Phuong Trinh Vo Ty Nang Cao

Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho các nghiệm của các phương trình :... là các số tự nhiên.[r]

NGUYỄN NGỌC NHÂN TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ( DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ) QUẢNG BÌNH , THÁNG NĂM 2012 Bài Giải phương trình : x  x   x  80 (1) HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x 0 (1) 3 Đặt  x  x   x  x    x  x     x   f  x  4  x  x   x  x    x  x     x    x2  Ta thấy f  x 3 3 đồng biến trên khoảng  x  80  0;   và f  1 80  x  x  f x  f  1  x  f  x   x  f  1 x  80 x  * Nếu thì    (Vô lý )  x  x  f x  f  1 x  f  x   x  f  1  x  80  x  * Nếu thì    (Vô lý ) x  Vậy Thử lại ta thấy thoă mãn phương trình đã cho , đó là nghiệm Bài Giải phương trình : x   3x  2 x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI (2) Điều kiện : x 0  x   x  x   3x   x   x  x  3 5 x   2  x  1  x  1 (2)  x  x  3   x  1  3x  1  x  x  3  x  1  3x  1  x  x  0  x 1 Thử lại ta thấy x 1 thoả mãn phương trình đã cho Nhận xét : Nếu phương trình : f  x  g  x  h  x  k  x có : f  x   h  x  g  x   k  x  , thì ta f  x  h  x  k  x  g  x biến đổi phương trình dạng sau đó bình phương , giải phương trình hệ f  x  g  x  h  x  k  x f x h x k  x  g  x  Nếu phương trình : có :     thì ta biến đổi f  x  h  x  k  x  g  x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình : x3   x 1  x2  x 1  x  x 3 HƯỚNG DẪN GIẢI (3) Điều kiện : x  (3)  x3 1  x 3 x   x  x 1  x 1  x3 1  x  x  x   x  x 3 x3  x  x   x3   x  3  x  x  1  x  x  0 x 3 '  3  x1 1   x2 1  (TMĐK)  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1  Bài Giải phương trình : x  2 x  x   x  1 HƯỚNG DẪN GIẢI  t 1  t  x  , phương trình đã cho trở thành :  x  1 t 2t  x  Đặt t  x  1  t    t  2t  4t  x  1   x  1 0  t 2 x  (loại ) x  2 x  1  x  1    x  x       x 0  x  2  x  4 x  x  3 x  x 0     x   x Vậy phương trình đã cho có nghiệm Bài Giải phương trình : 1 x  x2  x  1 x HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện :  x 1   x   x t ,  t   t 1  x   x   t2  1 t  t  3t  0  Phương trình đã cho trở thành : Đặt  x  x t   t 1  t 2  (loại t = 2)  x 0 x   x 1   x(1  x) 1    x 1 (TMĐK) Bài Giải phương trình :  x2    x  x 1  x  HƯỚNG DẪN GIẢI  t 3 t    x  t   3x 0    t x  Đặt t  x  , ta có : * t 3  * x  3  x 7  x   x 1 t x      x   x   x 1   2  x  x  x 1  x 1   x   (VN) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  Bài Giải phương trình : x   x  3x  HƯỚNG DẪN GIẢI 2a  b x  3x    ab  x  3x    x   a x  x   b Đặt (a>0) (b>0) 2 2   7b   b     a  b  ab  a  ab  b  Do đó : Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 12  Bài Giải phương trình : 12 12  x  x2 x x (8) HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện :  12  x  12 12 12 12 12 12 x  x  12   x   x  12   x 12  x x x x x (8)   x  x 12 2 x 12  12  x  x  1  x 12  x  1  12 0 x 2 Đặt x x  t , phương trình trở thành : t  12t  12 0  t  12  x x   12  x  x  12 0  x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 Bài Giải phương trình : x  x  7 x  HƯỚNG DẪN GIẢI x  Điều kiện : (9)   x  1   x  x  1 7 (9)  x  1  x  x  1  v 9u 3u  2v 7 uv    v 1 u  Đặt u  x  0 , v  x  x   , ta được: Giải ta : x 4  Bài 10 Giải phương trình : x  3x   x  2  x 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt y  x  ta hãy biến phương trình trên phương trình bậc x và y :  x y x  3x  y  x 0  x3  xy  y 0    x  y Giải ta có nghiệm : x 2, x 2  2 Bài 11 Giải phương trình : x  x   x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI u  x   x 1   x  2 v  x2     Điều kiện: Ta đặt : đó phương trình trở thành : u  3v  u  v  v 0 2   u  3v  u  v  v  5v  3u  0    v  u v  u (loại  )  x 1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 Bài 12 Giải phương trình : x  