Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra được bốn ứng dụng để giải quyết một số bài toán về đại số đó là: ứng dụng giải hệ phương trình, ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức[r]
(1)SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình phổ thông, Đại số (phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, lượng giác, ) là nội dung trọng tâm, xuyên suốt quá trình , nó có mặt hầu hết các kì thi Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp các kỳ thi học sinh giỏi năm gần đây Việc giải các bài toán Đại số có nhiều phương pháp : biến đổi tương đương , đặt ẩn phụ , lượng giác hoá , hình học…, mặc dù có nhiều cách giải , đứng trước các bài toán dạng này còn nhiều học sinh lúng túng, chưa đưa lời giải , đưa lời giải chưa chính xác Nhiều học sinh bây còn học theo kiểu “làm nhiều quen dạng , làm nhiều nhớ”, học không phát triển tư sáng tạo, không linh hoạt đứng trước tình lạ hay bài toán tổng hợp Vì lí đó, để giúp học sinh tháo gỡ vướng mắc trên , nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục và giúp học sinh có thêm phương pháp giải toán ,tôi đã định lấy đề tài : “Sử dụng số phức vào giải số bài toán Đại số ” Với đề tài này tôi hy vọng giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng thành thạo số phức vào giải toán nói chung , giải các bài toán Đại số nói riêng B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề Trong chương trình THPT số phức đưa vào và giảng dạy lớp 12 Sự đời số phức là nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và giải tích (thể rõ qua công thức ei ) Khi làm toán trên số phức học sinh dễ dàng thực vì các định nghĩa và phép toán chương trình khá Với tính chất số phức, giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất số phức với số kiến thức đơn giản lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mẻ Để giúp học sinh có nhìn sâu và rộng số phức và thấy mối liên hệ mật thiết số phức với Đại số, Lượng giác, Hình học và giải tích, quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác toán học để xây dựng các bài tập cho học sinh II Thực trạng vấn đề Khái niệm số phức và các phép toán là khái niệm , đơn giản Học sinh dễ dàng biết việc thực các phép toán số phức dạng đại số dạng lượng giác và việc giải phương trình bậc hai Nguyễn Văn Mạnh (2) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Khi sử dụng định nghĩa hai số phức cách tách phần thực, phần ảo cho ta hệ phương trình, sử dụng công thức Moa-vrơ ta thấy mối liên hệ số phức với các biểu thức lượng giác các biểu thức Cnk khai triển nhị thức Niu-Tơn và sử dụng tính chất môđun số phức dạng bất đẳng thức cho ta các bất đẳng thức đại số tương ứng Điều đó chứng tỏ số phức liên hệ gần gũi với các bài toán đại số, nên ta có thể khai thác số phức công cụ để giải toán Tuy nhiên việc vận dụng vấn đề này vào giải các bài toán đại số thì học sinh chưa thành thạo, còn lúng túng Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này tạo cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt việc giải các dạng toán đại số Trước áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập Học sinh (về vấn đề sử dụng số phức vào giải số bài toán đại số) Đã thu kết sau : Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 18 36 28 56 0 12A6 54 16 30 34 63 0 12 B5 52 10 19 33 63 16 0 Như số lượng Học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều chưa có nguồn kiến thức và kĩ cần