Trên đây tôi đã đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng việc sử dụng bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài toán.Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng để học sinh có k[r]
(1)Mục lục Trang I.Hệ thống các kiến thức bất đẳng thức Côsi II Các kĩ thuật chính Phương pháp chứng minh trực tiếp Kĩ thuật dùng hoán vị vòng Phương pháp cân tổng Phương pháp cân tích Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi 10 Kĩ thuật nhân nghịch đảo 15 7.Kĩ thuật Côsi ngược dấu 16 III Các bài tập chọn lọc 18 (2) I.Hệ thống các kiến thức bất đẳng thức Côsi Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, nó có dạng sau: Dạng tổng quát: Cho a1,a2,…an là các số không âm thì: a1 a a n n a1 a a n n Đẳng thức xảy a1 = a2 = … = an Chúng ta thường sử dụng cho hai số ba số, cụ thể là: Với số:Cho a ≥ 0, b ≥ a b 2 ab Đẳng thức xảy a = b Hệ quả1:Hai số dương có tổng không đổi,tích chúng lớn số bằngnhau Hệ quả2:Hai số dương có tích không đổi,tổng chúng nhỏ số bằngnhau Với số:Cho a ≥ 0, b ≥ ;c ≥ ta luôn có a b c 33 abc Đẳng thức xảy a = b = c Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là số không âm Một điều quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu xảy nào, điều đó quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân tổng và cân tích sau này Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì ta thấy các bất đẳng thức Côsi có dạng chung là trung bình cộng lớn trung bình nhân (3) II.Các kĩ thuật chính Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi Mục đích chính lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên sử dụng bất đẳng thức côsi Bài tập Chứng minh a b 2 b a a 0, b : (1) Phân tích: Ta đã chứng minh bài tập này phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là cách làm khác: a b 0, a Giải: a>0 và b>0 nên b vì áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a b ab a b a b 2 2 2 b a ba b a b a a b a b a b b a Dấu xảy Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tương tự có thể là: a, b, c CMR : 1) a b c b c 3 2) 2a 3 2c 3) a 4 b c a a b a Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Bài tập 2: Chứng minh rằng: a, b 1 (a b)( ) 4 a b (2) Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên: Cách 1: là nhân vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a Cách 2: Qui đồng đưa (a+b) ≥ 4ab, khai để trở bất đẳng thức Côsi v.v Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm sau: 0, Giải: Vì a > 0, b > nên a 0 b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (4) a b 2 ab 1 1 ( a b )( ) ab ( a b )( ) 4 1 a b ab a b 2 a b ab Dấu xảy a = b Các bài tập tương tự có thể dùng để củng cố 1 a, b, c (a b c)( ) 9 a b c 1) (3) 2) a, b, c 0 i) (a b)(b c)(c a) 8abc (4) ii) (a b)( ab 1) 4ab (5) iii) (a b c)(a b c ) 9abc (6) iv) a b c ( 1)( 1)( 1) 8 b c a (7) v) a 3b a c b c b a c a c 3b 6abc c b a c b a vi) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên các phép biến đổi tương đương ta có thể suy số bất đẳng thức phụ khá hữu ích: 1 a b a b (2a) ab (a b) (2b) ( a b ) ab 1 1 ( ) a b a b (2c) (2d) (5) 1 1 ( ) a b c a b c (3a) Mà nó có thể áp dụng để giải vài bài tập khó đơn giản: 1) Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 