THÔNG TIN TÀI LIỆU
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 49.1: CỰC TRỊ SỐ PHỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Môđun số phức: M a; b Số phức z a bi biểu diễn điểm mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ uuuu r 2 OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất uuuu r 2 z a b zz OM z �0, z ��, z � z z z , z ' �0 z ' z ' z z ' z z ' z z ' �z �z ' �z z ' kz k z , k �� 2 z a b 2abi ( a b ) 4a 2b a b z z z.z Chú ý: Lưu ý: z1 z2 �z1 z � z1 kz2 k �0 dấu xảy z1 z2 �z1 z z1 z2 � z1 z2 z1 z2 � z1 z2 � z1 kz2 k �0 dấu xảy � z1 kz2 k �0 2 z z z z 2 z �� 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax by c (1) z a bi z c di x a x a (2) y b �R 2 r � x a y b �R z a bi R z a bi �R r �z a bi �R b2 y c d2 1 1 (1)Đường thẳng :ax by c (2) Đường trung trực đoạn AB với Đường tròn tâm I a; b , bán kính R I a; b Hình trịn tâm , bán kính R Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồng tâm Parabol � y ax bx c c �0 � x ay by c � x a Quỹ tích điểm M A a, b , B c, d y b R2 dấu xảy z1 z2 z1 z z1 z � z1 kz k �0 dấu xảy 1 I a; b , bán kính r , R Elip TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 2a AB , A a1 , b1 , B a2 , b2 Elip Đoạn AB 2a AB z a1 b1i z a2 b2i 2a Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z a bi z z Cho số phức z thỏa mãn , tìm Min Khi ta có M x; y A a; b biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với Quỹ tích điểm 1 � z Min z0 a b2 � � 2 � a b �z i � 2 z a bi z c di Cho số phức thỏa mãn điều kiện Quỹ tích điểm M x; y Tìm z Ta có biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b , B c; d z Min d O, AB a2 b2 c2 d 2 a c bd Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn z a bi R z z0 R z ,z Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm Max Min Ta có Quỹ tích điểm M x; y I a; b biểu diễn số phức z đường tròn tâm bán kính R 2 �z � Max OI R a b R z0 R � 2 �z Min OI R a b R z0 R � Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip z c z c 2a , a c Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khi ta có x2 y2 1 2 M x; y Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip: a a c � �z Max a � 2 �z a c � Min z z1 z z2 2a (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2a z1 z2 Thỏa mãn Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z1 z z2 2a , z1 z2 2a z1 , z ��c, �ci ) Tìm � �z1 z2 2c �2 P z z0 b a2 c2 Max, Min Đặt � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Nếu z0 z1 z2 0 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �PMax a � �PMin b Nếu � z1 z2 a �z0 � �z z k z z �0 Nếu � z1 z2 a �z0 � �z z k z z �0 Nếu z0 z1 z0 z2 (dạng tắc) z z z0 a � �PMax � � �P z z1 z2 a Min � � z z PMax z0 a PMin z0 z1 z2 b II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ z z1 z z P z z3 Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M z ; A z1 ; B z ; C z3 z; z1; z2 ; z3 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi từ z z1 z z2 giả thiết suy MA MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB P z z3 CM � Pmin d