thiết Thực đề tài này tôi đã khai thác việc sử dụng số phức thông qua các ứng dụng cụ thể và bài tập tương ứng cho ứng dụng đó Cuối cùng là bài tập tổng hợp để học sinh vận dụng các tính chất đã học vào giải Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi đưa bốn ứng dụng để giải số bài toán đại số đó là: ứng dụng giải hệ phương trình, ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng việc chứng minh các đẳng thức lượng giác và ứng dụng việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk (số các tổ hợp chập k n ) III Giải pháp tổ chức thực Thực đề tài này nội dung tôi chia làm ba phần : Phần Nêu các kiến thức sử dụng đề tài Phần Nêu các ứng dụng Phần Giải số bài toán đại số thông qua các bài tập tương ứng cho ứng dụng Sau đây là nội dung cụ thể : Phần Các kiến thức Các kiến thức sử dụng trọng đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã học Định nghĩa * Một số phức là biểu thức dạng a + bi , đó a , b là số thực và i là số thỏa mãn i 1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi Nguyễn Văn Mạnh (3) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ i gọi là đơn vị ảo , a gọi là phần thực , b gọi là phần ảo số phức z a bi * Hai số phức z1 a bi ; z c di gọi là a = c , b = d Khi đó ta viết z1 z2 * Cho z a bi , ta có số phức liên hợp z là z a bi , môđun z là z a b * Với số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 và z1 z2 z3 z1 z2 z3 Phương trình bậc hai Dạng : Az2 Bz C , đó A, B , C là số phức A Cách giải Xét biệt thức B AC * Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt B B z1 , z2 (trong đó là bậc hai ) 2A 2A B * Nếu thì phương trình có nghiệm kép z1 z2 2A Dạng lượng giác số phức * Mỗi số phức z có thể viết dạng z r (cos isin ) ( đó r là môđun z và là acgumen z ) gọi là dạng lượng giác số phức * Nếu z r (cos isin ) thì z có ba bậc ba là 2 2 4 4 r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) 3 3 3 * Nếu z r(cos isin) thì zn r n (cos n i sin n) (n N* ) (công thức Moa-vrơ) Công thức nhị thức Niu-tơn n a b Cn0 an Cn1an 1b Cnk an k b k Cnn bn n Hệ 1 x Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n Tổng n số hạng đầu tiên cấp số nhân Cho un là cấp số nhân với công bội q , ta có u1 (1 q n ) u1 u2 un 1 q Phần Các ứng dụng số phức Ứng dụng giải hệ phương trình Kiến thức sử dụng A( x ; y ) B ( x; y ) * Hệ pt A( x; y ) iC( x; y ) B( x; y) iD( x; y ) C ( x ; y ) D ( x ; y ) Nguyễn Văn Mạnh (4) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ * Nếu z r (cos isin ) thì z có ba bậc ba là 2 2 4 4 r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) 3 3 3 Ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức Kiến thức sử dụng * Cho z a bi , ta có môđun z là z a b * Với số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 và z1 z2 z3 z1 z2 z3 Ứng dụng việc chứng minh các đẳng thức lượng giác Kiến thức sử dụng * Nếu z r(cos isin) thì zn r n (cos n i sin n) (n N* ) (công thức Moa-vrơ) * Cho un là cấp số nhân với công bội q , ta có u1 (1 q n ) u1 u2 un 1 q Ứng dụng việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk (số các tổ hợp chập k n ) Kiến thức sử dụng n * 1 x Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n * Nếu z r(cos isin) thì zn r n (cos n i sin n) (n N* ) (công thức Moa-vrơ) A C * A + Bi = C + Di B D Phần Giải số bài toán đại số thông qua các bài tập tương ứng cho ứng dụng Ta xét ứng dụng vào giải toán đại số thông qua các ví dụ Sau cùng là các