1 9 a bc b ac c ba CMR: (Đại học Bách khoa) (8) 2 ĐHKHTN - 2000: Cho x, y, z > với x y z 3 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 xy zy xz (9) Giải: 1 )( xy yz zx 1) 9 xy zy xz 9 A 2 xy yz zx x y z ( Vậy giá trị nhỏ A là 3/2 Kĩ thuật dùng hoán vị vòng Đây là kĩ thuật phổ biến dùng bất đẳng thức Côsi , đơn giản và hiệu dùng và tạo nhiều hứng thú cho học sinh ab bc ac a b c a b Bài tập 3: Chứng minh a, b, c thì c (9) Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số hạng ta thấy khó có thể làm được, vì ta cần linh hoạt vận dụng cho hai số ab 0, c Giải: Vì a > 0, b > 0, c > nên thức Côsi cho các cặp: bc 0, a ac 0 b áp dụng bất đẳng (6) ab bc ab bc ab bc 2 2b c a c a c a bc ac bc ac bc ac ab bc ac 2 2c 2( ) 2(a b c ) a b a b a b c a b ac ba ac ba ac ba 2 2a b c b c b c đpcm Dấu xảy a = b = c Bài tập 4: Cho ba số không âm a,b,c chứng minh: a b3 c a bc b ca c ab Giải: Theo Bất đẳng thức Cosi ta có: 4a b3 c 6 a b3c 6a bc Tương tự ta có: ; 4b3 c3 a 6b ca ;4c a b3 6c ab Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta suy điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c Ta thấy phương pháp này áp dụng có hiệu tốt cho lớp các bài tập sau: 1) a b c 1 bc ac ab a b c 2) a b c ab ca bc 3) 3a 2b 4c ab bc ca 4) a b b c c a abc(a b c) Ngoài để tránh nhàm chán các thầy cô có thể bổ sung thêm loạt các bài tập khác mức độ khó hơn: 1) Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) x x x 12 15 20 x x x 3 2) Chứng minh : ( khối D-2004) 3) Nếu x, y z là các số dương thỏa mãn xyz = thì (7) x3 y y3 z3 z x3 3 xy yz zx a2 b2 b2 c2 c2 b2 a b c 2c 2a 2a 4) a, b, c : Phương pháp cân tổng Phương pháp này xuất phát từ nhận xét sâu sắc sách giáo khoa, tức là “ hai số dương có tích không đổi thì tổng chúng nhỏ và chúng nhau” Mở rộng cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ + Sn m , ta biến đổi S = A1+A2+ +An là các số không âm mà có tích A 1A2 An = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi Bài tập 5: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ f(x) = x + x x > 1 Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - > và x > ta có x 1 2 x x 1 1 x 1 2 x 3 x x x Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ là x = 2x Bài tập Chứng minh x > -1 thì 1 ( x 1) Phân tích: Nếu áp dụng bất đẳng thức Côsi thì ta thấy chưa kết quả, tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có điều phải chứng minh x Bài tập Chứng minh x ≥ thì 27 1 ( x 3) (8) Phân tích: Biến đổi vế trái thành tổng các số hạng có tích không đổi, vì phải phân tích x thành số hạng là (x+3)/3 x 3 x 3 x 3 27 1 3 3 ( x ) Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương x 3 x 3 x 3 27 4 3 ( x 3) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số 27 x 3 dương gồm ba số và x 3 ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x=0 Bài tập Cho x y 0 Chứng minh: 2x 32 5 ( x y)(2 y 3) Giải: Phân tích: Biến đổi vế trái thành tổng các số hạng có tích không đổi, vì phải phân tích 2x thành số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm bớt Ta có: x y (2 y 3) (2 y 3) 64.4 4 64.4 16 10 (4 x y )(2 y 3) Từ đó suy đpcm dấu xảy khi: x y 2 y 4 x 3/ 2; y 1/ Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng bài tương