NW359 360 DẠNG 49 cực TRỊ số PHỨC GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 49.1: CỰC TRỊ SỐ PHỨC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Môđun số phức: M a; b   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm  mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ uuuu r 2 OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất uuuu r 2 z  a  b  zz  OM   z �0, z ��, z  � z  z z  ,  z ' �0  z ' z '   z z '  z z '  z  z ' �z �z ' �z  z ' kz  k z , k ��  2 z  a  b  2abi  ( a  b )  4a 2b  a  b  z  z  z.z  Chú ý: Lưu ý: z1  z2 �z1  z � z1  kz2  k �0   dấu xảy  z1  z2 �z1  z  z1  z2 � z1  z2  z1  z2 � z1  z2 � z1  kz2  k �0  dấu xảy � z1  kz2  k �0   2 z  z z  z 2  z ��  2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1) z  a  bi  z  c  di  x  a  x  a (2)   y  b  �R 2 r � x  a    y  b  �R z  a  bi  R z  a  bi �R r �z  a  bi �R b2  y  c  d2  1 1 (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R I a; b  Hình trịn tâm  , bán kính R Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồng tâm Parabol � y  ax  bx  c  c �0  � x  ay  by  c �  x  a Quỹ tích điểm M  A  a, b  , B  c, d     y  b   R2 dấu xảy z1  z2  z1  z  z1  z  � z1  kz  k �0  dấu xảy  1 I  a; b  , bán kính r , R Elip TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  2 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Elip Đoạn AB 2a  AB z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z  a  bi  z z  Cho số phức z thỏa mãn , tìm Min Khi ta có M  x; y  A a; b  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với   Quỹ tích điểm  1 � z Min  z0  a  b2 � � 2 � a b �z   i � 2 z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện  Quỹ tích điểm M  x; y  Tìm z Ta có biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d  z Min  d  O, AB   a2  b2  c2  d 2  a  c bd  Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn z  a  bi  R   z  z0  R  z ,z  Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm Max Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  I a; b  biểu diễn số phức z đường tròn tâm  bán kính R 2 �z � Max  OI  R  a  b  R  z0  R � 2 �z Min  OI  R  a  b  R  z0  R �  Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip z  c  z  c  2a ,  a  c   Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Khi ta có x2 y2  1 2 M  x; y   Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z Elip: a a  c � �z Max  a � 2 �z  a  c  � Min z  z1  z  z2  2a  (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2a  z1  z2 Thỏa mãn Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z ��c, �ci ) Tìm � �z1  z2  2c �2 P  z  z0 b  a2  c2 Max, Min Đặt � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Nếu z0  z1  z2 0 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �PMax  a � �PMin  b Nếu � z1  z2 a �z0  � �z  z  k  z  z  �0 Nếu � z1  z2 a �z0  � �z  z  k  z  z  �0 Nếu z0  z1  z0  z2 (dạng tắc) z z  z0   a � �PMax � � �P  z  z1  z2  a Min � � z z PMax  z0   a PMin  z0  z1  z2 b II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ z  z1  z  z P  z  z3  Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M  z  ; A  z1  ; B  z  ; C  z3  z; z1; z2 ; z3 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi từ z  z1  z  z2 giả thiết suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  đoạn AB P  z  z3  CM � Pmin  d  C ;   nhỏ M hình chiếu C lên  z  z0  R P  z  z1  Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN, GTLN M  z  ; I  z0  ; E  z1  z; z0 ; z1 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức Khi z  z0  R � IM  R � M P  z  z1  ME từ giả thiết thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: � MEmax P � MEmin lớn Ta có: Khi đó: Pmax  IE  R Pmin  IE  R z  z1  z  z2 P  z  z3  z  z  Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; H  z3  ; K  z4  Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 ; z4 Khi z  z1  z  z2 từ giả thiết suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung P  z  z3  z  z4  MH  MK trực  AB ; TH1: H , K nằm khác phía so với đường thẳng  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  M �M 0 Ta có: P  HM  KM �HK Dấu xảy TH2: H , K nằm phía so với đường thẳng  Gọi H �là điểm đối xứng  HK Khi Pmin  HK K �  MK �H � K Dấu xảy M �M  H � Ta có: P  MH  MK  MH � P  H� K Khi 2 z  z1  z  z P  z  z3  z  z4  Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTNN M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; H  z3  ; K  z  Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z2 ; z3 ; z4 z  z1  z  z2 Khi từ giả thiết ta có: suy MA  MB hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực  AB Gọi I trung điểm HK MH  MK HK HK 2 2 MI   � P  MH  MK  2MI  Do Pmin � MI � M Ta có: hình chiểu I lên  Khi Pmin  2M I  HK 2 2 z  z0  R P  z  z1  z  z2  Dạng 5: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN biểu thức M  z  ; A  z1  ; B  z2  ; I  z0  z; z1 ; z2 ; z0 Phương pháp: Đặt điểm biểu diễn số phức z  z0  R � IM  R � Khi từ giả thiết Tập hợp điểm biểu diễn M số phức z đường tròn tâm I bán kính R Gọi E trung điểm AB TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ AB M M2 P �EM M M1 , Pmax �EM max Ta có: 2 AB AB 2 Pmax   EI  R   Pmin   EI  R   ; Khi : z z R z  w1  z2  w z ;z z ;w ;w  Dạng 6: Cho hai số phức thoả mãn , P  z1  z2 số phức biết Tìm GTNN M  z1  ; N  z2  ; I  z0  ; A  w1  ; B  w  Phương pháp: Đặt z1  z0  R � M thuộc đường trịn tâm I bán kính R z  w1  z2  w � N thuộc đường trung trực  đoạn AB P  2ME  P  d  I;  R Ta có: P  MN , đó: z  w1  R1 z  w  R2 z ;z w ;w  Dạng 7: Cho hai số phức thoả mãn số phức P  z1  z2 biết Tìm GTNN, GTLN biểu thức M  z1  ; N  z2  ; I  w  ; K  w  Phương pháp: Đặt z1  w1  R1 � M R thuộc đường trịn tâm I bán kính z2  w  R2 � N thuộc đường tròn tâm K bán kính R2 MN max ; MN Ta có: P  MN Dựa vào vị trí tương đối hai đường trịn để tìm BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức z1  z2  Giá trị lớn A  19 3z1  z2  5i z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  B  19 C 5  19 D  19 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm Min,Max mođun số phức HƯỚNG GIẢI: B1: Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d �� B2:Tính z1 ; z2 ; 3z1 + z2 z + z �� z + z �� z1 + z2 - 5i � z1 + z2 + - 5i = 19 + B3:Tính Áp dụng: Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Đặt z1 = a + bi, z2 = c + di với a, b, c, d �� Theo giả thiết a + b2 = 1, c + d = 4, ( a - c) + (b - d ) = 2 2 Do a - 2ac + c + b - 2bd + d = � ac + bd = Ta có 3z1 + z2 = 3(a + c ) + (3b + d )i nên 3z1 + z2 = (3a + c ) + (3b + d ) = 9( a + b ) + (c + d ) + 6(ac + bd ) = 19 Áp dụng bất đẳng thức z + z �� z + z � , ta có 3z1 + z2 - 5i � 3z1 + z2 + - 5i = 19 + Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu z  2i �z  4i z   3i  Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P  z2 là: A 13  B 10  C 13 D 10 Lời giải Chọn C Gọi M  x; y  z  2i �z  4i điểm biểu diễn số phức z ta có: � x   y   �x   y   2 ۣ y ; I 3;3 z   3i  � điểm M nằm đường tròn tâm  bán kính TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU P  z   AM Biểu thức Câu M  4;3 A  2;0    2 max P  , theo hình vẽ giá trị lớn P  z2 đạt      13 z  w  10 Cho số phức z , w thỏa mãn z  w   4i , Tìm giá trị lớn P z  w nên 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 3 B D C Lời giải Chọn D Ta có 2 z  w   4i � z  w   4i  25   � z  w  z.w  z.w  25 z  w  10 � z  w  100  1 , 2   � z  w  z.w  z.w  100   ,  1 Từ  2 2 � z  w  150  Câu  �1 � P  z  w � �  �2 z  w  �3 � z  3i   iz   2i  Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A T  2iz1  z2 313  16 B 313 C 313  313  D Lời giải Chọn A Ta có z1  3i   � 2iz1   10i   1 ; iz2   2i  �  3 z2    3i  12   Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ     suy I 6; 10  điểm A nằm đường tròn tâm  bán kính R1  ; điểm B nằm đường I 6;3 tròn tâm  bán kính R2  12 Ta có T  2iz1  3z2  AB �I1I  R1  R2  122  132   12  313  16 Vậy max T  313  16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ zw 9 Cho số phức z w thỏa mãn z  w   4i Tìm giá trị lớn biểu thức T zw A max T  176 D max T  106 B max T  14 C max T  Lời giải Chọn D z  x  yi  x, y �� w    x    y  i Đặt Do z  w   4i nên zw 9 Mặt khác nên  x  3 zw    y    x  y  12 x  16 y  25  2 2 � x  y  x  y  28  1 Suy T  z  w  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có Dấu "  " xảy Từ Câu  1  2   x x2  y  2    y T �2  x  y  x  y  25     y  2 T �2  28  25  �  106 �T � 106 ta có Cho z  số phức thỏa mãn điều kiện biểu thức   x T  z   3i A 2 Vậy MaxT  106 z    1  i   0,    Giá trị nhỏ B C D Lời giải Chọn C Giả thuyết z    1  i   �   1 z iz 1 z   � z  2i   z  i   1 i  z Từ ta có z  x  yi,  x, y �� x  yi  2i   x  yi  i Đặt ta có �  x  1   y     y  1  x � y   x  2 Khi 2 T  x  yi   3i   x  1   y  3   x  1  x  x  26   x    18 �3 2   x  5 2 Câu Vậy Tmin  , dấu xảy x  2; y  , hay z  2 z  z  z1  z2  T  z1  z Cho số phức z1 z2 thỏa mãn , Tính giá trị lớn A T  10 B T  10 D T  C T  Lời giải Chọn A 2  z1  z2  z1  z2  z1  z2  � z  z2  Theo công thức đường trung tuyến ta có: Hay z1  z2 � z1  z2  z1  z2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Ta có: T  z1  z2 � z1  z2  z1  z2 Vậy Max T  10 Câu  T  z   3i 34  A    10  u   z  i  z  i  z  3i Cho số phức z số phức biểu thức thỏa mãn u 1  u  i  Giá trị lớn bằng: B  34 C  13 D  17 Lời giải Chọn B u  x  yi Gọi  x  1 � x, y �R � với hệ u   u  i  � x  yi   x  yi  i thức  y  x   y  1 � x  y � z  a  bi     a, b �R � u   z  i  z  i  z  3i  z  i z  z   z  3i với Gọi số phức u có phần thực phần ảo 2  a  b  i  2bi     a  bi   3i   a  b  2a  2b  1   2b  3 i a  b  2a  2b  1   2b  3 �  a  1   b    2 Suy ra:  C  có tâm I  1;  bán kính R  Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn Biểu thức T  z    3i   MA , với điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn  C  ; điểm A  2; 3 Suy T  MA �MI  IA  R  IA   Câu 34 z  3w  z  3w  10 Cho số phức z , w thỏa mãn , Tìm giá trị lớn P  z 4 w 905 A B 907 903 C D 902 Lời giải Chọn D 2   z  3w  � z  3w  16 � z  w  z.w  z.w  16  1 , 2   z  3w  10 � z  w  z.w  z.w  100   , Từ  1   suy z  27 w  132   902 �1 16 � P  z  w � �  �6 z  27 w  �6 27 � Câu Cho số phức z có phần ảo khác thức K  z4i A  2 w z  z số thực Tìm giá trị lớn biểu B  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D 2 Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C Đặt a  bi với a, b ��và b �0 Ta có w z a  bi a  bi (a  bi )(a  b   2abi )    2  z 2   a  bi  a  b   2abi a  b   4a 2b   � a (a  b  2)  2ab � � b(a  b  2)  2a 2b � i � � � �  a  b   4a b   z  z số thực suy � �a  b  b(a  b  2)  a 2b  � � �� � 2 a  b   4a 2b �0 a  b2  � � � � w     K2  z  4i    4a 2b �0  (a  4)  (b  2)  a  b  8a  2b  16   20  8a  8b �20   (8)    ( 8) a  b  20  12  32 Suy K �4 Vậy K max  2 z   z1  i  z   i  Câu 10 Xét số phức z1 thỏa mãn số phức z2 thỏa Giá trị nhỏ z1  z2 � A � B C D Lời giải Chọn B 2 z1   z1  i  � � ( x  2)  y � x  ( y  1)2 � � � � � � Ta có: � x  y   �� � Tập hợp biểu diễn số phức z1 đường thẳng d z   i  � ( x  4)  ( y  1)i  Ta lại có: � ( x  4)  ( y  1)  �� � Tập hợp biểu diễn z2 đường tròn (C ) có tâm I (4;1), bán kính R  Khi z1  z2 khoảng cách từ điểm thuộc d đến điểm thuộc (C ) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � 10 x  25  y   14 x  49  y  � x  y  24  � x  y   M2  x; y z M  :x  y 6  biểu diễn số phức Suy thuộc đường thẳng M   y ; x Điểm biểu diễn số phức iz2 Ta thấy M ảnh điểm M qua phép quay tâm O M  :x  y   , góc quay 90 Suy thuộc đường thẳng z  iz2  M 1M z  iz2 � M 1M Khi đó: Do nhỏ nhỏ Suy ra: Điểm  z1  iz2   d  I ;    R  Câu 14 Cho hai số phức thức z1, z2 1 thỏa mãn P  z2  1 i  z2  z1 A 10  2  2 z1  1 3i  z2  1 i  z2  5 i Giá trị nhỏ biểu 85 1 C B D 10  Lời giải Chọn C M  z1  N  z2  z z Gọi , điểm biểu diễn số phức z  1 3i  � I  1;3 Từ điều kiện Tập hợp điểm M đường tròn tâm , bán kính R  z  1 i  z2  5 i � NA  NB A 1;1 , B 5;1 � Từ điều kiện , với Tập hợp điểm N  d :3x  y   đường trung trực đoạn thẳng AB có phương trình P  z2  1 i  z2  z1  NE  MN E   1;1 Ta có , với I E M d N F  I ; R nằm hồn tồn phía so với đường thẳng d Dễ thấy điểm E đường tròn 17 � � � F� ; � �5 5� Gọi F điểm đối xứng E qua d 85 1 Ta có Dấu xảy điểm F ,N, M, I thẳng hàng P  NE  MN �NF  NI  R �FI  R  Vậy P  Câu 15 Các số phức biểu thức 85 1 z1 z2 , thỏa mãn P  z1  z2 w z1   i  z  z  i  số thực 1 4z   13i  Giá trị nhỏ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 37  4 21 C 16 D 37 Lời giải Chọn B + Đặt w z1  x  yi z1   i  z  z  i 1 1 ,  x, y �� , ta có  y 1  x  x   � i  x     y  1 i  x   x  y  1  � � �  xi  x2 y   2x  x  2  � y  x  4x  + Vì w số thực nên 2 13 � 13 � 4z   13i  � z   i  �  x    �y  � � 4� + P  z1  z2  z1    z2   P  : y  2x2  4x 1 + Gọi M điểm biểu diễn z1 điểm M thuộc parabol � 13 � C  :  x    �y  �  z � 4� Gọi N điểm biểu diễn điểm N thuộc đường trịn 2 � 13 � C1  :  x    �y  �  N z N � 4� Gọi điểm biểu diễn điểm thuộc đường tròn  P  T  x0 , x02  x0  1 ,  x0  1 + Phương trình tiếp tuyến  y   x0    x  x0   x02  x0  �  x0   x  y  x02   + Khi đó: � 13 � I� 2, � Pmin �  MN1  � T �là tâm  C1  � I  hình chiếu vng góc lên , với uur � 9� r uu r IT  �x0  2, x02  x0  � uu uur �, n   x0  4, 1 � � IT phương với VTPT n , với 9� � �  x0   � x0  x0  �  x0 � x03  24 x02  x0  11  4� � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 34 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU � x0  Vậy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �1 � �T � , � �2 � Pmin  IT  R  37 37  1  4 z z Câu 16 Cho số phức z , , thoả mãn P  z  z  z1  z  z2 z1  z2  z1  z2  B  Lời giải A  Giá trị nhỏ 2 D C  Chọn C Từ z1  z2  z1  z2  ta có z1  ; z2  ; z1  z2  Gọi M , M , M điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 M , M nằm đường trịn tâm O bán kính R  Do z1  z2  nên M 1M  P  z  z  z1  z  z2  OM  MM  MM Q M ,60�  M   M � Q M ,60�  O   O� MM  MM � ; theo tính chất phép quay ta có ; M� O� �M 1O� OM  O� M �� P  OM  MM  MM �M 1M  MM � Xét Dấu “=” xảy điểm M M M � O� , , , thẳng hàng � Pmin  M 1O�  62  62  2.6.6 cos150�  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z5 5 z�   3i  z �   6i Câu 17 Cho hai số phức z , z� thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z  z� 5 A 10 B C D 10 Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  N x� ; y�  điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức z  x  yi ,  z  x�  y� i z   � x   yi  �  x    y  52 Ta có  C  :  x    y  52 Vậy M thuộc đường tròn  1   y �   i   x�  3   y �  6 i z�   3i  z�   6i �  x� �  x�  1   y �  3   x�  3   y �   � x�  y�  35 2 2 Vậy N thuộc đường thẳng  : x  y  35 C z  z � MN Dễ thấy đường thẳng  không cắt   I, M , N  Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho ba điểm  ta có MN �IN  IM  IN  R �IN  R  d  I,   R   5   6.0  6 2 5  Dấu đạt M �M ; N  N  i  1 z  3i   z1  z2  Câu 18 Gọi z1 , z2 hai tất số phức thỏa mãn điều kiện 3 P  z1  z Gọi m , n giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giá trị S  m  n A 54 B 126 C 72 D 90 Lời giải Chọn C Ta có  i  1 z  3i   �  i  1  z  3  � z 3  C I 3;  R  Gọi M điểm biểu diễn z ta có M nằm đường tròn   tâm  , A , B điểm biểu diễn cho z1 , z2 ta có z1  z2  � AB  Gọi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Gọi H trung điểm AB ta có tam giác IAB vng I (theo định lý Pitago đảo) AB  1 2 � H chạy đường tròn tâm I bán kính R  � IH  P  z1  z2  OA  OB �  12  12   OA2  OB  Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có AB 22  2OH   2OH  2 � max P  OI  R    ; P  OI  R    � m  , n  � S  64   72 OA2  OB  2OH  u  6i  u   3i  10, v   2i  v  i Câu 19 Cho hai số phức u , v thỏa mãn Giá trị nhỏ uv 10 A 10 B 10 D C 10 Lời giải Chọn A 10 � MA  MB   AB + Gọi M điểm biểu diễn số phức u Suy M thuộc Elip có: A, B tiêu điểm, độ dài trục lớn Phương trình đường thẳng AB: x  y  2a  � �A  0;6  � �B  1;3 10 10 �a  + Goị N điểm biểu diễn số phức v : v   2i  v  i �  x  1   y   i  x    y  i �  x  1   y    x    y  � x  y  2 u  v � MN 2 Bài tốn trở thành tìm M thuộc elip, N thuộc đường thăng x  y  để MN nhỏ Để MN nhỏ M , N có vị trí hình vẽ Ta có: MA  MB  10 10 , MA  MB  AB  10 � MA  3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A  0;6  , N  2;  � NA  10 Suy ra: MN  NA  MA  10  Câu 20 Cho số phức z 1, z z1  z2 thỏa mãn 10 10  3 Chọn đáp án D z1   2i  z1   2i  10 z   6i  , Tìm giá trị lớn A 12 B 16 C D 11 Lời giải Chọn A A  2; 2  B  2;  z Gọi M , điểm biểu diễn cho số phức , z   2i z�  2  2i Khi theo đề ta có : MA  MB  10 AB   10 Vì A , B điểm cố  E  có độ dài trục lớn định nên quỹ tích điểm M thõa mãn điều kiện elip 2a  10 , tiêu điểm A , B z   6i  z  C Mặt khác N điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn đường tròn I  6; 6  tâm , bán kính R  Dễ thấy B , A , I nằm đường thẳng y   x IP  � P  5; 5  Xét điểm P nằm đoạn BI thỏa mãn � �P � C  �  C � P � E   E  tiếp xúc P � Khi Do MN lớn : MN  2a  R  MP  PN  10  2  12 , lúc : M , P đỉnh trục lớn  E , N điểm đối xứng P qua I u  6i  u   3i  10 v   2i  v  i Câu 21 Cho hai số phức u , v thỏa mãn , Giá trị nhỏ A 10 uv là: 10 B C 10 10 D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 38 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 10 10 � MF1  MF2  3  Ta có: �1 � I�; � � u có điểm biểu diễn M thuộc elip với hai tiêu điểm F1  0;  , F2  1;3 , tâm �2 �và độ dài u  6i  u   3i  10 � u  6i  u   3i  10 10 �a  trục uuuurlớn F1 F2   1; 3 � F1F2 : 3x  y   2a  v   2i  v  i  v  i  Ta có: � NA  NB � v có điểm biểu diễn N thuộc đường thẳng d trung trực đoạn AB với A  1; 2  , B  0;1 �1 � uuu r K � ; � AB   1;3 , �2 �là trung điểm A � d : x  y   27  2 10 2 d  I,d    2 12   3 10 Dễ thấy z  z2  4, z1  z1  z2 z,z A, A Câu 22 Cho số phức thỏa mãn Gọi điểm biểu F1 F2  d diễn nhiêu? A z1 , z2 � u  v  MN  d  I , d   a  Khi z1 z2 OA1 A2 đạt giá trị lớn diện tích tam giác C B 2 bao D Lời giải Chọn A Giả sử z1  a  bi, z2  c  di với a, b, c, d số thực  2 2 �z  z  z  z  � �  z1  z2  a  c   b  d  �  a  c   b  d  � �1 � � � � � �z  z1  z2 Do � nên z1  z2  z1  z2 2 , tức Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm Tức z1 , z2 16  z1  z2 �2 z1.z2 Max z1.z2  , đẳng thức xảy khi TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  z1  z2  16 2 z1  2 z2  2 ta có: z1  2 z2  Trang 39 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ OA1 A2 tam giác cân A1 , OA1  2 , Đến đây, xét mặt phẳng tọa độ Oxy ta có OA2  A OA2 ta A1 H  Gọi H hình chiếu vng góc 1 S  A1 H OA2  7.2  OA A 2 Vậy diện tích tam giác (đơn vị diện tích) Câu 23 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 đôi khác thỏa mãn S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 B 9a Đặt Giá trị nhỏ S a C A 4a z1 = z2 = z3 = a D a Lời giải Chọn B z ,z ,z Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z = z2 = z3 = a Có nên tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R  a Cách 1: S = AB.BC + BC CA + CA.AB = 4R ( sinC sin A + sin A sin B + sin B sinC )  R  cos  C  A  cos  C  A   cos ( A  B )  cos  A  B   cos ( B  C )  cos  B  C   �2 R (3  cos B  cos C  cos A) Lại có: cos A  cos B  cos C  cos A  cos BC B C cos 2 B C � � A B C  2 � sin  cos 1 � � cos � 2 � 2 3� 2�  S � 2a 3� � � 9a ; S � 2� 9a A B C z1 z2 z2 z3 z3 z1 Cách 2: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 40 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y A C x O B S = AB.BC + BC CA +CA.AB �AB + BC +CA 0 � � � Đặt AOB  2 , BOC  2 , COA  2 , ta có   ,  ,   180 ,       180 Áp dụng định lý cosin tam giác, ta có: AB + BC + CA2 = 6a2 - 2a2 ( cos2a + cos2b + cos2j ) cos2a + cos2b + cos2j = 2cos2 a - 1- 2cosa cos( b - j ) 1 � � � �  2� cos   cos      � � cos       1�� 2 � � � � cos       � � �� �       600 cos   � � Dấu "  " xảy 6a  2a  9a 2 Vậy giá trị lớn S Câu 24 Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1  z2   12i  z1   20i   z2 Gọi M , m 2 P  z1  z2  12  15i giá trị lớn nhỏ biểu thức Khi giá trị M  m A 225 B 223 C 224 D 220 Lời giải Chọn A � �w  z2  �� �w   8i  z2  Đặt w  z1   12i �AB  � z Gọi A , B hai điểm biểu diễn hai số phức w Khi ta có �AM  OB  M  6;8  với điểm � AB  AM  OB  10  OM Suy A , B thuộc đoạn OM uuu r uuuu r uuu r uuuu r x , y� 0;1 OA  xOM   6 x;8 x  OB  yOM   6 y;8 y  Suy với Đặt �w  6 x  xi � �z2  6 y  yi Khi Hay x , y� 0;1 với P  6 x  xi  12 y  16 yi  21  3i P  6 x  12 y  21   x  16 y  3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Đặt t  x  y, t � 0;3 Trang 41 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Khi P  100t  300t  450 f  t   100t  300t  450  0;3 ta Khảo sát hàm số đoạn �3 � in f  t   f � � 225 max f  t   f    450 m  0;3  0;3 �2 � , 2 Từ suy M  450 , m  15 Vậy M  m  225 w   4i  Câu 25 Cho hai số phức z; w thoả mãn z.z  Tìm giá trị lớn biểu thức P zw A Pmax  B Pmax  P  10 C max Lời giải D Pmax   Chọn B M  x; y  Gọi điểm biểu diễn số phức z 2 z.z  � x  y  � M � C1  có tâm O  0;0  , bán kính R1  Gọi N điểm biểu diễn số phức w w   4i  � N � C2  :  x  3   y    Do OI   R1  R2 �  C1  ;  C2  , có tâm I  3; 4  , bán kính R2  nằm P  z  w  MN P � MN max � MN  M N  OI  R1  R2  P 8 Do max Vậy max z  a  bi  a; b �� z   3i  Câu 26 Xét số phức thoả mãn điều kiện Tính P  a  b giá trị biểu thức A P  10 Q  z   3i  z   i B P  đạt giá trị lớn C P  D P  Lời giải: Chọn A Gọi M điểm biểu diễn số phức z z   3i  � M � C  :  x     y  3  2 , có tâm I  4;3 , bán kính R  A  1;3 ; B  1; 1 Đặt điểm biểu diễn số phức 1  3i  i � Q  z   3i  z   i  MA  MB Ta có: Q  MA2  MB  2MA.MB �2  MA2  MB  MA  MB AB 2 AB � EM   E  0;1 Gọi trung điểm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 42 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 2  Do Q �4 ME  AB mà ME �CE  Q2    5 2 200  C  ) giao điểm đường thẳng EI với đường tròn �MA  MB � Vậy P �10 Dấu "  " xảy �M �C (Với C � �x  y   � 2 x     y  3   � EI : x  y   C � Đường thẳng Toạ độ thoả mãn hệ � �x  � � �y  � � � �x  � � �y  Do CEmax � C  6;  � M  6;  � P  a  b  10 � z   i  z   7i  P  z 1  i Câu 27 Xét số phức z thoả mãn Tìm giá trị lớn A Pmax  13 B Pmax  73 P  43 C max Lời giải D Pmax  93 Chọn B M  x; y  ; A  2;1 ; B  4;7  Gọi điểm biểu diễn số phức z;   i;  7i Ta có: AB  AB : x  y   z   i  z   7i  � MA  MB  � MA  MB  AB � M thuộc đoạn AB N  1; 1 � P  z   i  MN Gọi điểm biểu diễn số phức  i Pmax �MN max M A M �B Ta có : M �A � MN  AN  13 M �B � MN  BN  73 Vậy Pmax  73 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 43 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ z   i  z   4i  Câu 28 Xét số phức z thoả mãn điều kiện : Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ A P   10 B P z   2i Tính P  M  m  10 P2 C Lời giải   10  D P  10 Chọn C M  x; y  ; A  1;1 ; B  7;  Gọi điểm biểu diễn số phức z;1  i;  4i Ta có: AB  AB : x  y   z   i  z   4i  � MA  MB  � MA  MB  AB � M thuộc đoạn AB N  5; 2  � z   2i  MN Gọi điểm biểu diễn số phức  2i M �A � �� z   2i max � MN max M �B mà AN  5; BN  10 � Do � z   2i max  BN  10 � M  10 z   2i � MN � M hình chiếu vng góc N lên đoạn AB �x  y   �x  �� � 2x  y   �y  � M  3;  thuộc Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình �   P  M  m  10  � z   2i  MN  � m  đoạn AB Vậy z   4i  Câu 29 Cho số phức z thoả mãn Gọi M , m GTLN, GTNN biểu thức P  z   z i A Q  43 Tính Q  M  m B Q  33 C Q  13 Lời giải D Q  46 Chọn D M  x; y  z  x  yi  x; y �� Gọi điểm biểu diễn số phức z   4i  � M � C  :  x  3   y    2 , có tâm I  3;  , bán kính R  P  z   z  i   x    y  x   y  1  x  y  � d : x  y   P  2 2  C  có điểm chung ۣ d  I ; d  R Do số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện nên d 23  P  � 23  P �10 ۣ m  Pmin  13 � 13 P 33 � M  Pmax  33 ; Vậy Q  M  m  46 Câu 30 Giả sử A z1 , z2 hai số phức z thoả mãn P  z1  z2 Pmax  iz   i  