Vài vấn đề cơ bản của hàm nhiều biến phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LƯ THANH HÃN VÀI VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LƯ THANH HÃN VÀI VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN PHỨC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn sâu sắc nhất, tơi xin trân trọng kính gởi PGS.TS Đậu Thế Cấp, TS Nguyễn Văn Đơng tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn Tôi xin cám ơn tất q Thầy giảng dạy tơi suốt q trình học Cao học, xin cám ơn quý Thầy cô Hội đồng Khoa học đọc có ý kiến quý báu Sau cùng, xin chân thành cám ơn đến q Thầy Phịng Khoa Học Cơng Nghệ & Sau Đại Học Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu, q Thầy tổ Tốn – Tin Trường THPT Bắc Bình người thân động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi cơng việc để tơi thuận lợi q trình học làm luận văn Bắc Bình, ngày 15 tháng 10 năm 2011 Lư Thanh Hãn MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN T T MỤC LỤC T T MỞ ĐẦU T T 1.Lý chọn đề tài: T T 2.Mục đích nghiên cứu: T T 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu: T T 4.Ý nghĩa khoa học thực tiễn: T T 5.Cấu trúc luận văn: T T Chương Hàm chỉnh hình nhiều biến phức T T n 1.1.Không gian £ T hàm chỉnh hình T T T 1.2.Công thức tích phân Cauchy đa đĩa T T 1.3.Chuỗi lũy thừa 14 T T Chương Dạng Levi mở rộng Hartogs 18 T T 2.1.Hàm điều hòa 18 T T 2.2.Dạng Levi 28 T T 2.3.Trung bình loga bán kính Taylor hàm chỉnh hình 35 T T Chương Miền chỉnh hình miền giả lồi 40 T T 3.1.Miền chỉnh hình 40 T T 3.2.Miền giả lồi 46 T T KẾT LUẬN 53 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 T T Trang MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Những tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến phức tảng ban đầu để tiếp tục nghiên cứu vấn đề sâu lý thuyết hàm nhiều biến phức Tôi chọn đề tài để bước đầu tìm hiểu thác triển hàm chỉnh hình nhiều biến phức, lĩnh vực quan tâm nhà tốn học giới 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu thác triển chỉnh hình nhiều biến phức qua việc miền hội tụ chuỗi lũy thừa hàm nhiều biến phức, mối liên hệ miền chỉnh hình miền giả lồi 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, nghiên cứu số vấn đề hàm nhiều biến phức liên quan đến hàm chỉnh hình, hàm đa điều hịa dưới, miền chỉnh hình miền giả lồi 4.