao điểm MA và SP Chứng Tam giác OBM cân minh ∆ PS’M cân 2.Chứng minh PMtại O ( vì có OM = là tiếp tuyến đường tròn OB =R) => B1 = Lời giải: M3 (5) Ta có SP AB (gt) => SPA = 90 ; Từ (3), (4) và (5) => AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn M1 = M3 => ) => AMS = 90 Như P và M cùng M1 + M2 = M3 nhìn AS góc 900 nên cùng + M2 mà M3 + nằm trên đường tròn đường kính AS M2 = AMB = 900 Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trênnên suy M1 + đường tròn M2 = PMO = 900 Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên => PM OM M đường tròn nên M’ nằm trên đường => PM là tiếp tuyến tròn => hai cung AM và AM’ có số đo đường tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) các điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác => AMM’ = AM’M ( Hai góc nội tiếp DEF có ba góc nhọn chắn hai cung nhau) (1) DF // BC Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ 2 Tứ AB H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc giác với AB) BDFC => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (vì nội tiếp so le trong) (2) => Từ (1) và (2) => AS’S = ASS’ BD BM Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đ/ tròn => ASP=AMP (nội tiếp CB CF cùng chắn AP ) => AS’P = AMP => tam giác PMS’ cân P (HD) Theo t/c hai Lời giải: tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF = AFD đường < 900 => sđ cung DF < 1800 tròn => DEF < 900 ( vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Như tam giác DEF có ba góc nhọn Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF AB AC => DF // BC DF // BC => BDFC là hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Như M Chứng minh : và N cùng Tứ giác OMNP nội nhìn OP tiếp Tứ giác CMPO là góc hình bình hành 900 => M CM CN không phụ và N cùng thuộc vào vị trí nằm trên điểm M đường tròn Khi M di chuyển đường trên đoạn thẳng AB kính OP thì P chạy trên => Tứ giác đoạn thẳng cố định OMNP nội nào tiếp Lời giải: Tứ giác Ta có OMP = 90 ( vì OMNP nội PM AB ); ONP = 900 tiếp => (vì NP là tiếp tuyến ) (7) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp OPM = ONM (nội tiếp chắn cung OM) Tam giác ONC cân O vì có ON = OC = R => ONC = OCN nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 Bài 14 Cho điểm (nội tiếp chắn cung AE) C thuộc đoạn Theo giả thiết AH BC thẳng AB cho nên AH là tiếp tuyến AC = 10 Cm, CB = chung hai nửa đường40 Cm Vẽ tròn (O1) và (O2) phía AB các => B1 = H1 (hai góc nửa đường tròn nội tiếp cùng chắn cung có đường kính HE) => B1= F1 => theo thứ tự là AB, EBC+EFC = AFE +AC, CB và có tâm => OPM = OCM EFC mà AFE + theo thứ tự là O, I, Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = EFC = 1800 (vì là hai 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là góc kề bù) => Đường vuông góc cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) EBC+EFC = 1800 với AB C cắt Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2).mặt khác EBC và nửa đường tròn Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành EFC là hai góc đối (O) E Gọi M Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( tứ gt giác BEFC đó N theo thứ tự là CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường trònBEFC ) là tứ giác nội tiếp.giao điểm EA, => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => Xét hai tam giác AEFEB và với các nửa OMC NDC ACB ta có A = 90 là góc đường tròn (I), CM CO chung; AFE = ABC ( theo CD CN Chứng minh trên) 1.Chứng minh => => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R EC = MN nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi => AEF ACB => 2.Ch/minh MN hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M AE AF ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => AC AB => AE AB = AF.là tiếp tuyến chung các P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với CD D AC nửa đ/tròn (I), Vì M chạy trên đoạn thẳng AB nên P chạy trên HD cách 2: Tam giác AHB doạn thẳng A’ B’ song song và AB vuông H có HE AB =>(K) 3.Tính MN AH2 = AE.AB (*) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường Tam giác AHC4.Tính diện tích cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa vuông H có HF AChình giới đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn => AH2 = AF.AC (**) hạn ba nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Từ (*) và (**) => Lời giải: Chứng minh AFHE là hình chữ nhật AE AB = AF AC BEFC là tứ giác nội tiếp Tứ giác AFHE là hình chữ1 Ta có:0 BNC= 90 ( nội AE AB = AF AC nhật => IE = EH => tiếp Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa IEH cân I => E1 = chắn nửa đường tròn tâm đường tròn H1 Lời giải: O1EH cân O1 (vì có Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc O1E vàO1H cùng là bán đường tròn ) kính) => E2 = H2 => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) => E1 + E2 = H1 + H2 CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường mà H1 + H2 = AHB = tròn ) 900 => E1 + E2 = O1EF => AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) Từ (1), (2), (3) => tứ= 900 EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông giác AFHE là hình => O E EF chữ nhật ( vì có ba A) (3) Chứng minh tương tự ta góc vuông) có O2F EF Vậy Tứ giác AFHE EF là tiếp tuyến chung là hình chữ nhật hai nửa đường tròn (8) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp => ENC = 90 (vì là hai góc kề bù) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN) Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Từ (4) và (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN là tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến (I) M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm Ta có CAB = 900 ( vì tam giác => OA = 25 cm 2 2 Ta có S(o) = OA = 25 = 625 ; S(I) = IA = = ABC vuông A); MDC = 900 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường => CDB = 900 D và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và D cùng nằm trên tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) đường tròn đường kính BC => 1 ABCD là tứ giác nội tiếp S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 ABCD là tứ giác nội tiếp => D1= 314 (cm2) C3( nội tiếp cùng chắn cung AB) D1= C3 => SM EM => C2 = Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt chắn hai cung nhau) => CA là tia phân giác góc đường tròn (O) S SCB Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp Xét CMB Ta có BACM; CD Chứng minh CA là tia phân giác góc SCB BM; ME BC BA, EM, CD là Gọi E là giao điểm BC với đường tròn (O) ba đường cao tam giác CMB nên Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD BA, EM, CD đồng quy đồng quy Chứng minh DM là tia phân giác góc ADE Theo trên Ta có SM EM => D1= Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp D2 => DM là tia phân giác góc tam giác ADE ADE.