Môc tiªu cña ®Ò tµi... Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò..[r]
(1)Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà x héi chđ nghÜa ViƯt NamCéng hoµ x héi chđ nghÜa ViƯt NamCéng hoµ x héi chđ nghÜa ViƯt NamCéng hoµ x héi chđ nghÜa ViƯt Nam Tr−êng THCS Phó Cát Độc lập Độc lập tự §éc lËp §éc lËp tù tù tù h¹nh phóc h¹nh phóc h¹nh h¹nh phóc
đề tài sáng kiến kinh nghiệm đề tài sáng kiến kinh nghiệmđề tài sáng kiến kinh nghiệm đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I Sơ yếu lý lịch II.Nội dung đề tài A Đặt vấn đề:
1 Tên đề tài: “ số gợi ý tìm nghiệm ph−ơng trình bậc hai số gợi ý tìm nghiệm ph−ơng trình bậc hai số gợi ý tìm nghiệm ph−ơng trình bậc hai số gợi ý tìm nghiệm ph−ơng trình bậc hai ”
2 Lý chọn đề tài
- Trong qu¸ trình dạy học môn toán, việc giúp học sinh gi¶i qut mét
số tốn quan trọngTrong dạy học mơn Tốn việc giúp học sinh tìm h−ớng giải cho lớp toán việc quan trọng Đặc biệt dạng có nhiều ứng dụng đại số nh− "Giải ph−ơng trình", việc trở nên cần thiết
- Khi dạy toán giải ph−ơng trình ch−ơng III đại số tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải tập ph−ơng trình có dạng phức tạp dạng câu hỏi khác SGK Chính lý mà tơi đF suy nghĩ, mạnh dạn đ−a số h−ớng dẫn cho em sử dụng cơng thức nghiệm ph−ơng trình bậc hai vào giải dạng toán khác sở kinh nghiệm thân giải dạng tốn đF thu đ−ợc kết định
3 Phạm vi đối t−ợng
Đề tài thực dạy tiết 46, 47 ch−ơng trình đại số với nội dụng luyện tập vận dụng hai công thức nghiệm ph−ơng trình bậc hai sở nội dung kiến thức SGK, dạng tơi có đ−a vài gợi mở cho học sinh ph−ơng pháp giải dạng
Đối t−ợng để thể nghiệm đề tài lớp 9C, 9D Tr−ờng THCS Phú Cát Đây lớp có nhiều em có học lực từ trung bình trở lên, em có hứng thú học tập môn
(2)Đề tài muốn cung cấp cho em ph−ơng pháp giải dạng tập ph−ơng trình bậc hai, qua giúp em nắm đ−ợc vận dụng đ−ợc vào làm tập
B Giải vấn đề
1 Tình trạng tr−ớc thực đề tài Tình trạng tr−ớc thực đề tài1 Tình trạng tr−ớc thực đề tài Tình trạng tr−ớc thực đề tài
Sau dạy xong tiết 47 ch−ơng trình đại số giải ph−ơng trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra 15' với nội dung
Kh«ng tÝnh ∆ hFy giải thích phơng trình có hai nghiệm phân biÖt
0 )
3 ( )
0 )
3 (
)
0 2 )
2 ( )
2
2
= − +
−
= − + +
−
= + −
−
m x m x
c
x x
b
x x
a
KÕt qu¶ nh− sau:
§iĨm Líp Sè
HS 0 1 -> 4 -> 6 -> 8 -> 10
9C 45 15 20
9D 45 14 21
