Chứng minh rằng : Diện tích ADHE lớn nhất khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân Bài 5 : 2,5 đ Cho hình vuông ABCD cạnh là a ,lấy điểm I trên cạnh AB .Đường thẳng DI cắt đường thẳng BC t[r]
(1)ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 6x3 + 13x2 + 4x – b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)( x +6) Bài 2: ( 2,0 đ) x x x 0 a) Giải phương trình : b) Giải bất phương trình : x2 – x - < Bài 3: ( 2,5 đ) a) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức : a a 1 b b 1 ab 3ab a b 1 b) Chứng minh : x x xn 1 y y yn * Nếu và x,y,n > thì a b c 2 * Nếu a,b,c là cạnh tam giác thì : b c c a a b Bài 4: ( 2,0 đ) Lấy điểm O tam giác ABC Các tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB OA OB OC 2 AP BQ CR P,Q,R Chứng minh : Bài : ( 1,5 đ) Trên cạnh AB hình vuông ABCD ,lấy tùy ý điểm E tia phân giác góc CDE cắt BC K Chứng minh : AE + KC = DE ……………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: Cho đa thức P(x) = x x x 13x a) Phân tích P(x) thành nhân tử b) C/m : P(x) 6 x Z x x3 x x Bài 2: Cho phân thức F(x) = x x x x a) Rút gọn F(x) b) Xác định x để phân thức F(x)min = ? a b c a c b b c a c b a Bài 3: Cho số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức : (a b)(b c )(c a ) abc Tính giá trị P = Bài 4: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) vẽ CE AB và CF AD C/m : AB.AE + AD.AF = AC2 Bài : Cho hình vuông ABCD có độ dài Trên cạnh AB và AD lấy các điểm M,N cho chu vi AMN Tính MCN ? ……………………………………………………………………… (2) ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) 3 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a b c 3abc x y b) Tìm giá trị biểu thức : A = x y biết x2 – 2y2 = xy y 0; x y 0 n3 2n Bài 2: ( 2,0 đ) Cho biểu thức : B = n 2n 2n a) Rút gọn A b) Tìm các số nguyên n để B là biểu thức nguyên Bài 3: ( 2,0 đ) Giải các phương trình sau : x2 x 5 x x 1 a) x x 0 b) Bài 4: ( 1.5 đ) Cho tam giác ABC vuông A có BC cố định ,đường cao AH Gọi D là hình chiếu H trên AC, E là hình chiếu H trên AB Chứng minh : Diện tích ADHE lớn và tam giác ABC vuông cân Bài : ( 2,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh là a ,lấy điểm I trên cạnh AB Đường thẳng DI cắt đường thẳng BC E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M và cắt đường thẳng AD P Đường thẳng BM cắt AP K Đặt AI = x BM cắt DE F a) Tính BE và AP theo a và x b) Suy AK = AI c) Chứng tỏ I di động trên cạnh AB ,F di động trên đường cố định Hãy giới hạn đường đó ……………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 2 x 1 x a) 3 a b b c c a b) x2 2x Bài 2: ( 2,0 đ) Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : A = x 1 a b c 1 a b c Bài 3: ( 3,0 đ) a)Cho ba số a,b,c khác thỏa mãn : a 10 Tính P = b10 b c a 2010 c 2010 x x x x 11 2005 2003 2001 1999 b) Giải bất phương trình : Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi BD là đường phân giác tam giác ABC ,dựng đường trung trực đoạn thẳng BD cắt đường thẳng AC M a/ Chứng minh : Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng b/ Tính độ dài đoạn thẳng MD Khi AD = cm , DC = cm Bài : ( 1,5 đ) Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD,BM,CN Gọi H là trực tâm tam giác ABC HD HM HN DB MC NA Chứng minh : AD BM CN DC MA NB (3) ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – 2009.2010 b) Tìm số tự nhiên n để : n3 – 3n2 – 3n – chia hết cho n2 + n + Bài 2: ( 2,0 đ) Giải và biện luận phương trình ẩn số y : 1 1 a b y a b y Bài 3: ( 2,0 đ) 3 a)Cho a 3ab 5 và b 3a b 10 Tính a2 + b2 2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x y xy x y Bài 4: ( 2.0 đ) Cho đoạn thẳng AB và điểm I nằm hai điểm A và B Trong cùng mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên Ax lấy điểm C ,tia vuông góc với IC I cắt By D a/ Chứng minh : AC.DB = IA.IB b/ Ba điểm A,B,C cố định ,xác định vị trí I để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trị lớn Bài : ( 2,0 đ) Gọi M và N là trung điểm các cạnh AD và BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P bất kì Giao điểm AC với đường PM là Q Chứng minh : QNM = MNP …………………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,5 đ ) a) Chứng tỏ biểu thức sau đây dương với x 1 x3 x3 1 x A x x : 1 x 1 x 1 x b) Cho a,b,c là các số chính phương Chứng minh : Bài 2: ( 2,0 đ) Giải các phương trình sau : x 2010 x x 2010 a) 1 x y 4 x y b) Bài 3: ( 2,0 đ) a)Tìm GTNN a b b c c a 12 B = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 x x 1 1 3 x2 1 b) Chứng minh : Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD và CE cắt H Trên HB và HC lấy M và N cho AMC AMB 90 a/ Chứng minh : ABD ACE b/ Chứng minh : AMN cân Bài : ( 1,5 đ)Cho tam giác ABC với AB = cm, AC = 8cm, BC = 6cm Hai tia phân giác AD và BE cắt O Chứng minh đoạn thẳng nối điểm O với trọng tâm G tam giác ABC song song với BC (4) ……………………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,5 đ ) a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : ( x y )2 x2 y 2 M = ( x 1) ( x x 1) N= b)Rút gọn và tính giá trị biểu thức : x ( x 5) y ( y 5) 2( xy 3) f ( x, y ) x( x 6) y ( y 6) xy ( với x y 2010 ) x y z 0 12 2010 Bài 2: a) Cho số x,y,z thỏa mãn xy yz xz 0 Tính giá trị biểu thức P = ( x 1) y ( z 1) 2 x 1 ( x 3) b) Tìm GTNN A = 1 1 Bài 3: Giải các phương trình : a) x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 3 1 3 x x (9 x) 0 2 b) Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có chu vi 18 cm.Trong đó BC là cạnh lớn nhất.Đường phân giác MA NA góc B cắt AC M cho MC Đường phân giác góc C cắt AB N cho NB Tính các cạnh ABC Bài : ( 1,5 đ)Cho ABC vuông A,kẻ đường cao AH.Gọi D,E là hình chiếu H Trên cạnh AB và AC a) C/m : BD.CE.BC =AH b) Giả sử SABC = 2SADHE chứng minh : ABC vuông cân ……………………………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) x x 3 x x a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1 b)Cho a > , b > 0, c > Chứng minh : b c c a a b a b c Bài 2: ( 2,0 đ) 2x y a) Cho x,y thỏa mãn x> > y >0 và x2 + 3y2 = 4xy Tính x y 2010 x x x2 b)Cho x ≠ Tìm GTNN A = Bài 3: ( 2,5 đ) x x 3 x 12 a) Giải phương trình : ab x a 2b b 2a x b) Giải và biện luận phương trình : Bài 4: ( 2.0 đ) ( ẩn là x ) (5) Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q Chứng minh : PQ // CD Bài : ( 1,5 đ) Cho ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA trên BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F là giao điểm AE và CD Chứng minh : FD = FC …………………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : x 3x x x2 b)Tìm các giá trị nguyên x để giá trị biểu thức x là số nguyên Bài 2: ( 2,0 đ) a) Tìm các số x,y,z cho : x y xy 10 x 22 x y z 26 0 2 2 b)Cho x xy y 10 Tìm GTLN và GTNN A = x y Bài 3: ( 2,5 đ) Giải các phương trình : a) x x x 10 72 x x x 1 0 b) Bài 4: ( 2.0 đ) Cho tam giác ABC có A 90 , D là điểm nằm A và C ,qua C dựng CE vuông gócvới đường thẳng BD E Chứng minh : a) Tam giác ADE đồng dạng tam giác BDC b) AB.CE + AE.BC = AC.BE Bài : ( 1,5 đ) Cho tam giác ABC có A 90 , D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E,F là hình chiếu vuông góc điểm D trên AB và AC a) Xác định vị trí D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí D để tổng : 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ ……………………………………………………… ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ 10 ( ĐỨC THỌ ) Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) 3 Bµi 1: 1) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a b c 3abc 