x  12 x  36 HƯỚNG DẪN GIẢI x  Điều kiện :  (12)  x  x  x   12 x   36   x  1  x 1   t  t  0  t 2  t  x  0    t 2  x 3 t  t  t      (12)    x 1  x 1    x  6  x  (TMĐK) 2 Bài 13 Giải phương trình : x  x  2 x x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI Ta thấy : x  x    x  R  , Điều kiện : x    (14)  x  x x  x   x  x   x  x  0  x  2 x  x    x  1 0 2   x x  x    x 1 x      (TMĐK) Bài 14 Giải phương trình : x   x   x   x 12 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x 2 VT 2  5.2 12  x 2 là nghiệm Bài 15 Giải phương trình : x  x 1 2 x x  HƯỚNG DẪN GIẢI x Điều kiện : *Cách (15) 1  (15)  3x  t 2 xt   x  t   3x  t  0  x t  t 0, x    x 1 x  t  t 0  2  Đặt *Cách   (15)  x  x   x x  2 x  0   x  1  x   x  1 0 1   x   0    x    x 1 2  x x   0     Bài 16 Giải phương trình :  x  x   3  x  x   HƯỚNG DẪN GIẢI (16)  x 2  Điều kiện :    x 1 (16)   x  3x     x  3 3  x  x    x  3 Đặt  x  3x   a; x  b  a, b 0  2 Phương trình trở thành : 2b  a 3ab   x2  3x    x   x  x  0  a b    a  b   a  2b  0        a 2b  x  x  0 x  x   x      x  41  41 ;x  2 Bài 17 Giải phương trình : x  x  3  13  x HƯỚNG DẪN GIẢI (17) 101 13 x  Đặt a x  3; b  13  3x ; c   13  3x ;  a  0, b 0, c 0  Điều kiện : 27 a 4  3c  (17)   a 3c  b 4  3a  a  0, b 0, c 0  c 4  3b  b 13  3x 4   x  3 4  3a; c 4  3b  a b, a c  a b c  a b c 1  x 4 Vậy phương trình dã cho có nghiệm x 4 Bài 18 Giải phương trình : x  x  x  4 x  HƯỚNG DẪN GIẢI ĐK x (18) (18)  x3  x  x  x   x   0  x  x  1   5x    0  x   0  1   x    x 1 5  x  x  1 0  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1 Bài 19 Giải phương trình : x  3x   x  x  2 x HƯỚNG DẪN GIẢI (19) Điều kiện : x 2 (19)  x  3x  x2  x  2 2  x x 2  t   t  2;  t x    t 1  x 2 x  Bài 20 Giải phương trình : x  2 x  x  19 HƯỚNG DẪN GIẢI (20) Điều kiện : x   (20)  x   x    x  x  0    x  3 x     x  1 0    x 1  x 1  Bài 21 Giải phương trình : 12 x    x (21) HƯỚNG DẪN GIẢI  x   x 3   x  0 Điều kiện :   (21)  x  x  4  x  1  12 x     x    x    x   x    x  2 x    x 3  x 3  x  x  x   3x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 22 Giải phương trình : x Điều kiện : x Bình phương vế ta có :  x   x  1 x   x  x   x  1  x  x    x  1  1 v u  2 uv u  v   u  x  x  1  u v  v  x    Ta có thể đặt : đó ta có hệ : 1 1 u v  x2  2x   x  1  x   x  u , v  2 Do nên   '    2     4      0  0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 23 Giải phương trình : x  14 x   x  x  20 5 x  HƯỚNG DẪN GIẢI  x  x  20   x 1 Điều kiện : x 5 Chuyển vế bình phương ta được:  x  x  20  x  1  x    x  5  x  1  x  4  x  x  5 Ta viết lại phương trình: ta có : x  x  5 2  x  x  a  a, b    x  x    x   5 ( x  x  5)( x  4) x   b  Đặt  Ta có :  a b   x  x  0    2a  3b 5ab   a  b   2a  3b  0  2a 3b  x  25 x  56 0   Giải ta có nghiệm : x1   21  21 25  1521 25  1521 ; x2  ; x3  ; x4  2 8 25  1521 Thử lại ta thấy có thoả mãn , đó là nghiệm phương trình Bài 24 Giải phương trình : x   x  x   x  x   x  x HƯỚNG DẪN GIẢI u   x 2  u uv  vw  wu  u  v   u  w  2    v   x 3  v uv  vw  wu   u  v   v  w  3  5  w2 uv  vw  wu  w  5 x    v  w   u  w  5  Đặt , ta có : x u  v v  w w  u  30    Nhân vế theo vế các phương trình hệ ta có :  , chia phương trình  30  u v  w   2 30    30 11   v  u  w  30     19 30 30 239 u  v  w  u   x  30  60 120 hệ ta có :  ta được: 2 Bài 25 Giải phương trình : 3x  6x  16  x  x 2 x  2x  HƯỚNG DẪN GIẢI  x  x  16 a    a, b, c 0   x  x b   x  x  c Đặt Phương trình trở thành : a  b c a  b c  2ab a  b c  2  ab 0  2 2 2 a  b  c a  b  c    Mặt khác ta có : a  b c Ta đưa hệ :  3x  x  16 0   x  x    x 0  x   Bài 26 Giải phương trình : x   x  3x   x  x   x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI a  x   b  x  x   c  x  x   d  x2  x  Ta đặt :  , đó ta có : 2  x  2 x  x   x  