bài tập vận dụng ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức sử dụng A( x ; y ) B ( x; y ) * Hệ pt A( x; y ) iC( x; y ) B( x; y) iD( x; y ) C( x; y ) D( x; y ) * Nếu z r (cos isin ) thì z có ba bậc ba là 2 2 4 4 r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) , r (cos i.sin ) 3 3 3 Ví dụ Giải các hệ phương trình sau: 2 x xy a 6 x y y Giải Nguyễn Văn Mạnh (5) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 1 3 Hpt x xy i x y y 3i x yi i 2 1 z x yi là bậc ba i ,vì 2 1 1 5 i 5(cos sin ) i có ba bậc là: 2 3 2 7 7 13 13 z0 5(cos sin ) ; z1 5(cos sin ) ;z2 5(cos sin ) 9 9 9 xét z z0 ; z z1 ; z z2 , ta : 7 13 3 x 5.cos x 5.cos x 5.cos ; ; là nghiệm hpt đã cho 13 y 5.sin y 5.sin y 5.sin 2 x xy x 3y x b y x y xy 3y Giải ( x 1) y ( x 1) Hpt 3( x 1) y y ( x 1)3 y ( x 1) i 3( x 1)2 y y i ( x iy )3 i z x yi là bậc i , vì i 2(cos sin ) 4 Nên i có bậc ba là: 3 3 17 17 z0 2(cos i sin ) ; z1 2(cos i sin ) ; z2 2(cos i sin ) 12 12 4 12 12 xét z z0 ; z z1 ; z z2 , ta được: 3 17 6 x 1 2.cos 12 x 1 2.cos x 1 2.cos 12 ; ; 6 y 2.sin y 2.sin y 2.sin 17 12 12 Ví dụ Giải các hệ phương trình: x 5y 70 x x2 y2 a y 5x 5y x2 y2 Giải Nguyễn Văn Mạnh (6) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ ĐK x y Hpt x x 5y 5x 5y i y 7 x2 y2 x2 y2 x iy y ix (*) 2 x y x y2 x iy y ix i Đặt z x yi ; , đó : x y2 z x y2 z x yi (*) z z 5i i z z 5i z z z 5i x x Với z 5i ; với z 5i (tmđk) y y KL: hệ phương trình có hai nghiệm là: (7 ; ) và (0 ; ) x y x xy 2 x y b 3 2 2 x y x y xy 3y (2 x 1) y y Giải 2 2 ( x y )( x y ) x ( x y ) 2( x y) Hpt 2 2 2 2 xy( x y ) y( x y ) 4( x y ) 2(2 x y) Nếu x = y = ; thỏa mãn hệ pt nên x = y = là nghiệm hệ Nếu x y x 2y 2 x y x 0 x2 y2 Hpt 2 xy 3y 2 x y x y2 x 2y 2x y +i.[ xy y 2 ]=0 x y x 2 x y x y2 x iy y xi ( x xyi y ) 3( x yi ) 2 4i x y x y2 x iy y xi ( x yi )2 3( x yi ) 2 4i x y x y2 x iy y ix i Đặt z x yi ; ; ta có phương x y2 z x y2 z 4i trình: z 3z 4i z z Nguyễn Văn Mạnh (7) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ z 3z 4iz 4i ( z 1)( z z 4i 2) z z z i z z 4i z 1 i x x x 1 Với z ; với z i ; với z 1 i y y 1 y KL: hệ pt đã cho có nghiệm là : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) và (-1; 1) Ví dụ Giải các hệ phương trình: 12 x 2 y x a 12 y y x Giải ĐK : x, y ; y 3x u x Đặt ( u , v ) Ta có hệ phương trình: v y 12u u u2 v2 12u 12v u i v 6i 2 12 v u v u v v 6 u2 v2 u iv u iv u vi 12 i ; đặt z u iv ; ta có pt u v2 u v2 z z 12 6i z2 2( 3i).z 12 z z ( 3) (3 3)i ; u , v nên z ( 3) (3 3)i z ( 3) (3 3)i u x (3 3) x v y (3 3)2 y 12 x LK: hệ pt đã cho có nghiệm : y 12 Nguyễn Văn Mạnh (8) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 2 3x 1 x y b 7y 1 x y Giải ĐK : x, y ; y x ; đặt x u ; y v ( u , v ) u u u2 v Ta có hệ phương trình: v v u2 v2 u v u i v i u v2 u2 v u iv u vi i ; đặt z u iv 2 , ta có pt 2 u v z u v 2 z i z2 i z ; có z 7 u vi 2 z i 21 38 2 ' i ( 2.i)2 21 21 21 z 2 i 21 11 u 21 x u 21 Do u , v , nên v 2 y v 22 7 22 11 KL: hệ pt đã cho có nghiệm ( x; y ) ; 7 21 7 Nguyễn Văn Mạnh (9) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Kiến thức sử dụng * Cho z a bi , ta có môđun z là z a b * Với số phức z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 và z1 z2 z3 z1 z2 z3 Ví dụ Chứng minh với x R , ta luôn có: x2 2x x2 2x Giải x 1 2 22 1 x 22 Xét các số phức z1 x 2i ; z2 x 2i z1 z2 4i Bđt 2 Vì z1 z2 z1 z2 x 1 22 1 x 2 2 Nên đpcm Ví dụ Chứng minh với x, y, z R , ta luôn có: x xy