Luận văn sư phạm Dạy học bất phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Ngơn DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Ngơn DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đếnTS.Nguyễn Ái Quốc, thầy nhiệt tình hướng dẫn khoa học giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn đến q thầy cơ: PGS.TS.Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS.Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga nhiệt tình giảng dạy cung cấp cho tơi tri thức khoa học Didactic Tốn Tơi xin chân thành cảm ơn đến: - Ban lãnh đạo chun viên Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho - Tập thể học sinh, sinh viên trường Đại học Tiền Giang giúp tơi hồn thành thực nghiệm - Các bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Didactic Tốn khóa 23 chia sẻ khó khăn ln động viên tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu khoa học - Gia đình người thân quan tâm giúp đỡ cho suốt thời gian học tập Lê Văn Ngôn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi làm hướng dẫn TS.Nguyễn Ái Quốc, không chép lại luận văn người khác Nếu lời cam đoan không thật tơi bị xử lý theo pháp luật Người viết cam đoan Lê Văn Ngôn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Danh mục thuật ngữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1.Bất phương trình mũ logarit thể chế dạy học THPT 1.1 Phân tích chương trình 1.2.Phân tích sách giáo khoa 1.2.1.Bất phương trình mũ 1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản 13 1.2.3.Phân tích TCTH liên quan đến BPT mũ 15 1.2.4.Bất phương trình logarit 42 1.2.5.Bất phương trình logarit đơn giản 45 1.2.6.Phân tích TCTH liên quan đến BPT logarit 46 2.Các dạng sai lầm mà HS thường gặp giải tập BPT mũ logarit 69 2.1 Sai lầm có tính hệ thống dự đoán trước 69 2.1.1 Không xác định TXĐ hàm số mũ logarit: 69 2.1.2 Học sinh không quan tâm đến TXĐ BPT logarit 71 2.1.3 Khi giải toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải sai lầm trình biến đổi BPT cho dạng BPT đại số không tuân thủ qui tắc tính logarit 71 2.2 Sai lầm quan niệm 74 2.3 Sai lầm tồn qui tắc hành động 76 Kết luận chương 78 Chương THỰC NGHIỆM 83 2.1 Giới thiệu thực nghiệm 83 2.2 Phân tích tiên nghiệm (a priori) 84 2.3.Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) toán thực nghiệm 97 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT BPT E1 G1 Bất phương trình Sách tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục GV Giáo viên HS Học sinh KNV M1 Kiểu nhiệm vụ Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục PT Phương trình SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa SV SGV Sinh viên Sách giáo viên TCTH Tổ chức tốn học THPT Trung học phổ thơng TXĐ Tập xác định VP Vế phải VT Vế trái DANH MỤC CÁC BẢNG Tên bảng Trang Bảng 1.1 Thống kê TCTH gắn liền với BPT mũ 33 Bảng 1.2 Thống kê tập ứng với KNV BPT mũ 37 Bảng 1.3 Thống kê TCTH liên quan đến PT mũ 38 Bảng 1.4 Thống kê TCTH liên quan đến BPT logarit 61 Bảng 1.5 Thống kê tập ứng với KNV BPT logarit 64 Bảng 1.6 Thống kê TCTH liên quan đến PT logarit 68 Bảng 2.1 Thống kê kết thực nghiệm toán 95 Bảng 2.2 Thống kê kết thực nghiệm toán 96 Bảng 2.3 Thống kê kết thực nghiệm toán 97 Bảng 2.4 Thống kê kết thực nghiệm toán 99 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Thực tế giảng dạy lớp 12 cho thấy, học khái niệm bất phương trình mũ logarit, học sinh thường gặp nhiều khó khăn phạm phải số sai lầm giải tập liên quan đến khái niệm Những sai lầm thường xuyên xảy lặp lặp lại nhiều lần số học sinh Chẳng hạn, sau hai ví dụ sai lầm mà ghi nhận được: 1 Sai lầm 1:   2 x −7 1 >  2 x +1 ⇔ 5x − > x + ⇔ x > Sai lầm 2: log0.5 (2 x + 1) > log0.5 x ⇔ x + > x ⇔ x > −1 Chúng tự hỏi sai lầm có nguồn gốc từ đâu? Có phải ảnh hưởng kiến thức liên quan đến khái niệm phương trình mũ logarit mà lũy thừa hay logarit hai vế có số dương khác hai số mũ lũy thừa nhau, hay từ nguyên nhân khác? Xuất phát từ tượng trên, đặt câu hỏi sau: Q'1:Trong hệ thống dạy học,BPT mũ logarit trình bày nào? Với cách trình bày có gây khó khăn sai lầm cho HS giải tập BPT mũ logarit? Q'2:Dạy học BPT mũ logarit thừa hưởng kiến thức, nội dung từ dạy học phương trình mũ logarit? Giữa chúng có mối liên hệ gì?Những dạng tốn gắn liền với hai đối tượng này? Q'3:HS thường mắc phải sai lầm học BPT mũ logarit? Đâu nguyên nhân dẫn đến sai lầm này? Trong đề tài “Nghĩa vai trò cơng cụ khái niệm logarit dạy học tốn bậc trung học phổ thông” củatác giả Nguyễn Viết Hiếu – luận văn thạc sĩ 2013 nghiên cứu được: + Logarit xuất lịch sử với vai trị cơng cụ đơn giản hóa nhân, chia, bậc hai, bậc ba số thực dương Trong định nghĩa ban đầu, logarit thể mối liên hệ phần tử CSN CSC, logarit tác động vào phần tử CSN biến chúng thành phần tử CSC tương ứng Từ nhân, chia, khai phần tử CSN thực qua cộng, trừ, chia hai, chia ba phần tử CSC + Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit hàm số logarit xuất trước sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực + Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị hàm số logarit điểm định nghĩa trực tiếp Từ cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn bốn nghĩa sau: • Nghĩa một, logarit số a b giá trị hàm số y = log a x điểm x b • Nghĩa hai, logarit số a b với < a ≠ 1, b > số thực α thỏa aa = b • Nghĩa ba, logarit số a b nghiệm PT a x = b • Nghĩa bốn, log a b tỉ số hai tích phân b ∫1 x dx a ∫ x dx (hay b a log a b tỉ số hai diện tích có dấu ∫ dx ∫ dx ) x + Logarit ứng dụng để: giải PT mũ x a f ( x) = b , a f ( x) = b g( x) ; tính độ pH dung dịch; đo độ chấn động trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính số chữ số số ngun dương, tính giới hạn vơ định dạng 1∞ , 00 , ∞ ; tính đạo hàm hàm số có dạng y = f ( x) g ( x ) , y = f 1α1 ( x ) f 2α2 ( x ) f nαn ( x ) chuyển hàm lũy thừa, mũ hàm tuyến tính bán tuyến tính Từ ứng dụng trên, logarit thể ba vai trị cơng cụ sau: • Cơng cụ đơn giản biểu thức phức tạp cho dạng tích, thương, lũy thừa biểu thức đơn giản 98 Bảng 2.1 Thống kê kết thực nghiệm toán Chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ (%) Lời giải Lời giải Lời giải Lời giải Chiến lược S1: Cùng số 41 63.08 13.85 Chiến lược S2: Logarit hóa 10.77 4.61 Chiến lược S3: Sử dụng đồ thị 0 0 Không làm 3.08 Chiến lược khác 4.61 65 100 Tổng Nhận xét Có 50/65 SV (chiếm 76.92%) sử dụng chiến lược S1: “Cùng số” có 41/65 SV (chiếm 63.08% ) với lời giải 1, lại 9/65 SV (chiếm 13.85%) với lời giải 2.Khơng có SV sử dụng chiến lược S1 với lời giải 3, 4, 5, Có 10/65 SV (chiếm 15.38%) sử dụng chiến lược S2: “Logarit hóa” có 7/65 SV (chiếm 10.77%) với lời giải 1, lại 3/65 SV (chiếm 4.61%) với lời giải Khơng có SV sử dụng chiến lược S3: “Sử dụng đồ thị” Với kết 63.08% SV sử dụng chiến lược S1: “Cùng số”và 10.77% SV sử dụng chiến lược S2: “Logarit hóa” với lời giải 1, chứng tỏ tồn qui tắc hành động R1ở SV (HS) BPT mũ là: “Với < a ≠ : a x > b ⇔ x > loga b ; a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g( x ) ” Với kết 73.85% SV cho lời giải chiến lược S1, S2 cho phép kiểm chứng giả thuyết quan niệm SV (HS) là: “Hàm số mũ hàm số đồng biến” Một số làm SV thực nghiệm tốn Hình 2.3.Lời giải theo chiến lược S1 cho lời giải 99 