Bài 27 Giải phương trình : a  b c  d  a  b c  d   a c   2 a  b  c  d a  b  c  d   x  x   x  x  9 x  HƯỚNG DẪN GIẢI  x  x  a  a, b    a  b a  b   a  b   a  b  1 0   x  x  b Đặt  ta có :  x  x  4 x  x     x  x   x  x  1   x 1    x 3   2  x  x  1  x  x  x   x  1  x  3x  HƯỚNG DẪN GIẢI  x 0 x   0    x  Bài 28 Giải phương trình : pt    x 3   2  x  x  1  x  x   x 1  x2  x  x2  x HƯỚNG DẪN GIẢI x  +) , không phải là nghiệm  x 1  x 1 3  x 1  x     1 x x   x  +) , ta chia hai vế cho x : Bài 29 Giải phương trình : Bài 30 Giải phương trình: Điều kiện : x   (30)  x   2x    x  0  x 1 x   x x  2 x  x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI (30)  x 1 x   0    x 0  x 3  Bài 31 Giải phương trình : Điều kiện : x 0 Chia hai vế cho  a b  a  b 1  4x 4 x x 3 HƯỚNG DẪN GIẢI  4x 4x 1 2  1 x 3 x 3 x 3 :  Bài 32 Giải phương trình :  x x 4x   0  x 1 x 3  3x (32) HƯỚNG DẪN GIẢI 3  10 10    x    x    3 3  Điều kiện :  x  (32)  x  3x  x  0 Bài 33 Giải phương trình sau : x  9 x  x  (33) HƯỚNG DẪN GIẢI  x 1  x   3 x 2   x 9 x     x    97  x    3x  18 Điều kiện : x  (33)      x 3   x 4   3 x  x   2 x  3 3x  x   Bài 34 Giải phương trình sau : (34) HƯỚNG DẪN GIẢI   3x 0  x 1 (34) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1  x2  Bài 35 Giải phương trình : x  10 x  21 3 x   x   HƯỚNG DẪN GIẢI (35) Điều kiện : x    x 3   (35)  x  2  x 1 x   0     x 2  x  3 Bài 36 Giải phương trình :  (TMĐK) x  2002x  2001  x  2003x  2002  x  2004x  2003 HƯƠNG DẪN GIẢI  x  1  x  2001   x  1  x  2002   Phương trình đã cho tương đương :  x  0    x  2001  x  2002  x  2003 3x2  5x   Bài 37 Giải phương trình :  x 1   x  2000   x  1  x  2003  x  2001  x  2002  x    x  x  1  0  x 1 x  3x  HƯỚNG DẪN GIẢI  3x  5x  1   3x  3x  3   x   và  x2     x  3x   3  x   Ta nhận thấy :  2x  3x   x   x  3x  3x  x    x  x  1 Ta có thể trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x 2 là nghiệm phương trình 2 Bài 38 Giải phương trình sau: x  12  3x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI x  12  x  3 x  0  x  Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x = là nghiệm phương trình x2  x2  x  12  3 x   x    3  x    x  12  x2    x2   x  2    x  12  x 1    0  x 2 x2    x2 x2    0, x  x2   Dễ dàng chứng minh : x  12  3 Bài 39 Giải phương trình : x   x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x  Nhận thấy x = là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình   x 3    x  3  x  x   3 x    x   x     x  3 1   3 x2  x3      x     x 3 1 x 2 1   1  x   Ta chứng minh : Vậy phương trình có nghiệm x = x 3   2 x  1   2 Bài 40 Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  HƯỚNG DẪN GIẢI 2  x  x     x  x  1 2  x   Ta thấy : x  không phải là nghiệm phương trình Với x  2x  x   x  x   2 Trục thức ta có : x  x   x  x  x  3x  x3   x  x  2  x  x   x  x  2  2 x2  x  x     x  x   x  x   x  Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa mãn ; phương trình có nghiệm : x = và x =  x 0   x 8  x  x   x  x  3x HƯỚNG DẪN GIẢI 1 1      3 x x x x Chia hai vế cho x ta có : t 2 x thì ta : t  t   t  t  3 Đặt Bài 41 Giải phương trình :  t2  t  t    t  t  1 5  t  2t  3t  t  10t  25  8t  3t  27 0 Tiếp tục giải ta tìm các nghiệm phương trình 2  x  x 9 x  Bài 42 Giải phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI x  Điều kiện : 2   2    x     x   x   2  x 1       x   x    x        Ta có :   Dấu đẳng thức xảy  2 1   x x 1 x 1 x Vậy phương trình đã cho có nghiệm 4 Bài 43 Giải phương trình : 13 x  x  x  x 16 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện :   x 1  x 13  x   x Biến đổi phương trình ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x   256  13  27   13  13x   x  40  16  10 x   16  10 x  16  10 x    64  2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi:   