tự sau: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x 2 x với x > 2x 1 2) Chứng minh nếu x > - thì x 3 3) Chứng minh a > b > thì b 3 ( a b )( b ) a+ 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > thoả mãn: 1 x y (9) 3x 3 x Hướng dẫn: từ biểu thức ta có y = x Q= x y x 6 x 5 x x ab a2 b2 2 ab a b 5) Tìm giá trị nhỏ biểu thức R = với a > 0, b > ab a b2 a b2 2 a b ab ab sau đó dùng bất đẳng thức Côsi Hd: R = Các thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh câu hỏi là lại làm vậy? 6) Chứng minh ( x 2) 3 (a 0) x2 Phương pháp cân tích Từ hệ quan trọng sách giáo khoa: “ Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích chúng lớn và chúng nhau” Mở rộng ta có: để chứng minh biểu thức có dạng P= P1P2 Pn M ta phân tích P = B1B2 Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ + Bn = C là số không đổi Bài tập Cho a > 0, b > và a + b = chứng minh ab2 ≤ 27 Phân tích: ta cần tách biểu thức ab thành tích có tổng không đổi mà tổng đó chắn phải liên quan đến a + b = Giải: ab2 = a b/2,b/2 ta có: b b 2 mà theo bất đẳng thức Côsi cho số dương là a, b b a 2 a b b 2 a b b 4a b b 3 2 27 2 27 đpcm Dấu xảy a = 1/3; b = 2/3 (10) Bài tập 10: Cho hai số thực không âm x,y thoả mãn điều kiện x y 4;3 x y 6 Tìm GTLN biểu thức: P 9 x y Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: P 3.3 x.1.1 .2 y.3 3( x 2) ( y 3) a( x y ) b(3x y ) 4a 6b 4 9 62 9 ( Do a 3b 3 & a b 2 / a (2 3) / & b (9 3) / ) Vậy MaxP 9 x 1& y 3 Các bài tập tương tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là: Tìm giá trị lớn biểu thức: 1) y = 4x3 - 3x2 với ≤ x ≤ 4/3 2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3) y = (2 + x) (4 - x2) với ≤ x ≤ 4) y = x (1 - x2) với ≤ x ≤ 5) y = x x Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phương pháp lôi học sinh, cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt kết không ngờ! Bài tập 11 Chứng minh a, b, c a2 b2 c2 a b c b c a thì Phân tích: trước hết ta nhận thấy áp dụng bất đẳng thức Cô si thì không kết quả, kĩ thuật vòng không giải Bây ta đánh giá dấu xảy nào, dễ nhận thấy đó là a = b = c đó a2/b =a vì ta thêm b vào phần tử đại diện a 2/b để có chứng minh sau: Chứng minh: (11) a2 b2 c2 , b, , c , , a c a áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương b thì ta có: a2 b2 c2 b 2a; c 2b; a 2c b c a a2 b2 c2 a b2 c b c a 2a 2b 2c a b c b c a b c a Tuy nhiên câu hỏi đặt là lại thêm hạng tử b cho a2/b? Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2 m a2/b + m ≤2 b Vậy m cần chọn cho: a2 m b có thể triệt tiêu b, hay là mẫu số vế trái bđt không có mẫu Khi dấu xảy thì a2/b = m = a = b = c Rõ ràng m có thể b thôi Bài tập sau làm sáng tỏ hơn: Bài tập12 Chứng minh a, b, c thì a2 b2 c2 a b c b c a c b a a2 Phân tích: Ta cần thêm cho b c số m thoả mãn: rút gọn mẫu số (b+c) sau áp dụng bđt Côsi a2 a2 m b c b c ( +m ≥ ) a2 dấu bất đẳng thức Côsi xảy nghĩa là b c = m và a= b = c suy m bc a2 bc m Và để tính ỏ thì b c Dễ thấy thay a=b=c thì ỏ =4 Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương a2 b c b2 c a c2 a b , , , , , b c c a a b thì ta có: (12) a2 bc a b c b2 ca a2 b c b2 ca c2 a b b a b c ca b c c a a b c2 a b c a b 2 a b c2 a b c b c c a a b Dấu xảy a = b = c Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy bài và ví dụ cụ thể Bài tập 13: Chứng minh với x,y,z > 0: x3 y3 z x y z y z x Phân tích: ta thấy với hạng tử x3/ y có thể có hai hướng sau: Cách 1: hs thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó chứng minh x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh 3 x3 x3 y3 z3 2 y 2 z y 3x ; z 3 y ; x 3z z z x x Cách 2: y y cộng lại ta có điều phải chứng minh a2 b2 c2 a b c 2 b a a c a Bài tập 14: Chứng minh với a, b, c>0 ta có b Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a b2 c2 b c a ≥ 3, a2 a b b2 b2 b 2 c c (13) c2 c a a2 Cộng vế với vế suy điều phai chứng minh Bài tập 15: CMR x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = ta có x3 + y3 +z3 x + y + z Phân tích: Dấu xảy x = y = z = 1, vì ta thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí Hướng dẫn: x3 + +1 ≥ 3x; y3 + +1 ≥ 3y; z3 + +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sử dụng cách để làm Bài tập 16 Cho số thực dương a,b,c Chứng minh: a3 b3 c3 a bc b(c a ) c (a b) a (b c ) Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: a3 b ca a b c a 3a 3 b(c a ) b (c a ) Tương tự ta cú: b3 c a b 3b c3 a b c 3c ; c ( a b) a(b c) Cộng cỏc vế cỏc BĐ này lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Các bài tập sau áp dụng tương tự: 1) Đề QGHN 2000: Cho a + b + c = CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Hướng dẫn Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dương và xyz = 2) ĐHQGHN: Cho a, b, c là các số dương CMR: a3 b3 c3 a b c b3 c a b c a Hướng dẫn: tương tự cho a3 a3 3 3 b b b3 c ; c3 a a3 a3 a 3 b b b (14) ab cb ac a b c 3) a, b, c : a b b c a c Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức phụ: 4) Với abc = ab a b a b a, b, c > CMR: 1 a (b c) b (a c) c (b a) 5) Với xyz = 1, x, y, z > CMR: x2 y2 z2 z y xz x y 6) Tính giá trị nhỏ biểu thức sau: A bc ca ab a 2b a c b a b c c 2b c a Với a,b,c là các số thực thoả mãn abc = 1; a, b, c> 7) 3 2 Với x,y,z > 0: x y z x y y z z x 8) CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x Sau đây ta tham khảo hai ví dụ lí thú cho Bài tập 17: Nếu a, b, c dương và abc=1 thì a3 b3 c3 (1 b)(1 c ) (1 c )(1 a ) (1 a )(1 b) a3 Phân tích: ta thêm cho (1 b)(1 c ) hạng tử gì? chắn là có b 1 c 1 ; với ỏ là số dương nào đó Vấn đề ỏ bao nhiêu, ta cần (15) a3 b 1 c 1 (1 b )(1 c ) cho chú ý là dấu xảy a=b=c=1; đó ta ỏ =4 Vì ta có chứng minh sau: a3 b c 3a b3 c a 3b c3 a b 3c ; ; (1 b)(1 c) 8 (1 c )(1 a ) 8 (1 a )(1 b) 8 a3 b3 c3 3 (a b c) (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 2 Điều phải chứng minh Bài tập 18: a3 b3 Tìm giá trị nhỏ P = b a với a, b là các số dương thoả mãn điều kiện ab = a3 Hướng dẫn: Dấu xảy a = b = 1, ta phải thêm cho b số 1 b hạng Để tính ỏ ta thấy cho a = b =1 thì ỏ =4 Nhưng ta thấy xuất a vì ta thêm 1/2 để chứng minh sau: a3 b b3 c a3 b3 5 a; b ( a b) 1 b 2 1 c 2 1 b 1 c MinP = Kĩ thuật thêm nghịch đảo Đây là kĩ thuật mà không nhắc và sử dụng là thiếu sót lớn việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi x y với x, y là các số dương thỏa Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ P = mãn x+y=1 Giải: Ta đã làm bài tập này Côsi ta cố thể làm sau: 2 3 y 3x 5 x y 2 x y x