Qua làm em, nhận thấy em ch−a vận dụng tốt đ−ợc cơng thức nghiệm ph−ơng trình bậc hai, số em ch−a biết nên vận dụng kiến thức để làm dạng toán Do ng−ời thầy cần đ−ờng để giúp em đến kết toán cách tt yu, nhanh v chớnh xỏc
2 Các biên pháp đ thực Các biên pháp đ thực hiện2 Các biên pháp đ thực Các biên pháp đ thực
a) Mc ớch ca đề tài
Tôi suy nghĩ thể nghiệm đề tài với mong muốn giúp em học sinh áp dụng nhanh xác cơng thức nghiệm ph−ơng trình bậc hai sở giải tốt dạng tốn ph−ơng trình
b) C¸c b−íc tiÕn hµnh
(3)các hệ số a, b, c xác để tránh sai sót vận dụng công thức nghiệm vào làm tập
Dạng : Xác định số nghiệm ph−ơng trình bc hai
ax2+bx+c=0 (a0)
Phơng pháp giải :
- Xác định hệ số a,b,c ph−ơng trình ax2+bx+c=0 (a≠0) - Tính ∆ = b2-4ac ' = (b')2-ac
+ Nếu <0 phơng trình vô nghiệm + Nếu =0 phơng trình có nghiệm kép
+ Nếu >0 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt VÝ dơ :
Xác định số nghiệm, hệ số a, b, c ph−ơng trình sau a) 2x2+3x+1=0
b) 3x2+2x+5=0
c) 4x2-4x+1=0
d) −2 −2=0 x
x
H−íng dÉn :
a) HƯ sè a=2, b=3, c=1, =9-8=1>0 -> phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
b) HƯ sè a=3, b=2, c=5, ∆=4-60=-56 < -> phơng trình vô nghiệm
c) Hệ số a=4, b=-4, c=1, =16-16= -> phơng trình có nghiÖm kÐp d) HÖ sè a=3, b=−2 3, c=5, ∆=12+24=36 > -> phơng trình có hai
nghiệm phân biệt
Dạng : Giải phơng trình bậc hai ax2+bx+c = (a0)
Phơng pháp giải :
- Khi giải ph−ơng trình bậc hai tr−ớc hết biến đổi ph−ơng trình đF cho ph−ơng trình có hệ số đơn giản t−ơng đ−ơng với ph−ơng trình để việc tính tốn gọn
(4)- Đối với phơng trình bậc hai khuyết b, c ta kh«ng sư dơng c«ng thøc nghiƯm cđa phơng trình
- i vi phng trỡnh bc hai đầy đủ sử dụng cơng thức nghiệm tổng
quát công thức nghiệm thu gọn
- Xỏc định hệ số a,b,c ph−ơng trình ax2+bx+c=0 (a≠0) - Tính ∆ = b2-4ac ∆' = (b')2-ac
- Xét trờng hợp : Ví dụ 1:
Giải phơng trình bậc hai sau : a) x2-10x+21=0
b) -x2-5x+14=0
c) −2(1+ 2) +4+3 =0
x x
d) −2(1+ 3) + =0
x x
H−íng dÉn :
a) HƯ sè a=1, b=-10, c=21,b'=-5, '=25-21=4 >0 -> phơng trình có hai nghiệm phân biÖt
x1=5+2=7 x2=5-2=3
b) -x2-5x+14=0 <-> x2+5x-14=0
HÖ sè a=1, b=5, c=-14, ∆=25+56=81 > -> phơng trình có hai nghiệm phân biệt
7
9
2
9
1
− = − − =
= + − =
x x
0 ) (
2 − + + + =
x x
HÖ sè a=1, b=−2(1+ 2), c=4+3 2,
∆'=[−2(1+ 2)]2-1.( 4+3 2)=1+2 2 +2−4−3 2 =−2− 2 <0
(5)0 ) (
4 − + + =
x x
HÖ sè a=4, b=−2(1+ 3), c= 35, b'= −(1+ 3),
∆'=[−(1+ 3)]2-4 3 =1+2 3+3−4 3=( 3 1)2 >0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2 3 3 1 = + − + = = − + + = x x