x   x    x2      10 x 16  10 x   x  Dấu đẳng thức xảy 2 x  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm   x 25  x3 x  25  x3 30 Bài 44 Giải phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI 3 3 Đặt y  35  x  x  y 35  xy ( x  y ) 30  x  y 35 Khi đó phương trình chuyển hệ phương trình sau:  , giải hệ này ta tìm ( x; y ) (2;3) (3; 2) Tức là nghiệm phương trình là x  {2;3}  1 x  x  HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 45 Giải phương trình: Điều kiện:  x      x u  u   x v Đặt  Ta đưa hệ phương trình sau:  1,0 v   1  u  v    u  v     u  v      v   v        (v  1)   v   0 2  Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm v thay vào tìm nghiệm phương trình 2 Bài 46 Giải phương trình sau: x   x  6 HƯỚNG DẪN GIẢI x  Điều kiện: Đặt a  x  1, b   x  1(a 0, b 0) thì ta đưa hệ phương trình sau: a  b 5  (a  b)( a  b  1) 0  a  b  0  a b   b  a 5 11  17 x     x   x  5  x  x  Vậy  2x  2x   5 x Bài 47 Giải phương trình:  x HƯỚNG DẪN GIẢI   x  Điều kiện: u   x , v   y  u , v  10 Đặt (u  v) 10  2uv u  v 10    4 2 8       2(u  z )  (u  v)   uv u v     Khi đó ta hệ phương trình:  2uv  2 2    10  2uv   uv  9  uv     uv    uv  9   uv   4uv     uv    uv        uv    uv   144uv  180 0 Bài 48 Giải phương trình: x  x 2 x  HƯỚNG DẪN GIẢI x Điều kiện: 2 Ta có phương trình viết lại là: ( x  1)  2 x   x  x 2( y  1)  y   x  Đặt thì ta đưa hệ sau:  y  y 2( x  1) Trừ hai vế phương trình ta ( x  y )( x  y ) 0 Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x 2  Kết luận: Nghiệm phương trình là {1  2;  3} Bài 49 Giải phương trình: x  x   x  HƯỚNG DẪN GIẢI x  Điều kiện 2 Ta biến đổi phương trình sau: x  12 x  2 x   (2 x  3) 2 x   11 (2 x  3) 4 y   ( x  y )( x  y  1) 0  (2 y  3)  x   y   x  Đặt ta hệ phương trình sau:  Với x  y  x   x   x 2  Với x  y  0  y 1  x  x 1  Bài 50 Giải phương trình : 3x   x  4x   3x  5x  HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x 1 3x  x  a   x  3 x   x  a  a   Đặt suy : Phương trình trở thành :  a  a  a  0    a 3  x   x  3   x    x  1 3  x a   3 x  x  4 x  12 x     x    Bài 51 Giải phươg trình :  x  x  0  21   x  x   2x   x  3x  2x  5x   16 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x  Đặt x   x  a  a   Suy : 2 x  x  a   x   Phương trình trở thành :  a  a  a  20 0    a 5  x   x  5  2 x  x  21  x  a 5  x 7  x 7 146  1462  4.429     x  2 8 x  20 x 12 9 x  126 x  441 0  x  146 x  429 0 2 Bài 52 Giải phương trình : 6x  10x    4x  1 6x  6x  0 HƯỚNG DẪN GIẢI (52) (52)   x  x    x x  x   x  x   x 0  x2  x   x      x  x   0  Bài 53 Giải phương trình : x  x  4 x  10 x  x  0  x  x  16  2 x  4  x HƯỚNG DẪN GIẢI   59 10 (53) Điều kiện :   x 2 2 (54)  4(8  x)  16  x  ( x  x) 0 x x t t   Đặt  2x = t (t 0) , phương trình trở thành : 4t2 + 16t – ( x2 + 8x ) =   là nghiệm Giải x theo t x = Bài 54 Tìm tất các số nguyên dương a, b, c cho các nghiệm các phương trình : x  2ax  b 0 x  2bx  c 0 x  2cx  a 0  1  2  3 là các số tự nhiên HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử :  x1 , x2  ; x3 , x4  ;  x5 , x6  là các nghiệm tự nhiên các phương trình (1) ; (2) ; (3) Nếu xi 2 với i 1, 2a  x1  x2  x1 x2 b 2b  x3  x4  x3 x4 c Theo hệ thức viét ta có : 2c x5  x6 x5 x6 a  a  b  c  a  b  c a, b, c  Z  Do đó : , vô lý vì Vì có ít các số xi Không tính tổng quát giả sử x1 1 , ta có :  2a  b 0 b  c   x3  x4    x5  x6  x3 x4  x5 x6 c  a Nếu xi 2 với i 3, thì :  2a   c  c  a  c 2  3a  Suy :  (Vô lý) Vì có ít các số Cho x3 1 thì :  2b  c 0 x3 , x4 , x5 , x6 1  2 b      b  1  7b 5 Giả sử : x5 2; x6 2 , ta có : 2c x5  x6 x5 x6 a , vô lý Vậy x5 1 x6 1 nên :  2c  a 0   2a  b   2b  c   2c  a 3   a  b  c        Mặt khác : Vì a, b, c là các số nguyên dương nên a b c 1 Ngược lại a b c 1 thoả