(1) Lời giải: Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = (9) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 180 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp mộtAQM = 900 vậyTam P giác ACM có đường tròn => A2 = B2 và Q cùng nhìn BC MQ là đường cao => Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếpmột góc 900 nên P và Q cùng chắn cung CD) cùng nằm trên đường tròn = AC.MQ ACM => A1= A2 => AM là tia phân giác góc DAE (2) đường kính AM => APMQ Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác là tứ giác nội tiếp ADE * Vì AM là đường kính TH2 (Hình b) đường tròn ngoại tiếp tứ Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = giác APMQ tâm O CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS đường tròn ngoại tiếp tứ CE CS SM EM giác APMQ là trung điểm => => SCM = ECM => CA làcủa tia AM phân giác góc SCB Tam giác ABC có AH là Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường cao => SABC = đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : mà đây là haiBC.AH góc Tam giác ABM có MP là Tam giác ABC đồng dạng vớiđối tam nên ADEC là tứ giác EBD giác nội tiếp Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đường cao => SABM = AC // FG AB.MP Các đường thẳng AC, DE, FB 1 đồng quy Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP + Lời giải: 1 Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DEB = AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) BC.AH => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) chung => DEB CAB => MP + MQ = AH 0 Theo trên DEB = 90 => DEC = 90 (vì Tam giác ABC có AH là đường cao hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông nên là đường phân giác => HAP = A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = HQ HP ( tính chất góc nội * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = HAQ => 0 tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 90 F và A cùng nhìn BC góc 90 nên A=> OH là tia phân giác góc POQ Mà tam và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC làgiác POQ cân O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là tứ giác nội tiếp cao => OH PQ Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có Eđường 1= F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le nên suy AC // Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao tam giác DBC H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB H, nên CA, DE, BF đồng quy S lấy điểm M ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao là AH Trên cạnh C và D Gọi I là giao điểm AD BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, và BC MQ vuông góc với các cạnh AB AC Chứng minh MCID là tứ giác nội Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác tiếp định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chứng minh các đường thẳng AD, Chứng minh MP + MQ = AH BC, MH đồng quy I Chứng minh OH PQ Lời giải: Ta có MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) (10) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp đường chéo vuông góc với Lời giải: KCM cân K trung điểm đường Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp ( vì KC và KM là ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa chắn nửc đường tròn ) bán kính) => đường tròn ) => AD DC; theo trên BI => MCI = 900 (vì là hai góc kề bù) M1 = C1 DC => BI // AD (1) ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường Theo giả thiết ADBE là hình thoi tròn ) => EB // AD (2) => MDI = 900 (vì là hai góc kề bù) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì => MCI + MDI = 180 mà đây là hai qua B có đường thẳng song góc đối tứ giác MCID nên MCID là song với AD mà thôi.) tứ giác nội tiếp I, B, E thẳng hàng nên tam giác Theo trên Ta có BC MA; IDE vuông I => IM là trung tuyến AD MB nên BC và AD là hai đường ( vì M là trung điểm DE) =>MI = cao tam giác MAB mà BC và AD ME => MIE cân M => I1 = E1 ; cắt I nên I là trực tâm tam O’IC cân O’ ( vì O’C và O’I cùng giác MAB Theo giả thiết thì MH AB là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 nên MH là đường cao tam = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 giác MAB => AD, BC, MH đồng quy = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mà I I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = OAC cân O ( vì OA và 900 = MIO’ hay MI O’I I => MI OC là bán kính) => A1 = C4 là tiếp tuyến (O’) Mà A1 + M1 = 90 ( tam giác AHM vuông H) Bài=>20 Cho đường tròn (O; R) và (O’; C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( vì góc ACM làR’) góccó R > R’ tiếp xúc ngoài C bẹt) hay OCK = 90 Gọi AC và BC là hai đường kính qua Xét tứ giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 điểm => C (O) và (O’) DE là dây cung OHK + OCK = 1800 mà OHK và OCK là haicủa góc (O) vuông góc với AB trung điểm đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) là F, BD cắt (O’) G Chứng Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán minh rằng: kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung1 Tứ giác MDGC nội điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc vớitiếp AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Bốn điểm M, D, B, F Chứng minh tứ giác BMDI nội Theo giả thiết cùng nằm trên đường tiếp M là trung điểm tròn Chứng minh tứ giác ADBE là AB; DE AB3 Tứ giác ADBE là hình hình thoi M nên M cũngthoi là Chứng minh BI // AD trung điểm DE B, E, F thẳng hàng Chứng minh I, B, E thẳng (quan hệ đường DF, EG, AB đồng quy Theo giả thiết DE hàng kính và dây cung)6 MF = 1/2 DE AB M => Chứng minh MI là tiếp tuyến MF là tiếp tuyến CMD = 900 (O’) (O’) => CGD + CMD Lời giải: Lời giải: = 1800 mà đây là hai 0 BIC = 90 ( nội tiếp chắn nửa BGC = 90 ( nội tiếpgóc đối tứ giác đường tròn ) => BID = 90 (vì là hai chắn nửa đường tròn ) MCGD nên MCGD góc kề bù); DE AB M => => CGD = 900 (vì là hai là tứ giác nội tiếp BMD = 900 góc kề bù) BFC = 900 => BID + BMD = 180 mà đây là ( nội tiếp chắn hai góc đối tứ giác MBID nên nửa đường MBID là tứ giác nội tiếp tròn ) => BFD = 900; BMD = (11) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp 90 (vì DE AB M) F F1 + F2 = 900 = MFO’ và M cùng nhìn BD góc hay MF O’F F => MF 900 nên F và M cùng nằm là tiếp tuyến (O’) trên đường tròn đường kính BD Bài 21 Cho đường tròn (O) => M, D, B, F cùng nằm trên đường kính AB Gọi I là trung đường tròn điểm OA Vẽ đường tron Theo giả thiết M là trung điểm tâm I qua A, trên (I) lấy P AB; DE AB M nênbất Mkì, AP cắt (O) Q là trung điểm DE (quan Chứng minh hệ đường kính và dây cung) các đường tròn => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có (I) và (O) tiếp xúc hai đường chéo vuông góc với nhau A trung điểm đường Chứng minh IP // OQ ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa3 Chứng minh AP = đường tròn ) => AD DF ; theoPQ trên tứ giác ADBE là hình thoi Xác định vị trí P để => BE // AD mà AD DF nêntam giác AQB có diện tích suy BE DF lớn Theo trên BFC = 90 ( nội tiếpLời giải: chắn nửa đường tròn ) => BF Ta có OI = OA – IA mà DF mà qua B có đường OA và IA là các bán thẳng vuông góc với DF đo B, kính đ/ tròn (O) và E, F thẳng hàng đường tròn (I) Vậy đ/ tròn Theo trên DF BE; BM DE (O) và đường tròn (I) tiếp mà DF và BM cắt C nên xúc A C là trực tâm tam giác BDE OAQ cân O ( vì OA => EC là đường cao => và OQ cùng là bán kính ) => ECBD; theo trên CGBD => A1 = Q1 E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, IAP cân I ( vì IA và AB đồng quy IP cùng là bán kính ) => Theo trên DF BE => DEF A1 = P1 vuông F có FM là trung tuyến => P1 = Q1 mà đây là (vì M là trung điểm DE) suy hai góc đồng vị nên suy MF = 1/2 DE ( vì tam giácIP // OQ vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền) (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân M => D1 = F1 O’BF cân O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng phụ với DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mà F3 + F2 = BFC = 900 => APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP AQ => OP là đường cao OAQ mà OAQ cân O nên OP là đường trung tuyến => AP = PQ (HD) Kẻ QH AB ta có SAQB = AB.QH mà AB là đường kính không đổi nên SAQB lớn QH lớn QH lớn Q trùng với trung điểm cung AB Để Q trùng với trung điểm cung AB thì P phải là trung điểm cung AO Thật P là trung điểm cung AO => PI AO mà theo trên PI // QO => QO AB O => Q là trung điểm cung AB và đó H trung với O; OQ lớn nên QH lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chứng minh BHCD BHCD là là tứ giác nội tiếp tứ giác nội Tính góc CHK tiếp => Chứng minh KC BDC + KD = KH.KB BHC = Khi E di chuyển 1800 (1) trên cạnh BC thì H BHK là góc di chuyển trên bẹt nên đường nào? KHC + Lời giải: BHC = 1800 Theo giả thiết ABCD (2) là hình vuông nên BCD = 900; BH DE H nên BHD = 900 => H và C cùng nhìn BD góc 900 nên H và C cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => BHCD là tứ giác nội tiếp Từ (1) và (2) => CHK = BDC mà BDC = 450 (vì ABCD là hình vuông) => CHK = 450 Xét KHC và KDB ta có CHK = BDC = 450 ; K là góc chung KC KH => KHC KDB => KB KD => KC KD = KH.KB (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E B thì H B; E C thì H C) Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE (12) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Chứng minh ba điểm H, A, Lời giải: Gọi K là trung điểm HE (1) ; I là D thẳng hàng Theo giả trung điểm HB => IK là đường Đường thẳng HD cắt đường thiết ABHK là hình trung bình tam giác HBE => IK // tròn ngoại tiếp tam giác vuông => BAH =BE mà AEC = 900 nên BE HE E ABC F, chứng minh FBC 450 => IK HE K (2) là tam giác vuông cân Từ (1) và (2) => IK là trung trực HE Cho biết ABC > 450 ; gọi Vậy trung trực đoạn HE qua trung M là giao điểm BF và điểm I BH ED, Chứng minh điểm b, theo trên I thuộc trung trực HE => IE k, e, m, c cùng nằm trên = IH mà I là trung điểm BH => IE đường tròn = IB Chứng minh MC là tiếp ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tuyến đường tròn ngoại tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tiếp tam giác ABC tam giác BDH vuông D có DI là Tứ giác AEDC là hình vuông => CAD = 450; tam giáctrung tuyến (do I là trung điểm BH) ABC vuông A => BAC = 900 => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 =>=ba ID => I là tâm đường tròn ngoại tiếp điểm H, A, D thẳng hàng tam giác BDE bán kính ID Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường trònTa có ODC cân O (vì OD và OC là ) nên tam giác BFC vuông F (1) bán kính ) => D1 = C1 (3) FBC = FAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên IBD cân I (vì ID và IB là bán CAD = 450 hay FAC = 450 (2) kính ) => D2 = B1 (4) Từ (1) và (2) suy FBC là tam giác vuông cân F Theo trên ta có CD và AE là hai đường Theo trên BFC = 900 => CFM = 900 ( vì làcao hai tam giác ABC => H là trực tâm góc kề bù); CDM = 90 (t/c hình vuông) tam giác ABC => BH là đường => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứcao tam giác ABC => BH AC giác CDMF nội tiếp đường tròn suy CDF = F => AEB có AFB = 900 CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC là hình vuông) => Theo trên ADC có ADC = 900 => B1 = CMF = 450 hay CMB = 450 C1 ( cùng phụ BAC) (5) Ta có CEB = 45 (vì AEDC là hình vuông); BKC Từ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mà D2 +IDH = 450 (vì ABHK là hình vuông) BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO Như K, E, M cùng nhìn BC góc 450 nên => OD ID D => OD là tiếp tuyến cùng nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên BC => điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE b, k, e, m, c cùng nằm trên đường tròn Bài 25 Cho đường tròn (O), BC là dây CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC bất BC kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với C => MC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn (O) B và C chúng cắt ABC A Trên cung nhỏ BC lấy Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường tròn điểm M kẻ các đường vuông góc MI, đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC MH, D MK xuống các cạnh tương ứng BC, và E AC, AB Gọi giao điểm BM, IK là P; Chứng minh AE = EB => AEB là tam giác giao điểm CM, IH là Q Gọi H là giao điểm CD và AE, Chứng vuông cân E => EA Chứng minh tam giác ABC Theo giả minh đường trung trực đoạn HE = EB cân Các tứ giác BIMK, thiết MI BC A CIMH nội tiếp qua trung điểm I BH MIB = 3.Chứng minh OD là tiếp tuyến đường Chứng minh MI = ; MK AB D F tròn ngoại tiếp ∆ BDE MH.MK Chứng minh MKB = O H Lời giải: PQ MI / _ AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường Lời _Kgiải:1 / I tròn ) Theo tính chất hai tiếp tuyến E => AEB = 90 ( vì là hai góc kề bù); Theo B cắt nhauCta có AB = AC => giả thiết ABE = 450 ABC cân A (13) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp => MIB + MKB = 180 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp * ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp tương tự tứ giác BIMK ) Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => KMI + KBI = 1800; tứ giác CHMI nội tiếp => HMI + HCI = 1800 mà KBI = HCI ( vì tam giác ABC cân A) => KMI = HMI (1) Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp => B1 = I1 ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => H1 = C1 ( nội tiếp cùng chắn cung IM) Mà B1 = C1 ( = 1/2 sđ BM ) => I1 = H1 (2) MI MK Từ (1) và (2) => MKI MIH => MH MI => MI2 = MH.MK Kẻ MJ AC ta có MJ // BC ( vì cùng vuông góc với AC) Theo trên OM BC => OM MJ J suy MJ là tiếp tuyến đường tròn M Bài 27 Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B và C Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lời giải: Theo trên ta có I1 = C1; chứng minh tương tự ta có I2 = B2 mà C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị nhau) Theo giả thiết MI BC nên suy IM PQ Bài 26 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M là điểm chính cung CB, I là giao điểm CB và OM K là giao điểm AM và CB Chứng minh : tam KC AC KB AB AM là tia phân giác giác ) CMD Tứ giác OHCI nội tiếp Chứng minh đường vuông góc kẻ từ M đến AC là tiếp tuyến đường tròn M Lời giải: Theo giả thiết M là trung điểm BC => MB MC => CAM = BAM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => AK là tia phân giác KC AC góc CAB => KB AB ( t/c tia phân giác (HD) Theo giả thiết CD AB => A là trung điểm CD => CMA = DMA => MA là tia phân giác góc CMD (HD) Theo giả thiết M là trung điểm BC => OM BC I => OIC = 900 ; CD AB H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI nội tiếp 1 (HS tự giải) Tứ giác ABOC nội tiếp => BAO = BCO (nội tiếp cùng chắn cung BO) Theo giả thiết MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (nội tiếp cùng chắn cung HM) Chứng minh tương tự ta có tứ giác MHBI nội tiếp => MHI = MBI (nội tiếp cùng chắn cung IM) (14) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp trong); lại có OGI = HGA (đối Mà HCM = MBI ( = 1/2 sđ BM ) => HKM = MHI GI OI (1) Chứng minh tương tự ta có KHM = HIM (2) Từ (1) và (2) => HIM KHM đỉnh) => OGI HGA => GA HA MI MH Theo trên HIM KHM => MH MK => mà OI = AH MI.MK = MH2 GI Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H là trực tâm => GA mà AI là trung tuyến ∆ tam giác ABC; E là điểm đối xứng H qua BC; F là điểm đối ABC (do I là trung điểm BC) => G xứng H qua trung điểm I BC là trọng tâm ∆ ABC Chứng minh tứ giác BHCF là BHC = B’HC’ (đối Bài 29 BC là dây cung đường hình bình hành đỉnh) => BAC + tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di E, F nằm trên đường tròn (O) BHC = 1800 Theo động trên cung lớn BC cho O luôn Chứng minh tứ giác BCFE là trên BHCF là hình nằm tam giác ABC Các đường hình thang cân bình hành => BHC cao AD, BE, CF tam giác ABC Gọi G là giao điểm AI và BFC => BFC + đồng quy H OH Chứng minh G là trọng tâm tam BAC = 1800 Chứng minh tamAB); KC // BH giác ABC giác AEF đồng dạng với(cùng vuông góc Lời giải: tam giác ABC AC) => BHKC Theo giả thiết F là điểm đối xứng H Gọi A’ là trung là hình bình qua trung điểm I BC => I là trung điểm điểm BC, Chứng minh hành => A’ là BC và HE => BHCF là hình bình hành vì có AH = 2OA’ trung điểm hai đường chéo cắt trung điểm Gọi A1 là trung HK => OK là đường điểm EF, đường trung (HD) Tứ giác AB’HC’ nội tiếp => BAC + Chứng minh bình B’HC’ = 1800 mà R.AA1 = AA’ OA’ AHK => AH = Chứng minh R(EF + FD 2OA’ + => Tứ giác ABFC nội tiếp => F thuộc (O) DE) = 2S suy ABC * H và E đối xứng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) vị trí A để => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC tổng EF + FD + DE đạt giá nội tiếp => E thuộc (O) trị lớn Ta có H và E đối xứng qua BC => BC HE (1) và Lời giải: (HD) IH = IE mà I là trung điểm của HF => EI = 1/2 HE => tam giác HEF vuông E hay FE Tứ giác BFEC nội tiếp => AEF = ACB (cùng bù HE (2) BFE) Từ (1) và (2) => EF // BC => BEFC là hình thang (3) AEF = ABC (cùng bù Theo trên E (O) => CBE = CAE ( nội tiếp cùng chắn CEF) => AEF ABC cung CE) (4) Vẽ đường kính AK => Theo trên F (O) và FEA =90 => AF là đường kính KB // CH ( cùng vuông góc (O) => ACF = 90 => BCF = CAE áp dụng tính chất : hai tam giác đồng ( vì cùng phụ ACB) (5) dạng thì tỉ số hia trung tuyến, tỉ số Từ (4) và (5) => BCF = CBE (6) hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp Từ (3) và (6) => tứ giác BEFC là hình thang cân Theo trên AF là đường kính (O) => O là trung điểm tỉ số đồng dạng ta có : R AA ' AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm HF => OI là đường trung bình tam giác AHF => OI = R ' AA1 (1) AEF ABC => 1/ AH đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Theo giả thiết I là trung điểm BC => OI BC ( Quan ABC; R’ là bán kính đường tròn hệ đường kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le ngoại tiếp AEF; AA’ là trung tuyến ABC; AA1 là trung tuyến AEF (15) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây là đường tròn ngoại tiếp AEF AH A 'O Từ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ Vậy R AA1 = AA’ A’O (2) Gọi B’, C’lần lượt là trung điểm AC, AB, ta có OB’AC ; OC’AB (bán kính qua trung điểm dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ là các đường cao các tam giác OBC, OCA, OAB SABC = SOBC+ SOCA + SOAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) Vẽ dây BD OA => AB AD => 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) ABD = ACB AA1 AA1 Ta có OAH = DBC ( góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn) => Theo (2) => OA’ = R AA ' mà AA ' là tỉ số trung OAH = ABC - ABD => OAH = AA1 ABC - ACB hay OAH = B - C tuyến hai tam giác đồng dạng AEF và ABC nên AA ' a) Theo giả thiết BAC = 600 => B EF FD ED + C = 1200 ; theo trên B C = OAH => B - C = 200 = BC Tương tự ta có : OB’ = R AC ; OC’ = R AB => Thay vào (3) ta B C 1200 B 700 EF FD ED BC AC AB 0 AC AB 2SABC = R ( BC ) 2SABC = R(EF + B C 20 C 50 FD + DE) b) Svp = SqBOC - S BOC = * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD R 1202 R + DE) đạt gí trị lớn SABC R 360 2= 2 Ta có SABC = AD.BC BC không đổi nên SABC lớn R R R (4 3) AD lớn nhất, mà AD lớn A là điểm chính giỡa 12 cung lớn BC Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC = 600 Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác Tính số đo góc BOC và độ dài nội tiếp góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH và bán kínhBC theo R (O; R) => BC = OA Vẽ đường kính CD (O; Chứng minh AM là phân giác = OAM ( vì tam R); gọi H là giao điểm ba CD góc OAH giác OAM cân đường cao tam giác ABC là đường Giả sử B > C Chứng minh O có OM =Chứng minh BD // AH và kính0 => DBC = 90 hay DB OAH = B - C OA = R) => AD // BH BC; theo giả Cho BAC = 600 và OAH = HAM = OAM Tính AH theo R thiết AH là 20 Tính: => AM là tia Lời giải: a) B và C tam giác ABC phân giác góc Theo giả thiết BAC = 600 b) Diện tích hình viên phân giới hạn OAH => sđ BC =1200 ( t/c góc nội dây BC và cung nhỏ BC theo R tiếp ) Lời giải: (HD) => BOC = 1200 ( t/c góc AM là phân giác BAC => tâm) BAM = CAM => BM CM => M là * Theo trên sđ BC =1200 => trung điểm cung BC => OM BC; BC là cạnh tam giác Theo giả thiết AH BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mà OMA (16) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp đường Chứng cao => minh AHkhi BC MN=> diBD động // AH , trung Chứng I là trung minh điểm tươngcủa tự ta điểm I ADMN // BH luôn nằm trên đường MN => OI MN I tròn cố định ( quan hệ đường kính và Theo trên DBC = 900 => DBC vuông B có BC = R ; Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt dây cung) = > OIH = CD = 2R Ax C Chứng minh tứ giác CMBN là =>hình BD2bình = CDhành – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R )2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R Chứng minh C là trực tâm Theo // AH; AD // BH => BDAH là hình bình hành => tamtrên giácBD AMN AHKhi = BD =>quay AH =quanh R H thì C di động MN Bài 32 Cho đường tròn (O), trên đường nào.đường kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB 5.Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN Lời giải: (HD) OH cố địmh nên MN di động thì I di động luôn nhìn OH cố định góc 900 đó I di động trên đường tròn đường kính OH Vậy MN di động , trung điểm I MN luôn nằm trên đường tròn cố định Theo giả thiết Ax MN; theo trên OI MN I => OI // Ax hay OI // AC mà O là trung điểm AB => I là trung điểm BC, lại có I là trung điểm MN (gt) => CMBN là hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường ) CMBN là hình bình hành => MC // BN mà BN AN ( vì ANB = 900 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MC AN; theo trên AC MN => C là trực tâm tam giác AMN Ta có H là trung điểm OB; I là trung điểm BC => IH là đường tung bình OBC => IH // OC Theo giả thiết Ax MN hay IH Ax => OC Ax C => OCA = 900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định Vậy MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn đường kính OA cố định Ta có AM AN = 3R , AN = R => AM =AN = R => AMN cân A (1) Xét ABN vuông N ta có AB = 2R; AN = R => BN = R => ABN = 600 ABN = AMN (nội tiếp cùng chắn cung AN) => AMN = 600 (2) 3R Từ (1) và (2) => AMN là tam giác => SAMN = 3R R (4 3 4 => S = S(O) - SAMN = R = Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M Chứng minh OM BC Chứng minh MC2 = MI.MA Kẻ đường kính MN, các tia phân giác góc B và C cắt đường thẳng AN P và Q Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc đường tròn Lời giải: AM là phân giác BAC => BAM = CAM => BM CM => M là =MAC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau); M là góc chung => MCI MAC => MC MI MA MC => MC2 = MI.MA trung điểm cung BC => OM BC Xét MCI và MAC có MCI (HD) MAN = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => P1 = 900 – K1 mà K1 là góc ngoài tam giác AKB A B (t/c nên K1 = A1 + B1 = phân giác góc ) => P1 = 900 – A B ).(1) ( CQ là tia phân giác góc ACB => C C1 = = (1800 - A - B) = 900 – A B ) (2) ( Từ (1) và (2) => P1 = C1 hay QPB = QCB mà P và C nằm cùng nửa mặt phẳng bờ BQ nên cùng nằm A B ) trên cung chứa góc 900 – ( dựng trên BQ Vậy bốn điểm P, C, B, Q cùng thuộc đường tròn Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiều cao AH = Cm, nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA’ (17) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Tính bán kính đường tròn AH.A’H => A’H nhau) hay AME = ACM Lại thấy (O) = CAM là góc chung hai tam giác 2 Kẻ đường kính CC’, tứ giác CH AME và AMC đó tam giác AME đồng 2,5 dạng với tam giác ACM CAC’A’ là hình gì? Tại sao? AH 4 Kẻ AK CC’ tứ giác AKHC là => AA’ AM AE hình gì? Tại sao? Theo trên AME ACM => AC AM Tính diện tích phần hình tròn (O) => AM2 = AE.AC nằm ngoài tam giác ABC AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường Lời giải: tròn ); MN AB I => AMB vuông (HD) Vì ABC cân A nên đường M có MI là đường cao => MI2 = kính AA’ đường tròn ngoại tiếp và AI.BI ( hệ thức cạnh và đường cao đường cao AH xuất phát từ đỉnh A trùng tam giác vuông) nhau, tức là AA’đi qua H => ACA’ áp dụng định lí Pitago tam giác AIM BC vuông I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = vuông C có đường cao CH = 2 AE.AC - AI.BI = 3cm; AH = 4cm => CH2 = Theo trên AMN = ACM => AM là => AA’ = AH + HA’ = + 2,5 = 6,5 9cm) => R = AA’ :tiếp = tuyến đường tròn ngoại tiếp 6,5 : = 3,25 (cm) ECM; Nối MB ta có AMB = 900 , đó Vì AA’ và CC’ là hai đường kính nên cắt trung tâm O1 đường tròn ngoại tiếp ECM điểm O đường => ACA’C’ là hình bình hành phải Lạinằm trên BM Ta thấy NO1 nhỏ có ACA’ = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên suy khira NO1 là khoảng cách từ N đến BM => tứ giác ACA’C’ là hình chữ nhật BM Theo giả thiết AH BC; AK CC’ => K và H Gọi cùngO1 là chân đường vuông góc kẻ từ N nhìn AC góc 900 nên cùng nằm trên đường đến BM ta O1 là tâm đường tròn tròn đường kính AC hay tứ giác ACHK nội tiếp (1) ngoại => tiếp ECM có bán kính là O1M Do C2 = H1 (nội tiếp cung chắn cung AK) ; AOC cân đó để O khoảng cách từ N đến tâm đường ( vì OA=OC=R) => C2 = A2 => A2 = H1 => HK tròn // ACngoại tiếp tam giác CME là nhỏ ( vì có hai góc so le nhau) => tứ giác ACHK thì là C phải là giao điểm đường tròn hình thang (2).Từ (1) và (2) suy tứ giác ACHK làtâm hìnhO1 bán kính O1M với đường tròn (O) thang cân đó O1 là hình chiếu vuông góc N Bài 35 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm Itrên BM nằm A và O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các với AB I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C đường cao AD, BE, CF Gọi H là trực tâm không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E tam giác Gọi M, N, P, Q là Chứng minh tứ giác IECB nội=> EIB + ECB các=hình chiếu vuông góc D lên AB, tiếp 1800 mà đây là hai BE,góc CF, AC Chứng minh : Chứng minh tam giác AME đối tứ giác IECB Các tứ giác DMFP, DNEQ HC) => C1= đồng dạng với tam giác ACM.nên tứ giác IECB là là hình chữ nhật (cùng phụ với Chứng minh AM2 = AE.AC tứ giác nội tiếp Các tứ giác BMND; DHC)=>C1=N2 Chứng minh AE AC - AI.IB = DNHP; DPQC (1) chứng nội minh AI2 tiếp tương tự ta có Hãy xác định vị trí C cho Hai tam giác HNP và HCBP1 (2) khoảng cách từ N đến tâm đường tròn đồng dạng Từ (1) và (2) => ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ Bốn điểm M, N, P, Q thẳng HNP HCB Lời giải: hàng Theo giả thiết MN AB I => EIB = Lời giải: & (HS tự làm) 900; ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn Theo chứng minh trên DNHP nên ACB = 900 hay ECB = 900 nội tiếp => N2 = D4 (nội tiếp cùng chắn cung HP); HDC có Theo giả thiết MN AB => A là trung điểm cung MN HDC = 900 (do AH là đường => AMN = ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung HDP có HPD = 900 (do (18) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Theo chứng minh trên DNMB nội tiếp => N1 = D1 (nội tiếp cùng chắn cung BM).(3) DM // CF ( cùng vuông góc với AB) => C1= D1 ( hai góc đồng vị).(4) Theo chứng minh trên C1 = N2 (5) Từ (3), (4), (5) => N1 = N2 mà B, N, H thẳng hàng => M, N, P thẳng hàng (6) Chứng minh tương tự ta cung có N, P, Q thẳng hàng (7) Từ (6), (7) => Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 37 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC I Chứng minh các tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp ABC có AI = BC Chứng minh BAC = 900 =>ABC vuông A Tính số đo góc OIO’ hay BAC =900 Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm Lời giải: ( HS tự làm) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có IB = IA , IA = IC Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có IO là tia phân giác BIA; I0’là tia phân giác CIA mà hai góc BIA và CIA là hai góc kề bù => I0 I0’=> 0I0’= 900 Theo trên ta có 0I0’ vuông I có IA là đường cao (do AI là tiếp tuyến chung nên AI OO’) => IA2 = A0.A0’ = = 36 => IA = => BC = IA = = 12(cm) Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’) Tiếp tuyến chung A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC M Gọi E là giao điểm OM và AB, F là giao điểm O’M và AC Chứng minh : Chứng minh các tứ giác ME.MO = OBMA, AMCO’ nội tiếp MF.MO’ Tứ giác AEMF là hình chữ OO’ là tiếp nhật tuyến đường tròn đường kính BC BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ Lời giải: ( HS tự làm) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA = MB =>MAB cân M Lại có ME là tia phân giác => ME AB (1) Chứng minh tương tự ta có MF AC (2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MO và MO’ là tia phân giác hai góc kề bù BMA và CMA => MO MO’ (3) Từ (1), (2) và (3) suy tứ giác MEAF là hình chữ nhật Theo giả thiết AM là tiếp tuyến chung hai đường tròn => MA OO’=> MAO vuông A có AE MO ( theo trên ME AB) MA2 = ME MO (4) Tương tự ta có tam giác vuông MAO’ có AFMO’ MA2 = MF.MO’ (5) Từ (4) và (5) ME.MO = MF MO’ Đường tròn đường kính BC có tâm là M vì theo trên MB = MC = MA, đường tròn này qua Avà co MA là bán kính Theo trên OO’ MA A OO’ là tiếp tuyến A đường tròn đường kính BC (HD) Gọi I là trung điểm OO’ ta có IM là đường trung bình hình thang BCO’O => IMBC M (*) Ta cung chứng minh OMO’ vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OO’ => IM là bán kính đường tròn đường kính OO’ (**) Từ (*) và (**) => BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính BC, dấy AD vuông góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF (19) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp Hãy xác định vị trí tương đối các đường trònON (I) là tia phân giác góc và (O); (K) và (O); (I) và (K) BOP, mà Tứ giác AEHF là hình gì? Vì Chứng minh tương tự sao? ta có IE EF Chứng minh AE AB = AF AC Vậy EF là tiếp tuyến Chứng minh EF là tiếp tuyếnchung hai đường chung hai đường tròn (I)tròn và (I) và (K) (K) e) Theo chứng minh Xác định vị trí H để EF có trên độ tứ giác AFHE làAOP và BOP là hai góc kề bù => = 900 hay tam giác MON vuông dài lớn hình chữ nhật => EF MON = Lời giải: AH OA (OA là bán APB = 900((nội tiếp chắn nửa đường tròn) 1.(HD) OI = OB – IB => (I) tiếp xúc (O) kính đường tròn (O) hay tam giác APB vuông P OK = OC – KC => (K) tiếp xúc (O) có độ dài không đổi) IK = IH + KH => (I) tiếp xúc (K) nên EF = OA <=> AHTheo tính chất tiếp tuyến ta có NB OB Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửa = OA <=> H trùng với => OBN = 90 ; NP OP => OPN = 900 đường tròn ) => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) Vậy H trùngOBN+OPN =180 mà OBN và OPN là hai góc đối => tứ giác OBNP nội CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) với O túc là dây tiếp => AFH = 90 (vì là hai góc kề bù).(2) AD vuông góc với =>OBP = PNO BC O thì Xét EF hai tam giác vuông APB và MON có APB = MON = 900; OBP = PNO => có độ dài lớn APB MON Theo trên MON vuông O có OP MN ( OP là tiếp tuyến ) Bài 40 Cho nửa đường tròn đường kính ABáp = dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ta có OP2 = PM PM 2R Từ A và B kẻ hai Mà OP = R; AM = PM; BN = NP (tính chất tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm M kẻ hai tiếp tuyến cắt ) => AM BN = R tiếp tuyến MP cắt By tạiTheo trên OP = PM PM hay PM PM = R R BAC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn Chứng minh tam mà PM = AM = => PM = => PN = hay EAF = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ giác MON đồng R dạng với tam giác nhật ( vì có ba góc vuông) : = 2R Theo giả thiết ADBC H nên AHB APB R 5R vuông H có HE AB ( BEH = 900 ) => Chứng minh AM BN = R AH2 = AE.AB (*) => MN = MP + NP = + 2R = S MON Tam giác AHC vuông H có HF AC MN (theo trên CFH = 90 ) => AH = AF.AC Tính tỉ số S APB Theo trên APB MON => AB = (**) 5R R Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC ( = AH2) : 2R = = k (k là tỉ số đồng Theo chứng minh trên tứ giác AFHE AM = dạng).Vì tỉ số diện tich hai tam là hình chữ nhật, gọi G là giao điểm Tính thể tích giác đồng dạng bình phương tỉ hai đường chéo AH và EF ta có GF = GH hình nửa hình số đồng dạng nên ta có: (tính chất đường chéo hình chữ nhật) => tròn APB quay GFH cân G => F1 = H1 quanh cạnh AB sinh S MON S MON 25 KFH cân K (vì có KF và KH cùng là bán S APB = k2 => S APB = 16 kính) => F2 = H2 Lời giải: => F1 + F2 = H1 + H2 mà H1 + H2 =Theo tính chất hai AHC = 900 => F1 + F2 = KFE = 900 => tiếp tuyến cắt ta Bài 41 Cho tam giác ABC , O là trung điển BC Trên các KF EF có: OM là tia phân giác góc AOP ; (20) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp cạnh AB, AC lấy các điểm D, E cho tuyến với dây DOE = 600 cùng chắn cung) 1)Chứng minh tích BD CE mà OB = OC => EBD = DCE không đổi = R không => B và C nhìn DE 2)Chứng minh hai tam giác đổi => cùng BOD; OED đồng dạng Từ đó BD.CE = R2 suy tia DO là tia phân giác không đổi góc BDE 3)Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường tròn này luôn tiếp xúc góc đó B và C cùng nằm với DE trên cung tròn dựng trên DE => Lời giải: Tứ giác BCDE nội tiếp Tam giác ABC => ABC Tứ giác BCDE nội tiếp => BCE = ACB = 60 (1); = BDE ( nội tiếp cùng chắn cung DOE = 60 (gt) =>DOB + BE) mà