Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được[r]
(1)A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI I :CƠ SỞ LÝ LUẬN: Đào tạo hệ trẻ trở thành người động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng và thực các giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội và giới khách quan là vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục Đảng và Nhà nước ta giai đoạn Để đáp ứng yêu cầu thời đại khoa học kĩ thuật phát triển Tại nghị hội nghị lần thứ ban chấp hành Trung ương khóa VIII giải pháp chủ yếu giáo dục và đào tạo đã rõ: “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện đại vào dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Chính vì đòi hỏi môn nhà trường THCS phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh Một yêu cầu đặt cải cách là phải đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát và giải nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn Quá trình học sinh nắm vững kiến thức không phải là tự phát mà là quá trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, quá trình nỗ lực tư đó học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác mình đạo giáo viên Trong quá trình mức độ tự lực học sinh càng cao thì việc nắm kiến thức càng sâu sắc, tư độc lập sáng tạo càng phát triển cao, kết học tập càng tốt.Trên thực tế quá trình dạy học là quá trình thống bao gồm quá trình dạy và quá trình học, nó là hệ thống tác động lẫn giáo viên và học sinh, đó chủ thể tác động lẫn có vai trò và chức mình.Trong quá trình dạy học lấy học sinh làm trung tâm, không có nghĩa là hạ thấp vai trò giáo viên mà đó vai trò giáo viên định đến quá trình nhận biết - học - dạy và đặc trưng cho việc định hướng giáo dục.Trong quá trình dạy học: Giáo viên đồng thời là người hướng dẫn, người cố vấn, người mẫu mực cho học sinh , điều đó có nghĩa là hoạt động dạy là xây dựng quy trình, các thao tác đạo hoạt động nhận thức học sinh, hình thành cho học sinh nhu cầu thường xuyên học tập, tìm tòi kiến thức, kích thích lực sáng tạo, hình thành cho các em tự kiểm tra, đánh giá kết học tập mình, rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp suy nghĩ Điều quan trọng là hình thành cho các em cách học có hiệu nhất, đáp ứng nhu cầu kiến thức môn Việc đổi phương pháp dạy học đó có đổi dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện kĩ môn toán Vì công tác đổi phương pháp dạy học nói chung và đổi phương pháp dạy môn toán nói riêng, đòi hỏi giáo viên phải vận dụng sáng tạo các phương pháp dạy học phù với môn học, đặc biệt cần phải tổ chức dạy học cho học sinh hứng thú say mê, yêu thích môn học nói riêng và các môn học khác nói chung, qua đó hình thành kiến thức, kĩ và nhận thức học sinh Nhiệm vụ môn là đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng sáng tạo vào thực tiễn (2) II : CƠ SỞ THỰC TIỂN: Trong các môn học trường phổ thông, học sinh ngán học môn toán và “sợ” môn hình học Học sinh “sợ”môn hình học có lý nó, lẽ các em cho hình học là môn học khó, trừu tượng cao đối vời học sinh bậc THCS và đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả lập luận tốt Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi HS phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư logic.Do vây học sinh cảm thấy có ít nhiều khó khăn ,bởi vì các em chưa biết vẽ hình, lúng túng phân tích đề toán hình, đặc biệt số bài toán mà giải cần có thêm sáng tạo vẽ thêm đường phụ Bởi chất lượng học tập môn hình các em còn thấp Qua kinh nghiệm thân và số đồng nghiệp tôi rút số nguyên nhân sau: -Các em còn yếu việc vẽ hình hay vẽ hình thiếu chính xác -Khả suy luận hình học còn hạn chế dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải bài toán hình học còn khó khăn: -Việc trình bày bài giải học sinh còn thiếu chính xác,chưa khoa học , còn lủng củng, nhiều đưa khẳng định còn thiếu ,không chặt chẽ: - Một số em