Một số biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học kiến thức toán cao cấp cho sinh viên sư phạm ngành Toán ở trường Cao đẳng sư phạm Nghệ An

Đối với tình trạng dạy học nâng cao Môn Toán dành cho sinh viên sư phạm trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, đề bài đề xuất một số các biện pháp nâng cao chất lượng dạy học Toán cao cấp đáp ứng yêu cầu về đổi mới giáo dục và đào tạo. Mời các bạn tham khảo!

VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 8/2018, tr 191-193; 224 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC KIẾN THỨC TOÁN CAO CẤP CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM NGHỆ AN Lê Thị Ngọc Thúy - Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An Ngày 06/06/2018; ngày sửa chữa: 01/07/2018; duyệt đăng: 24/08/2018 Abstract: Advanced Mathematics is the foundation that provides basic knowledge and general overview on Mathematics for pedagogical students With regard to the status of teaching advanced Mathematics for pedagogical students at Nghe An College of education, the paper proposes some measures to improve the quality of advanced mathematics teaching to meet the requirements on innovating education and training Keywords: Advanced mathematics, students, measures, Nghe An College of Education Mở đầu Trong hoạt động giáo dục nói chung dạy học nói riêng trường phổ thơng, đội ngũ giáo viên ln đóng vai trị định đến hiệu q trình dạy học Do vậy, giáo viên cần trang bị vốn tri thức toàn diện kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm Đối với sinh viên (SV) sư phạm ngành Toán, kiến thức Toán cao cấp (TCC) tảng, cung cấp kiến thức bản, giúp em có nhìn tổng qt tốn học Từ đó, SV sử dụng kiến thức TCC để nhìn nhận chương trình Tốn phổ thơng, biết định hướng cách giải tốn phổ thơng từ TCC, sau chuyển đổi ngơn ngữ, chuyển hóa sư phạm sang cách giải phổ thơng Các kiến thức TCC khái niệm, tính chất tốn học phần kết trình hình thành phát triển khái niệm tương ứng có Tốn sơ cấp theo hướng khái qt hóa trừu tượng hóa Từ thực trạng dạy học kiến thức TCC cho SV sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, viết đưa số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi GD-ĐT Nội dung nghiên cứu 2.1 Thực trạng dạy học kiến thức Toán cao cấp cho sinh viên Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An Trong trình giảng dạy kiến thức TCC cho SV Sư phạm ngành Tốn, chúng tơi nhận thấy: SV bước đầu nắm kiến thức bản, nhiên em mắc phải số sai lầm thường gặp Trong năm học 2015-2016, tiến hành khảo sát 50 SV K35 Toán - Tin, Toán - Lí; 66 SV K36 Tốn - Tin, Tốn - Lí 25 SV K37 Tốn - Lí, Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An nội dung kiến thức sau: 1) Giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt (mơn Đại số tuyến tính - đối tượng 25 SV K37 Toán - Tin) 2) Các cấu trúc đại số (môn Đại số đại cương - đối tượng 66 SV K36 Tốn - Tin, Tốn - Lí) 3) Lực lượng tập hợp (môn Cơ sở số học đối tượng 50 SV K35 Toán - Tin, Tốn - Lí) Kết khảo sát thu được: Ở nội dung 1, có 12 SV (chiếm 48%) sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, 1/2 số chưa tìm kết tốn Có 13 SV (chiếm 52%) biết sử dụng phương pháp định thức giải tốn Ở nội dung 2, có 25 SV (chiếm 38%) khơng tìm ví dụ nhóm giao hốn; 18 SV (chiếm 27%) khơng tìm ví dụ vành giao hốn; có 30 SV (chiếm 45%) tìm ví dụ nhóm giao hốn ví dụ vành giao hốn Ở nội dung 3, có 32 SV (chiếm 64%) quan niệm sai lực lượng N bé lực lượng Z, lực lượng Z bé lực lượng Q, có 18 SV (chiếm 36%) quan niệm lực lượng