Hình học không gian 12- PP tọa độ

Phần I: Giới thiệu đề tài Trong trình giảng dạy ôn luyện cho học sinh dự thi tốt nghiệp, thi chọn học viên giỏi Bổ túc THPT cấp nh thi Đại học - Cao đẳng, thân nhận thấy học sinh gặp không khó khăn giải tập hình học không gian Đặc biệt toán chứng minh quan hệ song song, vuông góc, toán tính khoảng cách, xác định góc, tính diện tích hình, thể tích khối Nhất học viên khối 12 - Bổ túc Trung học phổ thông lại khó khăn hơn, khả t tởng tợng hình không gian học viên hạn chế Trong đó, nhiều toán chơng trình GDTX cấp THPT, biết cách sử dụng phơng pháp tọa độ toán đợc giải cách đơn giản Vì phơng pháp toạ độ đợc xem nh phơng pháp đại số hoá toán hình học Bằng phơng pháp này, học viên chủ yếu làm việc với số, không cần t hình học nhiều gây hứng thú cho học viên giải toán Vì lý trên, chọn nghiên cứu đề tài Dùng phơng pháp tọa độ để giải toán hình học không gian, với hy vọng cung cấp thêm phơng pháp giải toán cho học viên Và qua thực tế kiểm nghiệm đà chứng minh đợc đề tài áp dụng có hiệu Phần II: nội dung đề tài i- Cơ sở khoa học Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc không gian kién thức liên quan * Hệ trục tọa độ Đề vuông góc Oxy lµ hƯ gåm 3 trơc Ox,  Oy, Oz đôi vuông góc với gốc O, với i, j, k véc tơ đơn vị tơng ứng trục Ox, Oy, Oz  * u  v  u.v 0    * u kv   u , v  * Công thức toạ độ trung điểm I đoạn thẳng * Công thức toạ độ trọng tâm tam giác * Công thức toạ độ trọng tâm cđa tø gi¸c * DiƯn tÝch tam gi¸c, :   S ABC   AB, AC  thĨ tÝch h×nh hép   VABCDA ' B 'C ' D '   AB, AD  AA ' * Các công thức tính góc - Góc hai đờng phẳng: u.u ' cos( ;  ')    víi u , u ' lần lợt véctơ phơng ,  ' u u' - Gãc  gi÷a đờng thẳng mp ( ) u.n sin với u véctơ phơng ; n véctơ pháp tuyến cđa mp ( ) u.n - Gãc gi÷a mp ( ) vµ mp (  )  n.n '  cos     víi n, n ' lÇn lợt véctơ pháp tuyến mp ( ) mp (  ) n n' * Các công thức tính khoảng cách: - Khoảng cách từ ®iĨm M(x0, y0, z0) ®Õn mp ( ) : Ax + By + Cz + D = d ( M ;( ))  Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C  - Khoảng cáchtừ điểm M1 đến đờng thẳng ( Qua điểm M0, có véctơ phơng u ) lµ:  d ( M , )   M M1, u     u    u , u ' M M 0' - Khoảng cách hai đờng thẳng chéo nhau: d ( ,  ')     u , u '     víi u , u ' lần lợt véc tơ phơng , ' ; M0, M0 lần lợt điểm nằm , ' * Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn chắn) * Phơng trình đờng thẳng Nhận dạng toán hình học không gian giải phơng pháp tọa độ: Đó toán liên quan đến: a Hình hộp lập phơng, Hình hộp chữ nhật b Hình chóp tam giác SABC có SA (ABC); với đáy ABC tam giác vuông A c Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông d Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O SO (ABCD) e Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA ( ABCD) f Tứ diện đều, hình chóp tam giác g Một số toán khác Đối với toán này, giáo viên cần hớng dẫn cho học viên cách chọn hệ trục toạ độ thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ điểm để dùng phơng pháp toạ độ giải chúng II- tập điển hình: Sau số tập điển hình Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12) Cho hình lập phơng ABCDABCD Gọi I, J lần lợt trung điểm AD BB a) Chứng minh IJ vuông góc với AC’ b) Chøng minh r»ng D’B vu«ng gãc víi mp(A’C’D), DB vuông góc với mp(ACB) c) Tính góc hai đờng thẳng IJ A/D Lời giải: a) Giả sử hình lập phơng có độ dài cạnh a Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ, đơn vị trục đơn vị độ dài Khi đó: A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0) a a A’(0;0;a) ; B’(0;a;a); C’(a;a;a); D’(a;0;a) I ( ;0; a); J (0; a; )  a a  ; a;  ) , AC ' ( a; a; a ) 2  a a IJ AC '  a  a.a  a = 2 VËy IJ  AC ' Suy IJ ( b) §Ĩ chøng minh D ' B  ( A ' C ' D) : C¸ch 1: Ta chøng minh D ' B  A ' C '; D ' B  A ' D    Ta cã: D ' B (  a; a;  a) ; A ' C ' (a; a;0) ; A ' D (a;0;  a)   D ' B  A'C ' D' B A ' C ' 0 D ' B A ' D 0  D ' B  A ' D Nªn D ' B  ( A ' C ' D) C¸ch 2: Ta cã:   A ' C ' (a; a;0); A ' D (a;0;  a)  a 0 a a a 2  A ' C ', A ' D   ; ;  ( a ; a ;  a )    a a a a 0  Mặt phẳng (ACD) có véctơ pháp tuyến n   A ' C ', A ' D  ( 1;1;  1) a   §êng thẳng DB có véctơ phơng u D ' B ( 1;1;  1) a   Suy n u nên đờng thẳng DB (ACD) Tơng tự ta chứng minh đợc D ' B ( ACB ') c) Gọi góc hai đờng thẳng IJ AD a a a  a.0  ( a)  IJ A ' D 2 cos   cos( IJ , A ' D)     0 a IJ A ' D a 2    Cã thÓ nhËn xÐt: IJ A ' D 0  ( IJ , A ' D)   Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh a a) Chứng minh giao điểm đờng chéo AC mp (ABD) trọng tâm tam giác ABD b) Tìm khoảng cách hai mp (ABD) mp (CBD) c)Tìm góc tạo hai mp (DAC) mp (ABBA) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ (Đơn vị trục đơn vị ®é dµi) Khi ®ã: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0); A’(0;0;a); B’(a;0;a); C’(a;a;a) ; D’(0;a;a)  a) Ta cã: A ' C (a; a; a) Đờng thẳng AC cã vÐc t¬ chØ ph¬ng:   u  A ' C (1;1;  1) a  §êng thẳng AC có phơng trình tham số là: x = t; y = t; z = a - t (1)   AB ' (a;0; a); AD ' (0; a; a)  0 a a a a 0 2   AB ', AD '  ; ;  (  a ;  a ; a ) a a a 0 a   Mặt phẳng (ABD) có véc tơ pháp tuyến n   AB ', AD ' (1;1;  1) a Mặt phẳng (ABD) có phơng trình lµ x + y - z = (2) a a 2a Từ (1) (2) giao điểm G cđa A’C vµ (AB’D’) lµ G ( ; ; ) 3 a a 2a Mặt khác G trọng tâm tam giác ABD G '( ; ; ) 3 Tøc lµ G G ' Vậy G trọng tâm tam giác ABD b)Phơng trình mp(CBD) x + y - z - a = Suy mp(CBD)//mp(ABD) Do khoảng cách chúng khoảng cách từ G tới (CBD) b»ng : a a 2a   a 3 12  12  12  a a 3 c)Mặt phẳng(ABBA) có phơng trình y = Mặt phẳng(DAC) có phơng trình y + z - a = Gọi góc mặt phẳng Khi đó: cos 1.1  0.1 1     Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại thơng TP Hồ Chí Minh 2001-2002) Cho hình lập phơng ABCDABCD, cạnh a Giả sử M,N lần lợt trung điểm BC DD a) Chứng minh MN// (ABD) b) Tính khoảng cách đoạn thẳng BD MN theo a Lời giải: Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (Đơn vị trục đơn vị độ dài) a Khi đó: A O ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A’(0;0;a) ; D’(0;a;a); M(a; ;0); N(0;a;  a) mp(A’BD) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn n(1;1;1) ;  a a 2    a a  n.MN  a   n MN 2 mặt khác MN ( a; ; ) Hay MN//mp(ABD) b) Mặt phẳng (A/BD) có phơng trình: + y + z - a = Vì MN//(ABD) BD MN, BD chéo  d ( BD; MN ) d ( M ;( A ' BD))  a a  0 a 2 2 1 1 x  a a ) Trong toán ta chọn hệ trục toạ độ khác nhng lập phơng trình mp(ABD) ta phải tính toạ độ véctơ pháp tuyến mà không sử dụng đợc phơng trình theo đoạn chắn nh cách chọn Bài 4: ( Đề thi Häc viƯn C«ng nghƯ Bu chÝnh viƠn th«ng 2001-2002) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB=a ; AD=2a; AA=a a) Gọi M điểm nằm AD cho AM Tính khoảng cách từ M đến (ABC) MD b) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn AB’D’C Lêi gi¶i: a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz nh hình vẽ Khi ®ã ta cã: A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0); A’(0;0;a); B’(0;a;a) C’(2a;a;a) ; D’ (2a;0;a) V× M  AD tho¶ m·n AM 3a 3  M ( ;0;0) MD Mp(ABC) có phơng trình: x- 2y + 2z = Do khoảng cách từ M đến mp(AB’C) lµ: a  2.0  2.0 a d ( M , ( AB ' C ))   1  b) Theo c«ng thøc 1   VAB ' D 'C  Vhop   AB ', AD ' AC Mµ 6    CD ' (2a;0; a ); AB ' (0; a; a); AC (2a; a; a)  VAB ' D 'C  a 0 a a a 2a 2a  a   (dvdt ) a 2a 2a a Bài 5: Bài tập số Ôn tập chơng 2- SGK HH12) Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a Điểm M thuộc AD điểm N thuộc BD cho AM = DN = k (0  k  a 2) a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn b) Chøng minh r»ng MN lu«n song song víi mp(A’D’BC) k biến thiên c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đờng vuông góc chung AD’ vµ DB vµ MN song song víi A’C Lêi giải: a) Chọn hệ trục toạ độ Đề Axyz nh hình vẽ Khi ta có: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C( a;a;0); D(0;a;0); A’(0;0;a); D’(0;a;a) ;   k  k k  Do AM = k  AM  AD /  M  0; ;  a 2 2   k  k  k  DN = k  DN  DB  DN  ; ;0  a 2    k a 2 k   N  ; ;0   MN 3k  2a 2k  a 2   XÐt hµm sè f ( k ) 3k  2a 2k  a (0