có thể tâm lý ngại học sợ môn hình nên càng làm cho bài toán từ dễ trở thành khó Học sinh chưa biết nghĩ từ đâu? nghĩ nào? cách trình bày, lập luận bài toán hình? - Trong sách giáo khoa (SGK) bài toán mẫu còn ít, hướng dẫn gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu Hơn khối lượng kiến thức, bài tập SGK khá nhiều đôi thầy và trò không làm hết thời gian qui định Với việc nhìn nhận tầm quan trọng vấn đề và đứng trước thực trạng trên tôi định chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm Đề tài mang tên là: “Rèn kỹ vẽ hình và phân tích tìm lời giải hình học 9” Với mong muốn góp phần nâng cao hiệu ,chất lượng dạy học môn hình học lớp trường THCS TT Gio Linh theo tinh thần đổi Củng cố thêm nghiệp vụ giảng dạy mình ,đồng thời mong đóng góp phần nhỏ bé mình với các bạn đồng nghiệp và giúp cho sư nghiệp giáo dục đơn vị huyện nâng lên B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm: - Phạm vi nội dung: Biện pháp rèn kỹ vẽ hình và phân tích tìm lời giải bài toán hình học - Phạm vi không gian: Khối lớp Trường THCS TT Gio Linh b Thời gian nghiên cứu: -Nghiên cứu năm học: Năm học : 2010-2011 ;2012-2013 -Kế hoạch nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm : +)Năm học 2010-2011 : thảo luận ,tìm kiếm vấn đề nghiên cứu và nghiên cứu lí thuyết ; xây dựng đề cương sáng kiến kinh nghiệm , hoàn chỉnh các biểu mẫu và tiến hành điều tra HS , xử lí số liệu ,cho vận dụng vào thực tế giảng dạy môn hình học lớp +)Năm học 2012-2013 tiếp tục vận dụng vào giảng dạy môn hình học lớp trường +)Cuối học kì I năm học 2012-2013 :Điều chỉnh lại và viết chính thức các nội dung sáng kiến kinh nghiệm, in ấn đóng II.Thực trạng của học sinh Về khách quan cho thấy lực học môn hình học học sinh còn thấp ; Khi nói đến môn hình học thì học sinh thường ngại học đặc biệt là quá trình vận (3) dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, quá trình làm bài tập đôi còn gặp nhiều bế tắc , vẽ hình còn không đúng ,không biết đâu , không biết nhìn nhận phân tích hình vẽ để làm bài, quá trình giải thì suy luận thiếu luẩn quẩn, trình cẩu thả, tuỳ tiện, Đa số học sinh làm bài toán chứng minh hình học đơn giản Song thực tế nội dung bài toán hình thì phong phú và có nhiều cách giải khác Hơn học sinh khai thác và phát triển bài toán thì hạn chế , học sinh khá giỏi lúng túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải bài toán hình học Vì ,tỷ lệ học sinh yếu kém chưa giảm nhiều và tỷ lệ học sinh khá giỏi môn toán chưa cao -Kết điều tra qua 120 bài kiểm tra tiết môn hình học lớp trường THCS TT Gio Linh năm học 2010-2011 cho thấy: Giỏi Khá Trung bình Yếu kém Điều tra 120 SL % SL % SL % SL % SL % bài kiểm tra 12 10% 15% 50% 15% 10% -Kết điều tra qua 60 HS lớp trờng THCS TT Gio Linh năm học 2010-2011 kĩ vẽ hình môn hình học cho thấy Thành thạo Chưa thành thạo Không làm Điều tra SL % SL % SL % 60 HS 15 25% 30 50% 15 25% -Kết điều tra qua 60 HS lớp trờng THCS TT Gio Linh năm học 2010-2011 thái độ môn hình học cho thấy: Điều tra 60 HS Yêu thích môn học Bình thường SL 15 SL 25 % 25% % 41,7% Không thích học SL 20 % 33,3% Kết điều tra thực trạng cho thấy: Thực tế ,học sinh học phân môn hình học còn yếu mặt , tỉ lệ học sinh khá giỏi môn toán hình các trường còn hạn chế , khả vẽ hình và tư sáng tạo học sinh còn yếu nên số học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ cao số HS yêu thích môn hình còn ít III.Nội dung nghiên cứu 1.Các phương pháp sủ dụng Tiến hành sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng các nhóm phương pháp sau : a)Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết : Đọc và phân tích tài liệu phương pháp dạy học môn toán ; đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động HS ; Chương trình , SGK và SBT ; tài liệu tham khảo môn toán hình … b)Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn : - Quan sát theo