tập hợp Từ kết khảo sát trên, nhận thấy: - SV thường quen sử dụng cách giải tốn phổ thơng nên gặp khó khăn giải tập chương trình TCC Chẳng hạn, trường phổ thông, SV thường giải hệ phương trình ẩn, ẩn phương pháp phương pháp cộng đại số Do vậy, số SV lúng túng giải hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn định thức, khơng biết lựa chọn ẩn ẩn bản, ẩn ẩn tự do, chưa biết cách tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt, chưa nắm vững khái niệm tính chất ma trận - Từ kiến thức biết phổ thông, SV khó thay đổi quan niệm cũ để xây dựng khái niệm Khi học môn Đại số đại cương, SV quen với tính chất giao hốn phép toán cộng nhân tập hợp số (N, Z, Q, R, C), nên khái quát hóa thành cấu trúc đại số 191 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 8/2018, tr 191-193; 224 (vị nhóm, nhóm, vành) tổng quát, em mắc sai lầm cho cấu trúc đại số nhóm, vành ln có tính chất giao hốn Ví dụ: Phép nhân ma trận phép nhân ánh xạ nói chung thường khơng giao hốn - Do khả trừu tượng hóa chưa cao nên SV khó tiếp nhận kiến thức trừu tượng Khi học lực lượng tập hợp, phạm trù tập hợp có hữu hạn phần tử, số tập thực bé số phần tử tập cho Vì vậy, sau mở rộng khái niệm số phần tử tập hợp (hữu hạn) thành khái niệm lực lượng tập hợp (tùy ý), phần lớn SV cho lực lượng tập hợp số tự nhiên N bé tập hợp số nguyên Z, lực lượng tập hợp số nguyên Z bé tập hợp số hữu tỉ Q mà không ý lực lượng tập hợp tương đương (đều tập vô hạn đếm được) SV không nắm rằng, A tập hợp vơ hạn thêm vào A phần tử x  A lực lượng A   x A (tương đương) Các sai lầm xuất phát từ việc SV quen với khái niệm tính chất đối tượng cụ thể phương pháp suy luận đơn giản Toán sơ cấp Để nắm khái niệm phương pháp suy luận tốn học dựa lí thuyết tập hợp TCC, SV cần rèn luyện thêm thao tác tư duy, khái quát hóa trừu tượng hóa Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy học kiến thức TCC cho SV Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, biện pháp nâng cao lực trí tuệ cho SV 2.2 Đề xuất số biện pháp nâng cao hiệu dạy học kiến thức Toán cao cấp cho sinh viên Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An 2.2.1 Phát triển lực trí tuệ cho sinh Sư phạm ngành Tốn dạy học Toán cao cấp Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An Các sai lầm xuất phát từ việc SV quen với khái niệm tính chất đối tượng cụ thể phương pháp suy luận đơn giản Toán sơ cấp Để nắm khái niệm phương pháp suy luận tốn học dựa lí thuyết tập hợp TCC, SV cần rèn luyện thêm thao tác tư duy, khái quát hóa trừu tượng hóa Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy học kiến thức TCC cho SV Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, biện pháp nâng cao lực trí tuệ cho SV Theo Tommy Dreyfus Ed Dubinsky [1], quan điểm tâm lí, nên tập trung nâng vào thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa cho người học để em tư học tập có hiệu Bên cạnh đó, SV cần có kiến thức tốn học định có phương pháp học tập khoa học Mặc dù SV có khả phản ánh vấn đề toán học, họ thường bị hạn chế việc có quan điểm cách nhìn hẹp thông qua việc sử dụng phương pháp tiếp cận cách thức quen thuộc Do đó, giảng viên (GV) cần trọng nâng cao lực trí tuệ cho SV, thường xuyên rèn luyện thao tác tư tốn học khái qt hóa trừu tượng hóa, phân tích tổng hợp, tương tự quy nạp để em thay đổi cách tiếp cận tri thức TCC cách linh hoạt, phù hợp Ví dụ 1: Trong chương trình phổ thơng, HS biết cách giải biện luận hệ phương trình tuyến tính hai ẩn định thức Trong phần đầu chương trình Đại số tuyến tính, SV học phương