y x xz z y yz z Giải 2 2 y y 3 z z 3 2 Bđt x x y yz z 2 2 y y z z Xét z1 x i ; z2 x i z1 z2 y z y z i 2 2 2 2 y y 3 z z 3 Vì z1 z2 z1 z2 x x 2 2 2 1 y z y z y yz z nên 2 Ví dụ Chứng minh với x R , ta luôn có: 2 16 32 x 2 x x x x 10 2 5 Giải 32 64 Bđt x x x x 8x 20 5 Nguyễn Văn Mạnh đpcm x x 42 2 5 16 x2 x 5 (10) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 16 2 2 2 2 2 2 x x x x 5 16 8 Xét z1 x 2i ; z2 x 2i ; z3 x i ; z4 x i 5 5 12 16 z1 z2 4i ; z3 z4 i , vì 5 z1 z2 z3 z4 z1 z2 z3 z4 2 12 16 VT nên đpcm Ví dụ Cho a , b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện a2 b2 a b ; c2 d 36 12 c d Chứng minh : 2 2 a c b d 1 Giải 2 Từ giả thiết ta có a 1 b 1 ; c d 36 Xét z1 a 1 b i , z2 c d i , z 5i 2 z1 z2 z3 (c a) (d b)i , vì z1 z2 z3 z1 z2 z3 1 5 c a d b 2 a c b d 1 Ví dụ Cho a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1.Chứng minh : b2 a2 c2 2b2 a2 2c2 ba cb ac Giải 2 2 2 2 Bđt a b b c c a 2 Xét z1 i ; z2 i ; z3 i a b b c c a 1 1 1 1 z1 z2 z3 i , vì a b c a b c z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 1 1 1 1 1 1 VT ,vì a b c a b c a b c 1 ab + bc + ca = 1, nên VT đpcm a b c Nguyễn Văn Mạnh 10 (11) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ví dụ Chứng minh với x , y, z , ta có : x xy y y yz z z zx x x y z Giải Bđt 2 2 2 y y 3 z z 3 x x 3 x y z x y z 2 2 2 y y z z x x xét z1 x i ; z2 y i ; z3 z i 2 2 2 3 z1 z2 z3 x y z x y z i ,vì z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 VT x y z x y z x y z đpcm 4 ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Kiến thức sử dụng * Nếu z r(cos isin) thì zn r n (cos n i sin n) (n N* ) (công thức Moa-vrơ) * Cho un là cấp số nhân với công bội q , ta có u1 (1 q n ) u1 u2 un 1 q Ví dụ Chứng minh rằng: 3 5 a cos cos cos 7 3 5 b sin sin sin cot 7 14 Giải Xét z cos i sin ; ta có: 7 3 5 3 5 z z z cos cos cos i sin sin sin 7 7 z z 1 z Mặt khác : z z z = z 1 z 1 1 z cos i sin 7 i cot 2 14 cos i sin (1 cos )2 sin 7 7 Nguyễn Văn Mạnh (1) (2) 11 (12) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 3 5 cos cos cos Từ (1) và (2) (đpcm) sin sin sin cot 7 14 Ví dụ Chứng minh với x k 2 , ta có : (n 1) x nx sin cos 2 a cos x cos2 x cos nx 1 x sin ( n 1) x nx sin sin 2 b sin x sin x sin nx x sin Giải Đặt A cos x cos2 x cos nx ; B sin x sin x sin nx Xét z cos x isin x , ta có: z n 1 n n A Bi z z z A Bi z z z 1 z cos( n 1) x isin( n 1) x A Bi cos x i s inx ( n 1) x (n 1) x ( n 1) x 2sin 2i.sin cos 2 x x x 2sin 2i.sin cos 2 ( n 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 i 2 A Bi x x sin sin 2 ( n 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 ;B= 2 A 1 (đpcm) x x sin sin 2 Ví dụ Tính các tổng sau: n n Sn q k sin( k ) ; Tn q k cos( k ) k 0 k 0 ( đó ; ; q là các số thực cho trước ) Giải Ta có : Tn iSn cos isin qcos( ) i.sin( ) qn cos( n) i.sin( n) Nguyễn Văn Mạnh 12 (13) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ (cos i.sin) 1 q(cos i.sin ) q2 (cos2 i.sin2) qn (cosn i.sinn ) đặt z cos i.sin ; ta Tn i.Sn (cos i.sin ) 1 qz q2 z2 qn z n ( qz )n1 (cos +i.sin ) qz ( c os i sin ) q n ( c os(n+1) +i.sin(n+1) )-1 q ( c os i sin ) cos q.cos(n - )-qn1cos(n 1) qn2cos(n ) 2qcos q2 sin qsin(n ) qn1 sin(n 1) qn2 sin(n ) i 2qcos q2 sin q sin(n ) qn1 sin(n 1) qn2 sin(n ) Vậy Sn 2q cos q2 cos q.cos(n - )-q n1cos ( n 1) q n2 cos( n ) q cos q Ví dụ Chứng minh : 2 4 8 3 cos cos cos 33 7 7 Giải k 2 k 2 Ta có x k cos i.sin ; ( k = ,1, ,6) là các nghiệm pt 7 x , từ đó x k (k = ,1, , 6) là nghiệm pt và Tn 1 1 1 x x x x x x x x x 1 2k Đặt y x , đó yk x k x k x k 2.cos ( k = ,2 ,3 ) là x xk nghiệm pt : y y y Theo định lý viet ta có: y1 y2 y3 1 y1 y2 y2 y3 y3 y1 2 ; y y y 2 đặt A y1 y2 y3 ; B y1 y2 y2 y3 y3 y1 , ta có A3 y1 y2 y3 3 y1 y2 y3 AB A 4 AB (1) , tương tự B 5 AB (2) , Lấy (1) nhân với (2) ta Nguyễn Văn Mạnh 13 (14) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 3 AB AB 3 AB AB AB , thay vào (1) ta A3 3 A 3 2 4 6 cos cos cos 33 7 7 ,mà cos 6 8 cos 7 2 4 8 cos cos 33 (đpcm) 7 ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CÁC BIỂU THỨC CHỨA Cnk (SỐ TỔ HỢP CHẬP k CỦA n ) Kiến thức sử dụng n * 1 x Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n * Nếu z r(cos isin) thì zn r n (cos n i sin n ) (n N* ) (công thức Moa-vrơ) A C * A + Bi = C + Di B D Ví dụ Tính tổng: A = 310 C200 - 39 C202 38 C204 - 37 C206 32 C2016 - 3C2018 C2020 Nên cos Giải Xét khai triển: 3i 20 ( 3)20 C 200 i( 3)19 C120 ( 3)18C 220 ( 3)2 C 1820 i 3C 1920 C 2020 = 39C 202 38C 204 37C 620 32C1620 3C1820 C 2020 ) + = ( 310C 20 + ( 3)19 C120 ( 3)17C 320 ( 3)3C1720 3C1920 i Mặt khác: 20 20 1 20 20 20 3i 2 i cos isin 20 cos isin 2 6 6 4 4 220 cos isin 220 i 219 219 i 3 2 20 20 So sánh phần thực 3i 20 hai cách tính trên ta có: 310 C200 - 39 C202 38 C204 - 37 C206 32 C2016 - 3C2018 C2020 = - 219 Ví dụ Tính các tổng sau: Nguyễn Văn Mạnh 14 (15) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 12 14 -3C 152 +5C 154 -7C 156 + +13C 15 -15C 15 A = C 15 13 15 B = 2C 115 -4C 15 +6C 15 -8C 157 + +14C 15 -16C 15 Giải Xét khai triển: (1 + x)15 = C150 xC15 x 2C152 x 3C153 x 13C1315 x 14C14 x 15C1515 15 x(1 + x)15 = xC150 x2C115 x3C152 x4C153 x14C1315 x15C1415 x16C1515 Đạo hàm hai vế ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C150 xC151 x C152 x 3C153 14 x 13C1513 15x 14 C1514 16 x15C1515 Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = = C150 3C152 5C 154 7C 156 13C 1512 15C 1514 + 13 15 + 2C115 4C153 6C155 8C157 14C15 16C15 i Mặt khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 15 2 15 cos isin 15i 4 14 2 15 14 14 15 isin isin cos 15.2 i cos 4 4 27 27i 15.27 14.27 27i 7.28 27i 15 14 cos isin 4 2 15 2 2 i 15.2 So sánh phần thực và ảo (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính trên ta có: 12 14 C 150 -3C 152 +5C 154 -7C 156 + +13C 15 -15C 15 = 7.28 13 15 = -2 2C 115 -4C 15 +6C 15 -8C 157 + +14C 15 -16C 15 Ví dụ Tính tổng: S = C200 C203 C206 C203 k C2015 C2018 Giải: Xét khai triển: (1 + x)20 = C 020 xC120 x C 220 x 3C 320 x 18C1820 x19 C1919 x 20 C 20 20 Cho x = ta có: Nguyễn Văn Mạnh 15 (16) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 20 220 = C 020 C120 C 220 C 20 C 1820 C 1920 C 20 (1) Cho x = i ( 1 và ), ta có: 2 (1 + )20 = C 020 C120 C 202 C 20 C 1820 C 1920 2C 2020 (2) Cho x = ta có: (1 + )20 = C 020 2C120 C 202 C 320 C 1820 2C 1920 C 2020 (3) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: 220 + (1 + )20 +(1 + )20 = 3S Mặt khác: (1 )20 ( )20 40 ; (1 )20 ( )20 20 220 Do vậy: 3S = – Hay S = 20 Ví dụ Chứng minh : a C20n C22n C24n ( 1)n C22nn n cos n b C21n C23n C25n ( 1)n 1 C22nn 1 n sin n Giải Ta có 1 x C20n C21n x C22n x C22nn1 x n1 C22nn x n Cho x = i ta n 1 i [C20n C22n C24n (1)n C22nn ]+[C21n C23n C25n (1)n1 C22nn1 ].i (1) 2n 2n n n Mặt khác i cos i.sin 1 i n cos i.sin 4 2 2n n n 1 i n cos i 2n sin (2) 2 n Từ (1) và (2) ta C20n C22n C24n ( 1) n C22nn n cos n C21n C23n C25n ( 1)n 1 C22nn 1 n sin đpcm Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n ta có: a cos n cosn Cn2cosn2 sin2 Cn4cosn4 sin Cn6cosn6 sin6 b sin n Cn1cos n1 sin Cn3cos n3 sin Cn5cos n5 sin Giải Nguyễn Văn Mạnh 16 (17) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ n n Ta có : cos i.sin Cnk cos n k (isin ) k k 0 (cos C cos sin Cn4 cos n 4 sin Cn6 cos n 6 sin ) n n n 2 i.