C ; nhỏ M hình chiếu C lên z z0 R P z z1 Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN, GTLN M z ; I z0 ; E z1 z; z0 ; z1 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi z z0 R � IM R � M P z z1 ME từ giả thiết thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: � MEmax P � MEmin lớn Ta có: Khi đó: Pmax IE R Pmin IE R z z1 z z2 P z z3 z z Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M z ; A z1 ; B z2 ; H z3 ; K z4 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 ; z4 Khi z z1 z z2 từ giả thiết suy MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung P z z3 z z4 MH MK trực AB ; TH1: H , K nằm khác phía so với đường thẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ M �M 0 Ta có: P HM KM �HK Dấu xảy TH2: H , K nằm phía so với đường thẳng Gọi H �là điểm đối xứng HK Khi Pmin HK K � MK �H � K Dấu xảy M �M H � Ta có: P MH MK MH � P H� K Khi 2 z z1 z z P z z3 z z4 Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M z ; A z1 ; B z2 ; H z3 ; K z Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 ; z4 z z1 z z2 Khi từ giả thiết ta có: suy MA MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực AB Gọi I trung điểm HK MH MK HK HK 2 2 MI � P MH MK 2MI Do Pmin � MI � M Ta có: hình chiểu I lên Khi Pmin 2M I HK 2 2 z z0 R P z z1 z z2 Dạng 5: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức M z ; A z1 ; B z2 ; I z0 z; z1 ; z2 ; z0 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z z0 R � IM R � Khi từ giả thiết Tập hợp điểm biểu diễn M số phức z đường tròn tâm I bán kính R Gọi E trung điểm AB TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ AB M M2 P �EM M M1 , Pmax �EM max Ta có: 2 AB AB 2 Pmax EI R Pmin EI R ; Khi : z z R z w1 z2 w z ;z z ;w ;w Dạng 6: Cho hai số phức thoả mãn , P z1 z2 số phức biết Tìm GTNN M z1 ; N z2 ; I z0 ; A w1 ; B w Phương pháp: Đặt z1 z0 R � M thuộc đường trịn tâm I bán kính R z w1 z2 w � N thuộc đường trung trực đoạn AB P 2ME P d I; R Ta có: P MN , đó: z w1 R1 z w R2 z ;z w ;w Dạng 7: Cho hai số phức thoả mãn số phức P z1 z2 biết Tìm GTNN, GTLN biểu thức M z1 ; N z2 ; I w ; K w Phương pháp: Đặt z1 w1 R1 � M R thuộc đường trịn tâm I bán kính z2 w R2 � N thuộc đường tròn tâm K bán kính R2 MN max ; MN Ta có: P MN Dựa vào vị trí tương đối hai đường trịn để tìm BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức z1 z2 Giá trị lớn A 19 3z1 z2 5i z1 , z2 thỏa mãn z1 1, z2 B 19 C 5 19 D 19 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm Min,Max mođun số phức HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d �� B2:Tính z1 ; z2 ; 3z1 + z2 z + z �� z + z �� z1 + z2 - 5i � z1 + z2 + - 5i = 19 + B3:Tính Áp dụng: Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Đặt z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d �� Theo giả thiết a + b2 = 1, c + d = 4, ( a - c) + (b - d ) = 2 2 Do a - 2ac + c + b - 2bd + d = � ac + bd = Ta có 3z1 + z2 = 3(a + c ) + (3b + d )i nên 3z1 + z2 = (3a + c ) + (3b + d ) = 9( a + b ) + (c + d ) + 6(ac + bd ) = 19 Áp dụng bất đẳng thức z + z �� z + z � , ta có 3z1 + z2 - 5i � 3z1 + z2 + - 5i = 19 + Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu z 2i �z 4i z 3i Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P z2 là: A 13 B 10 C 13 D 10 Lời giải Chọn C Gọi M x; y z 2i �z 4i điểm biểu diễn số phức z ta có: � x y �x y 2 ۣ y ; I 3;3 z 3i � điểm M nằm đường tròn tâm bán kính TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU P z AM Biểu thức Câu M 4;3 A 2;0 2 max P , theo hình vẽ giá trị lớn P z2 đạt 13 z w 10 Cho số phức z , w thỏa mãn z w 4i , Tìm giá trị lớn P z w nên 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 3 B D C Lời giải Chọn D Ta có 2 z w 4i � z w 4i 25 � z w z.w z.w 25 z w 10 � z w 100 1 , 2 � z w z.w z.w 100 , 1 Từ 2 2 � z w 150 Câu �1 � P z w � � �2 z w �3 � z 3i iz 2i Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A T 2iz1 z2 313 16 B 313 C 313 313 D Lời giải Chọn A Ta có z1 3i � 2iz1 10i 1 ; iz2 2i � 3 z2 3i 12 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ suy I 6; 10 điểm A nằm đường tròn tâm bán kính R1 ; điểm B nằm đường I 6;3 tròn tâm bán kính R2 12 Ta có T 2iz1 3z2 AB �I1I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ zw 9 Cho số phức z w thỏa mãn z w 4i Tìm giá trị lớn biểu thức T zw A max T 176 D max T 106 B max T 14 C max T Lời giải Chọn D z x yi x, y �� w x y i Đặt Do z w 4i nên zw 9 Mặt khác nên x 3 zw y x y 12 x 16 y 25 2 2 � x y x y 28 1 Suy T z w x y Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có Dấu " " xảy Từ Câu 1 2 x x2 y 2 y T �2 x y x y 25 y 2 T �2 28 25 � 106 �T � 106 ta có Cho z số phức thỏa mãn điều kiện biểu thức x T z 3i A 2 Vậy MaxT 106 z 1 i 0, Giá trị nhỏ B C D Lời giải Chọn C Giả thuyết z 1 i � 1 z iz 1 z � z 2i z i 1 i z Từ ta có z x yi, x, y �� x yi 2i x yi i Đặt ta có � x 1 y y 1 x � y x 2 Khi 2 T x yi 3i x 1 y 3 x 1 x x 26 x 18 �3 2 x 5 2 Câu Vậy Tmin , dấu xảy x 2; y , hay z 2 z z z1 z2 T z1 z Cho số phức z1 z2 thỏa mãn , Tính giá trị lớn A T 10 B T 10 D T C T Lời giải Chọn A 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 � z z2 Theo công thức đường trung tuyến ta có: Hay z1 z2 � z1 z2 z1 z2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Ta có: T z1 z2 � z1 z2 z1 z2 Vậy Max T 10 Câu T z 3i 34 A 10 u z i z i z 3i Cho số phức z số phức biểu thức thỏa mãn u 1 u i Giá trị lớn bằng: B 34 C 13 D 17 Lời giải Chọn B u x yi Gọi x 1 � x, y �R � với hệ u u i � x yi x yi i thức y x y 1 � x y � z a bi a, b �R � u z i z i z 3i z i z z z 3i với Gọi số phức u có phần thực phần ảo 2 a b i 2bi a bi 3i a b 2a 2b 1 2b 3 i a b 2a 2b 1 2b 3 � a 1 b 2 Suy ra: C có tâm I 1; bán kính R Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn Biểu thức T z 3i MA , với điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn C ; điểm A 2; 3 Suy T MA �MI IA R IA Câu 34 z 3w z 3w 10 Cho số phức z , w thỏa mãn , Tìm giá trị lớn P z 4 w 905 A B 907 903 C D 902 Lời giải Chọn D 2 z 3w � z 3w 16 � z w z.w z.w 16 1 , 2 z 3w 10 � z w z.w z.w 100 , Từ 1 suy z 27 w 132 902 �1 16 � P z w � � �6 z 27 w �6 27 � Câu Cho số phức z có