mãn điều kiện bài toán Bài 55 Giải phương trình : 9( x   3x  2) x  HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện x 9( x   x  2)  x   3x  9 4x 1    x  3  x  3    x   x   x   x   3x   x   3x      x   3x   d o x     81 4 x   x    x  1  3x    x  1  3x    82  x 2 82  x 0  2  82  x  4 12 x  x   82 x  82  x 0     x 6  x   x  1128 x  6732 0    x 1122   Bài 56 Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có nghiệm nhất: x  x   x   x m HƯỚNG DẪN GIẢI Giả sử x0 là nghiệm PT, đó  x0 là nghiệm PT Do đó để PT có nghiệm ta phải có: x0 1  x0  x0  1 x0  Thay vào PT ta có: m   Với m   , ta chứng minh PT có nghiệm Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:  1  x  2 x 2    1  x  2  x    2  * ,  **   1 x  x    4 2   x   x   *  1  x    4  x  2 x  x  1 x  1 x   x   x 4 Dấu xảy và khi: x  ** Vậy m   3 3 Bài 57 Giải phương trình : x  x  x  3x  3x   x  HƯỚNG DẪN GIẢI Tập xác định : D = R (57) 3 3 (57)  x  3x  x  3x  x   x  f  x3  x   f  x  1 f  t  t  t  f t Xét hàm số Khi đó ta có : Ta chứng minh hàm số   đồng f  t1   f  t2   t1  t2   t1   t2   t1 ; t2  R : t1  t2 biến trên R Thật : thì  Nên f  t1   f  t2  Suy f t đồng biến trên R  3 Theo tính chất hàm đơn điệu ta có : x  3x  x   x  x  3x  0  x  1    x    x  x   0   2 1    x  31 xyzt  xy  yz  zt  1 40  xzt  x  z  Bài 58 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : xzt  x  z 0 xyzt  xy  yz  zt 40 zt 1 1    y 1   y  1  z xzt  x  z 31 xzt  x  z 31 x 3 zt  (1) 1  y 1  1 x 3 1 t 2 z Suy x 3 ; y 1 ; t 2 ; z 4 *) Nếu z 0 , từ (2) 1 31 1   y 1 ; x  N 31 x 9 *) Nếu z 0 , từ (2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương x 3 ; y 1 ; t 2 ; z 4 x  y Bài 59 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình  : 2 x  x y  18 x y  68 x y  81x y  126 y 770 HƯỚNG DẪN GIẢI x t y ta : Xét vê trái phương trình đã cho , chia cho y và đặt  y t  6t  18t  68t  81t  126  t    t  3  t  1  t    t  3 Như phương trình viết lại :  x  y   x  y   x  y   x  y   x  y  11.7.5.2.1 Ta nhận thấy y 0 không thoả mãn phương trình vì x 770 x  Z  x, y  Z   x  y  x  y  x  y  x  y  x  3y  y  0 x  2y Do đó : , vì  nên :  x  y 1  x  y 2   x 4  x  y 5   y    x  y 7   x  y 11    x; y   ; Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương 3 Bài 60 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x  y 3xy  Phương trình đã cho tương đương với : HƯỚNG DẪN GIẢI  x  y   3xy  x  y  3xy   1 a x  y  a  3ab 3b   a3  3b  a  1   a  3  a 1 b  xy  Đặt , ta :   a  1   a    a   a   1; 2; 4 Giải ta các nghiệm :  ;  1 ;   ; 1 ;  ;  ;  ; 1 x    x  1 Bài 61 Giải phương trình sau :  x  2  x    x  2  x  1   x  3 HƯỚNG DẪN GIẢI  x  a   a  x   a  0 b  x   b  0 x  b3   Đặt , Biến đổi vế trái ta có : 3 2  a  a b  b  b a  a  b    x   3  x  1  x    3 x 1 x   ,phương trình trở thành : x   x  2 x  3  x   x   x  3  x   3  x  1  x    x  3  x  3  x  0    3  x  1  x    x  3  x   x 2     x  x  0  x 2    x  3x    3 x  3x  4  x  x     3 32 ; x 1 ; x 2 ; x   2 2 x2  x 1  x2  x 1  4x2   Bài 62 Giải phương trình : 32 x  x2  3 HƯỚNG DẪN GIẢI x2  x 1  x  x  4 x   Phương trình đã cho tương đương với : 4x2  32 x  x  3 32 x  x  3   64     x   x  3   x  3  2 2 x  x  3   Xét vế phải ta có :  4 4.64  1 (Bất đẳng thức cô-si) Xét vế trái , ta chứng minh vế trái nhỏ Thật : x  x 1  x2  x 1   x  x   x  x    x   x  x  (*) thì (*) luôn đúng *) Nếu x  x  x    x  x  1   *) Nếu thì (*) (đúng) VT   VP Như : Vậy phương trình đã cho vô nghiệm x Bài 63 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x 30  x 30  y   y 2002 (63) HƯỚNG DẪN GIẢI  x 60  x 30 y  y 2002   x 30  y   y  y1994  1  y1994  u  u  Z   (63)  u 2v  1 v  N   y1994   2v  1  y1994 v  v 1 Vì : 1994 1994  v; v  1 1 nên : v r ; v  s  s  r ; s, r  N  Mặt khác  s  r 1  s1994  r1994 1   s  r   