Phân tích đa thức thành nhân tử :.[r]
(1)C©u I: (2 ®iÓm) x 1 A : x x x x 2x a) Rót gän biÓu thøc: b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x ax b chia hết cho đa thức x x C©u II: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 15x 12 1 a) x 3x x x x x x 1 x 1 24 b) C©u III: (2 ®iÓm) 1 0 x y z a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi khác thỏa mãn: yz xz xy A x 2yz y 2xz z 2xy TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2x 2011 x2 b) Cho biÓu thøc M = víi x > Tìm x để M có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó C©u IV: (3 ®iÓm ) 1200 Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng Cho h×nh thoi ABCD cã BAD th¼ng DM vµ BC c¾t t¹i N, CM c¾t AN t¹i E Chøng minh r»ng: a) AMD ∽ CDN vµ AC AM.CN b) AME ∽ CMB C©u V: (1 ®iÓm) 3 5 2 Cho a , b lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n: a b a b Chøng minh r»ng: a b 1 ab §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm: Néi Dung PhÇn §KX§ a) Rót gän A: 1® x 1 A : x 2x x x x 1 x 1 A : x x 1 x x 1 b) 1® a) 1® A x x 1 x x 1 x A x x §iÓm 0,25 ® ,25 ® 0,25 ® 2 f(x) chia hÕt cho x x f(x) chia hÕt cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 3a b 27 (1) T¬ng tù ta cã f(2) = 2a b (2) Trừ hai vế (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 a Thay a = - vào (1) tìm đợc b = §KX§: x ; x 1 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® (2) 15x 12 1 x 3x x x 15x 12 1 x (x 1) x x 0,25 ® 15x 12 x 1 x x 3x 0,25 ® 0,25 ® x 4x 0 x 0 x x 0 x x = (tháa m·n ®/k) ; x = - 4(kh«ng tháa m·n ®/k) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = b) 1® x x x 1 x 1 24 x x 1 x x 1 24 0,25 ® x x x x 24 §Æt x x = t Ph¬ng tr×nh trë thµnh: t t 24 0,25 ® t 2t 24 0 Giải phơng trình tìm đợc t = - ; t = 0,25 ® 15 x x 0 x 0 4 * Víi t = - => x x (ph¬ng 0,25 ® tr×nh v« nghiÖm) * Víi t = => Giải phơng trình đợc: x= - ; x = x x 6 x x 3 0 a) 1® 1 yz xz xy 0 0 yz xz xy 0 xyz Tõ gi¶ thiÕt: x y z (v× x,y,z >0) yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y T¬ng tù ta cã: z 2xy = z x z y y 2xz = y z y x A Khi đó: b) 1® Ta cã: yz xz xy x z x y y z y x z x z y yz y z xz z x xy x y x z x y y z yz y z xz x z xy x z y z x z x y y z yz y z xz x z xy x z xy y z x z x y y z x x z y z y y z x z x z x y y z x z x y y z 1 x z x y y z x 2x 2011 2011x 2.2011x 20112 x2 2011x2 M= 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® (3) 0,25 ® x 2.2011x 20112 2010x 2011x x 2011 DÊu “=” xÊy 2 2010x x 2011 2010 2010 2 2011x 2011x 2011 2011 x 2011 0 x 2011 0,25 ® (tháa m·n) VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 2010 2011 đạt đợc x 2011 A E M N B D 0,25 ® C a) 1,5 ® 0,25 ® 0,25 ® AMD vµ CDN cã AMD CDN * XÐt ( so le trong) ADM CND ( so le trong) AMD ∽ CDN ( g g ) * V× AMD ∽ CDN AM CN = AD CD 0 V× BAD 120 CAD 60 ACD AD = CD = AC AM CN = AC 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® V× AM CN = AC2 theo (a) AM AC AC CN 0,25 ® Chøng minh MAC ACN 60 MAC ∽ CAN ( c g c) ACM CNA ACM ECN 600 0,25 ® 0,25 ® b) 1,25 ® Mµ 0,25 ® CNA ECN 600 AEC 600 XÐt AME vµ CMB cã AME BMC MBC 600 ( đối đỉnh); AEM AME ∽ CMB ( g g) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® a