dõi HS và học hỏi đồng nghiệp - Phương pháp điều tra sư phạm : Phỏng vấn ,trao đổi; khảo sát điều tra số liệu theo phiếu ; thống kê và phân tích số liệu điều tra - Phương pháp thực nghiệm sư phạm :Giảng dạy thực nghiệm trường -Tổng kết kinh nghiệm và đánh giá kết 2.Hệ thống bài tập ví dụ và gợi ý-câu hỏi a) Hướng dẫn vẽ hình : So với sách giáo khoa Toán cũ thì sách giáo khoa Toán đã giảm nhiều lí thuyết, tăng cường nhiều thời gian cho thực hành, luyện tập Qua việc đo đạc, vẽ hình (4) học sinh nắm thao tác vẽ bài Song thực tế cho thấy bài toán hình học vẽ hình là công việc khó học sinh, chí bài mà hình vẽ không khó, học sinh có thể mắc sai lầm Đối với học sinh lớp rèn luyện cách vẽ hình là quan trọng Do người thầy cần phải khai thác tốt luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình , kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ ,vẽ hình xuôi ngược để rèn luyện kĩ vẽ hình Cần tập cho học sinh thói quen: muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm thật đề bài, bài cho gì và yêu cầu làm gì, tức phải phân biệt rõ ràng giả thiết và kết luận Khi vẽ, nên xét xem nên vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ hình vẽ chính xác đơn giản và gì giả thiết đã cho cần phải thể kí hiệu quy ước trên hình vẽ Ví dụ1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN a)Chứng minh tứ giác AMON là hình vuông b)Gọi H là trung điểm dây MN, chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng *Hướng dẫn học sinh vẽ hình: ? Ta vẽ gì trước? Dùng dụng cụ gì?(HS dễ dàng vẽ đường tròn (O;R)) ? Tiếp theo em cần làm gì? (Vẽ điểm A cho OA R ) Tuy nhiên để xác định chính xác điểm A cho OA R học sinh không phải là rễ GV:HD OA R là đường chéo hình vuông MON 900 cạnh R cần phải vẽ góc vuông (M,N thuộc (O;R)) OM=ON=R => Từ M kẻ Mx OM, Từ N kẻ Ny NO => Điểm A là giao Ny và Mx => ta hình vuông AMON có OM=ON=R và OA R Và ta AM,AN là hai tiếp tuyến cần vẽ (O;R) ? Vẽ điểm H nào dễ hơn?(HS dễ dàng xác định H là giao điểm hai đường chéo AO và MN tam giác vuông AMON) GV: cho HS lên bảng vẽ hình theo HD trên Trong chương trình hình học nhiều bài toán điều có thể vẽ hình chính xác đọc câu.Song có bài học sinh phải đọc hết toàn bài chí phải dựa vào kết luận vẽ chính xác, có vẽ lần đầu là phác hoạ, không đảm bảo chính xác nội dung bài, từ hình phác hoạ đó phải tiến hành phân tích các số liệu đã cho trên hình từ đó có cách vẽ lần sau trọn vẹn Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB ( D và C nằm khác phía AB), AD =AB Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía AC), AE vuông góc với AC Biết DE=BC Tính góc BAC *Hướng dẫn HS vẽ hình:(Hình 2) Để vẽ chính xác hình bài này cần phải vẽ phác hoạ Thực tế dạy bài này cho học sinh số ít học sinh vẽ đúng hình, số em không vẽ hình từ đó không làm bài.Mấu chốt để vẽ hình chính xác là phải tính góc BAC=900 (KL bài) Thật từ hình vẽ phác hoạ ta có ngay: Δ ABC = Δ ADE (c.c.c) Mà Â2=Â4=900.Từ đó ta vẽ tam giác ABC có Â=900 (5) Thực tế còn có bài toán mà có thể có nhiều hình vẽ, hình cho ta đáp số Với loại bài này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất các trường hợp có thể xảy b) Xây dựng kế hoạch giải: - Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải : Sau đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể đầy đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước) Trên sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh định hướng việc giải bài toán dẫn dắt thầy giáo hệ thống câu hỏi Ví dụ 3:: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn AB Gọi C là điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By D Chứng minh COD 1V ; Từ đó suy CE.ED = R2 Chứng minh Δ AEB và Δ COD đồng dạng Hướng dân hệ thống câu hỏi: 1.Chứng minh: COD 1V ; Từ đó suy CE.ED =R2 ?Ch/minh minh điều gì ? COD 1V , ta chứng Hình HS:cách 1: Δ COD có 1 D 1V C Cách 2: cm cho OC và OD là tia phân giác hai góc kề bù ( AOE , Với cách GV hỏi tiếp: ?Góc C1 , D1 liên hệ với các góc nào ? ?Vận dụng yếu tố nào đề bài để tìm C1 , D1 ? EOB ) 1 C1 DCA BDC D DCA và BDC HS: : HS: Tính chất hai tiếp tuyến cắt => CO,DO là hai tia phân giác và BDE ?Tổng hai góc DCA và BDC là bao hai góc ACE nhiêu? Vì ? DCA = BDC 1800 (2 góc HS: ?Hệ thức nào Δ vCOD có cùng phía AC//BD) chứa tích CE.ED? HS: CE.ED = OE2 ?