phần ảo khác thức K z4i A 2 w z z số thực Tìm giá trị lớn biểu B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D 2 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C Đặt a bi với a, b ��và b �0 Ta có w z a bi a bi (a bi )(a b 2abi ) 2 z 2 a bi a b 2abi a b 4a 2b � a (a b 2) 2ab � � b(a b 2) 2a 2b � i � � � � a b 4a b z z số thực suy � �a b b(a b 2) a 2b � � �� � 2 a b 4a 2b �0 a b2 � � � � w K2 z 4i 4a 2b �0 (a 4) (b 2) a b 8a 2b 16 20 8a 8b �20 (8) ( 8) a b 20 12 32 Suy K �4 Vậy K max 2 z z1 i z i Câu 10 Xét số phức z1 thỏa mãn số phức z2 thỏa Giá trị nhỏ z1 z2 � A � B C D Lời giải Chọn B 2 z1 z1 i � � ( x 2) y � x ( y 1)2 � � � � � � Ta có: � x y �� � Tập hợp biểu diễn số phức z1 đường thẳng d z i � ( x 4) ( y 1)i Ta lại có: � ( x 4) ( y 1) �� � Tập hợp biểu diễn z2 đường tròn (C ) có tâm I (4;1), bán kính R Khi z1 z2 khoảng cách từ điểm thuộc d đến điểm thuộc (C ) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � 10 x 25 y 14 x 49 y � x y 24 � x y M2 x; y z M :x y 6 biểu diễn số phức Suy thuộc đường thẳng M y ; x Điểm biểu diễn số phức iz2 Ta thấy M ảnh điểm M qua phép quay tâm O M :x y , góc quay 90 Suy thuộc đường thẳng z iz2 M 1M z iz2 � M 1M Khi đó: Do nhỏ nhỏ Suy ra: Điểm z1 iz2 d I ; R Câu 14 Cho hai số phức thức z1, z2 1 thỏa mãn P z2 1 i z2 z1 A 10 2 2 z1 1 3i z2 1 i z2 5 i Giá trị nhỏ biểu 85 1 C B D 10 Lời giải Chọn C M z1 N z2 z z Gọi , điểm biểu diễn số phức z 1 3i � I 1;3 Từ điều kiện Tập hợp điểm M đường tròn tâm , bán kính R z 1 i z2 5 i � NA NB A 1;1 , B 5;1 � Từ điều kiện , với Tập hợp điểm N d :3x y đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình P z2 1 i z2 z1 NE MN E 1;1 Ta có , với I E M d N F I ; R nằm hồn tồn phía so với đường thẳng d Dễ thấy điểm E đường tròn 17 � � � F� ; � �5 5� Gọi F điểm đối xứng E qua d 85 1 Ta có Dấu xảy điểm F ,N, M, I thẳng hàng P NE MN �NF NI R �FI R Vậy P Câu 15 Các số phức biểu thức 85 1 z1 z2 , thỏa mãn P z1 z2 w z1 i z z i số thực 1 4z 13i Giá trị nhỏ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 37 4 21 C 16 D 37 Lời giải Chọn B + Đặt w z1 x yi z1 i z z i 1 1 , x, y �� , ta có y 1 x x � i x y 1 i x x y 1 � � � xi x2 y 2x x 2 � y x 4x + Vì w số thực nên 2 13 � 13 � 4z 13i � z i � x �y � � 4� + P z1 z2 z1 z2 P : y 2x2 4x 1 + Gọi M điểm biểu diễn z1 điểm M thuộc parabol � 13 � C : x �y � z � 4� Gọi N điểm biểu diễn điểm N thuộc đường trịn 2 � 13 � C1 : x �y � N z N � 4� Gọi điểm biểu diễn điểm thuộc đường tròn P T x0 , x02 x0 1 , x0 1 + Phương trình tiếp tuyến y x0 x x0 x02 x0 � x0 x y x02 + Khi đó: � 13 � I� 2, � Pmin � MN1 � T �là tâm C1 � I hình chiếu vng góc lên , với uur � 9� r uu r IT �x0 2, x02 x0 � uu uur �, n x0 4, 1 � � IT phương với VTPT n , với 9� � � x0 � x0 x0 � x0 � x03 24 x02 x0 11 4� � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 34 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU � x0 Vậy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �1 � �T � , � �2 � Pmin IT R 37 37 1 4 z z Câu 16 Cho số phức z , , thoả mãn P z z z1 z z2 z1 z2 z1 z2 B Lời