Luận văn sư phạm Bất biến topo và không gian tựa điểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ĐỨC BẰNG Ωϕ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CÁM ƠN Được giảng dạy nhiệt tình quý báu thầy khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thời gian gần ba năm qua, hoàn tất chương trình cao học Toán chuyên ngành Hình học Tôpô Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy Ngoài ra, nhận quan tâm giúp đỡ phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học nhà trường Tôi biết ơn quan tâm giúp đỡ Đặt biệt, trình học tập, nghiên cứu thực luận văn này, nhận nhiều hướng dẫn, giúp đỡ, giảng dạy tận tình TS Nguyễn Hà Thanh, người dẫn dắt bước chân đường nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi đến thầy lòng kính trọng biết ơn sâu sắc Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ủng hộ động viên, khích lệ thời gian qua TP Hồ Chí Minh ngày 25 tháng 06 năm 2006 Nguyễn Đức Bằng MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu …………………………………………………….1 Chương : Kiến thức chuẩn bị …………………………………………………….4 1.1 Không gian vectơ tôpô …………………………………………………….4 1.2 Dãy khớp ………………………………………………….15 Chương : Không gian tựa định chuẩn ………………………………………………….17 2.1 Định nghóa ………………………………………………….17 2.2 Một số tính chất ………………………………………………….18 2.3 Một số định nghóa ………………………………………………….21 2.4 Định lý ………………………………………………….25 Chương : Tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình ………………………………………………….34 3.1 Các định nghóa kết liên quan ………………………………………………….34 3.2 Nội dung ………………………………………………….39 Kết luận ………………………………………………….49 Tài liệu tham khảo ………………………………………………….51 MỞ ĐẦU Khi xét mối liên quan dãy không gian vectơ đồng cấu f' g' f g → E ⎯⎯ → F ⎯⎯ → G → (1) dãy đối ngẫu → E ' ⎯⎯→ F ' ⎯⎯→ G ' → (2) , người ta chứng minh “ dãy (1) khớp dãy (2)” khớp Tuy nhiên, không gian lồi địa phương ánh xạ liên tục liệu tính chất tôpô hai dãy có tính ổn định hay không? Người ta chứng minh không gian E, F, G có số tính chất đặc biệt toán nói giải quyết, số có lớp không gian tựa định chuẩn Lớp không gian lồi địa phương tựa định chuẩn lần giới thiệu nghiên cứu Grothendieck Các không gian có tính chất ổn định tốt Nó bao gồm không gian Banach, không gian Schwartz Vào đầu năm 80, Valdivia Beirstedt, Meise Summer với nghiên cứu độc lập đưa kết đặc trưng không gian tựa định chuẩn không gian Frechet – Kother Λ(A) Gần đây, Meise Vogt đưa đặc trưng quan trọng tính chất tựa định chuẩn không gian Frechet thông qua bất biến tôpô tuyến tính (Ωϕ) nghiên cứu Vogt Wagner Tính tựa định chuẩn số không gian hàm chỉnh hình nghiên cứu nhiều tác giả, đặc biệt Dineen Năm 1997, D Garcia J Mujia cách dùng điều kiện hội tụ Mackey chặt để khảo sát tính tựa định chuẩn không gian hàm chỉnh hình Trong luận văn trình bày số tính chất không gian tựa định chuẩn, đồng thời xét tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Nội