pháp giải phương trình Cramer (số phương trình số ẩn) phương pháp định thức Nhưng mở rộng đến giải biện luận hệ phương trình tuyến tính có số phương trình khơng số ẩn, SV cần nắm khái niệm ma trận khái niệm liên quan (như hạng ma trận) biện luận hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn dựa vào định lí Kronecker - Capelly, hay cần nắm vững tính chất ma trận hiểu sở việc giải hệ phương trình tuyến tính m phương trình n ẩn dựa vào phương pháp Gauss 2.2.2 Bổ sung, hoàn thiện vốn tri thức tốn học trung học phổ thơng, giúp sinh viên sư phạm nắm vững kiến thức Toán cao cấp Nhiều kiến thức chương trình TCC Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, SV tiếp cận trung học phổ thông khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân, số phức, Bổ sung kiến thức dạy học TCC có nghĩa cần xác định rõ phần kiến thức cần ôn tập cho SV Trong trình dạy học TCC, GV cần lựa chọn từ ví dụ, tốn phổ thơng, sau mở rộng, khái qt thành khái niệm, tính chất TCC Chẳng hạn, dạy học định thức (trong mơn Đại số tuyến tính), GV củng cố kiến thức định thức cấp 2, cấp mà SV làm quen trường phổ thơng, từ mở rộng sang định thức cấp n Khi dạy hệ tọa độ afin (môn Hình học Afin hình học Ơclit), GV cần hệ thống lại kiến thức hệ tọa độ Đề-các vuông góc, sau mở rộng thành khái niệm hệ tọa độ afin Trong trình học tập kiến thức TCC, SV lĩnh hội nhiều tri thức tổng quát hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa từ tri thức học bậc phổ thông Chẳng hạn: khái niệm không gian vectơ thực Rn Đại số tuyến tính khái qt hóa khơng gian vectơ hình học 2, chiều; khái niệm khơng gian vectơ V trường F kết q trình trừu tượng hóa khơng gian Có thể thấy khái niệm vành Euclid vành khái quát hóa vành số nguyên Z Tương tự, khái niệm trường thương khái qt hóa 192 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 8/2018, tr 191-193; 224 trường số hữu tỉ Q Trong đó, khái niệm vành trừu tượng hóa vành số nguyên Z, khái niệm vành thương hay nhóm thương chủ yếu trừu tượng hóa vành (tương ứng, nhóm cộng) n Khơng q hình thành khái niệm mà nhiều định lí, cơng thức TCC nhận từ kết tương ứng Toán sơ cấp theo đường tổng quát hóa, khái quát hóa trừu tượng hóa 2.2.3 Giúp sinh viên nắm vững khái niệm, hệ thống tập Tốn cao cấp Trong q trình giảng dạy khái niệm tốn học TCC, GV cần nghiên cứu, tìm hiểu khó khăn SV liên quan đến cấu trúc tốn học khái niệm tốn học Ngồi ra, SV không lĩnh hội khái niệm đó, GV cần tiến hành phân tích trở ngại, khó khăn gặp phải em Ví dụ 1: Khái niệm giới hạn khái niệm trọng tâm mơn Giải tích Nhiều khái niệm khác Giải tích hàm liên tục, đạo hàm hay tích phân xác định liên quan đến khái niệm Việc tiếp nhận tốt khái niệm giới hạn góp phần nâng cao hiệu lĩnh hội kiến thức chương trình Giải tích cổ điển cho SV Một khó khăn SV tiếp cận khái niệm giới hạn tính trừu tượng Khi xây dựng khái niệm giới hạn, việc phân biệt phản ứng động (với chuyển động giới hạn) tĩnh (đang “tiến gần” với giới hạn) SV khó khăn Phần nhiều SV nắm khái niệm giới hạn cách máy móc mà khơng hiểu rõ chất khái niệm Do đó, dạy học khái niệm giới hạn hàm số, GV tiến hành theo bước sau: Bước 1: Phân tích ý nghĩa hình học giá trị tuyệt đối: x  a hiểu trục hồnh khoảng cách từ điểm có hồnh độ x đến điểm có hồnh độ a Tương tự, biểu thức f ( x)  f (a) Bước 2: Nêu định nghĩa giới hạn hàm số Bước 3: Phân tích ý nghĩa khái niệm giới hạn hàm số qua khái niệm khoảng cách: giá trị đối số x gần a giá trị hàm f ( x) gần f (a ) Bước 4: Cho SV giải tập mà tính giới hạn hàm số f ( x) phải sử dụng