giải A Giá trị nhỏ 2 D C Chọn C Từ z1 z2 z1 z2 ta có z1 ; z2 ; z1 z2 Gọi M , M , M điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , M nằm đường trịn tâm O bán kính R Do z1 z2 nên M 1M P z z z1 z z2 OM MM MM Q M ,60� M M � Q M ,60� O O� MM MM � ; theo tính chất phép quay ta có ; M� O� �M 1O� OM O� M �� P OM MM MM �M 1M MM � Xét Dấu “=” xảy điểm M M M � O� , , , thẳng hàng � Pmin M 1O� 62 62 2.6.6 cos150� TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z5 5 z� 3i z � 6i Câu 17 Cho hai số phức z , z� thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z z� 5 A 10 B C D 10 Lời giải Chọn B Gọi M x; y N x� ; y� điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức z x yi , z x� y� i z � x yi � x y 52 Ta có C : x y 52 Vậy M thuộc đường tròn 1 y � i x� 3 y � 6 i z� 3i z� 6i � x� � x� 1 y � 3 x� 3 y � � x� y� 35 2 2 Vậy N thuộc đường thẳng : x y 35 C z z � MN Dễ thấy đường thẳng không cắt I, M , N Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho ba điểm ta có MN �IN IM IN R �IN R d I, R 5 6.0 6 2 5 Dấu đạt M �M ; N N i 1 z 3i z1 z2 Câu 18 Gọi z1 , z2 hai tất số phức thỏa mãn điều kiện 3 P z1 z Gọi m , n giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giá trị S m n A 54 B 126 C 72 D 90 Lời giải Chọn C Ta có i 1 z 3i � i 1 z 3 � z 3 C I 3; R Gọi M điểm biểu diễn z ta có M nằm đường tròn tâm , A , B điểm biểu diễn cho z1 , z2 ta có z1 z2 � AB Gọi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Gọi H trung điểm AB ta có tam giác IAB vng I (theo định lý Pitago đảo) AB 1 2 � H chạy đường tròn tâm I bán kính R � IH P z1 z2 OA OB � 12 12 OA2 OB Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có AB 22 2OH 2OH 2 � max P OI R ; P OI R � m , n � S 64 72 OA2 OB 2OH u 6i u 3i 10, v 2i v i Câu 19 Cho hai số phức u , v thỏa mãn Giá trị nhỏ uv 10 A 10 B 10 D C 10 Lời giải Chọn A 10 � MA MB AB + Gọi M điểm biểu diễn số phức u Suy M thuộc Elip có: A, B tiêu điểm, độ dài trục lớn Phương trình đường thẳng AB: x y 2a � �A 0;6 � �B 1;3 10 10 �a + Goị N điểm biểu diễn số phức v : v 2i v i � x 1 y i x y i � x 1 y x y � x y 2 u v � MN 2 Bài tốn trở thành tìm M thuộc elip, N thuộc đường thăng x y để MN nhỏ Để MN nhỏ M , N có vị trí hình vẽ Ta có: MA MB 10 10 , MA MB AB 10 � MA 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 0;6 , N 2; � NA 10 Suy ra: MN NA MA 10 Câu 20 Cho số phức z 1, z z1 z2 thỏa mãn 10 10 3 Chọn đáp án D z1 2i z1 2i 10 z 6i , Tìm giá trị lớn A 12 B 16 C D 11 Lời giải Chọn A A 2; 2 B 2; z Gọi M , điểm biểu diễn cho số phức , z 2i z� 2 2i Khi theo đề ta có : MA MB 10 AB 10 Vì A , B điểm cố E có độ dài trục lớn định nên quỹ tích điểm M thõa mãn điều kiện elip 2a 10 , tiêu điểm A , B z 6i z C Mặt khác N điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn đường tròn I 6; 6 tâm , bán kính R Dễ thấy B , A , I nằm đường thẳng y x IP � P 5; 5 Xét điểm P nằm đoạn BI thỏa mãn � �P � C � C � P � E E tiếp xúc P � Khi Do MN lớn : MN 2a R MP PN 10 2 12 , lúc : M , P đỉnh trục lớn E , N điểm đối xứng P qua I u 6i u 3i 10 v 2i v i Câu 21 Cho