dung luận văn gồm ba chương : ™ Chương : Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian lồi địa phương dãy khớp để chuẩn bị cho chương sau ™ Chương : Không gian tựa định chuẩn Để tìm điều kiện cho dãy đối ngẫu dãy khớp ngắn không gian Frechet khớp tôpô xét lớp không gian tựa định chuẩn Trong chương kết định lý sau : “ Đối với không gian Frechet E, F, G, dãy khớp ngắn f g → E ⎯⎯ → F ⎯⎯ → G → (1) ( f, g ánh xạ tuyến tính liên tục ) Các khẳng định sau tương đương: E không gian tưa định chuẩn Với tập bị chặn B G, tồn tâp bị chặn M F cho g(M) = B f' g' → Fβ' ⎯⎯ → Eβ' → khớp tôpô ” Dãy → Gβ' ⎯⎯ ™ Chương : Tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Trong chương này, dựa vào kết đặc trưng không gian Frechet tựa định chuẩn Meise – Vogt để nghiên cứu tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Kết phần hai định lý sau : • Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H (K)] ' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E • Định lý : Cho S : E → F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn E vào không gian Frechet – Hilbert  F ∈ (DN) vaø S : H(OF ) → H(OE ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm  sinh S Khi đó, S ' : [H(OE )]' → [H(OF )]' laø toaøn ánh Các kết vấn đề thời nhận quan tâm nhiều nhà toán học Các toán không gian tựa định chuẩn nghiên cứu ngày sâu sắc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường K, τ tôpô E Khi đó, ( E,τ ) gọi không gian vectơ tôpô : i ) ( E, τ ) không gian tôpô tách ii) Các ánh xạ sau liên tục : E → E ( x, y ) x+ y ; K×E → E (α , x ) αx Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường K, tập U ⊂ E • Tập U gọi lồi ( convex ) : ∀x, y ∈U, ∀λ∈[0; 1] ta coù λx + ( 1-λ )y ∈U • Tập U gọi hấp thụ ( absobent ) neáu : ∀x∈E , ∃λ0 > cho ∀λ ∈ K, |λ| ≥ λ0 ⇒ x ∈ λU • Tập U gọi cân đối ( balance ) neáu : ∀α ∈ K, |α| ≥ ⇒ αU ⊂ U Định nghóa : Không gian vectơ tôpô gọi lồi địa phương có sở lân cận gốc O gồm tập lồi Trong tài liệu ta gọi lân cận gốc O lân cận Mệnh đề : Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương có sở lân cận lồi, cân đối, hấp thụ đóng Định nghóa : Cho U tập lồi, hấp thụ, cân đối không gian vectơ E trường R Ánh xạ pU : E → R, pU ( x ) = inf {t > : x ∈ tU } gọi hàm Minkowski ( hàm cỡ ) tập U Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường R Ánh xạ p : E → R gọi nửa chuẩn : i) p(x + y)≤ p (x) + p(y), ∀x,y∈E ii) p(αx) = |α|.p(x), ∀α∈R, ∀x∈E Ánh xạ p : E → R gọi phiếm hàm lồi : i) p(x + y)≤ p (x) + p(y), ∀x,y∈E ii) p(αx) = α.p(x), ∀α≥0, ∀x∈E Mệnh đề : Nếu E không gian vectơ tôpô lồi địa phương, U lân cận lồi, cân đối, hấp thụ điểm gốc O : i) Hàm Minkowski pU nửa chuẩn liên tục E ii) U = {x ∈ E : pU ( x ) < 1} ⊂ U ⊂ {x ∈ E : pU ( x ) ≤ 1} = U 0 U ⊂ U iii) Định nghóa : Cho E không gian vectơ tôpô lồi địa phương, họ U gồm lân cận điểm gốc O E gọi hệ lân cận gốc với lân cận U O, tồn V ∈ U ε > cho εV ⊂ U Một họ {pα }α∈A nửa chuẩn liên tục E gọi hệ nửa chuẩn họ {Uα = { x ∈ E , pα ( x ) < 1}}α∈A lập thành hệ lân cận điểm gốc Mệnh đề : Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương E có hệ nửa chuẩn {pα }α∈A Mỗi hệ nửa chuẩn {pα }α∈A có tính chất : i) ∀x ∈ E , x ≠ O, ∃α ∈ A : pα ( x) > ii) ∀α , β ∈ A, ∃γ ∈ A, c > cho max {pα (.), p β (.)} ≤ c pγ (.) Mệnh đề : Cho E không gian vectơ {pα }α ∈A họ nửa chuẩn E thoả i) ii) mệnh đề 1.3 tồn tôpô lồi địa phương E cho {pα }α∈A hệ nửa chuẩn Định lý : Cho E F không gian vectơ tôpô lồi địa phương , {pα }α∈A hệ nửa chuẩn E, {qβ }β∈B hệ nửa chuẩn F, f : E → F ánh xạ tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau tương đương : i) f liên tục E ii) f liên tục điểm gốc O E iii) ∀β ∈ B, ∃α ∈ A, c > cho qβ ( f ( x )) ≤ c pα ( x ), ∀x ∈ E Định nghóa : Một không gian vectơ tôpô lồi địa phương mà tôpô xác định họ nửa chuẩn {pα }α∈A hữu hạn đếm thoả điều kiện tách sau gọi không gian đếm đïc chuẩn ∀x ≠ O, ∃α ∈ A : pα ( x) > Định lý : Các mệnh đề sau tương đương : i) E không gian đếm chuẩn ii) E không gian lồi địa phương có sở lân cận đếm iii) E không gian lồi địa phương mê-tríc hoá Định nghóa : Một không gian đếm chuẩn đầy đủ gọi không gian Frechet Định lý : Trong không gian Frechet, tập V lồi, cân đối, hấp thụ, đóng lân cận gốc Định lý :( định lý ánh xạ mở ) Nếu f toàn ánh liên tục từ không gian Frechet E vào không gian Frechet F f ánh xạ mở 38 3.1.3 Bất biến tôpô : Giả sử E không gian Frechet với hệ tăng nửa chuẩn { i k }k∈N Với tập B ⊂ E, ta định nghóa : i B : E ' → [ 0; +∞ ] , u * * B = sup { u(x) : x ∈ B} , ∀u ∈ E' Ta vieát i q thay cho i U , U q = {x ∈ E : x q ≤ 1} Ta nói : * * q • E có tính chất (Ω) : ∀p, ∃q, ∀k, ∃d, C > : i *1+d q * ≤ C i k i *d p • E có tính chất (DN) neáu : ∃p, ∀q, d > 0, ∃k, C > : i 1+d q ≤ C i k i d p • Cho ϕ : (0; ∞) → (0; ∞) hàm tăng nghiêm ngặt, E có tính chất (Ωϕ) với sở lân cận gồm tập lồi tuyệt đối (Un )n∈N O ∈ E ta coù : ∀p, ∃q, ∀k, ∃C > 0, ∀r > :U q ⊂ C.ϕ (r)U k + Up r Nhận xét : ¾ (Ωϕ) bất biến tôpô tuyến tính di truyền lên không gian thương ¾ Bằng cách lấy đối cực, ta có : E có tính chất (Ωϕ) : * ∀p, ∃q, ∀k, ∃C > 0, ∀r > : i q ≤ C.ϕ (r) i * k + i r * p Mệnh đề : Nếu E không gian lồi địa phương mêtríc hoá tựa định chuẩn tồn hàm ϕ : (0; ∞)→ (0; ∞) tăng nghiêm ngặt để E có tính chất (Ωϕ) 39 3.2 Nội dung : 3.2.1 Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H (K)] ' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau : 3.2.1.1 Bổ đề : Cho E không gian Frechet Khi đó, E tựa định chuẩn tồn không gian Banach B không gian Frechet – Kothe hạch Λ(A) cho E’ đẳng cấu với không gian B⊗π Λ '( A) Chứng minh : Điều kiện đủ : Giả sử E’ đẳng cấu với không gian B⊗π Λ '( A) , B không gian Banach Λ(A) không gian Frechet – Kothe hạch Khi đó, E’’ đẳng cấu với không gian thương [B⊗π Λ '( A)]' ≅ B ' ⊗π Λ( A) E’’ tựa định chuẩn Suy E tựa định chuẩn : u k = sup { v(u) : v ∈ U 00 k ⊂ E ''} , ∀u ∈ E' * U k = {x ∈ E : x k ≤ 1} Điều kiện cần : Giả sử E tựa định chuẩn Ta xét phép giải tắc : R → E ⎯⎯ → ∏ Ek ⎯⎯ → ∏ Ek → k ∈N k ∈N 40 R ánh xạ tuyến tính liên tục R ( ( xk ) k∈N ) = (τ kk+1 ( xk +1 ) − xk )k∈N với τ kk+1 : Ek +1 → Ek ánh xạ tắc Do E tựa định chuẩn nên không tính tổng quát ta giả sử tập bị chặn Ek xấp xỉ tập bị chặn Ek+1 Từ suy tập bị chặn ∏E k ∈N ∏E k ∈N k k ảnh tập bị chặn qua ánh xạ R Bằng cách cải tiến lý luận [5] suy E đẳng cấu với không gian thương B'⊗π Λ( A) E’ đẳng cấu với không gian cuûa [B'⊗π Λ( A)]' ≅ B⊗π Λ '( A) , B Λ(A) không gian cần tìm 3.2.1.2 Bổ đề : Cho E không gian Frechet Khi E tựa định chuẩn E’’ không gian tựa định chuẩn Chứng minh : Cho W lân cận O ∈ E’’ Khi đó, tồn lân cận U cuûa O ∈ E cho U00 ⊂ W Do E tựa định chuẩn nên có lân cận V O ∈ E cho với ε > tồn tập bị chặn M thỏa : V ⊂ M + εU Theo định lý song đối cực ta coù : V00 ⊂ Clσ(E,E’)( M + εU) ⊂ M00 + εU00 ⊂ M00 + εW Vậy E’’ tựa định chuẩn 41 3.2.1.3 Bổ đề : Cho E không gian lồi địa phương F không gian Banach Giả sử U V lân cận lồi, cân đối O ∈ E cho V ⊂ U ánh xạ tắc ω : EV → EU hạch ( EU, EV không gian Banach liên kết với U, V ) Khi đó, { f ∈ L ( E , F ) : f U ≤ 1} tôpô L(E,F) trùng với tôpô hội tụ V Chứng minh : Do ω : EV → EU ánh xạ hạch nên ta chọn {an } ⊂ E 'V , {y n } ⊂ EU cho ∑a n n ≥1 < ∞ vaø ω ( x ) = ∑ an ( x ) yn hội tụ x U với x ∈ E n ≥1 Laáy { fα } ⊂ L (E , F ) : fα U ≤ vaø fα → L(E,F) Với ε > ta chọn nε ≥ cho ∑ n > nε an < ε Khi đó, ta chọn α0 cho với α > α0 : sup { fα ( x ) : x ∈ V } ≤ ∑ 1≤ n ≤ nε an fα ( yn ) + ∑ an < 2ε n > nε 3.2.1.4 Bổ đề : Cho B không gian Banach E không gian Frechet hạch Khi đó, [H(OB ⊗ E )]' tựa định chuẩn π Chứng minh : Do B⊗π E tựa định chuẩn nên theo [9] ta coù H(OB ⊗ E ) ≅ F ' ( F π không gian Frechet ) Cho nên ta cần chứng minh { f ∈H ∞ (conv(W ⊗ U k )) : f ≤ 1} tôpô H(O B ⊗π E ) trùng với tôpô H ∞ (conv(W ⊗ Uk+1 )) , W cầu đơn vị B 42 Laáy { fα } ⊂ H ∞ (conv(W ⊗ Uk )), fα ≤ vaø fα → H(OB ⊗ E ) π Với α ta xét khai triển Taylor fα ∈ B⊗π E treân conv(W ⊗ Uk ) fα (ω ) = ∑ Pn fα (ω ) n ≥1 ñoù Pn f (ω ) = 2π i ∫ λ f (λω ) λ n +1 =1 dω với ω ∈ conv(W ⊗ Uk ) Không tính tổng quát, giả sử 2Uk+1 ⊂ Uk Khi đó, với ε > tồn taïi nε ≥ cho ∑ n > nε Pn fα conv (W ⊗Uk +1 ) < ε , ∀α Việc lại, ta chứng minh Pnfα hội tụ ∈ conv(W ⊗ Uk+1 ) với n ≥ ( Điều kết trực tiếp bổ đề 3.2.1.3 P n (B⊗π Eq ) đẳng cấu với không gian (( B⊗π E )⊗π ⊗π (B⊗π E ))' ≅ (B⊗π ⊗π B)' ⊗π ( E ⊗π ⊗π E )' n n n ≅ L ( E ⊗π ⊗π E ,( B⊗π ⊗π B)') n n không gian sau tựa định chuẩn 3.2.1.5 Chứng minh định lý : Theo [12] tìm ánh xạ tuyến tính liên tục R : B⊗π Λ( A) → E B không gian Banach, Λ(A) không gian Frechet – Kothe hạch Lấy {Wk } sở lân cận ∈ B⊗π Λ( A) Khi đó, { R(Wk )} cho ta sở lân cận O ∈ E 43 Do H ∞ (R(Wk )) chứa H ∞ (U k ) không gian với k ≥ nên theo bổ đề 3.2.1.4 ta có [H(OF )]' tựa định chuẩn Bây giờ, ta lấy tập compact K E Do E tựa định chuẩn nên theo Mujica [9], ta có [H (K)]' ≅ F ' ( F không gian Frechet ) Cũng theo [12] ta cần chứng minh điều sau : ∀p, ∃q, ∀k, ∃C > 0, ∀r > : i K+U q ≤ C.ϕ (r) i K+U k + i r K+U p treân H ∞ (K + U p ) ϕ hàm số dương tăng mạnh Điều rõ ràng [H(OF )]' tựa định chuẩn 3.2.2 Định lý : Cho S : E → F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn E vào không gian Frechet – Hilbert F ∈ (DN) S : H(OF ) → H(OE ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm sinh S Khi ñoù, S ' : [H(OE )]' → [H(OF )] ' toàn ánh Để chứng minh định lý ta cần có số bổ đề sau : 3.2.2.1 Bổ đề : Cho B không gian Banach với cầu đơn vị W E không gian Frechet hạch Khi đó, với p ≥ tồn q > p cho với k > p ảnh ánh xạ hạn chế Rkp : [H ∞ (conv(W ⊗ Uk ))]' → [H ∞ (conv(W ⊗ Up ))]' trù mật ImRqp 44 Chứng minh : Giả sử {• } ∞ k k =1 hệ nửa chuẩn E cho ánh xạ tắc Ek +1 → Ek hạch với k ≥ Lấy p ≥ chọn q = p + , ta chứng minh ImRkp trù mật ImRqp với k ≥ p Thật vậy, lấy µ ∈ [H ∞ (conv(W ⊗ Up ))]' vaø ε > Với f ∈ H ∞ (conv(W ⊗ Up )) , f H ∞ (conv(W ⊗U p )) ≤ có khai triển Taylor ∈ conv(W ⊗ Up ) laø: f ( z) = ∑ Pn f ( z) ; Pn f ( z) = n≥ Ta choïn m ≥ cho ∑ n>m Pn f H ∞ (conv(W⊗U p )) 2π i < ∫ λ =1 f (λ z ) λ n +1 dλ ε , < δ < chọn µ cho Uq ⊂ δUp Đặt µ = µ ∑ P ( n ( B ⊗π Eq ) 0≤ n ≤ m ( ) Do P n ( B⊗π Eq chứa [( B⊗π Eq )n ]' không gian nên ta giả sử µ ∈ ⎡ ⊕ [( B⊗π Eq )n ]'⎤ ' , Rqp µ0 − Rqp µ < ε ⎣ 0≤ n≤ m ⎦ Mặc khác, tính hạch ánh xạ Ek → Eq nên µ0 xấp xỉ µ1 ∈ ⎡ ⊕ [( B ⊗π Ek )n ]'⎤ ' [ ⊕ [(B⊗π Eq )n ]']' với Rkp µ1 − Rqp µ0 < ε ⎣ 0≤ n≤ m ⎦ n≥ Do : Rkp µ1 − Rqp µ < 2ε 45 3.2.2.2 Bổ đề : Nếu E không gian Frechet- Hilbert với E ∈ (DN) E đẳng cấu với không gian l (I )⊗π s ( I tập số s không gian dãy giảm nhanh ) Chứng minh : Chọn tập số I cho E đẳng cấu với không gian [l2 ]n Khi ta xét dãy khớp ngắn không gian Frechet haïch sau → s → s → ω → ( xây dựng Vogt [7] ) Bằng cách lấy tích tenxơ dãy với l ta dãy khớp n q → ⎡⎣l ⎤⎦ → khoâng gian Frechet – Hilbert : → l ⊗π s → l ⊗π s ⎯⎯ Đặt E = q −1 ( E ) q → E → dãy khớp không gian Frechet – Do → l2 ⊗π s → E ⎯⎯ Hilbert, l (I )⊗π s ∈ (Ω) E ∈ (DN), nên q có nghịch đảo phải Do đó, E đẳng cấu với không gian E suy E đẳng cấu với không gian l (I )⊗π s 3.2.2.3 Bổ đề : Cho E khoâng gian Frechet – Hilbert , E ∈ (DN) Khi đó, với p, tồn q ≥ p cho ảnh ánh xạ hạn chế Rkp : H ∞ (U p ) → H ∞ (Uk ) laø trù mật ImRqp với k ≥ p 46 Chứng minh : Theo bổ đề 3.2.2.2, E xem không gian l ( I )⊗π s với tập số I Do l ( I )⊗π s có hệ nửa chuẩn Hilbert nên để chứng minh bổ đề ta cần chứng minh trường hợp E ≅ l ( I )⊗π s Gọi {Uk} sở lân cận ∈ s Không tính tổng quát ta giả sử 2Uk+1 ⊂ Uk , ∀k ≥ Cho p ≥ 1, chọn q = p + Lấy f ∈ H ∞ (conv(W ⊗ Up )) coù khai trieån Taylor f ( z) = ∑ Pn f ( z) với Pn f ( z) = ∈ conv(W ⊗ Uk+1 ) là: chọn nε ≥ cho n≥ ∑ n > nε Pn f (conv(W⊗U p ) 2π i ∫ λ =1 f (λ z ) λ n +1 dλ