3 2 2) Cho a 3ab 5 vµ b 3a b 10 TÝnh S = a b Bµi 2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2x x 2x 0 n 2011 2) Cã tån t¹i hay kh«ng sè nguyªn d¬ng n cho n 26 21 23 33 20113 3 20113 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc A = Bµi 4: Cho ABC vu«ng t¹i A, cã AB < AC KÎ ph©n gi¸c AD Gäi M vµ N lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB vµ AC BN c¾t CM t¹i K, AK c¾t DM t¹i I, BN c¾t DM t¹i E, CM c¾t DN t¹i F 1) Chøng minh r»ng EF // BC 2) Chøng minh r»ng K lµ trùc t©m cña AEF 3) TÝnh sè ®o cña BID Bµi 5: Cho a, b, c, d, e > tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c + d + e = (6) P a b c d a b c a b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc abcde ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ 11 ( TAM ĐẢO ) Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) a2 b2 c2 a b c 1 0 Câu (1,5 điểm) Cho b c c a a b Chứng minh rằng: b c c a a b Câu (2 điểm) Rút gọn biểu thức: bc ca ab a) A= + + (a − b)(a −c ) (b − c)(b − a) (c −a)(c −b) b) B = 1 − x 6+ −2 x x ( ) ( ) ( x + 1x ) + x + x1 x+ 3 Câu (2 điểm) Cho x, y là các số lớn Chứng minh rằng: 1 2 1 x 1 y xy DB = , điểm O nằm Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC cho DC OA = Gọi K là giao điểm BO và AC Tính tỷ số AK : KC trên đoạn AD cho OD Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P và Q cho HP = HQ Gọi M là trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ 12 ( OLIMPIC ) Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bµi Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a3 +2 a2 −13 a+10 2 2 b) (a 4b 5) 16(ab 1) Bµi Cho sè tù nhiªn a, b, c Chøng minh r»ng nÕu a + b + c chia hÕt cho th× a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hÕt cho Bµi a) Cho a – b = Chøng minh a2 + b2 b) Cho 6a – 5b = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2 + 25b2 Bµi §a thøc bËc cã hÖ sè bËc cao nhÊt lµ vµ tho¶ m·n f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21 TÝnh f(-1) + f(5) Bµi Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC) M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E Chøng minh: (7) a) Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN b) NC NB = +1 AN AB ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ 13 ( QUẾ SƠN ) Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,5 điểm) x2 x 2x A x x x 10 x a Cho: - Thực rút gọn A - Tìm x nguyên để A nguyên b Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm) a Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với số a, b, c b Chứng minh bc ac ab + + ≥ a+ b+c a b c với số dương a, b, c Bài 3: (1,5 điểm) Giải phương trình: 2 2 x +4 x+6 x +16 x +72 x +8 x +20 x +12 x + 42 + = + x +2 x+ x+4 x +6 Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD a Chứng minh DE CF; EF = CM b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui c Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E và cắt AB F Chứng minh BF = CE ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI TOÁN SỐ 14 Thời gian : 120 phút Năm học : 2011 -2012 (GVBS : Phạm Văn Khương ) Bài 1: ( 2,0 đ ) x x 3 x x a)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 1 b)Cho a > , b > 0, c > Chứng minh : b c c a a b a b c Bài 2: ( 2,0 đ) 2x y a) Cho x,y thỏa mãn x> > y >0 và x2 + 3y2 = 4xy Tính x y 2010 x x x2 b)Cho x ≠ Tìm GTNN A = Bài 3: ( 2,5 đ) x x 3 x 12 a) Giải phương trình : ab x a 2b b 2a x b) Giải và biện luận phương trình : Bài 4: ( 2.0 đ) ( ẩn là x ) (8) Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q Chứng minh : PQ // CD Bài : ( 1,5 đ) Cho ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD = 3DA trên BC lấy điểm E cho BE = 4EC Gọi F là giao điểm AE và CD Chứng minh : FD = FC (9)