hai số phức u , v thỏa mãn , Giá trị nhỏ A 10 uv là: 10 B C 10 10 D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 38 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 10 10 � MF1 MF2 3 Ta có: �1 � I�; � � u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1 0; , F2 1;3 , tâm �2 �và độ dài u 6i u 3i 10 � u 6i u 3i 10 10 �a trục uuuurlớn F1 F2 1; 3 � F1F2 : 3x y 2a v 2i v i v i Ta có: � NA NB � v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d trung trực đoạn AB với A 1; 2 , B 0;1 �1 � uuu r K � ; � AB 1;3 , �2 �là trung điểm A � d : x y 27 2 10 2 d I,d 2 12 3 10 Dễ thấy z z2 4, z1 z1 z2 z,z A, A Câu 22 Cho số phức thỏa mãn Gọi điểm biểu F1 F2 d diễn nhiêu? A z1 , z2 � u v MN d I , d a Khi z1 z2 OA1 A2 đạt giá trị lớn diện tích tam giác C B 2 bao D Lời giải Chọn A Giả sử z1 a bi, z2 c di với a, b, c, d số thực 2 2 �z z z z � � z1 z2 a c b d � a c b d � �1 � � � � � �z z1 z2 Do � nên z1 z2 z1 z2 2 , tức Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm Tức z1 , z2 16 z1 z2 �2 z1.z2 Max z1.z2 , đẳng thức xảy khi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA z1 z2 16 2 z1 2 z2 2 ta có: z1 2 z2 Trang 39 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ OA1 A2 tam giác cân A1 , OA1 2 , Đến đây, xét mặt phẳng tọa độ Oxy ta có OA2 A OA2 ta A1 H Gọi H hình chiếu vng góc 1 S A1 H OA2 7.2 OA A 2 Vậy diện tích tam giác (đơn vị diện tích) Câu 23 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 đôi khác thỏa mãn S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 B 9a Đặt Giá trị nhỏ S a C A 4a z1 = z2 = z3 = a D a Lời giải Chọn B z ,z ,z Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z = z2 = z3 = a Có nên tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R a Cách 1: S = AB.BC + BC CA + CA.AB = 4R ( sinC sin A + sin A sin B + sin B sinC ) R cos C A cos C A cos ( A B ) cos A B cos ( B C ) cos B C �2 R (3 cos B cos C cos A) Lại có: cos A cos B cos C cos A cos BC B C cos 2 B C � � A B C 2 � sin cos 1 � � cos � 2 � 2 3� 2� S � 2a 3� � � 9a ; S � 2� 9a A B C z1 z2 z2 z3 z3 z1 Cách 2: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 40 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y A C x O B S = AB.BC + BC CA +CA.AB �AB + BC +CA 0 � � � Đặt AOB 2 , BOC 2 , COA 2 , ta có , , 180 , 180 Áp dụng định lý cosin tam giác, ta có: AB + BC + CA2 = 6a2 - 2a2 ( cos2a + cos2b + cos2j ) cos2a + cos2b + cos2j = 2cos2 a - 1- 2cosa cos( b - j ) 1 � � � � 2� cos cos � � cos 1�� 2 � � � � cos � � �� � 600 cos � � Dấu " " xảy 6a 2a 9a 2 Vậy giá trị lớn S Câu 24 Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 z2 12i z1 20i z2 Gọi M , m 2 P z1 z2 12 15i giá trị lớn nhỏ biểu thức Khi giá trị M m A 225 B 223 C 224 D 220 Lời giải Chọn A � �w z2 �� �w 8i z2 Đặt w z1 12i �AB � z Gọi A , B hai điểm biểu diễn hai số phức w Khi ta có �AM OB M 6;8 với điểm � AB AM OB 10 OM Suy A , B thuộc đoạn OM uuu r uuuu r uuu r uuuu r x , y� 0;1 OA xOM 6 x;8 x OB yOM 6 y;8 y Suy với Đặt �w 6 x xi � �z2 6 y yi Khi Hay x , y� 0;1 với P 6 x xi 12 y 16 yi 