z1  z2  Tìm GTLN B Pmax  C Pmax  Lời giải D Pmax  Chọn D z ,z Gọi A; B điểm biểu diễn hai số phức TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 44 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có : 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ iz   i  � i z   2i  � z   2i   � A, B � C  :  x  1  y  2 z1  z2  � AB   R  1  I 1; ,có tâm  , bán kính R   C nên AB đường kính đường trịn P  z1  z2  OA  OB P   OA  OB  �2  OA  OB 2 Ta có:  2  mà OA2  OB  2OI  AB 2 2.3   P Dấu "  " xảy OA  OB Vậy Pmax  z   3i  z z 8 z ,z Câu 31 Cho hai số phức z thoả mãn điều kiện Giá trị P 16  nhỏ biểu thức A Pmin   34 P  z1  z2 là: B Pmin  34  C Pmin   34 Lời giải D Pmin   34 Chọn B Đặt w  z1  z2 có điểm biểu diễn M w  w  z1  z2  w  z   3i; w  z2   3i � w1  w  Gọi 1 mà 2  w  w  w1  w  w1  w  � w w 2   52  52   82  36 � w1  w  � w  10  6i  w1  w  � M Ta có: w1  w  z1  z2  10  6i  w  10  6i thuộc đường I  10;6  trịn tâm , bán kính R  P  z1  z2  w  OM P  OI  R  136   34  Do TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 45 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 32 Cho z1 , z2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ hai nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i Tìm GTLN biểu thức P  z1  z2 31 56 Pmax  Pmax  P 4 A B C max Lời giải Chọn B z  x  yi  x; y �� Gọi  3i  iz  z   9i �   y    x  3 i   x     y   i , thoả mãn điều kiện z1  z2  D Pmax  �   y    x  3   x     y   � x  y  x  y  24  2 2 �  x  3   y    � z   4i  2 Đặt w  z1  z2 Gọi w1  z1   4i; w  z2   4i � w1  w1  có điểm biểu diễn M   � w w w1  w  z1  z2  mà 36 � w1  w  25 � w   8i  w1 +w  w1  w  z1  z2   8i  w   8i � M thuộc đường Ta có : R I  6;8  trịn tâm , bán kính 56 P  OI  R  10   max P  z1  z2  w  OM 5 Do 2 w1  w  w1  w  w1  w2 2  Câu 33 Cho số phức z thoả mãn z số thực biểu thức A Pmax  P  z 1 i B w z  z số thực Giá trị lớn là: Pmax  2 Pmax  C Lời giải: D Pmax  Chọn B z  a  bi  a, b  �, b  Gọi  a  bi   z   a  bi  2 z a b Ta có: w 2b � b  2  � a  b2  � z  w số thực nên w số thực a b TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 46 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ O  0;0  Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm , bán kính R  M ; A  1;1 Gọi điểm biểu diễn số phức z 1  i P  z   i  AM Ta có: Do Pmax  AO  R  2 z   z   10 Câu 34 Cho số phức z thoả mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính P  M  m A P  14 B P  C P  Lời giải: D P  Chọn D z  x  yi  x; y �� M  x; y  Gọi có điểm biểu diễn z   z   10 � F1M  F2 M  10 F  4;0  ; F2  4;0  với Khi M thuộc elip có trục �a  �� � b  a2  c2  F F  2c  � c4 lớn 2a  10 tiêu cự z  OM �� OM  �5 Ta có: mà P  M m 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA z � M  z max  5; m  z  Vậy Trang 47 ... điểm biều diễn số phức z1 ,  2  điểm biểu diễn số phức z2 z   3i  �  x1     y1  3  M x;y Số phức z1 thỏa mãn suy  1  nằm I 2;3 đường trịn tâm  bán kính R1  Số phức z2 z2  ... hai số phức z1  z2  Giá trị lớn A  19 3z1  z2  5i z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  B  19 C 5  19 D  19 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm Min,Max mođun số phức. ..   3i  Câu 16 Cho số phức z thỏa mãn số phức w thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A zw 13  B 13  C 17  D 17  Lời giải Chọn C Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z w +) +) z 1