y P= dấu xảy x+y=1 và 3x2 = 2y2 (16) x Khi ;y 2 2 Bài tập 20: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: a, b, c là các số dương thì a b c b c c a a b (1) HD: Thêm vào hai vế bất đẳng thức ta xuất 2(a b c)( Đặt: 1 ) 9 a b b c c a (2) x a b y b c z c a 1 (2) ( x y x)( ) 9 x y z Khi đó x,y,z là các số dương và (3) áp dụng Côsi: cho số x,y,z ta có: x y z 33 xyz 1 1 1 , , 33 xyz Cho số: x y z ta có: x y z Nhân vế với vế bất đẳng thức suy điều phải chứng minh 7.Kĩ thuật Co-si ngược dấu: Bài tập 21: Cho a,b,c là số dương thoả mãn a + b + c = CMR: a b c b 1 c 1 a 1 Phần lớn học sinh giải bài toán này sau : Quy đồng mẫu số, BĐT cần chứng minh tương đương với: 2(a c b a c b a b c ac ba cb a b c) 3(a b c a b b c c a a b c ) Thay a + b + c = 3, ta có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ Côsi : 3 (a c ac ) 3a c 2 Tương tự với hai hoán vị (17) a a 3a tương tự với hoán vị (a c b a c 3b ac ba cb ) 63 a b c 3a b c 2 (Cô-si cho số) Bất đẳng thức cuối cùng đúng là abc 1 Lời giải 2: Sử dụng kĩ thuật Co-si ngược dấu: BĐT cần chứng minh <=> a a b c b c b 1 c 1 a (do a+b+c = 3) ab bc ca (*) b 1 c 1 a 1 ca a 2a ac a 1 Do Tương tự với hoán vị ta có: VT (*) (ab bc ca) 3(ab bc ca) (a b c) 9 ab bc ca 3 VT (*) Mặt khác Dấu xảy <=> a=b=c=1 Lời giải trình bày ngắn gọn và dễ hiểu Mở rộng tương tự ta có bai toán Bài tập 22:Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=3.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2 2 (1) a b bc ca Lời giải: (18) a2 ab a 2 a b a b Ta có: ab a b 2 ab ab a b2 Mà Tương tự với hoán vị ta có: b2 b bc 2 bc c2 c ca 2 ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức đó ta đươc: 1 a b c VT (1) ( ab bc c a) (a b c)(ab bc ca) 2 (a b c) (a b c) VT (1) (a b c) 3 Do đó Dấu xảy a=b=c=1 III Các bài tập chọn lọc VT (1) Cuối cùng tôi xin đưa lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao kĩ giải bài cho các em: ( y z) ( x z) ( y x) 9 16 26 x y z Cho x, y, z > cm: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b2 b2 c2 c b2 a3 b3 c3 2c 2a 2a bc ac ab Cho a, b, c > và a + b + c = CMR: a b c 1 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c A Cho x + y = 1, x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 x y xy (19) a2 b a 2b a CMR a, b > ta có b a HD b 2 (a 1) b b 1 (b 1)2 0 a ĐH BKHN - 2000: a) a b3 a b 2 Cho a + b ≥ Chứng minh b) Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 P sin A sin B sin c A B C cos cos cos 2 Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = CMR x y 1 Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c là số thực và abc = CMR 1 1 3 a b 1 c b 1 a c 1 1 1 3 HD: a b abc c b abc c a abc abc ; sau đó sử dụng a3+b3≥ab(a+b) a4 b4 A ab a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: với a, b là số dương và thoả mãn a + b = a b 1 ; ; 2 2 HD: ab (a b) 2ab a b (a b) dùng bất đẳng thức Côsi lần Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b Gọi S là diện tích tam giác ABC và M, N, P là các số thực cho m + n, n + p, p + m là số dương CMR: ma nb 4 mn np pm (20) 10 Chứng minh rằng: ( x y) x y a) 2 ( x y) x y b) 4 8( x y ) c) x > 0, y > 0, x + y = CM: 5 xy 11 Giả sử x, y là các số dương thoả mãn x + y = 10 Tìm giá trị x, y để