BCE = CBD (theo trên ) EOC = 120 (2) => CBD = BDE mà đây là hai DBO có DOB = 600 => BDO + góc so le nên suy BC // DE BOD = 120 (3) Từ (2) và (3) => BDO = COE (4) Bài 43 Cho đường tròn (O) đường kính AB, Từ (2) và (4) => BOD CEO điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối BD BO xứng với A qua M, => CO CE => BD.CE = BO.CO BN cắt (O) C Gọi E là giao điểm AC BD OD và BM Theo trên BOD CEO => CO OE mà CO = Chứng minh tứ giác Theo BD OD BD BO MNCE nội tiếp trên tứ Chứng minh NE AB giác AENF OD OE (5) BO => BO OE Gọi F là điểm đối xứng là hình Lại có DBO = DOE = 600 (6) với E qua M Chứng minh FA là bình hành Từ (5) và (6) => DBO DOE => BDO = ODE tiếp tuyến (O) => FN // => DO là tia phân giác BDE Chứng minh FN là tiếp AE hay FN Theo trên DO là tia phân giác BDE => O cách tuyến đường tròn // AC mà DB và DE => O là tâm đường tròn tiếp xúc với (B; BA) AC BN DB và DE Vậy đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Lời giải: (HS tự làm) => FN luôn tiếp xúc với DE (HD) Dễ thấy E là trực tâm BN N Bài 42 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ tam giác NAB => NE AB 3.Theo giả thiết A và N đối xứng cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến _ F qua M nên M là trung / M B và C cắt AC, AB D và E Chứng minh : điểm AN; F và E xứng BD2 = AD.CD Theo giả / _ qua M nên M là trung điểm Tứ giác BCDE nội tiếp thiết tam EF => AENF là hình bình hành BC song song với DE giác ABC => FA // NE mà NE AB => FA A O Lời giải: cân A => AB A => FA là tiếp tuyến Xét hai tam giác BCD và ABD ABC = (O) A ta có CBD = BAD ( Vì là góc nội ACB tiếp và góc tiếp tuyến với dây cùng chắn cung), lại có D chung => BCD ABD => BD CD AD BD => BD2 = AD.CD => EBC = DCB mà CBD = BCD (góc tiếp BAN có BM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ( M là trung điểm AN) nên BAN cân B => BA = BN => BN là bán kính N E H (21) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp đường tròn (B; BA) => FN là tiếp tuyến N (B; BAC (do ABC cân nên AH là tuyến ∆ BA) phân giác) => BAC = 2BGO PAB Bài 44 AB và AC là hai tiếp tuyến đường tròn tâm O Bài 46: Cho đường trũn (O) và bán kính R ( B, C là tiếp điểm ) Vẽ CH vuông góc AB H, điểm P ngoài đường Bài trũn.47: Cho cắt (O) E và cắt OA D Kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A;∆ABC B là vuông Chứng minh CO = CD tia phân giác tiếp điểm) Từ A vẽ tia song A songLấy trên Chứng minh tứ giác OBCD làBOC => BOA = với PB cắt (O) C (C A) Đoạn cạnh AC hình thoi COA (1) PC cắt đường trũn điểmđiểm thứ D Dựng B D Tia AD cắt PB E Gọi M là trung điểm CE, hai CE vuông góc H Bm cắt OH I Chứng minh I là a Chứng minh ∆EAB BD.~ I trung điểm OH ∆EBD a Chứng E Tiếp tuyến E với (O) cắt minh ∆ABD ~ Ob Chứng minh AE là trung D AC K Chứng minh ba điểm O, M, A tuyến ∆PAB ∆ECD M K thẳng hàng HD: a) ∆EAB ~ ∆EBD (g.g) vỡ: b Chứng K BEA Lời giải: minh tứ giỏc chung C Theo giả thiết AB và AC là hai tiếp ABCE là tứ EAB = EBD (gúc nội tiếp vànội tiếp tuyến đường tròn tâm O => OA là giỏc OB AB ( AB là tiếp tuyến ); CH AB (gt) => OB // CH =>gúc tạo tia tiếp tuyến…) c Chứng EB ED BOA = CDO (2) minh FD Từ (1) và (2) => COD cân C => CO = CD.(3) vuông góc BC, EA EB EB = theo trên ta có CO = CD mà CO = BO (= R) => CD = BO EA.ED (1) đó F là (4) lại có OB // CH hay OB // CD (5) giao điểm PCA EPD EAP * = (s.l.t) ; Từ (4) và (5) => BOCD là hình bình hành (6) Từ (6) và (3) BA = và CE => BOCD là hình thoi PCA (gúc nội tiếp và gúc tạo d Cho M là trung điểm CE => OM CE ( quan hệ đường tia tiếp tuyến…) ABC = kính và dây cung) => OMH = 900 theo trên ta có EPD = EAP ; PEA chung60 ; BC = OBH =900; BHM =900 => tứ giác OBHM là hình chữ nhật 2a; AD = ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) => I là trung điểm OH a Tính M là trung điểm CE; KE và KC là hai tiếp tuyến => O, EP ED AC; EA EP EP2 = EA.ED M, K thẳng hàng đường cao Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường (2)Từ & EB2 = EP2 AH tròn (O) Gọi D là trung điểm AC; tiếp tuyến đường EB = EP AE là trung∆ABC và tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F 1.Chứng minh BC // AE 3) I là trung 2.Chứng minh ABCE là hình bình hành điểm CF => 3.Gọi I là trung điểm CF và G là giao điểm OI CF (quan BC và OI hệ đường kính và So sánh BAC và BGO dây cung) Theo Lời giải: (HS tự làm) trên AECB là 2).Xét hai tam giác ADE và CDB ta có EAD hình bình hành = BCD (vì so le ) => AB // EC => AD = CD (gt); ADE = CDB (đối đỉnh) OI AB K, => ADE = CDB => AE = CB (1) => BKG vuông K Ta cung có BHA vuông H => BGK = BAH ( cung phụ với ABH) Theo trên AE // CB (2) Từ (1) và (2) => AECB mà BAH = là hình bình hành B E O P D C A C (22) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp bán kính đường trũn ngoại tiếp Bài tứ giỏc 49: Cho đường SMPQ PQ O1 O d) = ; ADEF trũn (O; R) và SOPQ O = HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) đường thẳng (d) cố mà O1 E b) tứ giỏc ABCE là tứ giỏc nội tiếp định (Quĩ không cắt (O; PQ K O O tớch cung chứa gúc 90 ) R) Hạ OH (d) (H + 3+ 4= =3 c) Chứng minh D là trực tõm ∆ CBF d) M là điểm D O + O3 2a thay đổi trên (d) (M Bài 50: Cho nửa đường trũn (O), H a H) Từ M kẻ ABC đường kính AB=2R Trên tia0 ; O + D1 = d) AC = BC.sin = 2a.sin60 = 2a tiếp tuyến MP và 600 đối tia AB lấy điểm E (E (…) MQ (P, Q là tiếp =a A) Từ E, A, B kẻ các tiếp tuyến D O = = điểm) với (O; R) với nửa đường trũn Tiếp tuyến Dây cung PQ cắt A kẻ từ B kẻ từ E cắtFhai tiếp tuyến AB = BC.cos ABC = 2a.cos600 = 2a = OH I; cắt OM Aởvà B theo thứ tự C và D = ỏ Vậy: DB a OB R a Chứng minh a Gọi M là tiếp điểm tg = tg ; tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa O, Q, H, đường trũn Chứng Lại AH = AB.sin ABC = a.sin600 = a 5; điểm ∆ minh cú: AC = M, P cùng nằm tứ giỏc ACMO nội OA.tgỏ ABC BFK tiếp = R.tgỏ FKB vuụng K , cú = 60 = trên 30 đường đường AC.DB = AD = FD.sin BFK AD = FD.sin300 trũn trũn R b Chứng minh b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a IH.IO = IQ.IP R.tgỏ tg DM CM AC.DB = Bài 48: Cho ∆ABC vuụng ( ABC = 900; BC > BA) DE CE c Giả sử PMQ từ đó suy (Đpcm) nội tiếp đường trũn đưũng kớnh AC Kẻ Tớnh tỉ số diện c Gọi N là giao điểm AD và dõy cung BD vuụng gúc AC H là giao điểm tớchAC2 tam giỏc: B // BD BC Chứng minh MN Bài 51: Cho và BD Trên HC lấy điểm E cho E đối xứng ∆OPQ ∆MPQvà d Chứng minh: EA = EC.EM∆ABC – có với A qua H Đường trũn đường kính ECHD: cắt BC a) điểm O, Q, EA.AO góc nhọn I (I C) H, M, P cùng nằm AOC H là = ỏ Tớnh theo R Gọi và CI CE trên đường trũn e Đặt giao điểm các đoạn AC và BD (Dựa vàoỏ quĩ a Chứng minh CB CA đường Chứng tỏ tớch AC.BDI tớch cung chứa gúc b Chứng minh D; E; I thẳng hàng cao AA1; phụ thuộc giỏ trị R, ) c Chứng minh HI là tiếp tuyến90của BB1; CC1 khụng phụ thuộc vào ỏ b) ∆ OIP ~ ∆ QIH H đường trũn đường kính EC a vào quĩ IO HD:a) IQ ACMO nội tiếp (Dựa Chứng HD; a) AB // EI (cựng BC) tớch cungA chứa gúc 90 ) C E O’ (g.g) IP IH b) AC // BD (cựng O EB) minh tứ CI CE IH.IO = IQ.IP giỏc CB CA (đ/lí Ta-lét) ∆EAC ~ ∆EBD c) ∆v MKQ cú CE : HA1BC1 AC b) chứng minh ABED là hỡnh thoi DE // MQK nội tiếp AB mà EI //AB DE BD (1)mà AC = CM ; BDđược MK = KQ.tg D, E, I cùng nằm trên đường thẳng đi=qua KQ.tg600 = MD = (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) đường E // AB PQ PQ CE CM DM D CM trũn Xỏc 3 D, E, I thẳng hàng định tâm I 2 DE DM (2) DE CE EIO' IEO' đường c) = ( vỡ ∆ EO’I cõn ; O’I = O’E = ∆v OKQ cú:c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ trũn R(O’)) NC AC OQK OK = KQ.tg = IEO' = HED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH là trung ∆NBD KQ.tg300 = NB BD (3) Từ 1; 2; tuyến ∆HID cõn HIE = HDI PQ NC PQ 3CM KQ 3 NB6 DM MN // BD Mà HDI + HED = 900 đpcm P D M K O M C N I 14 B O A E Q H (23) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp I cách b Chứng minh A1A là phõn giỏc củab) IP // CM ( c Tứ giỏc ANKP là hỡnh H B A C A và O cố D Cz) MPIC gỡ? là Vỡ sao? A 1 định I thuộc