VÝ dơ 2:
H(y tìm giá trị a b để : a b+0.6 = b2+(0.6)2
b 3a+0.5= (3a)2+(0.5)2
Hớng dẫn :
Đối với dạng câu hỏi nh ta cần vận dụng kiến thức nµo ? a) ⇔ b2+0.36-0.6-b =0 ⇔ b2-b-0.24 =0
HÖ sè a=1, b=-1, c=-0.24, ∆=(-1)2+1.4.0,24=1,96 > -> phơng trình có hai nghiệm
2 , , 1 , , 1 − = − = = + = b b
b) ⇔ 9a2-3a+0,25-0,5=0 ⇔ 9a2-3a - 0,25=0 ∆=9+4.9.0,25=18=
)
( >
6 18 3 18 3 − = − = + = + = a a
(6)Phơng pháp giải :
- Xỏc nh hệ số a,b,c ph−ơng trình ax2+bx+c=0 (a≠0)
- Nếu ac < phơng trình có hai nghiệm phân biệt = b2-4ac > Ví dụ :
H(y giải thích không cần tính mà kết luận phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt
a) (1 2) −2(1+ 2) +1+ 2=0
x x
b) mx2 −2(m+1)x−2m=0 (m≠0) H−íng dÉn :
a) (1− 2)x2 −2(1+ 2)x+1+ 2=0
HÖ sè a=1− 22, b=−2(1+ 2), c=1+ 2,
⇒ a < 0, c > ac <
-> phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
) ( ) (
2
≠ =
− +
− m x m m
mx
HÖ sè a=m, b=-2(m+1), c=-2m
⇒ ac = -2m2 < ∀ m ≠
-> phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Dng : Định tham số để ph−ơng trình bậc hai tho m?n iu kin v nghim s
Phơng pháp giải :
- Cho phơng trình ax2+bx+c=0 (a0) (1)
(1) cã nghiÖm ⇔∆≥ (∆'≥ 0)
(1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt ⇔∆> (∆'> 0) (1) cã nghiÖm kÐp ⇔∆= (∆'= 0)
(1) v« nghiƯm ⇔∆ < (∆'< 0) VÝ dụ :
Với giá trị m phơng trình sau vô nghiệm
a) 4 +2 =0
m x
(7)∆'=4-6m < m > 2/3
Phơng trình vô nghiÖm m > 2/3
b) m2x2 +mx +5=0 (m≠0) v« nghiƯm ⇔∆< ∆ = m2 - 4.5.m2 = -19m2 < ∀ m ≠
Phơng trình vô nghiệm với m Ví dơ :
Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm kép a) 2x2 - 10x + m - =
b) 5x2 - 12x + m - =
H−íng dÉn gi¶i :
a) 2x2 - 10x + m - = cã nghiÖm kÐp ⇔∆'= ∆' = 25 - 2m+2 = 27 - 2m = ⇒ m = 27/2 Vậy m = 27/2 phơng trình cã nghiÖm kÐp b) 5x2 - 12x + m - = cã nghiÖm kÐp ⇔∆'=
∆' = 36 - 5(m-3) = 51 - 5m = ⇒ m = 51/5 VËy m = 51/5 th× phơng trình có nghiệm kép
Ví dụ :
Chøng minh r»ng (x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+ (x-c)(x-a)=0 (1) cã nghiÖm ∀ a, b, c
H−íng dÉn gi¶i :
(1) ⇔ 3x2 - 2(a+b+c)x + ab+bc+ca =
∆'= a2+b2+c2-(ab+bc+ca) = [(a b) (b c) (c a) ] 0 a,b,c
1 − + − + − ≥ ∀
VËy phơng trình (1) có nghiệm a,b,c
Dạng : Giải biện luận phơng trình ax2+bx+c=0
Phơng pháp giải :
- Nếu a = phơng trình trở thành bx+c=0
(8)+ Nếu b = c phơng trình vô nghiệm + Nếu b = c = phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu a phơng trình trở thành phơng tr×nh bËc hai ∆ = b2 - 4ac
+ Nếu <0 phơng trình vô nghiệm + Nếu =0 phơng trình có nghiệm kép
a b x
x
2
2
− = = + Nếu >0 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
a b x
2
2 ,
∆ ± − = VÝ dô :
Giải biện luận phơng trình sau : )
1 ( )
2
( − − + + =
m x m x
m
H−íng dÉn gi¶i :
* NÕu m - = hay m = phơng trình trở thành -6x+2 = x = 1/3
Vậy phơng trình có nghiÖm nhÊt x = 1/3 * NÕu m - ≠ hay m ≠
Khi ta có :
∆'=(m+1)2 - m(m-2) = 4m+1
+ NÕu ∆'<0 ⇔ 4m + < m < -1/4 phơng trình vô nghiệm
+ NÕu ∆'=0 ⇔ 4m + = m = -1/4 phơng trình có nghiệm kép
3
1
1
1
2
− = − −
+ − = −
+ = =
m m x x
(9)2
2 ,
− + ±
+ =
m m m
x
Dạng :Hệ phơng trình chứa hai ẩn x y gồm phơng trình bậc phơng trình bậc hai
Phơng pháp giải :
- Từ phơng trình bậc hệ t×m y theo x
- Thay biểu thức vào ph−ơng trình bậc hai hệ, ta đ−ợc ph−ơng trình bậc hai ẩn x
- Giải ph−ơng trình tìm x, thay vào biểu thức y để tìm y Ví dụ 1:
Gi¶i hƯ phơng trình sau :
= +
= +
) (
) (
2
x y x
y x
H−íng dÉn gi¶i :
Tõ (1) -> y = - 2x, thay vµo (2) ta đợc x2+5-2x=4x x2 - 6x + =
⇔ x1 = vµ x2 =
Víi x1=1 ⇒ y1 = ⇒ nghiƯm (1;3) Víi x2=5 ⇒ y2 = -5 ⇒ nghiệm (5;-5) Ví dụ 2:
Cho hệ phơng trình sau :
= +
= +
) ( ) (
2
a y x
y x
định a để a) Hệ vô nghiệm
b) HÖ cã nghiÖm nhÊt
c) HÖ cã nghiệm phân biệt Hớng dẫn giải :
(10)⇔ 2x2 - 16x +36 - a = Ta cã ∆' = 2(a- 18)
a) HÖ v« nghiƯm ⇔∆' < ⇔ a < 18
b) HÖ cã nghiÖm nhÊt ⇔∆' = ⇔ a = 18 c) HÖ cã hai nghiÖm ph©n biƯt ⇔∆' > ⇔ a > 18
Dạng :Định tham số để hai ph−ơng trình cú nghim chung
Phơng pháp giải :
- Giả sử x0 nghiệm chung hai phơng trình thay x = x0 vào hai
phơng trình ta đợc hệ với ẩn tham số
- Giải hệ tìm tham số
- Thử lại với tham số vừa tìm hai phơng trình có nghiệm chung hay không
Ví dụ :
Cho hai phơng tr×nh sau :
1
2
= + +
= + +
ax x
a x x
a) Định a để hai ph−ơng trình có nghiệm chung
b) Định a để hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng H−ớng dẫn giải :
Giả sử x0 nghiệm chung hai ph−ơng trình đF cho, ta có hệ )
2 (
) (
0
0
= + +
= + +
ax x
a x x
LÊy (1) - (2) : x0 (1-a)+a-1 = ⇔ (1-a)( x0 -1) = ⇔ a =1 , x0 = Víi a =1 ta có phơng trình :
x2+x+1=0 ( vô nghiƯm)
Víi x0 = 1, thay vµo (1) -> a = -2, ngợc lại với a = -2 phơng trình x2+x-2 = có nghiệm x
1=1 x2 = -2
phơng trình x2-2x+1 = cã nghiÖm kÐp x=
(11)Hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng chúng có tập hợp nghiệm, chúng có nghiệm chung theo (a), hai ph−ơng trình có tập ngiệm khác Vậy để hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng chúng vơ nghiệm Khi : 4 2 < − = ∆ < − = ∆ a a ⇔ 2 < <a
Dạng : Phơng trình có hai ẩn số
Phơng pháp giải :
- Trong phơng trình cã hai Èn sè, ta xem mét Èn lµ tham sè råi gi¶i
ph−ơng trình theo ẩn cịn lại Ph−ơng pháp gọi ph−ơng pháp đặt tham số
VÝ dô 1:
Chøng minh r»ng có cặp số (x;y) thoả phơng tr×nh ) ( 13
2 − + − + =
y y
x
x
Hớng dẫn giải :
Đặt tham sè míi, xem x lµ Èn, y lµ tham sè (y≥0), ta cã
∆' =
) ( ) ( ) 13 (
4− y − y + =− y− y + =− y −
V×
)
(
y nên phơng tr×nh chØ cã nghiƯm khi ∆' = ⇔
3⇔ =
= y
y ph−ơng trình có nghiệm kép x = -b'/a = Cặp số (2;9) cặp số thoả mFn ph−ơng trình đF cho
VÝ dơ 2:
Gi¶i hệ phơng trình
= + + = + ) ( ) ( 2 2 y y xy x y x Hớng dẫn giải :
(12)Phơng tr×nh (2) ⇔ y2+(x-1)y+x2=0 cã nghiƯm ⇔ ∆1=(x-1)2-4x2 ≥
⇔ (x+1)(3x-1) ≤ ⇔ -1≤ x ≤ 1/3 (*)
Viết (2) dới dạng phơng tr×nh theo x : x2 + yx + y2 - y =
Phơng trình có nghiệm ⇔∆2=y2 - 4(y2-y) ≥ ⇔ y(3y-4) ≤
⇔ ≤ y ≤ 4/3 (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã :
x3 + y 2 ≤ (1/3)3+(4/3)2 = 49/27 <
(1) vô nghiệm hệ đF cho vô nghiệm
IV Kết thực đề tài có so sánh đối chứng
Sau cung cấp cho học sinh số chý ý giải dạng ph−ơng trình kết hợp với tập minh hoạ củng cố luyện tập, cuối tiết 49 tơi có đề kiểm tra với thời gian 15' cho hai lớp 9C, 9D nh− sau :
a) Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiẹm kép (m-2)x2 - (m+1)x + m =
b) Tìm m để ph−ơng trình sau có hai nghiệm phân biệt 2x2 + mx - m2 =
Kết nh sau:
Điểm Lớp Số
HS 0 1 -> 4 -> 6 -> 8 -> 10
9C 45 0 15 20
9D 45 0 16 20
Kết cho thấy việc định h−ớng toán, với học sinh đặc biệt em học sinh trung bình đF đem lại kết định Điều đF tạo cho lạc quan, giúp tơi thêm niềm tin để tích cực tìm tịi dạy học
(13)- Qua việc đ−a số ý luyện tập dạng ph−ơng trình, tơi nghĩ với dạng ph−ơng trình khó việc định h−ớng tổng quát cho em sử dụng ph−ơng pháp giải việc làm cần thiết, không giúp em tìm đ−ờng đến kết cuối toán mà giúp em tính cách nhanh Do theo dạy hia công thức nghiệm ph−ơng trình bậc hai cần khắc sâu cho em cơng thức, hệ số dạng ph−ơng trình có liờn quan
Phần kết
- Trên biện pháp suy nghĩ, kết học kinh
nghiệm mà thân đF làm, đF đặt rút trình giảng dạy Nội dung đề tài giúp em có ph−ơng pháp t− rèn kỹ định h−ớng tìm tịi lời giải cho dạng tốn cụ thể
- Tơi ln mong đ−ợc trao đổi góp ý đồng chí bạn đồng
nghiệp để đề tài đ−ợc sử dụng rộng rFi hơn,
Phú Cát, ngày 30 tháng 04 năm 2005 Ngời viÕt