Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC.. a CMR: BC vuông góc với SAM..[r]
(1)Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc các phép toán vectơ vàcác hệ thức vectơ AB BC AC AB AC CB + Quy taéc ñieåm: A, B, C tuøy yù Tacoù: ; OA + Quy taéc trừ: O, A, B tuøy yù Ta coù: B OA AB ; ABOB AB AD AC + Qui taéc hình bình haønh: ABCD laø hình bình haønh + Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp AB AD AA ' AC ' + Neáu I laø trung ñieå m AB, M tuø y yù.Tacoù: IA IB IA IB 0 hay AI BI 0 vaø MA MB 2MI + Neá u G laø troïng taâm tam giaù cABC, M tuøy yù Ta coù: GA GB GC 0 hay AG BG CG 0 vaø MA MB MC 3MG AB BA + Cho tứ diện ABCD Gọi E, F là trung điểm AB và CD, I là trung điểm EF CM a) IA IB IC ID 0 b) MA MB MC MD 4 MI , với M tuỳ ý Cho tứ Gọi G là trọng tâm BCD , Olà trung điểm đoạn AG CMR: diện ABCD a) 3OA OB OC OD 0 b) 3MA MB MC MD 6 MO Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là trung điểm các cạnh AD và BC G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh : VẤN ĐỀ 2: Tích vô hướng và ứng dụng Góc hai vectơ không gian: AB u, AC v (u , v ) BAC (00 BAC 1800 ) Tích vô hướng hai vectơ không gian: u , v u , v 0 là: u.v u v cos(u, v ) + Cho Tích vô hướng vectơ u hoặ c v 0 Qui ước: u.v 0 + Vớ i + u v u.v 0 AB AB AB Tính độ dài đoạn thẳng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Tất các cạnh bên và cạnh đáy hình chóp = a Tính các tích vô hướng: a) SA.SB b) SA.SC c) SA.BA Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác cạnh a Chứng minh AB và CD vuông góc với VẤN ĐỀ 3: Góc hai đường thẳng Hai đường thẳng song song trùng nhau: góc chúng 00 Hai đường thẳng vuông góc: góc chúng 900 Nếu u , v là vectơ phương đường thẳng a, b và (u, v ) thì: góc đường neáu 0 90 0 0 thẳng a, b bằng: 180 neáu 90 180 Góc đường thẳng là góc đường thẳng cắt song song với đường thẳng đó (2) Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a Tính góc a) vectơ AB vaø SC b) đường thẳng AB và SC VẤN ĐỀ 4: Chứng minh đường thẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc ta thực các cách sau: CM: góc đường thẳng đó 900 CM: VTCP đường thẳng đó vuông góc (tích vô hướng VTCP = 0) a ( P ) ab b ( P ) CM: a (P ) ab b ( P ) CM: Sử dụng định lý đường vuông góc: a ' b a b với a’ là hình chiếu a lên mặt phẳng chứa b Sử dụng các tính chất hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng tam giác, tính chất hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi 1’ Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC BAD 60 CMR: AB CD Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có tất các cạnh CMR: AC B’D’, AB’ CD’, AD’ B’C Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB BSC CSA CMR: SA BC, SB AC, SC AB Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông A và B, AD = 2AB = 2BC a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b) Gọi I là trung điểm AD Chứng minh BI SC và CI SD Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), AB = AC, I là trung điểm BC, AH SI Chứng minh: a) BC AH b) AH SB VẤN ĐỀ 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng ta thực các cách sau: CM: đường thẳng đó vuông góc với đường thẳng cắt cùng nằm mặt phẳng thì CM: đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông với đường thẳng này thì vuông a // b a (P) b ( P ) với đường thẳng CM: mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông với mặt phẳng này thì vuông với a (Q ) a (P) ( Q ) //( P ) mặt phẳng CM: mặt phẳng vuông góc với thì bất kì đường thẳng nào nằm mặt phẳng này ( P ) (Q) d a ( P) a (Q ) a d vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng CM: mặt phẳng cắt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3thì giao tuyến chúng ( P ) (Q) a ( P) ( P ) ( R ) (Q ) ( R ) a vuông góc với mặt phẳng thứ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy CMR: (3) a) BC (SAB) b) BD ⊥(SAC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi O là giao điểm AC và BD Biết SA = SC, SB = SD CMR: a) SO ( ABCD ) b) BD ⊥(SAC) c) AC (SBD ) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA (ABC) a) Chứng minh: BC (SAB) b) Gọi AH là đường cao SAB Chứng minh: AH SC Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA (ABC) Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh rằng: BC (SAI ) b) Gọi AH là đường cao tam giác SAI Chứng minh rằng: AH (SBC ) Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO (ABCD) b) Gọi I, J là trung điểm các cạnh BA, BC CMR: IJ (SBD) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD SO ABCD a) CMR: IK SBD , IK SD b) Gọi I, K là trung điểm BA, BC CMR: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và SC = a Gọi H và K là trung điểm các cạnh AB và AD CMR: a) SH (ABCD) b) AC SK vaø CK SD Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD.Gọi M là trung điểm CD, H là chân đường cao kẻ từ A tam giác AMB Chứng minh rằng: a) CD (AMB) b) AH (BCD) Cho tứ diện ABCD có DA (ABC) Gọi H, K là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD Chứng minh rằng: a) HK (BCD) b) BD (CHK) 10 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB Gọi H, I là trung điểm AB và CD, cho SC = a , HK SI Chứng minh rằng: a) SH (ABCD) b) HK (SDC) 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA (ABCD) Gọi M, N là trung điểm SB, SC Chứng minh: a) BD (SAC) b) MN (SAB) 12 Cho hình chóp S.ABC có SB (BCD) Gọi H là trực tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: a) DH (ABC) b) CH (ABD) c) CD (ABH) 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, cạnh bên SA ( ABC) a) Chứng minh rằng: BC ⊥(SAB) b) Gọi M là trung điểm AC Chứng minh rằng: BM ⊥(SAC) 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh rằng: BD ⊥(SAO) b) Gọi M là trung điểm CD Chứng minh rằng: OM ⊥(SAB) 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SD CMR: a) BC (SAB), BD (SAC) b) SC (AHK) c) HK (SAC) 16 Cho hình vuông ABCD Gọi H, K là trung điểm AB, AD Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) H, lấy điểm S (khác H) Chứng minh: a) AC (SHK) b) CK SD 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a √ , SA (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông (4) b) Gọi I là trung điểm SC Chứng minh IO (ABCD) c) Tính góc SC và (ABCD) 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O và SA = SC = SB = SD = a a) Chứng minh SO (ABCD) b) Gọi I, K là trung điểm AB và BC Chứng minh IKSD c) Tính góc SB và (ABCD) VẤN ĐỀ 6: Góc đường thẳng và mặt phẳng Cách xác định góc đường thẳng và mặt phẳng: + Nếu đt mp(P) góc đường thẳng và mặt phẳng là 90o + Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng Tìm hình chiếu vuông góc (hình chiếu) đường thẳng đó lên mặt phẳng Góc đường thẳng và mặt phẳng là góc đường thẳng đó và hình chiếu nó lên mặt Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng: Điểm mặt phẳng ( M ( ) ) hình chiếu điểm là chính nó Điểm mặt phẳng ( M ( ) ) từ điểm đó kẻ đường vuông góc với mặt: MH ( ) ( H ( ) ) hình chiếu M là H Tìm hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng: Tìm hình chiếu điểm thuộc đường thẳng đó lên mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Tính góc a) SB và CD (CD // AB) b) SC và mp(ABCD) Cho Cho tứ diện SABC, a) SB và mp(ABC) SA ABC , SA = a, AB a , tam giác SBC cân S Tính góc giữa: b) SC và mp(ABC) 2’ Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD a , SA ABCD Tính góc giữa: a) SB và (ABCD) b) SD và (ABCD) c) SD và (SAB) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O cạnh a, SA ABCD , SA a Tính góc SC và mp(ABCD) Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = a Tính góc giữa: a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông A, SA với đáy, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = a Tính góc giữa: a) Các cạnh bên hình chóp với mặt đáy (ABCD) b) SB, SC với mặt bên (SAD) Cho lăng trụ ABC.A/B/C/, ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = a; B /A = B/B = B/C = a Tính góc B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC, tam giác ABC vuông cân đỉnh B, cạnh AB = a, AD = a Tính góc giữa: a) DB và (ABC) b) CD và (ABD) c) AC và (ABD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA với đáy, SA = a Tính góc giữa: a) Các cạnh bên và mặt đáy b) Cạnh SC và mặt bên (SAD) c) Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC) (5) Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc nhau, biết AB = AC = 2BC = a Tính góc giữa: a) SA và (ABC) b) SA và (SBC) 10 Cho tam giác ABC cạnh a Từ trung điểm H AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt SH a Tính góc giữa: phẳng (ABC) Trên d lấy điểm S cho a) SA với (ABC) b) SC với (ABC) c) SH với (SBC) 11 Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tất các cạnh a, BAC 120 ; A/B = A/D = A/A Tính góc A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy VẤN ĐỀ 7: Góc mặt phẳng Góc mặt phẳng: Muốn tìm góc mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng các cách sau: Tìm a (P), b (Q) góc mặt phẳng là góc đường thẳng vừa tìm a c taïi I , a ( P) Tìm: (P) (Q) = c và b c taïi I , b (Q) góc mặt phẳng là góc đường thẳng vừa tìm Cho tứ diện ABCD có AD (BCD) và AB = a Biết BCD là tam giác cạnh 2a Tính góc hai mp(ACD) và (BCD) Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và SA vuông đáy Tính góc mặt phẳng: a) (SBD) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD) Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA (ABC) và SA = a Gọi E, F là trung điểm các cạnh AB và AC Tính gĩc mặt phẳng: a) (SAC) và (SBC) b) (SEF) và (SBC) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = a , SA = 2a và vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AB Tính góc mặt phẳng: a) (ABC) và (SBC) b) (SCM) và (ABC) VẤN ĐỀ 8: Chứng minh mặt phẳng vuông góc Chứng minh hai maët phaúng vuoâng goùc: * Để chứng