hỡnh thang IL c Gọi J là trung điểm AC Chứng = LC khôngHD: đổi a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c)đường trung trực U K minh IJ là trung trực A1C1 vỡ A,B,Cb)cốHS tự c/m ∆ KMN vuụng cõn d Trên đoạn HC lấy điểm M cho N Gọi E và F O c) ∆ KMN vuụng KN KM định I cố định P MH KM; // BP KN BP Blà1 trung điểm KM c) PA mà MC L AO; AC PK MB H làAPB = 900 (gúc nội tiếp…) Vỡ M chạy M So sỏnh diện tớch tam giỏc: ∆HAC trực tõm ∆ PKM BP C1 trờn cung nhỏ AC và ∆HJM KH KN // AP ( BP) nờnJtập hợp I là K HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tớch cung chứa PM KM BP EF H // đoạn gúc 900) = T d) AHBK nội Tâm I là trung điểm BH KMN PAT 45 // N A Bài 55: Cho HA C HBC HA B HCB tiếp đ/trũn đ/k KH PKM 1 = ; 1= (quĩ tớch cung b) C/m: ; ∆ABC PAM PKU MK 450 cân (AB B O chứa gúc…) A HBC HCB = AC) nội tiếp Mà I HA1C1 = HA1B1 = 1 N là tâm PKN 450 ; KNM 450 đường đpcm đ/trũn ngoại tiếp trũn (O) Gọi D bỡnh c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 … … NE =PK NA// AN = Vậy ANPK là hỡnh là trung điểmC ỊJ là trung trực A1C1 A1 hành B R(N) AC; tia 1 N thuộc BD cắt tiếp yx trực d) S HJM = HM.JK ; SHAC = HC.AC1 đường trung tuyến Bài 54: Cho đường trũn tõm O, A với AB HC.AC1 MH kớnh R, cú hai đường đường kính trũn (O) bỏn O,L,N M C điểm E; EC SHAC : S HJM = HM.JK mà MC AB, CD vuông góc với M là thẳng hàng (O) F điểm tuỳ ý thuộc cungcắt nhỏ HC HM+MC MC AC1 1 1 4 2 a Chứng AC Nối MB, cắt CD N HM HM HM ; JK (JK// Bài 53: Cho nửa BC a Chứng minh: tia MD làminh: AC1 đường trũn (O) song song với phõn giỏc gúc AMB SHAC : S HJM = đường kính AB b Chứng minh:∆BOM ~tiếp tuyến và K là điểm ∆BNA Chứng minh: BM.BNđường trũn chính Bài 52: Cho điểm C cố định trên đường (O) A không đổi cung AB Trên thẳng xy Dựng nửa đường thẳng Cz vuông c Chứng minh: tứ giác b Tứ giỏc góc với xy và lấy trên đó điểm cố định A,cung B AB lấy là C ONMA nội tiếp Gọi I là tâmABCE điểm M (khác K; (A C và B) M là điểm di động trên hỡnh gỡ? Tại đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc B) Trên tia AM xy Đường vuông góc với AM A và với BM ONMA, I di động thếsao? lấy điểm N B cắt P c Gọi I là nào? cho AN = BM a Chứng minh tứ giỏc MABP nội tiếp trung điểm E A Kẻ dây BP HD:song a) AMD DMB 45 (chắn cung và tâm O đường trũn này nằm CF và G song với¼ đ/trũn) KM trờn đường thẳng cố định qua là giao điểm Gọi Q là giao điểm L AB MD là tia phõn giỏc AMB các tia F M điểm các b Kẻ PI Cz Chứng minh I là điểm BC; b) ∆ OMB cõn vỡ OM = OB = OI So N đường thẳng AP, cố định sỏnh BGO với I BM c BM và AP cắt H; BP và AM cắt ∆ NAB cân có NO vừa là đ/cao BAC a So K Chứng minh KH PM B vừasỏnh là đường trung tuyến A hai tam giỏc: d Cho biết ∆ OMB ~ ∆ NAB d Cho N là trung điểm KH Chứng ∆AKN và z O DF // BC E minh các điểm N; L; O thẳng hàng BM BO ∆BKM Tớnh cos HD: a) MABP nội tiếp đ/trũn đ/k MP.(quĩ tích BA BN BM.BN = b Chứng P I cung chứa góc 90 …) ABC BO.BA minh: ∆KMN = 2R2 không đổi OA = OB = R (O) O thuộc đường trung vuụng cõn c) ONMA nội tiếp đ/trũn đ/k AN trực AB qua L Gọi I là tâm đ/trũn ngoại tiếp là trung điểm AB… B (24) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp HD: a) AB CD ; OA = OB đường HD:a) Gọi H là trung điểm BC AH BC (∆ ABC = OCcao AD; DAO = EAO' BE; CF đồng cõn A) = OD = R(O) ODO' = ACBD là hỡnh vuụng.quy H (đ/đ) lập luận AH AE BC // AE (1) a Chứng M 1D N b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) O'EO ODEO’ F minh:∆AEF ~ Từ và ABCE là hỡnh bỡnh hành nội tiếp b) AEDO= AOD_= 45∆ABC ; DEB I Nếu DE tiếp xỳc c) Theo c.m.t AB // CF GO AB b Gọi A’ là _ với (O) và (O’) DOB trung điểm BC = 45 thỡ ODEO’ là BGO = 900 – ABC = BAH = BAC Chứng minh: AED H= DEBC ED B là tia hỡnh chữ nhật d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) N.; DF // BC AH = G 2.A’O AO = AO’ = AB phõn giỏc AEB và AH là trục c Gọi A1 là đối xứng cuarBC và đ/trũn (O) nờn F, D thứĐảo tự lại : AO = AED điểm EF = 450 ; EMB =trung 450 (∆ AO’ = AB đối xứng với N, M qua AH Chứng minh: kết luận DEEMB vuụng cõn E) 1 R.AA1 = AED là tiếp tuyến EMB = (2 góc đồng vị) AA’.OA’ FD = MN = MD = BC = ND = BH chung ;∆ (O) và ED // MB d Chứng NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC (O’) c) ∆ EMB vuụng cõn E vàR.(EF + minh: Kết luận : Điều CE DE ; ED // BM FD + DE) = để DE là tiếp 2BH2 = AC2 BH = AC kiện CE BM CE là đường ABC cos tuyến chung Suy vị trung trực BM BH (O) và (O’) là trí trực điểm A để d) Vỡ CE là đường trung ABC AO = AO’ = AB = AB = tổng (EF + FD + BM nên CM = CB = R DE) đạt GTLN Bài 57: Cho đường Vậy M chạy trên đường trũn Bài 56: Cho đường trũn (O) và (O’) cắt trũn (O; R) cú (C2 ; R’ = R ) hai điểm A và B Các đường thẳng AO; AO’ E Bài 60: Cho kính cố định cắt đường trũn (O) các điểm C;đường D đường trũn AB CD và cắt (O’) E; F tõm (O; R) cú a) Chứng a Chứng minh: C; B; F thẳng hàng AB là đường b Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp minh: ACBD D ∆ABC đều, đường Bài 58:là Cho cao cố định kính hỡnh vuụng c Chứng minh: A là tâm đường trũn nội tiếp A đường thẳng AH Qua A vẽ cũnvề CD là b) Lấy phía điểm ngoài E ∆BDE tam giác, tạođường với kính d Tỡm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung củadi chuyển cạnhtrên AC góc 400 Đường thẳng thay đổi Gọi cung nhỏ (O) và (O’) này BC cắt cạnh BC kéo dàiO’(∆) D là tiếp (E B; Đường E C).trũn CBA FBA tõm O đường kính CD tuyến với HD: a) = 90 = (góc nội tiếp chắn nửaTrên tia đối O cắt AD E Đường thẳng vuông đường trũn đ/trũn) tia góc EA với lấyCD O cắt AD M B và AD, AC CBA + FBA = 1800 C, B, F thẳng hàng đoạn EM = EB a Chứng minh: AHCE lầnnội lượt cắt (∆) Chứng tiếp tỏ: ED Xác định tâm I đường CDF CEF Q và P.F b) = 90 = CDEF nội tiếp (quĩ C B là tia phân trũngiác đó a Chứng tớch …) AEB b Chứng minh: CA = CM minh: Tứ giác và c) CDEF nội tiếp ADE = ECB (cựng chắnED // MB c Đường thẳng HECPQD cắt nội tiếp cung EF) đường trũn tõm O ởđược K, c) Suy CE ECB ADB đường thẳng HI cắt đường b Chứng Xột (O) cú: = (cựng chắn cung AB)là đường trung trũn tõm I N và cắt đường minh: Trung trực BM và ADE = ADB DA là tia phõn giỏc BDE thẳng DK P Chứng minh: tuyến AI M di chuyển Tứ giác NPKE nội tiếp ∆AQP vuụng Tương tự EA là tia phân giác DEB trên đường gúc với DC Vậy A là tâm đường trũn nội tiếp ∆BDE trũn mà ta Bàiđịnh 59: BC là dây cung phải xỏc d) ODEO’ nội tiếp Thực : DOA = DCA đường tâm và bántrũn (O; R) (BC 2R) Điểm EO'A DCA EFA EFA A R di động trên cung lớn BC =2 mà = (gúc nội tiếpkính theo cho O luôn nằm ∆ABC Các chắn cung DE) DOA = EO'A ; mặt khỏc: M E // = B A O D C (25) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp HS tự c Tỡm tập hợp cỏc tõm E đường trũnTừ đó : AN =HD: a) ABHK nội tiếp b) ngoại tiếp ∆CPD c/m R2BAH R 10 BKH AC2 +CN 2R + R ; c) ∆ ABP BCD 2( cựng chắn 2BAH A cõn B Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC; < 90 ), ; NI = AM = PH ; cung trũn BC nằm bờn ∆ABC tiếp xỳc với cung BD) BCD BKH NC R 10 MI AP chung AB, AC B và C Trờn cung BC lấy điểm M MN =b) CE cắt AB F ; 10 hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống cácNA AFEK nội tiếp ∆vAHP MB = = ∆v PMA 0 cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi Q là giao điểm FEK2 180 A 180 60 120 AH = PM MB, IK R R 2R R 10 2 NC MN = 120 ; AHPK là a Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH 10 10 hỡnh chữ c) nội tiếp AM = AN + MN = B C b Chứng minh: tia đối tia MI là phân 120 nhật AH 0 BIC 180 180 120 PM R 10 R 10 = KP 2 giác HMK PK = AH 10 + = I chuyển động trên =cung Vậy c Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp d) PMAH PQ // BC chứa góc 1200 dựng trên đoạn BC, 3R 10 nằm trên cung đ/trũn đ/k Bài 62: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB, AM = này nằm đường trũn tõm AP mà PM C là trung điểm cung AB; N là trung C BM = AH điểm BC Đường thẳng AN cắt nửa d) Trong đ/trũn (O) cú DAS =(c.m.t) sđ đường trũn (O) M Hạ CI AM (I AM) Bài 63: Cho PM IO = a Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp A ∆ABC cú =; đ/trũn (S) cú ISO = sđAH đường trũn PA // 60 ISO b Chứng minh: Tứ giỏc BMCI là hỡnh nội tiếp vỡ DAS MH M = (so le trong) nờn: = bỡnh hành đường Vậy APMH MOI CAI trũn (O), IO hỡnh 2 là c Chứng minh: IO DS IE IE đường cao AH= mà = N= thang cõn d Chứng minh: MA = 3.MB cắt đường trũn I = đpcm 0 HD: a) COA 90 (…) ; CIA 90 (…) D, đường cao Bài 65: Cho Tứ giỏc CIOA nội tiếp (quĩ tớch cung BK cắt AH E đường Bài 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa trũn O B A a Chứng minh: chứa gúc 900) tõm O, hỡnh vuụng dựng cung mộtđường AB = 2R bỏn kớnh b) MB // CI ( BM) (1) BKH BCD phần tư đường trũn tõm B, kính Kẻ kính tia tiếp AB và nửa đường trũn đường ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) N1 N (đ/đ) ; NC =b Tớnh BEC Lấy điểm P trên tuyếncung Bx, M là AB NCI NBM c Biết cạnh BC cố điểm thay đổi AC, vẽ PK AD và PH AB Nối NB ; (slt) định, điểm PA,Acắt nửa đường trũn đường trên kính Bx; AM CI = BM (2) Từ và BMCI là hỡnh chuyển động AB trêntại I và PB cắt nửa đường cắt (O) trũntại N bỡnh hành cung lớn BC Hỏi Gọi I là trung này M Chứng minh rằng: c) ∆ CIM vuụng cõn ( CIA 90 tâm ; I a I là trung điểm AP.