định nghĩa Trong giảng dạy TCC, với việc rèn luyện kĩ vận dụng định nghĩa, cơng thức hay định lí vào giải toán, việc nâng cao lực tư cho SV quan trọng Tuy nhiên, GV cần chọn hệ thống tập vừa sức đa số SV thường xuyên kiểm tra việc thực nhiệm vụ em Hệ thống tập xây dựng tiêu chuẩn từ tập cụ thể, trực quan đến tập mang tính tổng quát trừu tượng nhằm giúp SV nắm vững kiến thức phát triển tư Ví dụ 2: Khi học khái niệm không gian vectơ, SV làm quen với không gian vectơ quen thuộc không gian vectơ số thực R, hay không gian vectơ Euclid 02, 03 chiều E2, E3 Việc chuyển từ không gian vectơ R sang không gian vectơ R2, R3 địi hỏi SV phải biết khái qt hóa, phép tốn thực số Tuy nhiên, phép toán mở rộng đơn giản, tương tự không gian Như vậy, hệ thống tập phần cần tập không gian vectơ R2, R3 tăng dần mức độ khái quát hóa, trừu tượng hóa Ví dụ 3: Giả sử V V’ không gian vectơ trường K Kí hiệu HomK(V,V’) tập hợp tất ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ Với f,g ∈ HomK(V,V’)   K , định nghĩa ánh xạ f  g ,  f : V  V  bởi:  f  g  x   f  x   g  x  ,  f  x    f  x  , với x V Chứng minh HomK(V,V’) quy tắc cộng nhân vô hướng định nghĩa không gian vectơ K GV hướng dẫn SV giải tập thông qua bước sau: Bước 1: Xác định “vectơ” không gian HomK(X,Y) Các vectơ ánh xạ Bước 2: Xác định phép cộng HomK(X,Y): ( f , g) f  g cho bởi: ( f  g )( x )  f ( x)  g ( x), x  X Bước 3: Xác định phép nhân vô hướng K  HomK ( X , Y ) : (a, f ) af cho bởi: (af )( x )   [ f ( x )], x  X Bước 4: Chứng minh HomK(V,V’) với phép toán cộng nhân vơ hướng lập thành khơng gian vectơ K cách kiểm tra 08 tiên đề khơng gian vectơ Ví dụ phức tạp SV chưa quen với phép tốn ánh xạ Do vậy, GV hướng dẫn thêm cho em Sau giải tập này, SV nâng cao khả phân tích, trừu tượng hóa Nếu lấy V’=K xem K khơng gian vectơ nó, ta nhận khơng gian đối ngẫu HomK(V,K)=K* 2.2.4 Thơng qua hoạt động ngoại khóa, giúp sinh viên củng cố kiến thức, có nhìn tổng qt tốn học Thơng qua hoạt động ngoại khóa, giúp người học có thêm niềm vui, hứng thú học tập GV lựa chọn câu chuyện nhà toán học phát minh thành tựu nào; sau giao cho SV thu thập tài liệu, chọn bạn biên soạn bạn trình bày 193 (Xem tiếp trang 224) VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt tháng 8/2018, tr 219-224 Từ kết đánh giá, GV xác định mức độ tiếp thu vận dụng kiến thức HS, từ điều chỉnh nội dung chủ đề cho phù hợp với cách tổ chức học tập kết HS Kết luận Việc xây dựng chủ đề tích hợp giáo dục SKVTN dạy học Sinh học giúp tổ chức, xếp lại nội dung kiến thức bị phân nhỏ tiết dạy, học thành mảng kiến thức có ý nghĩa có mối liên hệ với mảng kiến thức khác môn học mà HS vận dụng xem xét số vấn đề bối cảnh thực gắn với sống, nhờ mà học tập trở nên có ý nghĩa với chủ thể hình thành động cơ, hứng thú cho HS việc giải vấn đề Do vậy, cần nghiên cứu đánh giá cụ thể khía cạnh dạy học theo chủ đề để GV thuận tiện trình triển khai đạt mục tiêu giáo dục Hi vọng, quy trình ví dụ minh họa mà đưa giúp cho GV thực tốt Công văn số 5555/BGDĐTGDTrH Bộ GD-ĐT việc hướng dẫn sinh hoạt chuyên môn đổi phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá; có yêu cầu xây dựng chủ đề dạy học Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Kỳ Loan (2016) Giáo dục môi trường dạy học Sinh học trường trung học sở Luận án tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Lê Đình Trung - Nguyễn Thị Minh Nguyệt (2017) Tổ chức dạy học theo tiếp cận chủ đề phần Cơ thể người vệ sinh trường trung học sở Tạp chí Giáo dục, số 417, tr 48-50 [3] Hoàng Phê (chủ biên, 2008) Từ điển Tiếng Việt NXB Đà Nẵng [4] Ngô Thị Ngọc Mai - Trần Trung Ninh (2014) Phát triển lực khoa học cho học sinh từ việc nâng cao lực dạy học tích hợp cho giáo viên sinh viên sư phạm Hóa học Kỉ yếu Hội thảo quốc gia Nâng cao lực đào tạo giáo viên dạy tích hợp mơn Khoa học tự nhiên trường đại học sư phạm, tr 102-108 [5] Nguyễn Phương Chi - Nguyễn Thị Hồng Phương (2017) Quy trình xây dựng tổ chức dạy học tích hợp theo chủ đề Tốn học - Hóa học - Sinh học trường trung học phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 398, tr 53-57 [6] Bộ Giáo dục Đào tạo (2017) Chương trình giáo dục phổ thơng - Chương trình tổng thể [7] Phạm Minh Diệu (2016) Vận dụng quy trình học theo mơ hình trường học Việt Nam (VNEN) vào việc thiết kế quy trình học đại học theo định hướng phát triển lực cho sinh viên Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 3, tr 168-169; 175 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ (Tiếp theo trang 193) buổi sinh hoạt ngoại khóa Các SV khác trao đổi rút học cho thân Tuy nhiên, nhà tốn học đề cập q trình họ phát minh thành tựu mà đưa kết sau hồn chỉnh Trong “Tâm lí học phát minh sáng tạo lĩnh vực toán học”, Jacques Hadamard trình bày đường dẫn tới phát minh toán học với dẫn chứng cụ thể, sinh động Thơng qua hoạt động ngoại khóa, giúp sinh viên hiểu rõ vai trị tốn học đời sống, toán gắn với thực tiễn, hiểu thêm lịch sử Toán học, Các kiến thức sở giúp SV sư phạm biết hướng dẫn học sinh tiếp cận lực giải vấn đề, mơ hình hóa tốn học, phát triển tư duy, rèn kĩ giao tiếp toán học, trình giảng dạy sau Bên cạnh đó, hoạt động ngoại khóa giúp SV củng cố kiến thức học, nâng cao hiệu học tập tích cực tham gia hoạt động khác Ngồi ra, cịn giúp SV phát triển kĩ mềm khác như: làm việc nhóm, thuyết trình, lãnh đạo kĩ xử lí tình Kết luận Các biện pháp đề xuất có mối liên hệ mật thiết với GV cần thực biện pháp thường xuyên, liên tục tùy vào nội dung cụ thể để đạt hiệu cao giảng dạy TCC Tuy nhiên, cần kết hợp linh hoạt với phương pháp dạy học khác, bổ sung điều chỉnh biện pháp cho phù hợp với thực tiễn trình độ SV nhằm nâng cao hiệu dạy học TCC Tài liệu tham khảo [1] David Tall (2002) Advanced mathematical thinking Kluwer Academic Publishers [2] Nguyễn Văn Giám - Mai Quý Năm - Nguyễn Hữu Quang - Nguyễn Sum - Ngô Sĩ Tùng (1998) Toán cao cấp (tập 1) Đại số tuyến tính NXB Giáo dục (Chi nhánh Đà Nẵng) [3] Hồng Xuân Sính (2003) Đại số đại cương NXB Giáo dục [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999) Đại số đại cương NXB Giáo dục [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001) Đại số tuyến tính NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Bá Kim (2006) Phương pháp dạy học môn Toán NXB Đại học Sư phạm [7] Lê Văn Hồng - Lê Ngọc Lan - Nguyễn Văn Thàng (2001) Tâm lí học lứa tuổi tâm lí học sư phạm NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 224 ... thức Toán cao cấp cho sinh viên Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An 2.2.1 Phát triển lực trí tuệ cho sinh Sư phạm ngành Toán dạy học Toán cao cấp Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An. .. nâng cao chất lượng dạy học kiến thức TCC cho SV Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, biện pháp nâng cao lực trí tuệ cho SV 2.2 Đề xuất số biện pháp nâng cao hiệu dạy học kiến thức. .. vậy, để nâng cao chất lượng dạy học kiến thức TCC cho SV Sư phạm ngành Toán Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, biện pháp nâng cao lực trí tuệ cho SV Theo Tommy Dreyfus Ed Dubinsky [1], quan điểm tâm