minh (P) (Q), ta có thể chứng minh các cách sau: Chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh góc mặt phẳng 900 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy CMR: a) (SBC ) (SAB) b) (SBD ) (SAC ) Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân A Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Gọi M là trung điểm BC, dựng AH vuông góc với SM H CMR: a) SA ( ABC ) b) (SBC ) (SAM ) c) ( AHC ) (SBC ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B có AB = BC = a, cạnh bên SA ⊥ (ABC) và SA = a Gọi E và F là trung điểm SB và AC Chứng minh rằng: a) ( AEC ) (SBC ) b) (SFB) (SAC ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) (SAC)⊥( ABCD) b) (SAC)⊥(SBD) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là trung điểm BC, AH là đường cao tam giác ADI Chứng ming rằng: a) (ABC)⊥(AID) b) ( AID)⊥( BCD) (6) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA a) Chứng minh rằng: (SAC)⊥(SBD) (ABCD) b) Gọi BE và DF là hai đường cao Δ SBD CMR: ( ACF ) (SBC ) vaø ( AEF ) (SAC ) Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB (BCD) b) Chứng minh: mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD) a) Chứng minh (SAC) (SBD) b) Gọi BE, DF là hai đường cao SBD CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a SA = a và SA vuông góc (ABCD) a) Chứng minh: (SBC) (SAB) và (SCD) (SAD) b) Tính góc (SCD) và (ABCD) 10 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = 2a, AD = CD = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a a) Chứng minh: (SAD) (SCD) và (SAC) (SBC) b) Gọi là góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) Tính tan 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a a) CMR: Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) CMR: (SAC) (SBD) c) Tính góc SC và (ABCD), SC và (SAB) d) Tính tang góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) a SA SB SD và 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD 60 Gọi H là hình chiếu S trên AC a) CMR: BD (SAC) và SH (ABCD) b) CMR: AD SB c) CMR: (SAC) (SBD) d) Tính sin góc SD và (SAC), côsin góc SC và (SBD) 13 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông A, AB = BC = a và ADC 45 Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a a) CMR: BC mp(SAB) b) CMR: CD SC c) Tính góc SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC) d) Tính góc mp(SBC) và mp(ABCD) 14 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) (ABCD), AB = a, AD = a a) CMR: SA (ABCD), (SAD) (SCD) b) AH là đường cao CMR: AH (SBC), (SBC) (AHC) c) CMR: DH SB d) Tính góc (SAC) và (SAD) 15 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA (ABCD) a) CMR: (SAB) (SAD); (SBC) (SAB); (SCD) (SAD) b) CMR: (SAC) (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC CMR: (SCD) (AI J) d) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD) (7) 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I, J là trung điểm AB, CD Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) I lấy S a) CMR: BC (SAB), CD (SI J) b) CMR: (SAD) (SBC), (SAB) (SI J) c) Gọi M là trung điểm BC CMR: (SIM) (SBD) d) SI = a Tính góc (SCD) và (ABCD) 17 Cho h`chóp S.ABCD, O là tâm ABCD Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a a) CMR: (SAC) (SBD), (SOI) (ABCD) b) CMR: (SIO) (SCD) c) Gọi OJ là đường cao SOI CMR: OJ SB d) Gọi BK là đường cao SBC CMR: (SCD) (BDK) e) Tính góc mặt bên và mặt đáy 18 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O Cho (SAB) (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD) a) CMR: SA (ABCD), BD (SAC) b) Gọi AH, AK là đường cao CMR: AH BD, AK (SCD) c) CMR: (SAC) (AHK) d) Tính góc (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 19 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O SA (ABCD), SA = a a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) CMR: BD SC c) Tính góc SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) d) Tính góc (SCD) & (ABCD) 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác C và SB (ABC), biết AC = a √ , BC = a, SB = 3a a) Chứng minh: AC (SBC) b) Gọi BH là đường cao tam giác SBC Chứng minh: SA BH c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 21 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên a √5 Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm SC a) b) c) d) Chứng minh: (MBD) (SAC) Tính góc SA và mp(ABCD) Tính góc hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách hai đường thẳng chéo * Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a và b Cách 1: Giả sử a b: Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a A Dựng AB b B AB là đoạn vuông góc chung a và b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a Chọn M a, dựng MH (P) H Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB là đoạn vuông góc chung a và b Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) (8) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc Dựng mặt phẳng (P) a O Dựng hình chiếu b b trên (P) Dựng OH b H Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A AB là đoạn vuông góc chung a và b Chuù yù: d(a,b) = AB = OH 1.Cho hình tứ diện OABC, đó OA, OB, OC = a Gọi I là trung điểm BC Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng: a a) a b) a a) a b) a) OA vaø BC b) AI vaø OC HD: 2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA (ABCD) và SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC vaø BD b) AC vaø SD HD: 3.Cho tứ diện SABC có SA (ABC) Gọi H, K là trực tâm các tam giác ABC và SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC (BHK), HK (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC và SA HD: c) Gọi E = AH BC Đường vuông góc chung BC và SA là AE a 4.Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm AB Dựng IS (ABCD) và IS = Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh BC, SD, SB Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung các cặp đường thẳng: a) NP vaø AC b) MN vaø AP HD: a a) a b) VẤN ĐỀ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song * Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng) 1.Cho hình chóp SABCD, có SA (ABCD) và SA = a , đáy ABCD là nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với a mp(SAD) và cách (SAD) khoảng HD: a) d(A,(SCD)) = a ; a d(B,(SCD)) = a b) a2 c) (9) 2.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông A coù BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) a a) a 21 b) a c) HD: 3.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là h`v cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N là trung điểm AB và AD Chứng minh MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD) HD: a a) a ; a b) 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 Gọi O là giao điểm 3a AC và BD Đường thẳng SO (ABCD) và SO = Gọi E là trung điểm BC, F là trung ñieåm cuûa BE a) Chứng minh (SOF) (SBC) b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC) HD: 3a 3a b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA đáy , SA = a a) b) c) d) e) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông CMR (SAC) (SBD) Tính góc SC và mp ( SAB ) Tính góc hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác C và SB (ABC), biết AC = a √ , BC = a, SB = 3a d) Chứng minh: AC (SBC) e) Gọi BH là đường cao tam giác SBC Chứng minh: SA BH f) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Bài Hình chóp S.ABC ABC vuông A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC) a) CM: SB (ABC) b) CM: (BHK) SC c) CM: BHK vuông d) Tính cosin góc tạo SA và (BHK) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên hình vuông ABCD Và M là trung điểm SC e) Chứng minh: (MBD) (SAC) f) Tính góc SA và mp(ABCD) g) Tính góc hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) a √5 Gọi O là tâm (10) h) Tính góc hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Bài Hình chóp S.ABC ABC vuông A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a Hạ BH SA (H SA); BK SC (K SC) a) CM: SB (ABC) b) CM: mp(BHK) SC c) CM: BHK vuông d) Tính cosin góc tạo SA và (BHK) Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên a √5 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Và M là trung điểm SC a) Chứng minh: (MBD) (SAC) b) Tính góc SA và mp(ABCD) c) Tính góc hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD) d) Tính góc hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Bài Cho h`chóp S.ABCD có đáy là HCN, tâm O và AB = SA = a,BC = a √ , SA (ABCD) a Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b Gọi I là trung điểm SC Chứng minh IO (ABCD) c Tính góc SC và (ABCD) Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh và các cạnh bên và √ a Chứng minh (SBD) (SAC) b Tính độ dài đường cao hình chóp c Tính góc cạnh bên và mặt đáy Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC A, SA = AB = AC = a , SA (ABC) a Gọi I là trung điểm BC Chứng minh BC (SAI) b Tính SI c Tính góc (SBC) và mặt đáy Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc A lên SB, SD a Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b Chứng minh SC (AHK) c Chứng minh HK (SAC) Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD a Chứng minh SO (ABCD) b Gọi I, K là trung điểm AB và BC Chứng minh IK SD Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD) a Tính khoảng cách từ A đến (SBD) b Chứng minh (SBC) (SAB) c Tính khoảng cách từ C đến (SBD) Bài 15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC a) CMR: BC vuông góc với (SAM) (11) b) Tính chiều cao hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung SA và BC Bài 16 Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a √ , SA (ABC), SA = 2a Gọi M là trung điểm AB a) Tính góc (SBC) và (ABC) b) Tính đường cao AK tam giác AMC c) Tính góc (SMC) và (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC) (12)