điểm AN đườngtrũn nội tiếp Chứng b Các đường PH, BI và a AM CMI COA 450 ∆ABC chuyển động minh: Tứ giác đồng quy ) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ trên đường nào? BOIM nội tiếp c PM = PK = AH IOC vỡ OI chung ; Nêu cách dựng d Tứ giỏc APMH là hỡnh IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI IOCđường đó (chỉ nêu đường trũn thang cõn IOC CAI cách dựng) vàHD: cách a) ∆ ABP cõn B (AB b = Chứng MOI CAI mà: xác định rừ nú (giới minh:∆IBN ~ nội d) ∆ ACN vuụng cú : AC = R ; NC hạn = đường đó).PB = R(B)) mà AIB 90 (gúc∆OMB tiếp …) d Chứng minh: R AC BI AP BI là đường cao ∆IOE cõn I 2 (với R = AO) là đường trung tuyến I là trung điểm AP K F I E C BH AB H D S C D P K M A I (26) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp c Tỡm vị trớ điểm M trên tia Bx để diệnDtích → C thỡ E → CBài 69: Cho hỡnh bỡnh hànhc Kẻ MH tam giác AIO có GTLN D → A thỡ E → B ABCD cú đỉnhHDOnằm trên AB (H đường A trũn đường kính AB.AB) B Gọi HD: a) BOIM nội tiếp vỡ OIM OBM 90 E động trên Hạ BN và DM cùng vuông K là giao nhỏ đ/t (I; b) INB OBM 90 ; NIB BOM (2 gúc nội tiếp góc với đường chéo AC.điểm R = IC) chứa cựng chắn cung BM) Chứng minh: I MH và ∆ ABC ∆ IBN ~ ∆OMB a Tứ giác CBMD nội tiếpEB So đường trũn sánh MK Bài 67: Cho hỡnh b Khi điểm D di độngN trênvới KH c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn IH lớnvuụng ABCD cạnh M vỡ AO = R(O) a Trờn AD và đường trũn thỡ ( BMD + BCD d.Cho AB = 2R Khi M chạy trờn tia Bx thỡ I chạy trờn nửa đường DC, người ta lấy các ) không đổi và gọi r trũn đ/k AO Do đó SAIO lớn điểm E và F cho : c DB.DC = DN.AC là bán Khi IH là bán kính, đó ∆ AIH vuông cân, tức a Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếpkính HAI 450 AE = DF = đường trũn (O) Gọi D là điểmđường Vây M cách B đoạn BM = AB = 2R (O)a.thỡ So sỏnh ∆ABE và chính cung nhỏ BC Haitrũn nội SAIO lớn ∆DAF Tớnh cỏc tiếp tuyến C và D với đườngtiếp cạnh và diện tớch trũn (O) cắt E Gọi P, Q∆EOF Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp đường chỳng là giao điểm các cặpChứng trũn (O; R) Gọi AI là đường kính cố định b Chứng minh AF đường thẳng AB và CD; AD vàminh: và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D A BE r A CE Chứng minh: và D C) c Tớnh tỉ số diện a BC // DE R a Tớnh cạnh ∆ABC theo R và chứng tỏ AI tớch là tia∆AIE và D b Các tứ giác CODE, APQC ∆BIA; diện tớch phõn giỏc BAC nội tiếp ∆AIE b Trên tia DB lấy đoạn DE = DC Chứng tỏ và ∆BIA và c Tứ giỏc BCQP là hỡnh gỡ? Bài 73: Từ diện tớch cỏc tứ ∆CDE và DI CE điểm A c Suy E di động trên đường trũn mà ta phảigiỏc xỏcIEDF và IBCF Bài 71: Cho đường trũn (O) ngoài và = cỏc tiếp định tâm và giới hạn (O’) cắt A và B; đường Bàichính 68: Cho ∆ABC tuyến có d Tớnh theo R diện tớch ∆ADI lỳc D là điểm A cỏc đường trũn trũn (O) (O) và (O’) cắt đường = A E O cung nhỏ AC trũn (O) kẻ và tiếp các góc nhọn; = HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp đường trũn (O; (O’) theo thứ tự C và D Gọituyến P AB, Vẽ các đường cao R) HS tự c/m : và Q là trung điểm AC và cỏt BD và CE các dây AC và AD Chứng minh: tuyến Gọi H là AB = AC = BC = R a ∆ABD ~ ∆CBA AKD giao điểm B Trong đ/trũn (O; R) cú: AB = AC Tâm O cách cho BD, CE BQD C cạnh AB và AC b = APB BD//AC a Chứng AO hay AI là tia phõn giỏc BAC BK minh: Tứ giácc Tứ giỏc APBQ nội tiếp Nối cắt AC I ADHE nội tiếp I (O), b) Ta cú : DE = DC (gt) ∆ DEC cõn ; BDC = Bài 72: Cho nửa đường trũn a Nờu kính AB Từ A và B kẻ 2cỏch vẽ BAC = 600 (cựng chắn BC ) đường trũn.; đường b tiếp tuyến Ax và By Qua điểmcỏt Chứng minh: HD ∆CDE I là điểm BC IB = IC M thuộc nửa đường trũn này, kẻtuyến = DC BDI IDC tiếp tuyến thứ ba, cắt cỏc tiếpAKD = c Tớnh tỷ số: tuyến Ax và By E vàcho DI là tia phõn giỏc BDC ∆CDE có DI DE là F BD//AC d.a Chứng minh: AEMO là tứ tia phân giác nên là đường cao DI CEBC b c) ∆CDE có DI là đường cao là đườngGọi O là tâmgiác nội tiếp Chứng trung trực CE IE = IC mà I và C cốđường trũn ngoạib AM cắt OE P, BM cắtminh: ∆ABC.OF Q Tứ giỏc MPOQ là định IC không đổi E di động trên 1tiếp IC = đ/trũn cố định tâm I, bán kính = IC Giới hạn :Chứng minh: OAhỡnh gỡ? Tại sao? IK.IB DE I AC (cung nhỏ ) (27) Tuyển tập 80 bài toán hình học lớp b Kộo dài DE đường thẳng OE, BF, CM c Cho BAC = 600 Chứng minh: Cát tuyến cắt AC K đồng quy đường AKD qua O Tia phõn giỏc trũn CKDBài 79: Cho đường trũn (O; R) Dõy b) Bài 74: Cho ∆ABC cân A, góc A nhọn cắt BC < 2R cố định và A thuộc Chứng Đường vuông góc với AB A cắt đường EF và CD cung lớn BC (A khác B, C và minh AM thẳng BC E Kẻ EN AC Gọi M là trung M và N Tia không trùng điểm chính = AN điểm BC Hai đ/thẳng AM và EN cắt phõn giỏc của cung) Gọi H là hỡnh c) F CBF cắt DE chiếu A trờn BC; E, F thứ Chứng a Tỡm tứ giỏc cú thể nội tiếp đường và CF P và tự là hỡnh chiếu B, C trờn minh S’ trũn Giải thớch vỡ sao? Xỏc định tâm các Q Tứ giỏc đường kính AA’ đường trũn đó MPNQ là a Chứng minh: HE AC ≤ 2S , b Chứng minh: EB là tia phõn giỏc hỡnh gỡ? Tại b Chứng minh: ∆HEF ~ đó AEF sao? ∆ABC c Chứng minh: M là tâm đường trũn ngoại c Gọi r, r1, r2 c Khi A di chuyển, chứng S, S’ là tiếp AFN theo thứ tự là minh: Tâm đường trũn ngoại diện tích bán kính các tiếp ∆HEF cố định ∆ ABC Bài 75: Cho nửa đường trũn tõm (O), đường đường trũn và ∆ kính BC Điểm A thuộc nửa đường trũn đó nội tiếpBàicỏc 80: Cho ∆ ABC vuụng A Kẻ AMN Dựng hỡnh vuụng ABED thuộc nửa mặt tam giỏc cao AH Gọi I, K tương ứng đường phẳng bờ AB, khụng chứa đỉnh C Gọi F là ABC, ADB, là tâm các đường trũn nội tiếp giao điểm AE và nửa đường trũn (O) K ADC Chứng ∆ ABH và ∆ ACH là giao điểm CF và ED minh: r2 = r12 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ a Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm + r22 HIK trên đường trũn 2) Đường thẳng IK cắt AB, b ∆BKC là tam giỏc gỡ? Vỡ sao? Bài 78: Cho đường AC M và N c Tỡm quỹ tớch điểm E A di động trên trũn (O;R) a) Chứng minh tứ giác nửa đường trũn (O) Hai đường HCNK nội tiếp kính AB và CD vuông góc Bài 76: Cho ∆ABC vuụng C, cú BC = AB với E là chính Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C) điểm cung Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm d với AE, AC kéo dài lần nhỏ BC; AE cắt CO F, lượt là I, K DE cắt AB CIK a Tính độ lớn góc M b Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC = a Tam giỏc AI.AE – AC.CK CEF và EMB c Gọi H là giao điểm đường trũn là cỏc tam đường kính AK với cạnh AB giỏc gỡ? Chứng minh: H, E, K thẳng hàng b Chứng d Tỡm quỹ tớch điểm I E chạy trên minh: Tứ giỏc BC FCBM nội tiếp Tỡm tõm Bài 77: Cho ∆ABC vuông A Nửa đường trũn đường trũn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD đó lấy điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC c Chứng F minh: Cấc a Chứng minh: CDEF nội tiếp (28)