100 bài toán hình học không gian tổng hợp(Luyện thi lớp 11,12)

Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Tuyển tập 100 bài tập hình học không gian tổng hợp. Bài 1.Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng Trên lấy hai điểm A,B với AB=a.Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với và .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bài 2. Cho hình chóp ta giác S.ABC có đáy ABC à tam giác đều cạnh a,SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;I là giao điểm của BM à AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB).Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bài 4. Cho hình trụ các đấy là hai hình tròn tâm O và O',bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A,trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB=2a.Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. Bài 5. Cho hai nửa đường thẳng Ax,By chéo nhau và vuông góc nhau.Có AB là đường vuông góc chung,AB=a.Ta lấy các điểm M trên Ax,N trên By với Am=x,BN=y. 1. Chứng minh rằng các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông. 2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo ,x,y. Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng có đấy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc .Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'.Chứng minh rằng bốn điểm B',M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng.Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông. Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các hình chóp đỉnh G với đáy là các mặt của tứ diện ABCD có thể tích bằng nhau. Bài 9. Cho tứ diện .Với điều kiện nào đối với đường thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối là đường vuông góc chung của chúng. Bài 10. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai cạnh bên và mặt đáy bằng α .Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng và theo.TÍnh thể tích khối chóp theo a và α . Bài 11.Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng 10 dm và cạnh bên bằng 25 dm. Tính thể tích hình chóp đã cho . Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bài 13. Cho ABC là tam giác vuông tại C. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S ( khác với A). Chứng minh rằng các mặt của thiết diện S.ABC đều là tam giác vuông . Bài 14.Trong mặt phẳng (P) , cho hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy một điểm S bất kì, dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' cùng nằm trên một mặt cố định. Bài 15. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SAO CHO, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB. Bài 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài 17. Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P). Tìm điểm M thuộc MP’(P) sao cho: MA MB MC MD+ + + uuur uuur uuuur uuuur đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 18. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A. trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB. Ngọc Vinh 1 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 19. Cho hình chóp đáy hình thang, H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 20. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng các đường thẳng nối mỗi đỉnh của tứ diện với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm.Gọi điểm đó là G. Bài 21. Cho hình cóp tam giác đều S.ABC đỉnh S,có độ dài cạnh đáy bằng a.Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC.Tính theo a diện tích tam giác AMN ,biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 22. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD). Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α . Tính thể tích hình chóp đã cho . Bài 24. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 25. Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy a và cạnh bên bằng m. Tính thể tích hình chóp theo a và m . Bài 26. Cho tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = a, AB = 2m , CD = 2n. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD . a. Chứng minh rằng IK là đoạn thẳng vuông góc chung của 2 cạnh đối nhau AB và CD. b. Tính IK theo a, m và n. Bài 27. Cho đường tròn đường kính nằm trong mặt phẳng và . Gọi là điểm thuộc đường tròn khác và . Chứng minh rằng mặt phẳng nếu vuông góc với một trong ba cạnh bên cũng sẽ cắt hình chóp theo một thiết diện là một tam giác vuông . Bài 28. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và A'B'. 1. Tính thể tích khối đa diện ABA'B'C' 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CEB') Bài 29. Cho tứ diện OABC có góc 0 180AOB BOC∠ +∠ = . Gọi OD là phân giác trong của góc ∠ AOC . Tính góc ∠ BOD. Bài 30. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = α , BC = a , SA = a 2 . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 31. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông tại A , góc vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA tạo với đáy (ABC) một góc α . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC. a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. Bài 32. Cho tam diện 3 góc vuông Oxyz.Trên các cạnh Ox,Oy,Oz ta lần lượt lấy các điểm A,B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c trong đó a,b,c là ba số dương. 1.Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.Tính OH theo a,b,c. 2.Chứng tỏ rằng với lần lượt là diện tích của các tam giác ABC,OAB,OBC,OCA. Bài 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SD=a. 1. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 2. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD) Bài 34. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O .AC =a ;BD= b.tam giác SBD đều .Gọi I là điểm di động trên đoạn AO với AI = x(0<x<a/2).Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với mp(SBD).Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi hình chóp và mp(P) Bài 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính khoảng cách từ điểm S đến mp (ABCD) Bài 36. Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c. Ngọc Vinh 2 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp 1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn. 2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c. 2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện . Bài 37. Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1. 1. Tính thể tích hình chóp theo x,y. 2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất? Bài 38. Cho khối lăng trụ tam giác mà mặt bên có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh và mặt bằng 7. Tính thể tích khối lăng trụ . Bài 39. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB. Bài 40. Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI. Bài 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC = a, BC = 3a , SB = 2a . Bài 42. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'. 1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a. Bài 43. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất. 2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của hình chóp cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A', B', C', D'. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đôi một chéo nhau. B. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đôi một đồng phẳng. C. Các đường thẳng A'C', B'D', SO đồng quy. D. Hai đường thẳng A'C' và B'D' cắt nhau còn hai đường thẳng A'C' và SO chéo nhau. Bài 45.Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d . Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH Bài 46. Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: Bài 47. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao và đáy ABC có các cạnh bằng . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó. Bài 48. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình chữ nhật với: . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . Ngọc Vinh 3 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp a) Tính thể tích của hình chóp S.ABCD. b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng (MEF). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Bài 49. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và . Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN). b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. Bài 50. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC). Bài 51. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI vuông (SCD), SJ vuông (SAB). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH vuông AC. c) Gọi M là 1 điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông SA. Tính AM theo a. Bài 52. Chứng minh rằng : Tổng cos của các nhị diện tạo bởi 4 mặt của tứ diện luôn luôn bé thua hoặc bằng 2 Bài 53. Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để : P= , đạt min Bài 54. Cho tứ diện SABC. Đáy ABC có trọng tâm G. Hãy phân tích vector theo 3 vector theo 3 vector : Bài 55.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;4;5) ; B(0;3;1) ; C(2;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình : 3x-3y-2z-15=0 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng bình phương khoảng cách đến các điểm A;B;C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt phẳng (P) . Xác định toạ độ điểm M đó. Bài 56. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , . Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng và . Bài 57. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đó? Chọn một đáp án dưới đây A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 Bài 57. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; và vuông góc với đáy. a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 58. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a , SA=a và vuông góc với đáy. Gọi M.N là trung điểm AB và AC. a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) . b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC) . Bài 59. Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABC với S(3;1;-2) ; A(5;3;-1) ; B(2;3;-4) ; C(1;2;0) . a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Tìm tọa độ điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB. b) M là điểm bất kỳ thuộc mặt cầu tâm D, bán kính M không thuộc mặt phẳng (ABC) . Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn thẳng MA,MB,MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì. Bài 59. Cho hình thoi ABCD có tâm O , cạnh a và AC = a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với SH = a . a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Ngọc Vinh 4 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 60. Cho tứ diện vuông OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông và OC=OA+OB. Chứng minh rằng tổng các góc phẳng ở đỉnh C là Bài 61. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D', có chiều cao a và cạnh đấy 2a Với M là một điểm trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A'MC' Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a ; AD = 2a . Tam giác SAB vuông cân tại A . M điểm trên cạnh AD ( M khác A và B ) . Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC ; SC ; SD lần lượt tại N;P;Q . a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông . b) Đặt AM = x . Tính diện tích hình thang MNPQ theo a ; x Bài 63. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc giữa AC và BM. Bài 64. Cho hình lăng trụ đứng , đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh . Gọi M,N lần lượt là trung điểm và . a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng P qua MN và vuông góc với mặt phẳng . Thiết diện là hình gì. b) Tính diện tích thiết diện. Bài 65. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O , SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB. a) Tính khoảng cách từ I đến CM. b) Tính khoảng cách từ S đến CM. Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính AD = 2a . a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 67. Cho tứ diện đều ABCD cạnh là a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. a) Chứng minh rằng AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính cosin của góc giữa AC và BM. Bài 68. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O . Gọi M;N lần lượt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là a) Tính độ dài đoạn MN. b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Bài 69. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thoi có tâm O;A(2;0;0),B(2;1;0) và .Gọi M là trung điểm SA.mặt phẳng (CBM) cắt SB tại N.Thế tích khối tứ diện SCMN bằng: Bài 70. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D;AB=AD=a;CD=2a.Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD);SD=a.Chọn đáp án đúng: A. Diện tích tam giác SBC là B. Tam giác SBC là tam giác vuông C. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là D. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) là Ngọc Vinh A. B. C. D. Đáp án khác 5 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 71. Cho tứ diện MNPQ. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN; MP; MQ. Tỉ số thể tích bằng : Bài 72. Cho hình lập phương MNPQ.M’N’P’Q’ có cạnh bằng 1. Thể tích khối tứ diện MPN’Q’ bằng Chọn một đáp án Bài 73. Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 1 là Bài 74. Cho hình trụ có bán kính bằng 5, khoảng cách giữa hai đáy bằng 7. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng Chọn một đáp án : Bài 75. Trong mặt phẳng (P) , cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a. Bài 76. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn là AB, góc nhọn ở đáy là . Biết , hãy biểu diễn theo và . Tìm quan hệ giữa và để . Bài 77. Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = a, M là trung điểm của cạnh BC. Trên các nửa đường thẳng AA' và MM' vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N và I sao cho 2 MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuông góc với NI. Bài 78. Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB, vuông góc tại O, nằm trong mặt phẳng (xOy) mà đường thẳng AB song song với trục Ox và AB = 2a. Xác định tọa độ điểm A , B biết rằng A có hoành độ và tung độ . Viết phương trình chính tắc của mặt phẳng đi qua điểm , vuông góc với đường thẳng đi qua O và trọng tâm G của tứ diện OABC. Bài 79. Cho tứ diện ABCD có . a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông . b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD. Bài 80. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a. Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho . Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P . Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Ngọc Vinh A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. A. 10 B. 95 C. 120 D. 85 6 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 81. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a. Tính thể tích hình chóp theo a. Bài 81. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện Bài 82. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc . Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông . Bài 82. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(7; 4; 3) , B(1; 1; 1) , C(2; - 1; 2) , D(- 1; 3; 1). 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD. 2. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD). 3. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD) Bài 83. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích hình chóp đã cho. Bài 84. Tính thể tích của khối nón xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng và thiết diện qua trục là một tam giác đều. Bài 85. Cho hình chóp S.ABCD có , tam giác ABC vuông tại B, SA = SB = a, BC = 2a. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính diện tích của tam giác AMN theo a. Bài 86. Cho hình chóp S.ABC có .Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy góc . Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC. Bài 87. Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón tạo với mặt đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB. Bài 88. Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc nhau và nhận AB = a là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI. Bài 89. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng . Bài 90. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c. 1. Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c. 2. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích của tứ diện D'DMN theo a, b, c. Bài 91. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'. 1. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng . Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a. 2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a. Bài 92 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. 1. Giả sử I là một điểm thay đổi trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất. 2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất. Bài 93. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. 1. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD'. 2. Chứng minh rằng đường chéo BD' vuông góc với mặt phẳng (DA'C'). Ngọc Vinh 7 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 94. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ; với AA' = a, AB = b, AC = c . Tính thể tích của tứ diện ACB'D' theo a, b, c. Bài 95. Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C. 1. Tính diện tích tam giác ABC theo OA = a, OB = b, OC = c . 2. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. Bài 96. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó. Bài 97. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, . Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'. 1. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) . 2. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia. Bài 98. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình chiếu nội tiếp hình chóp đó. Bài 99. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng . 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD 2. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với mặt phẳng ( MEF). 3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Bài 100. Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). 1. Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng ( OMN). 2. Tính diện tích của tứ giác O.MIN theo a. Ngọc Vinh 8 . Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Tuyển tập 100 bài tập hình học không gian tổng hợp. Bài 1.Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). diện OO'AB. Ngọc Vinh 1 Chuyên đề Hình Học không gian tổng hợp Bài 19. Cho hình chóp đáy hình thang, H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh tam