Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 32,0đ: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.. Hỏi mỗi máy xa[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT TP HỘI AN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM NĂM HỌC: 2015 - 2016 Môn: Toán - Lớp đề chính thức Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ================== §Ò thi nµy gåm 01 trang Bài 1(2,0 đ) a) Cho x, y, z 0 và x-y-z =0 x z 1 1 1 Tính giá trị biểu thức A = x y y z b) Cho x, y, z thoả mãn x.y.z =1 y 1 xy x yz y xyz yz y Chứng minh: Bài (2,0 đ): Câu 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) 3x2 + 5y2 =12 2 b) 36 y 8 x 2016 Câu 2: Cho x, y là số dương và x+y =6 Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P= x y Bài 3(2,0đ): Độ dài các cạnh tam giác tỉ lệ với nào,biết cộng độ dài hai đường cao tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5 Bài (2,0đ): Ba máy xay xay 359 thóc Số ngày làm việc các máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc các máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất các máy tỉ lệ nghịch với 5,4,3 Hỏi máy xay bao nhiêu thóc Bài (2,0đ): Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm BC Đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A M cắt cạnh AB , AC E và F Chứng minh : a) EH = HF b) 2BME ACB B FE AH AE c) d) BE = CF (2) ĐÁP ÁN- HƯỚNG CHẪM CHẤM TOÁN Câu Nội dung cần đạt Điểm phần 1a Từ x-y-z =0 Suy x=y+z y= x-z -z=y-x 0,25 Tính giá trị biểu thức A = z x y 1 1 1 y z x x z y x z y x y z 1.0 0,25 y z x x y z 1b Điểm toàn phần 0,5 Từ xyz =1 y xy x yz y xyz yz y z xyz xz 2 xyz xz z xyz xyz xz x yz xyz xyz Suy 1 2.1a 3x2 + 5y2 =12 3(x2 +1)=5(3-y2) Do (3,5) =1 nên suy x2 +1 5 hay x2 +1 =5m (m Z) và 3-y23 hay 3-y2 =3n ( n Z) Ta có 3.5m=5.3n => m=n 0,5 1,0 0,5 0,25 x 5m 0 m m n 1 y 3 3n 0 n 1 0,5 Với m=1 => x=1 x=-1 n = => y = Vậy ta có ( 2,0) và (-2,0) là cặp ( x,y) thỏa mãn 2.1b 0,25 2 Ta có: 36 y 8 x 2016 y x 2016 36 2 Vì y 0 x 2016 36 ( x 2016)2 36 2 Vì ( x 2016) và x Z , x 2016 là số chính phương nên ( x 2016) 4 ( x 2016) 1 ( x 2016) 0 0,25 (3) x 2018 ( x 2016) 4 x 2016 2 x 2014 + Với y 2 y 4 y 0,5 2 + Với ( x 2016) 1 y 36 28 (loại) y 6 y 36 y + Với ( x 2016) 0 x 2016 và ( x, y ) (2018; 2);(2018; 2); (2014; 2); Vậy (2014; 2); (2016;6);(2016; 6) 0,25 2.2 Đặt x=3+a thì y=6-3-a=3-a Thay vào P ta 1 3 a 3a 9 a a2 P= a a P đạt giá trị nhỏ là a=0 3a 1,0 0,5 tức x=3 và y=3 Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đường cao tương ứng với các cạnh đó là , hb , hc Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : 1 (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( + hc ) = k , Hay: ( với k 0) Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Cộng các biểu thức trên, ta có: + hb + hc = 6k Từ đó ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k Mặt khác, gọi S là diện tích ABC , ta có: a.ha = b.hb =c.hc a.2k = b.k = c.3k a b c = = 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Gọi x1, x2 x3 là số ngày làm việc máy x1 x2 x3 (1) 0,25 Gọi y1, y2, y3 là số làm việc các máy y1 y2 y3 (2) Gọi z1, z2, z3 là công suất máy 0,25 1,0 (4) 0,25 z1 z2 z3 1 5z1 = 4z2 = 3z3 (3) Mà 1,5 0,25 x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 395 15 18 40 395 15 Từ (1) (2) (3) 0,25 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105;x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội là 54, 105, 200 Vẽ hình đúng 0,25 0,5 0,25 A E B M C H D F 5a 5b 5c C/m đợc AEH AFH (g-c-g) Suy EH = HF (đpcm) Tõ AEH AFH Suy E1 F XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy CMF ACB F BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy BME E1 B vËy CMF BME ( ACB F ) ( E1 B) hay 2BME ACB B (®pcm) áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : FE AH AE ta cã HF2 + HA2 = AF2 hay (®pcm) 5d C/m AHE AHF ( g c g ) Suy AE = AF vµ E1 F Tõ C vÏ CD // AB ( D EF ) (1) C/m đợc BME CMD ( g c g ) BE CD và có E1 CDF (cặp góc đồng vị) CDF c©n CF = CD ( 2) do đó CDF F Tõ (1) vµ (2) suy BE = CF 0,5 0,25 0,25 3,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 Chú ý:+ HS vẽ hình sai câu nào thì không chấm điểm câu đó + HS làm cách khác đúng kết cho điểm tối đa (5) (6)