(Cn1cosn 1 sin Cn3cosn 3 sin Cn5cos n5 sin ) (1) n Mặt khác : cos i.sin cos n i.sin n (2) Từ (1) và (2) đồng phần thực , phần ảo đpcm Ví dụ Chứng minh (n 2) cos 2 (n 2) b Cn0 sin Cn1sin2 Cn2sin3 Cnnsin(n 1) 2n.cosn sin 2 Giải n Ta có 1 x Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n a Cn0cos Cn1cos2 Cn2cos3 Cnncos(n 1) 2n.cosn n x 1 x Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n1 ; cho x cos i.sin , ta VT (cos isin )(1 cos isin )n (cos isin )(2cos2 2i.sin cos )n 2 n n 2n cosn (cos isin )(cos i.sin ) = 2 (n 2) (n 2) 2n cosn [cos i.sin ] 2 ( n 2) ( n 2) n cos n cos i.[2 n cos n sin ] (1) 2 2 Mặt khác n 1 VF Cn0 cos i.sin Cn1 cos i.sin Cnn cos i.sin Cn0 cos i.sin Cn1 cos2 i.sin2 Cnn [cos(n+1) i.sin(n 1) ] n n Cnk cos( k 1) i Cnk sin( k 1) k 0 (2) k 0 Từ (1) và (2) , đồng phần thực , phần ảo đpcm Nguyễn Văn Mạnh 17 (18) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Một số bài tập áp dụng Bài Giải các hệ phương trình sau 3x y x 3 x2 y2 b y x 3y x y2 x xy a 3 x y y x 12 x 11y 1 xy4 x y x y2 c d y x 11x 12 y y 1 x2 y2 x y Bài a Cho x y , chứng minh : 4( x y ) 2( x y ) b Cho x, y, z > thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 y z 82 x y z 2 c Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a b 16 8a 6b Chứng minh rằng: 4a + 3b 40 d Chứng minh với x , y, z , ta luôn có: x2 x xy y y yz z x xz z 1 1 Bài Chứng minh : 0 cos6 sin 24 sin 48 sin12 2 4 8 3 Bài Chứng minh : cos cos cos 6 9 Bài Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = Chứng minh a cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = b 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c và 3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c Bài Chứng minh đẳng thức : 1 C n Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 n Bài Tính tổng: A= C -3C 502 +32 C 504 - -323C 5046 +324 C 5048 -325C 50 50 50 50 Bài Tính tổng : k 1 T = C120 +C 20 +C 20 + +C 20 + +C 1620 +C 1920 Nguyễn Văn Mạnh 18 (19) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ IV Kết và kiến nghị đề xuất Kết nghiên cứu Thực tiễn giảng dạy trường THPT Hậu Lộc IV tôi nhà trường giao cho giảng dạy lớp : 12A3 , 12A6 , 12B5 Sau thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồng ghép vào dạy trên lớp, các dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinh hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu , chất lượng học toán nâng lên rõ rệt Về việc sử dụng số phức vào giải số bài toán đại số , đã giúp cho Học sinh có nhìn nhận tương đối mẻ và toàn diện các phương pháp giải hệ phương trình, chứng minh các đẳng thức lượng giác, tính tổng các biểu thức chứa Cnk chứng minh bất đẳng thức Giúp các em nắm mối liên hệ mật thiết số phức với hệ phương trình , số phức với lượng giác, số phức với nhị thức Niu-Tơn và với bất đẳng thức, thấy rõ vai trò việc vận dụng số phức vào giải toán nói chung vào việc giải toán đại số nói riêng Từ đó Học sinh biết nào thì sử dụng số phức vào giải toán và sử dụng nào Sau áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu kết sau : Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 10 20 25 50 15 30 0 0 12A6 54 17 27 50 18 33 0 0 12 B5 52 20 38 26 50 0 Như qua kết trên , so sánh với số liệu khảo sát lần đầu , tôi nhận thấy chất lượng học tập môn toán Học sinh nâng lên rõ rệt , số lượng học sinh khá giỏi đã tăng lên nhiều Kiến nghị và đề xuất Do thời gian dạy học trên lớp còn hạn chế, nên để áp dụng tốt nội dung này thì phải cần : * Đối với giáo viên : - Nêu đầy đủ , ngắn gọn, các kiến thức - Nắm vững việc học và khả học sinh để giúp các em vận dụng tốt trên khả mình - Các kiến thức đưa cho học sinh phải lựa chọn tình tiết học để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức - Phải lựa chọn phương pháp dạy học, phương tiện phù hợp với nội dung bài - Khắc sâu kiến thức kết hợp với luyện tập và đưa các bài tập tự giải cho học sinh tự giác làm - Tham khảo ý kiến đồng nghiệp, học sinh để có biện pháp truyền đạt kiến thức hợp lí * Đối với Học sinh : - Nghiên cứu kĩ sách giáo khoa và các sách tài liệu khác Nguyễn Văn Mạnh 19 (20) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ - Luôn tự giác học tập và làm bài tập - Trao đổi các thắc mắc với giáo viên và bạn bè C KẾT LUẬN Như qua đề tài, ta thấy việc khai thác định nghĩa và các tính chất số phức, đã giúp học sinh sử dụng số phức công cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều bài toán đại số, từ đó giúp các em có thêm phương pháp giải toán, có linh hoạt tư và nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng yêu cầu đổi dạy học Ngoài các tính chất số phức còn sử dụng nhiều các bài toán hình học, giải tích ,số học và toán tổ hợp khuôn khổ đề tài nên không thể khai thác nhiều ứng dụng số phức, mong có dịp trao đổi với các đồng nghiệp Cuối cùng, dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệp, song không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý , bổ sung các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hậu Lộc , ngày 09 tháng 05 năm 2012 Người thực Nguyễn Văn Mạnh Nguyễn Văn Mạnh 20 (21) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại số 10 , Đại số và giải tích 11 , Giải tích 12 Nhà xuất giáo dục 2008 – 2009 Toán nâng cao giải tích 12 Phan Huy Khải – Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 2000 Biến phức định lý và áp dụng Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh – Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 2009 Toán bồi dưỡng học sinh lớp 10 Đại số – Nhà xuất Hà Nội 1998 Tuyển tập đề thi olympic 30 – lần thứ V , VI , VII , VIII Nhà xuất giáo dục Nguyễn Văn Mạnh 21 (22) SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Mục Lục Tên đề mục ………………………………………………………….Trang A Đặt vấn đề………………………………………………………… B Giải quết vấn đề …………………………………………………… I Cơ sở lý luận vấn đề…………………………………………… II Thực trạng vấn đề nghiên cứu……………………………… III Các giải pháp tổ chức thực hiện… ………………………… Phần Kiến thức bản………………………………… Phần Các ứng dụng số phức…………………………… … Phần Giải số bài toán Đại số thông qua các bài tập tương ứng cho ứng dụng…………………………………………………… Ứng dụng giải hệ phương trình ……………………………………… Ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức…………………… Ứng dụng việc chứng minh các đẳng thức lượng giác ……… 11 Ứng dụng việc tính tổng các biểu thức chứa Cnk ……………… 14 Một số bài tập áp dụng……………………………………………… 18 IV Kết và kiến nghị đề xuất……………………………………… 19 C Kết luận …………………………………………………………….20 Nguyễn Văn Mạnh 22 (23)