21 3i P 6 x 12 y 21 x 16 y 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Đặt t x y, t � 0;3 Trang 41 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Khi P 100t 300t 450 f t 100t 300t 450 0;3 ta Khảo sát hàm số đoạn �3 � in f t f � � 225 max f t f 450 m 0;3 0;3 �2 � , 2 Từ suy M 450 , m 15 Vậy M m 225 w 4i Câu 25 Cho hai số phức z; w thoả mãn z.z Tìm giá trị lớn biểu thức P zw A Pmax B Pmax P 10 C max Lời giải D Pmax Chọn B M x; y Gọi điểm biểu diễn số phức z 2 z.z � x y � M � C1 có tâm O 0;0 , bán kính R1 Gọi N điểm biểu diễn số phức w w 4i � N � C2 : x 3 y Do OI R1 R2 � C1 ; C2 , có tâm I 3; 4 , bán kính R2 nằm P z w MN P � MN max � MN M N OI R1 R2 P 8 Do max Vậy max z a bi a; b �� z 3i Câu 26 Xét số phức thoả mãn điều kiện Tính P a b giá trị biểu thức A P 10 Q z 3i z i B P đạt giá trị lớn C P D P Lời giải: Chọn A Gọi M điểm biểu diễn số phức z z 3i � M � C : x y 3 2 , có tâm I 4;3 , bán kính R A 1;3 ; B 1; 1 Đặt điểm biểu diễn số phức 1 3i i � Q z 3i z i MA MB Ta có: Q MA2 MB 2MA.MB �2 MA2 MB MA MB AB 2 AB � EM E 0;1 Gọi trung điểm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 42 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 2 Do Q �4 ME AB mà ME �CE Q2 5 2 200 C ) giao điểm đường thẳng EI với đường tròn �MA MB � Vậy P �10 Dấu " " xảy �M �C (Với C � �x y � 2 x y 3 � EI : x y C � Đường thẳng Toạ độ thoả mãn hệ � �x � � �y � � � �x � � �y Do CEmax � C 6; � M 6; � P a b 10 � z i z 7i P z 1 i Câu 27 Xét số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn A Pmax 13 B Pmax 73 P 43 C max Lời giải D Pmax 93 Chọn B M x; y ; A 2;1 ; B 4;7 Gọi điểm biểu diễn số phức z; i; 7i Ta có: AB AB : x y z i z 7i � MA MB � MA MB AB � M thuộc đoạn AB N 1; 1 � P z i MN Gọi điểm biểu diễn số phức i Pmax �MN max M A M �B Ta có : M �A � MN AN 13 M �B � MN BN 73 Vậy Pmax 73 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 43 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z i z 4i Câu 28 Xét số phức z thoả mãn điều kiện : Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ A P 10 B P z 2i Tính P M m 10 P2 C Lời giải 10 D P 10 Chọn C M x; y ; A 1;1 ; B 7; Gọi điểm biểu diễn số phức z;1 i; 4i Ta có: AB AB : x y z i z 4i � MA MB � MA MB AB � M thuộc đoạn AB N 5; 2 � z 2i MN Gọi điểm biểu diễn số phức 2i M �A � �� z 2i max � MN max M �B mà AN 5; BN 10 � Do � z 2i max BN 10 � M 10 z 2i � MN � M hình chiếu vng góc N lên đoạn AB �x y �x �� � 2x y �y � M 3; thuộc Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình � P M m 10 � z 2i MN � m đoạn AB Vậy z 4i Câu 29 Cho số phức z thoả mãn Gọi M , m GTLN, GTNN biểu thức P z z i A Q 43 Tính Q M m B Q 33 C Q 13 Lời giải D Q 46 Chọn D M x; y z x yi x; y �� Gọi điểm biểu diễn số phức z 4i � M � C : x 3 y 2 , có tâm I 3; , bán kính R P z z i x y x y 1 x y � d : x y P 2 2 C có điểm chung ۣ d I ; d R Do số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện nên d 23 P � 23 P �10 ۣ m Pmin 13 � 13 P 33 � M Pmax 33 ; Vậy Q M m 46 Câu 30 Giả sử A z1 , z2 hai số phức z thoả mãn P z1 z2 Pmax iz i z1 z2 Tìm GTLN B