Đoạn thẳng nào có độ dài R HS: OE có độ dài R và có và có liên hệ với CE, ED ? liên hệ với CE, ED Δ COD : Chứng minh Δ AEB ? Trước hết cho học sinh nhận xét HS: Hai tam giác cần chứng minh hình vẽ Hai tam giác học sinh chứng đồng dạng là tam giác vuông nên có minh đồng dạng là tam giác gì ? thêm đk ?Với giả thiết đã cho để chứng minh hai tam giác vuông Δ AEB và Δ HS: B1 D COD đồng dạng ta cần yếu tố nào? ?Áp dụng tính chất hai tiếp HS: B1 D2 tuyến cắt ta có D1 D ; Vậy để chứng minh B1 D ta phải ch/minh điều (6) gì? ? c/m B1 D2 cách nào? HS: BE DO => B1 D2 (góc có GV:Gợi ý:BE và DO có quan hệ gì? hai cạnh tương ứng vuông góc) Từ đó suy điều gì? *Học sinh có thể chứng minh B1 D (do cùng phụ với DOB DBE ) *Cũng có thể chứng minh Δ vAEB và Δ vCOD có EAB OCD nên đồng dạng cách vận dụng góc nội tiếp, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Chứng minh AB là tiếp tuyến (I) : ?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến HS: AB IO O (I) ? (I) ta phải chứng minh điều gì (định lý đảo) ¿ ?AC AB, BD AB, để IO OI // AC // BD AB thì phải thoả điều kiện gì ? HS: OA=OB ?Yếu tố nào đề bài giúp ta ¿{ chứng minh IO là đường trung bình ¿ hình thang vuông ABDC =>OI là đường trung bình *Có thể hướng dẫn học sinh chứng hình thang vuông ABDC ¿ minh O AB và OI là bán kính (I) GV: nêu câu hỏi củng cố: ? Các kiến thức đã vận dụng bài toán trên là gì? IC=ID HS: OA=OB (giả thiết) ¿{ ¿ HS:-Tính chất tổng các góc tam giác -Các tính chất tam giác vuông -Hệ thức lượng tam giác vuông -Tam giác đồng dạng -Tính chất đường trung bình hình thang -Các tính chất tiếp tuyến Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Đường thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) và (O’) các điểm C và D Lấy điểm M trên cung nhỏ CB Đường thẳng MB cắt (O’) N, CM cắt DN P a) ΔAMN là tam giác gì? sao? b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp Hướng dẫn HS hệ thống câu hỏi: a) ΔAMN là tam giác gì? sao? (?1) Chứng minh ΔAMN cân HS: AMB ANB cách nào? - HS dự đoán thông qua quan sát: (?2) Chứng minh nào (ΔAMN cân A) để có AMB ANB ? ANB sdAnB AMB sdAmB 2 và và (7) AmB AnB b) Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp (Góc nội tiếp)( Góc nội tiếp) ((O) (?3): Để chứng minh tứ giác (O’)) ACPD nội tiếp cần chứng minh điều b) Chứng minh tứ giác ACPD nội gì ? tiếp (?4) Góc ADP cộng với góc nào HS: ACP ADP 180 180 ? ta cần chứng minh điều gì ? HS: ADN ADP 180 (hai góc kề (?5) Muốn chứng minh bù) ACP ADN cần chứng minh ACP ADN (Góc nội tiếp chắn hai điều gì ? cung nhau) (?6) Muốn chứng minh AM AN cần chứng minh điều gì ? (?7) Chứng minh AM = AN cách nào ? HS: AM AN HS: AM = AN HS: ΔAMN cân A (c/câu a) - Sử dụng phương pháp phân tích lên để tìm hướng làm bài: Trong các phương pháp đã thực chương trình THCS, giải bài tập hình học phương pháp phân tích lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ vướng mắc lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin làm cho các em hứng thú với môn hình và kết cao hơn.Vậy nào là phương pháp phân tích lên? Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho bài toán Thường thì chứng minh bài toán ta phải suy xuôi theo sơ đồ: A = A0 → A1 → A2 → → An = B Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên có thể khái quát sau: (1) (2) (3) (n) ⇐ Cần chứng minh vấn đề A= A A1 ⇐ A2 ⇐ ⇐ An.Trong bước suy luận (1), (2), (3), (n) suy luận từ sở luận chứng trước nó, cụ thể có A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2đúng đến An là điều đã biết, đã chứng minh là đúng đã có từ giả thiết Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư HS (bao gồm tư phân tích và tư tổng hợp) Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ các kiến thức liên quan đã học trước đó Trong quá trình giải bài tập, các em vừa tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại kiến thức mình đã học mà có không nhớ hết.Có thể nói giải bài tập phương pháp phân tích lên thì việc lập sơ đồ chứng minh là đã thành công nửa, phần việc còn lại là phương pháp tổng hợp xếp các bước theo trình tự logic, đó bước lại có các cứ, luận chứng Ví dụ5: Bài 13( SGK Toán tập I – Trang 106) (8) Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD nhau, các tia AB và CD cắt điểm E nằm bên ngoài đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm AB và CD chứng minh rằng: a, EH = EK b, EA = EC Giải: (O); A, B, C, D (O) GT AB = CD AB CD = { E } AH = HB; CK = KD KL a, EH = EK b, EA = EC Lập sơ đồ chứng minh a, chứng minh:EH = EK ⇑ Δ OEK = Δ ⇑ OEK OHE OKE 900 OH=OK OE chung ⇑ AB = CD (gt) chứng minh: a, Kẻ OH, OK Ta có: AH = HB (gt) CK = KD (gt) nên OH AB; OK CD (Đ lý – quan hệ vuông góc đường kính và dây) Vì AB = CD (gt) nên OH = OK (Đ lý liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây) Xét Δ OEK và Δ OEK có: OHE OKE 900 ( c/m trên) b, chứng minh: EA = EC ⇑ AH + EH = CK + EK ⇑ AH=CK a) OH = OK ( c/m trên) OE cạnh chung Δ OEK = Δ OEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông) EH = EK ( cạnh tương ứng) (đpcm) b,Vì AB = CD (gt) Mà AH = HB (gt) AH = AB EH = EK(c/m phần ⇑ AB=CD(gt) AH=1/2AB(gt) CK=1/2CD(gt) CD CK = KD (gt) CK = AH=CK (1) Mặt khác: EH = EK(c/m phần a) (2) Cộng vế với vế (1) và (2) AH + EH = CK + EK EA = EC (đpcm) Ví dụ 6: Bài 30 (SGK Toán tập I – Trang 116) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đương tròn) gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc (9) nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự C và D Chứng minh rằng: a, COD 90 b, CD = AC + BD c, Tích AC BD không đổi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Giải: (O; AB/2); GT Ax AB A By AB B M (O; AB/2) OM CD M { CD Ax = C } CD By = { D } KL a, COD 90 b, CD = AC + BD c, AC.BD = cosnt M di chuyển AB Lập sơ đồ chứng minh a, chứng minh: COD 90 ⇑ OC OD ⇑ ^ ^ O2+ O3 = 900 ⇑ ^ 2= O ^ 1; O ^ =O ^4 O ⇑ AC, DC là các tiếp tuyến BD, DC là các tiếp tuyến b, chứng minh:CD = AC + BD Chứng minh Ax = { C } ^ 2= O ^ (tính chất tiếp tuyến O a, CD cát nhau) Tương tự: CD By = { D } ^ ^ O3=O4 (tính chất tiếp tuyến cát nhau) ^ 1+ O ^ 2+ O ^ +O ^ =2( O ^ +O ^ 3)=1800 O ^ 2+ O ^ =900 ⇒O b)Vì CA, CM là tiếp tuyến (O; AB/2) cắt C (gt) CM = AC (1) *)Vì DB, DM là tiếp tuyến (O; AB/2) cắt D (gt) DM = DB (2) Mà CD = CM + DM (3) Từ (1), (2) và (3) CD = AC + BD (đpcm) ⇑ CD = CM + DM ⇑ CM = AC; DM = DB ⇑ CA, CM là tiếp tuyến (O; AB/2) cắt C (gt) DB, DM là tiếp tuyến (O; AB/2) cắt D (gt) c)chứng minh:AC.BD không đổi ⇑ CM.MD không đổi(do AC = CM; BD = MD) ⇑ CM MD = OM2 = AB/2 ⇑ c) Δ COD vuông O(c/m ởphần a) OM CD (gt) CM MD = OM2 = AB/2 CM.MD = không đổi Mà CM = CA (c/m phần b) MD = BD (c/m phần b) CM.MD = AC.BD không đổi (10) Δ COD vuông O (c/m AC.BD không đổi phần a) OM CD (gt) Vậy tích AC BD không đổi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB.(đpcm) *) Chú ý: Có nhiều cách để lập sơ đồ chứng minh bài toán hình, đó có nhiều cách để trình bày lời giải bài toán hình Ở nội dung đề tài này trình bày cách Ví dụ 7:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn AB Gọi C là điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By D Chứng minh COD 1V ; Từ đó suy CE.ED = R2 Chứng minh Δ AEB và Δ COD đồng dạng Hướng dẫn lập Sơ đồ chứng minh: Giáo viên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích cho câu bài toán từ kết luận → giả thiết; học sinh tự chứng minh ngược lại Hệ thống câu hỏi nêu vấn đề từ lên 1.Chứng minh: COD 1V ; Từ đó suy CE.ED =R2 Câu hỏi gợi ý: ? Vận dụng yếu tố nào đề bài để tìm Sơ đồ: CE.ED = R2 ↑ 1, D C ? ?Tổng hai góc DCA và 1, C ? Góc BDC là bao nhiêu ? Vì ? D1 liên hệ với các góc nào ? ( DCA và BDC ) ? Ch/minh COD 1V , ta chứng minh điều gì ? ( C1 D1 1V ) ? Áp dụng hệ thức lượng Δ vCOD với OE là đường cao CE.ED = OE2 ↑ Δ COD vuông ( COD 1V ) ↑ Δ COD có 1 D 1V C ↑ 1 C1 DCA BDC D ↑ ? Đoạn thẳng nào có độ dài R và có ( liên hệ với CE, ED ? DCA BDC 2V ) *Với cách phân tích tương tự trên có thể cho học sinh chứng minh cách khác Δ COD : Chứng minh Δ AEB Trước hết cho học sinh nhận xét hình vẽ Hai tam giác học sinh chứng minh đồng dạng là tam giác gì ? Cần có thêm điều kiện nào ? Câu hỏi gợi ý: Sơ đồ: Δ AEB Δ COD ?Áp dụng tính chất hai tiếp ↑ tuyến cắt ta có D1 D ; Vậy phải ch/minh B1 D2 cách nào? (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Δ AEB vuông (vì AEB = 1V) Δ COD vuông (cmt) D B ↑ (11) ?Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng phải có thêm điều kiện gì? D B D D (t/c tiếp tuyến) ↑ DB AB và DO EB (tính chất tiếp tuyến) Chứng minh AB là tiếp tuyến (I) : Câu hỏi gợi ý: ?Yếu tố nào đề bài giúp ta chứng minh IO là đường trung bình hình thang vuông ABDC ?AC AB, BD AB, để IO AB thì phải thoả điều kiện gì ? ?Muốn chứng minhAB là tiếp tuyến (I) ta phải chứng minh điều gì ? (định lý đảo) Sơ đồ: AB là tiếp tuyến (I) AB IO O (I) ¿ OI // AC // BD OA=OB ¿{ ¿ OI là đường trung bình hình thang vuông ABDC ¿ IC=ID OA=OB (giả thiết) ¿{ ¿ *Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh O AB và OI là bán kính (I) - Kẻ thêm đường phụ : Khi giải bài toán chứng minh hình học , trừ số bài dễ còn lại phần lớn các bài toán cần phải vẽ thêm đường phụ chứng minh dược Vậy vẽ đường phụ nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người học cần phải biết bài toán cụ thể Không thể có phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ bài toán chứng minh hình học Ngay bài toán có thể có cách vẽ đường phụ khác tuỳ thuộc vào cách giải bài toán * Những điểm cần lưu ý vẽ đường phụ : -Vẽ đường phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện Phải nắm thật vững đề bài , định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh mình -Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình -Với bài toán vẽ đường phụ khác thì cách chứng minh khác *Một số loại đường phụ thường vẽ sau : - Kéo dài đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước hay đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước - Vẽ thêm đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ điểm cho trước - Từ điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước - Nối điểm cho trước xác định trung điểm đoạn thẳng cho trước - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng góc góc cho trước hay nửa góc cho trước (12) -Vẽ tiếp tuyến với đường tròn cho trước từ điểm cho trước - Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung đường nối tâm có hai đường tròn giao hay tiếp xúc ngoài với *các ví dụ minh họa Ví dụ 8:( hai đường tròn giao thì kẻ dây cung chung.) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Vẽ các đường kính AC và AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B D thẳng hàng (Hình 8) Suy xét: Để chứng minh C, B, D thẳng hàng, ta có thể từ B kẻ BA và chứng minh góc tạo BA và hai tia BC, BD kề bù Vì ABC ABD 90 (gócHinh8 nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên ABC ABD 180 Giải: - Nối BA, BC, BD - ABC ABD 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - CBD ABC ABD mà ABC ABD 180 ⇒ CBD 180 ⇒ C, B, D thẳng hàng Ví dụ 9:( Hai đường tròn tiếp xúc ta có thể dựng tiếp tuyến chung đường nối tâm.) Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài P, dây cung AB đường tròn kéo dài tiếp xúc với đường ròn C, kéo dài AP đến D (Hình 9) Chứng minh BPC = CPD Suy xét: Hai góc mà ta cần chứng minh không phải là góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến và dây cung, chúng không có mối liên quan nên không thể dùng các phương pháp chứng minh góc để chứng minh Ta có thể dựng tiếp tuyến chung 0 PE, ta P1 A, P C ; cộng hai vế trái với ta tổng P1và P 2là BPC ; CPD cộng hai vế phải với ( A và C ) ta tổng hai góc này là góc ngoài Hinh9 tam giác ACP Như là đã giải vấn đề Chứng minh: Dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn qua P cắt AC E Vì EP = EC (Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì điểm đó cách hai tiếp điểm.) Nên P C ( Góc đáy tam giác cân nhau.) Vì P1 A (Góc tiếp tuyến và dây qua tiếp điểm và góc nội tiếp cùng chắn cung.) C ⇒ Ta có: BPC A Nhưng CPD A C (Góc ngoài tam giác tổng hai góc không kề với nó.) Vậy BPC CPD Ví dụ 10:(Nếu có bốn điểm nằm trên đường tròn thì qua bốn điểm đó có thể dựng thêm đường tròn phụ.) Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK Chứng minh rằng: a)Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn b)HK BC (hình 10) (13) Suy xét: Ở câu b), để chứng minh HK BC, ta có thể vận dụng kết câu a): điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn; vẽ đường tròn qua điểm B, C, H, K, ta có HK là dây cung còn BC là đường kính nên suy điều phải chứng minh Chứng minh: a) -Gọi I là trung điểm BC ⇒ IB=IC (1) BC (Tam giác BHC vuông H.) (2) -IK = BC (Tam giác BKC vuông K) (3) - Ta có IH = - Từ (1),(2),(3) Suy ra: IB = IK= IH = IC hay điểm B, C, H, K cùng thuộc đường tròn b) - Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC Ta có: HK BC (HK là dây không qua tâm còn BC là đường kính) Ví dụ 11: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC Đây là bài toán có nhiều cách giải khác bài toán này việc sử dụng yếu tố vẽ thêm đường phụ là vấn đề quan cho việc tìm các lời giải và là vấn đề khó học sinh bài toán trên giáo viên cần cho học sinh kiến thức đã vận dụng vào giải bài toán - Kiến thức hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc - Góc nội tiếp, góc tâm, góc ngoài tam giác Chứng minh: Cách giải 1: Hình 11 Gợi ý: - Kẻ OI AC cắt AH M - Áp dụng kiến thức góc ngoài tam giác - Góc nội tiếp,góc tâm Lời giải: Ta có: OMH = ACB (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) AOM ABC = (cùng sđ AC ) OMH AOM OAH Trong OAM thì: = + (Góc ngoài tam giác) Hay ACB = ABC + OAH OAH = ACB - ABC Vậy: (Đpcm) Cách giải 2: (Hình 12.) Gợi ý: Kẻ tiếp tuyến với đường tròn A cắt BC D Lời giải: Ta có: ABC = CAD (1) (Cùng chắn AC ) 12 (14) OAH = ADC (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) Cộng vế (1) và (2) Ta được: ABC + OAH = CAD + ADC Mà CAD + ADC = ACB (góc ngoài tam giác) ABC + OAH = ACB Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Cách giải 3: (Hình 13.) Gợi ý: - Kẻ đường kính AOD - Kẻ DK BC Lời giải: -Ta cóDK // AH OAH = ODK (1) (so le trong) ABC = ADC Cộng vế (1) và (2) - Mà: KDC = ACB (2) (góc nội tiếp cùng chắn AC ) Ta OAH + ABC = ODK + ADC = KDC (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc) OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (Đpcm) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Trong chương trình giảng dạy các năm học 2008 – 2009;2009-2010;20102011;2011-2012 ,tôi và các đồng nghiệp trường đã vận dụng sáng kiến này giảng dạy và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường Kết cho thấy các em đã có tiến rõ rệt kĩ vẽ hình, khả phân tích hình vẽ, ý tưởng tìm hướng giải và kĩ trình bày bài Một số em đã tìm tòi, khai thác bài toán tương đối tốt Qua đó kích thích say mê, tìm tòi sáng tạo học sinh học hình học nói riêng và môn toán nói chung Do đó kết học tập và thái độ yêu thích môn hình học học sinh nâng lên rõ rệt: -Kết điều tra qua 200 bài kiểm tra tiết môn hình học lớp trường THCS TT Gio Linh năm học 2007-2008 cho thấy: Kết điều tra qua 100 