P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ HD đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12 Cho tam giác ABC nội tiếp ( O; R ) có góc nhọn với BC = a, AC = b, AB = c Lấy I phía tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB tam giác.Chứng minh a2 b2 c2 x y z 2R HD CM ax + by + cz = 2S Sử dụng bất đẳng thức Bunhia 13 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 1 2 CMR: a 2b 2c b 2a c 2 1 1 ( ) 2 HD tách: a 2b a 2(b 1) a 2b 2 1 P a b Cho a + b = 5, a, b > Tìm giá trị nhỏ 14 15 CMR x y y z z x x y z 1 (x y z ) Trong đó x, y, z là số không âm thoả mãn x + y + z = 16 Tìm giá trị nhỏ T a b b c c a với a, b, c dương và thoả mãn a + b + c = (21) a b c 2a b 2b c 2c a T ; b c a c a b HD: Bình phương hai vế: a2 a b a b c 4a b c c , 17 tương tự CMR a, b, c, d > thì: a b c a bc b c a abc a) a2 b2 c2 d a b c d b c d a abcd b) HD: a a b 3a b b c 3b c c a 3c 3 ; 3 ; 3 b b c abc c c a abc a a b abc Tương tự cho câu b 18 19 a 3 b 4 c 9 abc Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh: x y y z z x xyz 729 20 Cho x, y, z là các số dương và x y z 1 Chứng minh rằng: 1 y z 82 x y z (ĐH 2003) 1 4 x , y , z x y z 21 Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 1 1 2x y z x y z x y 2z (ĐH 2005) x2 x x x 12 15 20 x x x 3 22 Chứng minh với x : (ĐH 2005) 23 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng: x3 y y3 z3 z x3 3 xy yz zx (ĐH 2005) y (1 x ) 256 x y x , y 24 Chứng minh với thì (ĐH 2005) (22) 25 Cho x, y, z thỏa mãn x y z 0 x y z Chứng minh 6 (ĐH 2005) 26 Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 3b b 3c c 3a 3 (ĐH 2005) x y z 27 Cho x, y, z thỏa mãn 1 Chứng minh 9x 9y 9z 3x y z x y z y 3x z z x y (ĐH 2006) 11 y x ( x 0) 2x x 28 Tỡm GTNN hàm số (ĐH 2006) x , y x y 29 Cho là hai số dương thỏa mãn điều kiện Tìm GTNN biểu thức 3x y A 4x y (ĐH 2006) 1 3 30.Ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: (1 a)(1 b)(1 c) 8 (ĐH 2001) 31 Giả sử x và y là hai số dương và x y 1 Tìm GTNN x y P 1 x y (ĐH 2001) 2 32 Cho hai số thực x 0, y 0 thỏa mãn ( x y ) xy x y xy Tìm GTLN biểu thức A 1 3 x y (ĐH 2006) 33 Chứng minh y x 1 thì x y y x III.Kết luận (ĐH 2006) (23) Trên đây tôi đã đưa số phương pháp chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài toán.Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy để học sinh có kĩ chứng minh tốt bất đẳng thức thì trước hết người thầy phải làm cho học sinh hiểu cái hay và đẹp bất đẳng thức, đồng thời vì dạy chứng minh bất đẳng thức là lĩnh vực khó nên các thầy cô nên vào sức học sinh để đề bài tập phù hợp Theo kinh nghiệm tôi, ứng với ba mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng thì đầu tiên là các bài tập nhận biết và thông hiểu các kiến thức bản, đơn giản Sau đó dần nâng mức độ bài tập lên Chính vì để sử dụng tài liệu này tôi đã cố gắng lựa chọn và xếp ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và vừa sức với học sinh mình.Tuy nhiên đây là nội dung khó và kinh nghiệm giảng dạy tôi còn hạn chế nên chắn còn thiếu sót và không tránh khỏi số sai lầm Mong các thầy cô xem và đóng góp ý kiến để chuyên đề hoàn thiện hơn.Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp Bắc ninh tháng năm 2012 Giáo viên Lê Thị Hồng Thúy (24)