Pmax C Pmax Lời giải D Pmax Chọn D z ,z Gọi A; B điểm biểu diễn hai số phức TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 44 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có : 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ iz i � i z 2i � z 2i � A, B � C : x 1 y 2 z1 z2 � AB R 1 I 1; ,có tâm , bán kính R C nên AB đường kính đường trịn P z1 z2 OA OB P OA OB �2 OA OB 2 Ta có: 2 mà OA2 OB 2OI AB 2 2.3 P Dấu " " xảy OA OB Vậy Pmax z 3i z z 8 z ,z Câu 31 Cho hai số phức z thoả mãn điều kiện Giá trị P 16 nhỏ biểu thức A Pmin 34 P z1 z2 là: B Pmin 34 C Pmin 34 Lời giải D Pmin 34 Chọn B Đặt w z1 z2 có điểm biểu diễn M w w z1 z2 w z 3i; w z2 3i � w1 w Gọi 1 mà 2 w w w1 w w1 w � w w 2 52 52 82 36 � w1 w � w 10 6i w1 w � M Ta có: w1 w z1 z2 10 6i w 10 6i thuộc đường I 10;6 trịn tâm , bán kính R P z1 z2 w OM P OI R 136 34 Do TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 45 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 32 Cho z1 , z2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ hai nghiệm phương trình 3i iz z 9i Tìm GTLN biểu thức P z1 z2 31 56 Pmax Pmax P 4 A B C max Lời giải Chọn B z x yi x; y �� Gọi 3i iz z 9i � y x 3 i x y i , thoả mãn điều kiện z1 z2 D Pmax � y x 3 x y � x y x y 24 2 2 � x 3 y � z 4i 2 Đặt w z1 z2 Gọi w1 z1 4i; w z2 4i � w1 w1 có điểm biểu diễn M � w w w1 w z1 z2 mà 36 � w1 w 25 � w 8i w1 +w w1 w z1 z2 8i w 8i � M thuộc đường Ta có : R I 6;8 trịn tâm , bán kính 56 P OI R 10 max P z1 z2 w OM 5 Do 2 w1 w w1 w w1 w2 2 Câu 33 Cho số phức z thoả mãn z số thực biểu thức A Pmax P z 1 i B w z z số thực Giá trị lớn là: Pmax 2 Pmax C Lời giải: D Pmax Chọn B z a bi a, b �, b Gọi a bi z a bi 2 z a b Ta có: w 2b � b 2 � a b2 � z w số thực nên w số thực a b TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 46 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ O 0;0 Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm , bán kính R M ; A 1;1 Gọi điểm biểu diễn số phức z 1 i P z i AM Ta có: Do Pmax AO R 2 z z 10 Câu 34 Cho số phức z thoả mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P M m A P 14 B P C P Lời giải: D P Chọn D z x yi x; y �� M x; y Gọi có điểm biểu diễn z z 10 � F1M F2 M 10 F 4;0 ; F2 4;0 với Khi M thuộc elip có trục �a �� � b a2 c2 F F 2c � c4 lớn 2a 10 tiêu cự z OM �� OM �5 Ta có: mà P M m 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA z � M z max 5; m z Vậy Trang 47 ... điểm biều diễn số phức z1 , 2 điểm biểu diễn số phức z2 z 3i � x1 y1 3 M x;y Số phức z1 thỏa mãn suy 1 nằm I 2;3 đường trịn tâm bán kính R1 Số phức z2 z2 ... hai số phức z1 z2 Giá trị lớn A 19 3z1 z2 5i z1 , z2 thỏa mãn z1 1, z2 B 19 C 5 19 D 19 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm Min,Max mođun số phức. .. 3i Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn số phức w thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A zw 13 B 13 C 17 D 17 Lời giải Chọn C Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z w +) +) z 1
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:48
Xem thêm: