ĐỀ HSG TOÁN 7 CÓ ĐÁP ÁN

PHềNG GD & T THANH CHNG TRNG THCS THANH PHONG THI HC SINH GII CP TRNG. NM HC 2010-2011. MễN THI: TON Thi gian:120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: a) So sỏnh hp lý: 200 16 1 v 1000 2 1 b) Tớnh A = 3 10 9 6 12 11 16 .3 120.6 4 .3 6 + + c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Bi 2: (1,5 Tỡm x bit: a) (2x-1) 4 = 16 b) (2x+1) 4 = (2x+1) 6 c) 2083x =+ d) 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + Bi 3: Tỡm cỏc s x, y, z bit : a) (3x - 5) 2006 +(y 2 - 1) 2008 + (x - z) 2100 = 0 b) 4 z 3 y 2 x == v x 2 + y 2 + z 2 = 116 Bi 4 : a) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x 1 , x 2 là hai giá trị bất kì của x; y 1 , y 2 là hai giá trị tơng ứng của y.Tính y 1 , y 2 biết y 1 2 + y 2 2 = 52 và x 1 =2 , x 2 = 3. b) Cho hàm số : f(x) = a.x 2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 c) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, M l trung im BC. Ly im D bt kỡ thuc cnh BC. H v I th t l hỡnh chiu ca B v C xung ng thng AD. ng thng AM ct CI ti N. Chng minh rng: a) BH = AI. b) BH 2 + CI 2 cú giỏ tr khụng i. c) ng thng DN vuụng gúc vi AC. d) IM l phõn giỏc ca gúc HIC. Hết CHNH THC ( gm 01 trang) ỏp ỏn Toỏn 7 Bi 1: (1,5 im): a) Cỏch 1: 200 16 1 = 800200.4 2 1 2 1 = > 1000 2 1 Cỏch 2: 200 16 1 > 200 32 1 = 1000200.5 2 1 2 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 9 10 2 12 10 12 10 10 12 6 12 12 11 11 11 11 2 11 12 12 10 11 11 11 11 11 11 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 2 .3 1 5 2 .3 3 .2 .5 ) 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.2 .3 4.2 .3 4 7.2 .3 7.2 .3 7 b P + + + = = = + + + = = = c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy ; ; x z y x z y x y z y x z y x z y z x = = = = = .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 1 x y z x y z x y z y z x y z x + + = = = = = = + + Bi 2: (1,5 im): a) (2x-1) 4 = 16 .Tỡm ỳng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25im) b) (2x+1) 4 = (2x+1) 6 . Tỡm ỳng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5im) c) 2083x =+ 2083x =+ 2083x =+ ; 2083x =+ 2083x =+ 283x =+ x = 25; x = - 31 2083x =+ 123x =+ : vụ nghim d) 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 1 2 3 4 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 0 2009 2008 2007 2006 x x x x + = ( ) 1 1 1 1 2010 0 2009 2008 2007 2006 x + = ữ 2010 0 2010x x = = Bi 3: a) (3x - 5) 2006 +(y 2 - 1) 2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5) 2006 = 0; (y 2 - 1) 2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 3x - 5 = 0; y 2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = 3 5 ;y = -1;y = 1 b) 4 z 3 y 2 x == v x 2 + y 2 + z 2 = 116 T gi thit 4 29 116 1694 2 z 2 y 2 x 16 2 z 9 2 y 4 2 x == ++ ++ === Tỡm ỳng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) Bi 4: a) Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 52 4 3 2 3 2 3 9 4 9 4 13 ) 36 6 x y y y y y y y y y y x y y y y +     = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = =  ÷  ÷ +     + = ⇒ = ± Víi y 1 = - 6 th× y 2 = - 4 ; Víi y 1 = 6 th× y 2 = 4 . b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ( ) ( ) ) (0) 3 3 ) (1) 3 3 3 1 ) ( 1) 3 3 3 2 f c f a b c a b f a b c a b + ⇒ + ⇒ + + ⇒ + + − ⇒ − + ⇒ − M M M M M M M M Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2 3 3a a⇒ ⇒M M M v× ( 2; 3) = 1 3b⇒ M VËy a , b , c ®Ịu chia hÕt cho 3 c) 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n− × − × = × − × = 10( 3 n -2 n-1 ) Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số ngun dương. Bài 5: a. ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI (0,5điểm) b. BH 2 + CI 2 = BH 2 + AH 2 = AB 2 (0,75điểm) c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN ⊥ AC (0,75điểm) d. ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA (0,25điểm) mà : ∠ IMA + ∠BMI = 90 0 ⇒ ∠BMH + ∠BMI = 90 0 (0,25điểm) ⇒ ∆HMI vng cân ⇒ ∠HIM = 45 0 (0,25điểm) mà : ∠HIC = 90 0 ⇒∠HIM =∠MIC= 45 0 ⇒ IM là phân giác ∠HIC (0,25điểm) *) Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa. H I M B A C D N . 2008 20 07 2006 x x x x + = + 1 2 3 4 1 1 1 1 2009 2008 20 07 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 2009 2008 20 07 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 0 2009 2008 20 07 2006 x. 11 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 2 .3 1 5 2 .3 3 .2 .5 ) 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.2 .3 4.2 .3 4 7. 2 .3 7. 2 .3 7 b P + + + = = = + + + = = = c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz ,. (0,5điểm) b. BH 2 + CI 2 = BH 2 + AH 2 = AB 2 (0 ,75 điểm) c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN ⊥ AC (0 ,75 điểm) d. ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA (0,25điểm)