Hình 2.4.Lời giải theo chiến lược S2 cho lời giải Bảng 2.2 Thống kê kết thực nghiệm toán Chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ (%) Lời giải Lời giải Lời giải Lời giải Chiến lượcS1: Cùng số 44 13 67.69 20 Chiến lượcS2: Logarit hóa 0 0 Không làm 7.69 Chiến lược khác 4.62 Tổng 65 100 Nhận xét Qua bảng thống kê cho chúng tơi thấy: Có 57/65 SV (chiếm 87.69%) sử dụng chiến lượcS1:“Cùng số” có 44/65 SV (chiếm 67.69%) với lời giải 1, lại 13/65 SV (chiếm 20%) với lời giải Khơng có SV sử dụng chiến lược S1khi cho lời giải 3, 4.Khơng có SV sử dụngchiến lược S2 Có 3/65 SV (chiếm 4.62%) sử dụng chiến lược khác.Có 5/65 SV (chiếm 7.69%) không làm Như vậy, với số lượng 44/65 SV (chiếm 67.69%)sử dụng chiến lược S1:“Cùng số” với lời giải 1chứng tỏ tồn qui tắc hành động R1ở SV(HS) BPT mũ f (x) g( x ) dạng đơn giản :“Với a > 0, a ≠ , a > a ⇔ f ( x ) > g( x ) ” 100 Một số làm SV thực nghiệm toán Hình 2.6.Lời giải theo chiến lượcS1 cho lời giải Hình 2.7.Lời giải theo chiến lược khác Kết luận: Qua kết thống kê thực nghiệm toán tốn 2cho phép chúng tơi kiểm chứng giả thuyết H:“Học sinh quan niệm hàm số mũ hàm số đồng biến” hợp thức hóa qui tắc hành động R1 Bảng 2.3 Thống kê kết thực nghiệm toán Số lượng Chiến lược quan sát Lời Lời Tỉ số (%) Lời Lời Lời Lời giải giải giải giải giải giải Chiến lược S4: Sử dụng định 38 58.46 9.23 1.54 ' Chiến lược S1 :Cùng số 0 6.15 0 Chiến lược S3 : Sử dụng đồ thị 0 0 0 nghĩa loga x = b ⇔ x = a b ' Chiến lược khác 9.23 Không làm 10 15.39 65 100 Tổng 101 Nhận xét: Qua bảng thống kê cho thấy: Có 38/65 SV (chiếm 58.46%) sử dụng chiến lượcS4: “Sử dụng định nghĩa loga x = b ⇔ x = a b ” với lời giải Có 6/65 SV (chiếm 9.23%) sử dụng chiến lược S4 với lời giải 2.Có 1/65 SV (chiếm 1.54%) sử dụng chiến lược S4 với lời giải Khơng có SV sử dụng chiến lược S4 cho lời giải 4, 5, 6.Có 4/65 SV (chiếm 6.15%) sử dụng chiến lược S1 : “Cùng số” với lời giải Khơng có SV ' ' sử dụng chiến lược S1 với lời giải 2, 3, 4, 5, Khơng có SV sử dụng ' chiến lược S3 : “ Sử dụng phương pháp đồ thị ” giải tốn Có 6/65 SV (chiếm 9.23%) sử dụng chiến lược khác cho kết sai tốn mà khơng có lời giải.Có 10/65 SV (chiếm 15.39%) khơng làm Như vậy,có 38/65 SV (chiếm 58.46%) sử dụng chiến lượcS4: “Sử dụng định nghĩa loga x = b ⇔ x = a b ” với lời giải 1chứng tỏ tồn qui tắc hành động R2 SV(HS) BPT logarit dạng đơn giản:“Với a > 0, a ≠ , loga x > b ⇔ x > a b ” Một số làm SV thực nghiệm tốn Hình 2.8.Lời giải theo chiến lược S4 cho lời giải ' Hình 2.9.Lời giải theo chiến lược S1 cho lời giải 102 Bảng 2.4 Thống kê kết thực nghiệm toán Chiến lược quan sát ' Chiến lược S1 : Cùng số Số lượng Tỉ số (%) Lời giải Lời giải Lời giải Lời giải 47 72.31 7.69 0 0 Chiến lược S4: Sử dụng định nghĩa loga x = b ⇔ x = a b Chiến lược khác 3.08 Không làm 11 16.92 65 100 Tổng Nhận xét Qua bảng thống kê cho thấy: Có 47/65 SV (chiếm 72.31%) sử dụng chiến lược S1 :“Cùng số” với lời giải Có ' 5/65 SV (chiếm 7.69%) sử dụng chiến lược S1 với lời giải 2.Khơng có SV sử ' dụng chiến lược S1 với lời giải 1.1, 3, 4, 5, 6.Khơng có SV sửdụng chiến lượcS4 ' với lời giải 1, Có 2/65 SV (chiếm 3.08%) sử dụng chiến lược khác khơng trình bày lời giải mà ghi kết sai tốn.Có 11/65 SV (chiếm 16.92%) khơng làm Như vậy, với kết thực nghiệm có 47/65 SV (chiếm 72.31%) sử dụngchiến lược S1' : “Cùng số” với lời giải 1, chứng tỏ tồn qui tắc hành động R2 SV(HS) BPT logarit dạng đơn giản:“Với < a ≠ , loga f ( x ) > loga g( x ) ⇔ f ( x ) > g( x ) ” 103 Một số làm SV thực nghiệm Hình 2.10.Lời giải theo chiến lược S1 cho lời giải ' Kết luận Qua kết thống kê thực nghiệm toán toán 4cho thấy SV (HS) sử dụng qui tắc hành động R2 giải tốn từ cho phép chúng tơi kiểm chứng giả thuyết H: “Học sinh quan niệm hàm số logarit hàm số đồng biến” 104 KẾT LUẬN Các nghiên cứu chương 1, 2, cho phép chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu đặt trước Sau kết đạt được: Phân tích chương cho thấy: Cấu trúc trình bày BPT mũcơ dạng a x > b BPT logarit dạng loga x > b hoàn toàn tương tự cấu trúc trình bày PT tương ứng, xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ta việc thay dấu “=” PT thành dấu “>” (hoặc dấu “ ” giới thiệu minh họa đồ thị, M1 giới thiệu minh họa miền nghiệm đồ thị BPT logarit với dấu “, ,, ≥, a g( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) )chỉ hợp thức số a > • Với < a ≠ ; loga f ( x ) > loga g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) hợp thức 106 số a > Phân tích mối quan hệ thể chế BPT mũ logarit cho phép đưa giả thuyết nghiên cứu H tồn qui tắc hành động R1, R2 sau: Giả thuyết nghiên cứu H:“Học sinh quan niệm hàm số mũ, hàm số logarit hàm số đồng biến” Các qui tắc hành động R1, R2 sinh từ giả thuyết H sau:  Qui tắc hành động R1: Với < a ≠ , a x > b ⇔ x > loga b f x a ( ) > a g ( x ) ⇔ f ( x ) > g( x )  Qui tắc hành động R2: Với < a ≠ , loga x > b ⇔ x > a b loga f ( x ) > loga g( x ) ⇔ f ( x ) > g( x ) Kết thực nghiệm chương cho thấy tồn giả thuyết H mà đưa với hai qui tắc hành động R1, R2 Trong nghiên cứu số dạng sai lầm mà học sinh thường gặp giải kiểu nhiệm vụ liên quan đến giải BPT mũ logarit nguyên nhân gây dạng sai lầm theo quan điểm didactic tốn Do đó,với quan điểm người dạy học chúng tơi đặt câu hỏi liệu có cần giới thiệu BPT mũ logarit theo cách trình bày khác để giảm bớt sai lầm cho học sinh giải BPT mũ logarit? Bởi mục đích ứng dụng luận văn công tác giảng dạy.Nghiên cứu trả lời câu hỏi lý thuyết didactic toán hướng nghiên cứu mở từ luận văn 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007),Giải tích 12, Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007),Sách giáo viênGiải tích 12, Nxb Giáo dục Nguyễn Viết Hiếu (2013), Nghĩa vai trị cơng cụ khái niệm logarit dạy học toán bậc trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương (2007),Bài tậpGiải tích 12, Nxb Giáo dục Song ngữ Pháp – Việt Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh) (2009), Những vấn đề Didactic Tốn, Nxb Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh PHỤ LỤC PHỤ LỤC1.Phiếu tập thực nghiệm học sinh (lớp 12) Họ tên HS:……………………………………………………………………… Lớp:…………………………Trường:……….……………………… ………… Các em thân mến! Phiếu gồm bốn tốn.Các em có 30 phút trình bày lời giải vào phần trống bên dưới.Lời giải không nhằm mục đích đánh giá học lực em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Tốn.Xin cảm ơn tham gia em Bài 1.Giải BPT mũ sau: ( −2 ) x > −2 Bài 2.Giải BPT mũ sau: ( −2 ) x2 − x +2 > ( −2 ) 2x Bài 3.Giải BPT mũ sau: log ( ) −1 x >1 Bài 4.Giải BPT mũ sau: log ( x )( −1 ) + x − > log ( )( −1 x − 1) NHÁP Ở ĐÂY Phụ lục 2.Một số làm SV thực nghiệm Bài toán 1: Bài toán Bài toán Bài toán ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Văn Ngơn DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã... thống dạy học, BPT mũ logarit trình bày nào? Với cách trình bày có gây khó khăn sai lầm cho HS giải tập BPT mũ logarit? Q'2 :Dạy học BPT mũ logarit thừa hưởng kiến thức, nội dung từ dạy học phương trình. .. Giải Tích 12 ban Bất phương trình mũ logarit thể chế dạy học THPT 1.1 Phân tích chương trình Bất phương trình mũ logarit đưa vào giảng dạy lớp 12, chương trình chuẩn nâng cao .Ở chúng tơi phân