b2 1 ab a b ab 1 a b a b2 ab a b 1® 0,25 ® a b a b a b3 a b3 a b a b 3 5 2a b ab a b ab a ab a 2a b b 0 b2 0 đúng a, b > 0,25 ® (4) Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác và khác Chứng minh nếu: 2 a b c x y z + + =0 ; + + =1 thì x y z a b c x y z + + =1 a b c a b c ayz+ bxz+ cxy + + =0⇒ =0 ⇒ ayz+ bxz+cxy =0 Giải: x y z xyz x y z x y z + + =1 ⇒ + + a b c a b c 2 x y z ayz+ bxz +cxy + + + =1 abc a b c x2 y2 z2 ⇒ + + =1 a b c ; ( ) Phân tích đa thức thành nhân tử : a x − x −12 b x 2+ x +15 c x −6 x −16 d x − x + x +3 Phân tích đa thức thành nhân tử : 2 ( x − x ) −2 ( x − x ) −15 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 Cho a +| b + c + d = Chứng minh a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd) Chứng minh x + y + z = thì : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Chứng minh với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương Biết a - b = Tính giá trị biểu thức sau: a2 ( a+1 ) −b ( b − )+ ab −3 ab ( a − b+1 ) ¿ x + y + z=1 2 x + y + z =1 Cho x,y,z là số thỏa mãn đồng thời: 3 Hãy tính giá trị biếu thức x + y + z =1 ¿ {{ ¿ P = ( x − )17 + ( y −1 )9 + ( z −1 )1997 10 a.Tính 12 − 22+3 − 2+ + 992 − 1002+ 1012 b.Cho a + b + c = và a2 + b2 + c2 = 53 Tính ab + bc + ca 11 Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = và xy + yz + zx = Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1) 2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007 12 Cho số a,b,c thỏa điều kiện : Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008) Phân tích đa thức thành nhân tử : a x − x −12= ( x − ) ( x+ ) c x −6 x −16=( x+ )( x −8 ) Phân tích đa thức thành nhân tử : 1 1 + + = a b c a+b+ c b d x 2+ x +15=( x+3 )( x +5 ) x − x + x +3=( x +1 ) ( x −2 x +3 ) (5) ( x − x ) −2 ( x − x ) −15=( x − x −5 )( x2 − x +3 ) Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 ¿ ( x − y )( x − a )( y −a )( x + y +a ) 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc ¿ ( a+b )( b+c ) ( c+ a ) 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14 ⇔ ( x −1 )2+ ( y −3 )2∨+ ( z − )2 Từ a + b + c + d = ⇒ ( a+ b )3=− ( c+ d )3 Biến đổi tiếp ta :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd) x3 + y + z 3=3 xyz ⇒ 3 ( x + y + z )( x + y + z )=3 xyz ( x 2+ y + z ) ⇔ x 5+ y 5+ z − xyz ( xy+ yz+ zx ) =3 xyz ( x + y + z 2) Nếu x + y + z = thì : ⇔ ( x 5+ y 5+ z5 ) −2 xyz ( xy + yz+zx )=6 xyz ( x + y + z 2) ; () −2 xyz ( xy +yz +zx )=xyz ( x 2+ y 2+ z ) Nhưng: ( x+ y+ z )2 =0 ⇒−2 xyz ( xy +yz +zx )=x + y 2+ z2 (**) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Với x,y nguyên thì : A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) ¿ ( x 2+5 xy+ y ) a2 ( a+1 ) −b ( b − )+ ab −3 ab ( a − b+1 )=( a− b )2 ( a −b+ ) ¿ x + y + z=1 x 3+ y3 + z 3=1 ⇒ ( x + y + z )3 − x − y − z 3=3 ( x+ y )( y + z ) ( z+ x ) ¿{ ¿ Biến đổi Từ x+ y=0 ¿ y + z=0 ¿ z+ x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ P=− 10 11 Sử dụng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151 Sử dụng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = suy : x = y = z = 0;S = 12 Từ: a b Tính Q = 1 1 + + = : (a + b)(b + c)(c + a) = a b c a+b+ c (6)