s1993  s1992 r   sr1992  r1993  1   1993 1992 1992 1993  s  s r   sr  r 1  s 1  x 0     r 0  y 0 Bài 64 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 134xyz HƯỚNG DẪN GIẢI x, y , z  Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương  d  x, y  x  x0 d ; y  y0 d Đặt với Thế vào phương trình ta có: 2 2 2 2 x0 d  13 y0 d  x0 y0 d  y0 z d  x02  y0  y0 z  13 y  x0   x02 y0 x ;y Do  0  = 1, nên y0 1 Từ đó suy : x x0 y Thế vào phương trình :  z  x0  9     z  x0  1 x02 y  13 y02  x0 y02  y z   x0    z   z  x0    z  x0   9  z 5    x0 2 Bài 65 Giải phương trình:  x 2t  *  y t  t  N   z 5   x  4 2  x  13  50  x  13 (65) HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt y 2x   x  y  5  (65)   y   16 y  100 y 2  5 25      y    16 y  y   0 2    (*) 25   5   5 y   y    y  y    16 y  y    80 y 0 2      Ta có nên (*) viết là :  5  t  y   2  Đặt , (**) trở thành : t  16 yt  80 y 0   t  y   t  20 y  0 10   10  ; 4 Giải ta hai nghiệm là  x  1 Bài 66 Giải phương trình : x 1 2  x  1  x  Giải Đặt: y  x 1 ; y 1 (9) (**)  y 2 x    y 1   y  xy  y    y  x  1 0   y  x  1  y  1 0  0; Kết luận : Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là (9)   x  1 y 2 y  x   y   x  1 y  x  0 2 13  x  3x   x  x    x  12 x  33  Bài 67 Giải phương trình:  HƯỚNG DẪN GIẢI Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho số: c x  3x  6; d  x  x  Với a 2; b 3;  Ta có: 2      2 2  32  x  x   x  x    x  x   x  x    x  12 x  33            x 1   x 4  x  3x   2  x  x    x  x  0  Do đó: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; Bài 68 Giải phương trình: x  x  3.5  x  2x  x2  4x    HƯỚNG DẪN GIẢI x  x   x  1   x  x   x     Ta có: x x  3x  3.5   2x   x2  4x     x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương  2x  2 x và  4x   Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = x  x  11  x  x 13  x  x  3  (69) Giải: Bài 69 Giải phương trình: (69)  Mà  x  3  x  3 2 2  2   x  3  x  3 2    x    3  (*)    x       3  2   x  3 0   x   0 Nên (*) xảy và  (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm x  x  15  x  x  18 Bài 70 Giải phương trình: x  x  11 (70) HƯỚNG DẪN GIẢI (70)     x  3   x  3  1 Mà :  x  3 2 1  3  x  3 và  3    x  3 Do đó ta có: 0  x 3 Bài 71 Giải phương trình: x 19 5 x2   95 x2  x 2 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện:  x  0   x  0  x  3x  0  *Ta có: 19 x 5 x2   95 x2  x 2 190  50  950 3 2 Nên x  0 ; x  0 ; x  x  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 1 Bài 72 Giải phương trình:  3x 1 2   x  1  x  1 (72) HƯỚNG DẪN GIẢI 3 Đặt: u  3x 1 và v  x  u  v  u.v 1  3 u  v 2  u  v 2  u v  (6) trở thành:  2 v    v  v  v   1  3v  6v  0   v  1 0  v   u 1  Do đó: u  3x  1  x 0  v  x    Vậy ta có:  Bài 73 Giải phương trình:   1 x    x  2 x HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện:  x 1 u  Đặt:  x u Suy ra: x u   Phương trình trở thành:   u  1    u  2  u  1  u  0   u    u  1 0      u    u  1 0  u    u  u  *) (thỏa mãn ) , suy x 0   u  2u  1   u  2  u  1 1  u ( ng v 0)  5u  4u  0 (a  b  c 0)  2uđúì   u  u  *) u1  ; u2  (loại u1  vì -1<0)   u  1         24  1 x u22      25  5 Ta có: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là ;  24 25 √ x +14 x − − √ x − x −20=5 √ x+ Bài 74 Giải phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI ĐK: x 5 Chuyển vế bình phương:  4x  10x  10 5x  14x  x  24x   10  x  5  x    x  1  2x  5x  5  2(x  4x  5)   x   5 x 2   x  20  x  1 x   4x   x     4x   x   u = x  4x   2u  3v 5 uv  v  x     Đặt  , ta có :  x   u  u v v u  v 0    4u 9v     65 x   x  x  x   x  x  10 0       x  x   9  x   25  1145  x  25 x  65 0 x  2 11 25 − =1 2 x ( x+ ) Bài 75 Giải phương trình : HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện : x 0; x  Đặt x + = y 0  x  