Ý nghĩa khoa học thực tiễn: Luận văn tài liệu tham khảo để hiểu thêm thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình nhiều biến, vấn đề hàm nhiều biến phức 5.Cấu trúc luận văn: Nội dung luận văn trình bày theo chương: Trang Chương 1: Trình bày khái niệm tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến phức, đặc biệt ta quan tâm việc biểu diễn chúng dạng tích phân Cauchy dạng chuỗi lũy thừa Chương 2: Trình bày dạng Levi hàm thuộc lớp C miền £ n sử dụng để chứng minh kết thác triển chỉnh hình Nêu khái niệm trung bình loga bán kính Taylor hàm chỉnh hình, kiến thức hàm điều hịa dưới, đa điều hòa mối liên hệ tính chỉnh hình theo biến chỉnh hình tồn cục Chương 3: Trình bày khái niệm, tính chất miền chỉnh hình, miền giả lồi mối liên hệ hai miền Trang Chương Hàm chỉnh hình nhiều biến phức Chương trình bày khái niệm tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến phức, đặc biệt ta quan tâm việc biểu diễn chúng dạng tích phân Cauchy dạng chuỗi lũy thừa Nội dung chương định lý 1.3.7, miền Reinhardt đầy đủ, lồi loga miền hội tụ chuỗi lũy thừa Nhắc lại số kí hiệu Tập hợp số tự nhiên: ¥ = Tập hợp số thực: ¡ , ¡ { 0, 1, 2, }, ¥ ∗ = ¥ \ {0} = {x ∈ ¡ : x > } + Tập hợp số phức: £ 1.1.Không gian £ n hàm chỉnh hình Định = z nghĩa 1.1.1 ( z1 , , zn ) ∈ £ × ⋅⋅⋅ × £ Ta gọi khơng gian gồm điểm không gian £ n Đặc biệt n = £ n ≡ £ : mặt phẳng phức Khi ta đồng ¡ 2n ( x, y ) % £ n xác định hàm: → a z= x + iy (1.1.1) x1 , , xn ) , y ( y1 , , , y ) ∈ ¡ n , x (= ( x= yn ) (n ∈ ¥ ) ∗ Trong phép tương ứng (1.1.1), ta viết y = Re z y = Im z Định nghĩa 1.1.2 = Mọi z nghĩa ( z1 , , zn )∈ £ n , z j ∈ £ ; ≤ j ≤ n Ta định Trang { } • z max z j ; ≤ j ≤ n mơ đun z = • z= x − iy liên hợp z £ n Định nghĩa 1.1.3 • Hàm l : £ n → £ gọi ¡ - tuyến tính (tương ứng £ - tuyến tính) i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), ∀z, z ' ∈£ n ; ii) l (λ= z ) λ l ( z ), ∀λ ∈ ¡ , ∀z ∈ £ n (tương ứng ∀λ ∈ £ , ∀z ∈ £ n ) • Hàm f : Ω → £ , với Ω tập mở £ n , gọi ¡ 2n - khả vi (tương ứng £ n - khả vi) z ∈Ω tồn ánh xạ ¡ - tuyến tính l : £ n → £ (tương ứng £ - tuyến tính) cho f ( z + h )= f ( z ) + l ( h ) + ϕ ( h ) với Ta chứng minh được, f ¡ đó: 2n ϕ (h) h → h → - khả vi Ω df = ∂f + ∂ f , n ∂f ∂f dz j ∂ f = ∑ dzj j =1 ∂z j j =1 ∂ z j n ∂f = ∑ Định nghĩa 1.1.4 • Hàm f ∈ C ( Ω ) gọi chỉnh hình (giải tích) z0 ∈£ n £ n - khả vi điểm thuộc lân cận z0 • Hàm f ∈ C ( Ω ) gọi (giải tích) chỉnh hình theo biến chỉnh hình với biến biến cịn lại cố định • Hàm f ∈ C ( Ω ) gọi hàm chỉnh hình (hàm giải tích) df = ∂f , nghĩa f thỏa hệ phương trình ∂ z j f = 0, j = 1, , n Tập hợp hàm chỉnh hình Ω kí hiệu hol ( Ω ) (1.1.2) Trang Hệ phương trình (1.1.2) gọi hệ Cauchy – Riemann (viết tắt hệ C-R) Như vậy, df cách tổng quát ánh xạ ¡ - tuyến tính, trường hợp ánh xạ £ - tuyến tính, nghĩa ta có sơ đồ giao hoán sau df ¡ n  →¡ n P P (1.1.3) ∂f £ n  →£ Nếu phân tích= f Re f + i Im f , hệ C-R hệ gồm 2n phương trình thực ∂ x j Re f − ∂ y j Im f =0  ∂ y j Re f + ∂ x j Im f =0 j = 1, , n Định lý 1.1.5 Cho f ( z ) = ( f j ( z ) ) ( cận z0 , ta giả thiết det ∂ zi f j g ( z ) = ( g j ( z )) j =1, ,n ) ji j =1, ,n (1.1.4) hàm giải tích lân ≠ z0 Khi tồn hàm giải tích lân cận w0 = f ( z0 ) cho g o f = id Chứng minh Ta tăng gấp đôi biến z ∈£ n thành cặp ( z, w ) ∈ £ n × £ n chứng minh cho trường hợp tổng quát Cho hàm giải tích h : £ n ×£ m → £ n,h = ( h j ( z, w ) ) j , giả sử h = det ( ∂ z h ) ≠ ( z0 , w0 ) , hệ phương trình ( h ( z, w ) ) j j =1, ,n = có nghiệm giải tích z = ( z j ) ( w ) lân cận w0 với z ( w0 ) = z0 Điều suy kết định lý xét m = n h= w j − f j ( z ) Ta cần chứng tỏ dh j = j dwk = với j = 1,…,n k = 1,…,m kéo theo dz =j 0,= j 1, , n : điều xảy det ( ∂ z h ) ≠ Do theo định lý hàm ẩn, phương trình h j = xác định nghiệm z = ( z j ) ( w ) lân cận w0 với z ( w0 ) = z0 Từ Trang nghiệm z ( w ) này, đồng thức dh = ∂ z hdz + ∂ w hdw = suy dz j tổ hợp dwk , z j hàm chỉnh hình W 1.2.Cơng thức tích phân Cauchy đa đĩa Cho z = ( z10 , , zn0 ) điểm £ n r = ( r1 , , rn ) n-bán ( ) kính ¡ + n Ta kí hiệu ∂ P= { z j − z 0j = rj , j= 1, , n } Định nghĩa 1.2.1 Cho ∆ z0r = { z j ∈ £ : z j − z 0j < rj } đĩa tâm z 0j j j Pz0r bán kính rj Ta định nghĩa = ∏ j =1, ,n ∆ z0r đa đĩa tâm z n-bán kính r j j Định lí 1.2.2 Cho f hàm liên tục đa đĩa P hàm chỉnh hình theo biến z j , với j, cố định biến zk với k ≠ j Khi đó: với z ∈ P ta có f (z) f (ς ) −n dς ∧ ∧ d ς n ( 2π i ) ∫ ς − z1 ) ⋅ ⋅ (ς n − zn ) ∂ P( (1.2.1) Chứng minh • Ta chứng minh quy nạp theo n chiều không gian £ n Với n = 1, để đơn giản kí hiệu, ta giả sử z = r = , P trùng với đĩa đơn vị ∆ Để chứng minh định lí ta cần đến bổ đề sau Bổ đề 1.2.3 Cho g ∈ C ( ∆ ) , với z ∈ ∆ ta có g ( z )= ∂ ς g (ς )   g (ς ) ς + ς ∧ ς d d d ∫  ∫∫∆ ς − z ς −z 2π i  ∂∆  (1.2.2) Trang 41 Định nghĩa 3.1.1 Một miền Ω ⊂ £ n gọi miền chỉnh hình với điểm biên z0 ∈∂Ω mà tồn f z0 ∈ hol ( Ω ) không mở rộng vượt qua ∂Ω z0 Mọi miền Ω £ miền chỉnh hình (có f z0 = hàm z − z0 tới hạn điểm khác z0 ∈∂Ω ) Định nghĩa 3.1.2 Nếu K  Ω ta định nghĩa Ω - bao chỉnh hình µΩ=  z ∈ Ω : f ( z ) ≤ sup f ∀f ∈ hol (Ω)  K K   K   µΩ ⊂ K µΩ , bất chấp việc lựa chọn Ω dẽ Nếu Ω1 ⊂ Ω K µΩ ln chứa bao dàng kiểm tra trường hợp tập hợp K µ Thật vậy, cho K chứa H , nửa khơng gian lồi mà ta kí hiệu K z0 ,ζ chứa z0 với pháp tuyến ζ : K ⊂ {z : Re z − z0 , ζ ≤ 0} Ở ⋅, ⋅ tích hecmit £ n định nghĩa z, ζ = ∑ j z jζ j Bổ đề 3.1.3 rfu inf rfu = inf ∧ K (3.1.1) KΩ Chứng minh Chiều “ ≥ ” hiển nhiên Chiều ngược lại “ ≤ ”, giả sử r < inf rfu Khi ta có K ∂νu f ( w ) ≤ ν ! r −ν với w ∈ K ν ≥ ν (3.1.2) µΩ ∂ν f ∈ hol ( Ω ) , ta có đẳng thức (3.1.2) Từ định nghĩa K u µΩ Điều kéo theo r < inf r u với w ∈ K f KΩ Bổ đề 3.1.4 Cho Ω miền chỉnh hình Khi W Trang 42 d ( z, ∂Ω ) = u∈S inf n −1 , f ∈hol ( Ω ) rfu ( z ) , S n −1 mặt cầu 2n – chiều thực £ n Chứng minh Chiều “ ≤ ” suy từ bất đẳng thức Cauchy Ngược lại, Ω miền chỉnh hình, r > d ( z, ∂Ω ) phải tồn f ∈ hol ( Ω ) cho f ∉ hol ( n ( z, r ) ) ( n ( z , r ) cầu tâm z bán kính r £ n ) Do mệnh đề 2.3.3 nên phải tồn u cho rfu ( z ) < r W µΩ ln đóng Ω không thiết compact Ω Tập K Tuy nhiên, điều xảy Ω miền chỉnh hình Chính xác hơn, kí hiệu d khoảng cách ơclit ta có định lí sau: Định lí 3.1.5 Cho Ω miền chỉnh hình K  Ω tập compact Khi ( ) µΩ , ∂Ω d ( K= , ∂Ω ) d K Chứng minh Áp dụng bổ đề 3.1.3.và 3.1.4 ta có: d (K = , ∂Ω ) inf d ( z, ∂Ω ) z∈K = inf inf rfv ( z ) z∈K v , f = inf inf rfv ( z ) µ z∈K Ω v , f ( ) µΩ , ∂Ω = d K W Định nghĩa 3.1.6 Một miền Ω gọi lồi chỉnh hình với µΩ compact Ω tập K compact Ω tập K Trang 43 Đặc biệt, định lý 3.1.5 nói “một miền chỉnh hình lồi chỉnh hình” µΩ ⊂ K µ dẫn đến miền lồi lồi chỉnh hình Tính lồi chỉnh Hơn nữa, K hình ổn định qua phép giao Mệnh đề 3.1.7 Nếu Ω j miền lồi chỉnh hình với j giao Ω= I j Ω j lồi chỉnh hình Chứng minh Ta có ( ) ( µΩ , ∂Ω µΩ , ∂Ω ≥ d K d K j j j = d ( K , ∂Ω j ) , ) (3.1.3) µΩ ⊃ K µΩ đẳng bất đẳng thức sinh từ bao hàm thức K j thức thứ hai hệ định lí 3.1.5 Nếu ta lấy “ inf ” (3.1.3) j ta kết luận ( ) µΩ , = d K ∂Ω d ( K , ∂Ω ) (3.1.4) W Định lí 3.1.8 Các tính chất sau tương đương i) Ω miền lồi chỉnh hình ii) Ω miền chỉnh hình iii) Tồn f ∈ hol ( Ω ) mà khơng mở rộng chỉnh hình tới tập lớn Ω ⊃ Ω Chứng minh iii) ⇒ ii) rõ ràng ii) ⇒ i) chứng minh định lý 3.1.5 Bây ta chứng minh i) ⇒ iii) Thật vậy, cho P đa đĩa với tâm kí hiệu Pz với z ∈Ω đa đĩa “dạng P” lớn tâm z chứa Ω Do đó, Pz= z + rP với r > thích hợp Pz cắt ∂Ω Trang 44 điểm Cho T ⊂ Ω trù mật đếm được: ta muốn xây dựng hàm f ∈ hol ( Ω ) mà khơng thể thác triển đến lân cận Pz với z ∈ T Cho z1 , z2 , dãy T mà số hạng lặp lại T vô hạn lần K  K dãy tập compact Ω cho tập ¶ j  Ω nên tồn compact Ω thuộc K j Do K Ω ¶ ζ j ∈ Pz cho ζ j ∉ K j Ω Đặc biệt, tồn hàm f j ∈ hol ( Ω ) cho j sup f j < f j (ζ j ) Bằng việc thay f j lũy thừa nó, ta Kj giả sử = f j (ζ j ) 1, sup f j < − j Kj Ta giả sử f j (ζ j ) ≠ thành phần Ω Định nghĩa = f +∞ ∏ (1 − f ) j =1 j j tích hội tụ K l ∑ j2 −j < +∞ xác định hàm chỉnh hình f Ω Hàm có khơng điểm cấp j ζ j Vì khơng có mở rộng tới lân cận Pz với z ∈ T có khơng điểm cấp vơ hạn đồng thành phần Ω Không điểm cấp vô hạn giới hạn dãy ξ jk z jk dãy mà z lặp lại vô hạn lần Các giới hạn trù mật ∂Ω T trù mật W Chú ý 3.1.9 Mệnh đề 3.1.7 kết hợp với định lí 3.1.8 đảm bảo phần giao miền chỉnh hình miền chỉnh hình Đặc biệt, Ω miền chỉnh hình với điểm biên z0 tồn hệ lân cận {B}sao cho B I Ω miền chỉnh hình Trang 45 Ví dụ 3.1.10 Cho Ω “khối đa diện chỉnh hình” có dạng = Ω {z : f j }