bài kiểm tra tiết môn hình học HS lớp trường THCS TT Gio Linh năm học 2010-2011 cho thấy Giỏi Khá Trung bình Yếu kém Điều tra SL % SL %SL % SL % SL % 100 bài kiểm 1 3 4 1 5 tra 5% 0% 0% 0% % Kết điều tra qua 44HS lớp trờng THCS TT Gio Linh cuối học kì I năm học 2011-2012 kĩ vẽ hình môn hình học cho thấy Thành thạo Điều tra 44 HS S % Chưa thành thạo SL % Không làm SL % L 43 18 40,9 15,9 ,2% % Kết điều tra qua 44 HS lớp trờng THCS TT Gio Linh cuối học kì I năm học 2011-2012 thái độ môn hình học cho thấy: (15) Điều tra 44 HS Yêu thích môn học S % L Bình thường S % Không thích học SL % L 56,8% 34 9, 5 ,1% 1% Kết trên cho thấy người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn kỹ vẽ hình , khả phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài toán hình nhiều khía cạnh khác thì HS có kỹ vẽ hình và khả phân tích tìm lời giải cho bài toán hình học từ đó học sinh có phương pháp học tập môn , không còn lúng túng việc giải bài toán hình học và dẫn đến HS có kết học tập và có hứng thú học tập môn D BÀI HỌC KINH NGHIỆM Thông qua việc nghiên cứu đề tài và kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút số kinh nghiệm sau: *Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt các phương pháp phân tích vào giải toán học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em quá xa nội dung SGK *Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm các phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành và việc vận dụng phương pháp đa dạng vào bài tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức *Đối với học sinh khá giỏi Ngoài việc nắm các phương pháp bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hóa vấn đề, tương tự hóa vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu các em *Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng học sinh quá trình cung cấp các thông tin có liên quan chương trình đại số đã đề cập trên Giáo viên phải định hướng và vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đã đề cập, giúp học sinh nắm vững các dạng toán và rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh các bài tập tổng hợp, kĩ vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập và học toán E.KIẾN NGHỊ (16) Theo tôi muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức mình, phát huy tính độc lập sáng tạo học tập thì chúng ta – người thầy cần dạy cho các em cách nghiên cứu , tìm tòi kiến thức Chúng ta cần sớm hướng dẫn các em cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề” Có thì sau này các em hiểu sâu sắc nội dung đã học, lưu giữ kiến thức mãi mãi Và quan trọng là giúp các em biết gặp dạng toán này thì phải dùng phương pháp này đề giải, gặp dạng toán thì phải dùng phương pháp để giải Do thời gian có hạn,chuyên đề tôi viết chương trình đại số 8, nên không mở rộng nhiều và không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý các đồng chí , đồng nghiệp và là ban duyệt đề tài bổ sung phần nào còn thiếu sót chưa hoàn chỉnh chuyên đề Để chuyên đề tôi viết hoàn thiện và việc áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy có hiệu Xin chân thành cảm ơn! Gio Linh tháng 10 năm 2010 Người Thực Hiện Nguyễn Anh Tuấn PHÊ DUYỆT CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG (17) MỤC LỤC – TÀI LIỆU THAM KHẢO MỤC LỤC A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI I.Cơ sở lý luận II.Cơ sở thực tiển B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Đối tượng và phạm vi nghiên cứu II Nội dung nghiên cứu III.Thực trạng của học sinh IV.Nội dung nghiên cứu 1.Các phương pháp sủ dụng 2.Hệ thống bài tập ví dụ và gợi ý-câu hỏi Một số bài tập áp dụng C KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC D BÀI HỌC KINH NGHIÊM E KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO (18) -SÁCH GIÁO KHOA TOÁN -SÁCH GIÁO VIÊN TOÁN -SÁCH BÀI TẬP TOÁN -SÁCH HƯỚNG DẪN ÔN TẬP TOÁN (19)