y  5 Phương trình đã cho trở thành :   625  25   y  10y3  39y  250y  625 0   y    10  y    39 0 y  y    , 25   y  y  11  11   y  t  25 625 25  t  10t  11 0   y 11 y t  y  t  50  y y y   t 11 Đặt , Ta có : x 21  11 Từ đó suy phương trình đã cho có nghiệm : Bài 76 Giải phương trình : √5 27 x10 −5 x 6+ √5 864=0 HƯỚG DẪN GIẢI Vì x = không là nghiệm phương trình nên chia vế cho x6 ta : √ 27 x + √5 32 27 =5  x + =5 6 x x √ 27 Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta có : x + x4 x4 x 1 = + + + + ≥5 3 27 x x x x   x10 3  x 10 x Dấu đẳng thức xảy  2 Bài 77 Giải phương trình : √ x + x − 1+ √− x + x +1=x − x +2 HƯỚNG DẪN GIẢI √ ¿ x + x − 1≥ Điều kiện : − x + x+1 ≥ ¿{ ¿ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 √ x2 + x −1≤ x + x 2−1+1 = x 2+ x 2 1+ − x + x +2 = √ − x + x +1 ≤ − x + x+ 2 2 Suy : √ x + x − 1+ √− x + x +1 ≤ x +1 ⇔ ( x −1 )2 ≤  x 1 Từ Phương trình ⇒ x − x+2 ≤ x +1 1−x x+x = Bài 78 Giải phương trình : x 1+ x √ HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện :  x 1 Phương trình đã cho  1 x 2x  1  (*) x 1 x2 là nghiệm pt (*) +  VP  1  x 1  + : VT  x 0x 2: VT>1  VP<1 + Vậy phương trình đã cho vô nghiệm a − bx ( b+c ) x+ x = Đề xuất: Với a ,b,c >0 cx a+ x 1) √ x −2+ √ − x=2 x −5 x −1 2 Đề xuất : √ x − a+ √ b − x=( b − a ) x2 − b − a − b − a x − a+b −2 2 √ ( (Với a + < b ) 2) 3) 4) √ ) √3 x − x+ 2001− √3 x − x+2002 − √3 x − 2003= √3 2002 x3 +2001 =4004 x −2001 2002 ( x − a )( x −b ) ( x − c )( x − b ) ( x − a ) ( x − c ) + + = c ( c −a )( c −b ) a ( a − c )( a − b ) b ( b − a ) ( b − c ) x ( ) Trong đó a;b;c khác và khác không 5) x=1− 1978 ( 1− 1978 x ) ( ) √ b −2 a 6) 7) 8) x ( x − )= √ √ x+2 √ x+ +2 √ x +2 √ x =x √ 1− x +√4 x 2+ x −1+√6 1− x −1=0 2 9) √ 1− x = − √ x 10) √3 x2 −2= √2 − x 11) √ 1+ √ − x [ √ ( 1+ x )3 − √ ( 1− x )3 ] =2+ √ 1− x2 ( ) 12) x −10 x3 −2 ( a −11 ) x +2 ( a+6 ) x+ a+a2=0 13) Tìm m để phương trình : ( x −1 ) ( x +3 ) ( x+ )=m có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 1 1 + + + =−1 x1 x2 x3 x4 ¿ x5 − x +2 x y =2 y − y +2 y z=2 ¿ Tìm nghiệm dương phương trình z − z + z x =2 ¿ {{ ¿ 18 x −18 x √ x − 17 x − √ x − 2=0 √4 17− x − √3 x − 1=1 x 2+ √2 − x=2 x √ 2− x ¿ x + y + z =8 ( x+ y + z ) xyz=8 ¿{ ¿ 19+10 x − 14 x 2=( x −38 ) √ x − 2 x 6125 210 12 x + + − =0 x x ( x+3 √ x +2 ) ( x+ √ x +18 ) =168 x 21) 22) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng nghiệm ¿ ( x+ y )8 =256 x 8+ y 8=m+2 ¿{ ¿ 23) x=√ 2− x √ − x + √ − x √ − x+ √5 − x √ 2− x √2 + √ x= √ x +9 24) √ x +1 √ a + √ x= √ x +a+1( a>1) Đề xuất: √ x +1 25) 13 √ x −1+9 √ x+1=16 x 26) 27 x 2+24 x+ 28 =1+ 27 x+ 3 x −1+ − x=2 x +3 x −1 27) √ √ √ √ 28) 29) 30) 31) 32) 33) ¿ x+ y + z =1 x y z x + y y+ z + + = + +1 y z x y+ z x + y ¿{ ¿ 3 x −3 x +2 √( x +2 ) − x=0 ¿ a b − =c − xz x z b c ❑ − =a− xy y x Trong đó a;b;c +¿ R¿ c a − =c − yz z y ¿{{ ¿ ( x −12 x − 64 ) ( x +30 x+125 ) +8000=0 ( x − ) √ x − 1− √ x+ 2=0 ¿ x + x + √ √ + √ x n=n √ x1 +8+ √ x +8+ + √ x n +8=3 n ¿{ ¿ 34) Cho hệ phương trình: ¿ n ∑ √ xi =n i=1 n ∑ √ x i+ b2 − 1=bn .CMR:Hệ phương trình có nghiệm x1 = x2 i=1 ; b>1 ¿{ ¿ = = xn = 35) √ √ − x =x √ √ 3+ x Tổng quát: √ bx +c=x √ px+ q với a ; b ; q ; p ∈ R ∧ q2=− pb 36) x=( 2004+ √ x ) ( − √ 1− √ x ) Tổng quát: ax=( b+ c √ x ) ( d − √ d − e √ x ) với a;b;c;d;e là các số cho trước 37) x −4 x −10=√ x2 −6 x −10 38) 39) 40) ¿ x ( 2+3 y )=1 x ( y3 −2 ) =3 ¿{ ¿ ¿ x3 +3 xy 2=− 49 x − xy+ y 2=8 y −17 x ¿{ ¿ 16 x +5=6 √ x + x ¿ x2 ( x+ )=2 ( y − x ) +1 y ( y +1 ) =2 ( z − y ) +1 41) z ( z +1 )=2 ( x − z ) +1 ¿{ { ¿ 3 42) √ x +1+ √ − x+ √3 x − − √3 x −3=0 3 3 Tổng quát: √ a1 x +b 1+ √ a2 x +b2 + √ a3 x +b3= √( a1 +a2 +a ) x +b 1+b 2+ b3 ¿ x + y=2 43) y + x=2 ¿{ ¿ ¿ x k+3 + y=2 y k+3 + x=2 Tổng quát: (k∈ N) ¿{ ¿ 44) x − x −1000 √ 1+ 8000 x=1000 45) x+ √5+ √ x −1=6 46) Tìm nghiệm dương phương trình: x −1 1 = − +3 x − x x x 4 4 √ x+ √ x (1 − x ) + √ ( 1− x ) =√ − x + √ x 3+ √ x (1 − x ) ( x 3+ ) =81 x − 27 √3 x+1 − √3 x − 1=√ x −1 ( x2 −3 x +2 )=3 √ x 3+ ¿ y − x + 27 x −27=0 z − y 2+27 y −27=0 x −9 z +27 z − 27=0 ¿ {{ ¿ 15 ( 30 x − x )=2004 ( √ 30060 x +1+ ) √ x +14 x +9 − √ x − x −20=5 √ x +1 ¿ y 30 + y=2004 x z 30 + z=2004 y x 30 + x=2004 z ¿{{ ¿ √ x2 +15=3 √3 x − 2+ √ x +8 x −3 √ x −3 x + √ 3=0 √3 x − x+ 2002− √3 x − x+ 2003− √3 x − 2004=√3 2003 3 x +1=3 √ x −1 x − x +2=√ x+ 2x+ 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59) √ √ Bài tập tương tự: a) 20 x2 +52 x+53=√ x −1 b) −18 x 2+17 x −8=√ 1− x c) 18 x2 −37 x +5= √ 14 x +9 d) √ x+ =7 x 2+7 x 28 60) x +332 x +3128 =316 x +1 61) Cho 0< a<c <d <b ;  a+b=c+ d GPT: √ x+ a2+ √ x +b 2=√ x+ c2 + √ x+ d 62) x − x +6= √ x −5 x +3+ √ −3 x +9 x −5 63) ¿ x + x2 y = y y + y z=z z+ z x=x ¿{{ ¿ √ x − x +19+√ x2 +8 x +13+ √ 13 x2 +17 x +7=3 √3 ( x+ ) √ − x2 +√ x+1+√ x 2+ y −2 y −3=√4 x −16 +5 − y √ x2 −8 x +816+ √ x 2+ 10 x +267=√ 2003 √ 1− x 2=4 x − x √ x2 + x +1− √ x − x − 1=m 64) 65) 66) 67) 68) Tìm m để phương trình có nghiệm 69) Tìm a để phương trình có nghiệm √ 2+ x+ √ − x − √ 8+2 x − x 2=a ¿ 70) √ x+30 +√ y − 2001=2121 √ x −2001+√ y +30 4=2121 71) ¿{ ¿ ( √ x +1− )=x ( 1+3 x+ √2 x 2+ ) ¿ x2 + y +z 2= 72) xy + yz+ xz=− 74) ¿{{ ¿ ¿ x+ √ x − y x = x − √ x − y2 x 5+3 x = y ( 5− y ) ¿{ ¿ x + x+1 x 2+3 x +1 + = x +2 x+1 x +4 x+1 xyz= 73) 75) 76) 77) 78) 10 + =4 2−x 3−x 3 x −7 x +8+ √ x − x +7 − √ x −13 x −12=3 3 x − √ x+ − 4=0 √1+ x = 2 x +2 √√ √ HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT 1) ĐK: x 5 Chuyển vế bình phương: 5x  14x  x  24x   10 x  4x  10x  10  x    x    x  1  2x  5x  5 x  x   x  20  x  1  4x   x    2(x  4x  5)   x   5   4x   x   u= x  4x    v  x      x  3 x  3x  6x  18x  0     GPT : x  3x  6x  18x  0 x  3x  x  1   x  1 0 2)  x  3x y  9y 0 Đặt: x- = y  2x 3y 3y  x x  y  2000y  1   2  y x  y 500x   Nếu x =  y 0   0;0  là n o     2 Nếu x 0.Rút x  y từ (1) vào (2) ta có:  y 0   2000y   y  500y    x    x 4y 3) ¿ 12 x −48 x +64= y (1 ) 12 y − 48 y+ 64=z ( ) 12 z −48 z +64=x ( ) ¿ {{ ¿ G/s (x; y; z) là nghiệm hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) là nghiệm hệ đó có thể giả sử : x = max{x; y; z} Từ 12 x −48 x +64=12 ( x2 − x+ ) +16 ≥16 ⇒ y ≥16 ⇒ y ≥ Tương tự x ≥ ; z ≥ Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z) ⇔ y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4) VT ; VT ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x= y =z 4) ¿ x 19+ y =1890 z + z 2001 y19 + z 5=1890 x + x2001 z 19+ x 5=1890 y + y 2001 ¿{{ ¿ Ta cm hệ trên có nghiệm x = y = z Giả sử (x,y,z) là nghiệm hệ  ( x;  y;  z) là nghiệm hệ  không tính tổng quát ta giả sử ít số x, y, z không âm  z 0 Ví dụ: x 0; y 0 Từ phương trình   Cộng vế phương trình ta có: z 2001  1890z  x 2001 1890x  y2001 1890z  z19  z5  x19  x  y19  y5    t 1  t 2001   19        Ta có:  1890t t  t t 2000  1890 t18  t (đúng) t   t 2001  1890t  t19  t t 2001  1890   t 2000  2t1000 Thật vậy: cô si  t18  t (đpcm) Vậy x = y = z  3  2z    z  Bài 10: + Nếu x < từ Cộng phương trình với nhau: 2 1 1 1  y  x 2 2  x  1  x  1   y 1  y  1   z 1  z  1 0 (*) 1 ; y   ;z     * 2 Với vô nghiệm  x  0; y  0;z   x; y; z  x Gọi là nghiệm hệ phương trình, không tính tổng quát ta giả sử: x max  x;y;z Trừ (1) cho (3) ta được:  x  z   y  x  x  y2  xy  x  y   VT 0  VP 0 dấu " "  x y z  Bài 13: Đk:  x 1 PT  1 x 2x  1  (*) x 1 x2  là nghiệm pt (*) +  VP  1  x 1  + : VT  x + 0x 2: VT>1  VP<1 x2  7x  4 x x2  x  2 x  1  x  4   x  6 x  1  x2 x  x    x  1 x  x  x 0 VD:Giải hpt: Giải: Điều các ẩn là: Từ đó suy hệ có nghiệm (1;1 Với các điều kiện này: