Tổng hợp kỹ nắng giải toán Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ

CASIO MAN PRODUCTION *** TỔNG HỢP KỸ NĂNG GIẢI TOÁN Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỷ Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG Contact: 0902920389 Hà Nội 03/2016 A Kỹ nâng lũy thừa:  a  b  a2  b2  2ab   a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 Ví dụ: x2  x    x  1 x    a  b  c   a2  b2  c2   ab  bc  ca   a  b  c   a3  b3  c3   a  b b  c c  a     Bình phương hai vế phương trình ta có: x2  x      x  1  x  1 2    x  x   102070609   02  07  06  09  x  x  x  x  Thay x = 100 vào hai vế:   x  1  x  1  1009899   00  98  99  x  98 x  99  Chú ý hệ số x vế phải lớn 98 99, thay 98  100 –  x – 99  100 –  x – Ta có  x  1  x  1  x3  98x  99  x3   x   x   x  1  x3  x2  x   Do ta được: x2  x     x  1  x  1  x 2  2x3  x2  6x   x3  x2  x  Kỹ đọc số liệu máy tính từ chuyển thành đa thức ta gọi tư chuyển hóa số liệu máy tính HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH THAY SỐ VÀO BIẾN THÔNG QUA CÔNG CỤ CALC Để thay x = 100 thông qua máy tính Casio tiến hành   bấm máy tính X  2X  Sau bấm CALC, máy tính hỏi giá trị biến X , ta nhập 100 bấm nút “=” Nhận kết – 04 – 10 – 12 – 09  Do ta có: x2  x    x4  4x3  10x2  12x    Bài 1: Rút gọn biểu thức:  x     2x  1  x2  Đáp án: x4  8x3  15x2  10x   Bài 2: Rút gọn biểu thức: x2  x     x    3x   Đáp án: x4  x3  3x2  20x  29 B Kỹ chia đa thức máy tính Casio: Giả sử muốn lập phép chia đa thức 4X  25X  16X  X  5X  Ta bấm vào máy tính Sau bấm CALC, máy tính hỏi giá trị biến X , ta nhập 100 bấm nút “=” Máy tính trả kết – 95 – 03 Sử dụng tư chuyển hóa số liệu máy tính nêu kỹ 1, ta có: – 95 – 03 = 4x2  5x  C Phân tích nhân tử biểu thức chứa dạng bản: Ví dụ: Phân tích nhân tử: x  x  Đặt x   t  x  t  Khi đó: x  x   t  2t    t  1 t   Do thay ngược t  x  ta được: x  x      x  1 x3 3   x1 2  2x   Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x   x  Đáp án: x   Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x   2x  Đáp án:  2x     D Kỹ phân tích nhân tử hai biến không chứa căn: Ví dụ 1: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y  x  y (Tối đa bậc 2) Thay y  100 , biểu thức trở thành: x2  2xy  y  x  y  x2  201x  10100 Bấm máy phương trình bậc ta nghiệm: x  100, x  101 Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 Vì 100  y ,101  100   y  , vậy: x2  2xy  y  x  y   x  y  x  y  1 Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy  y  xy  3x  3y Thay y  100 , biểu thức trở thành: x3  2x2 y  xy  y  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300 Sử dụng SOLVE ta x  100   y Ta có hai cách xử lý sau: x3  x2 y  xy  y  xy  3x  3y  1000013.01 Cách 1: Sử dụng CALC: Thay x  1000, y  ta có: xy 100  10002  1000 1 3  x2  xy  y  100 100 Cách 2: Sơ đồ Hoorne: x 100 x  200x  10103x  10300 Vậy  x2  100 x  103 x  100  200 100 10103 103 10300  Hay x3  2x2 y  xy  y  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y  Bài 1: Phân tích nhân tử: x2  3xy  y  y  Đáp án:  x  y  1 x  y  1    Bài 2: Phân tích nhân tử: x3  2xy  y  x2  xy  y  x  y  Đáp án: x2  y  x  y  E Các phương pháp xử lý toán nghiệm hữu tỷ đơn: Liên hợp bậc Liên hợp bậc a b a b ab ab a  ab  b2 1 Chú ý: a2  ab  b2  a2  b2   a  b   0, a , b không đồng thời 2 ab 2 3 Liên hợp bậc ab a3  b3 a2  ab  b2 Sử dụng chức TABLE để phát nghiệm phương trình: Để biết phương trình x2  x   có nghiệm gì, ta sử dụng máy tính Casio để biết nghiệm phương trình thông qua công cụ SOLVE, nhiên muốn biết xác phương trình có nghiệm ta nên ưu tiên sử dụng công cụ TABLE (Công cụ hình dung gần hình dáng đồ thị hàm số) sau: Bước 1: Truy cập vào MODE để sử dụng chức TABLE máy tính Chuyển phương trình sang vế xét hàm số sau: f  x   x2  x   Bước 2: Lựa chọn START  7 START giá trị khởi điểm hàm số bạn muốn bắt đầu Vì điều kiện x  7 nên ta lựa chọn START  7 Bước 3: Lựa chọn END  END giá trị kết thúc với biến x , thông thường ta chọn END theo công thức: END = START + Bước 4: Lựa chọn STEP  0.5 STEP giá trị yêu cầu biến x cách giá trị bao nhiêu? Thông thường lựa chọn STEP  0.5 Bước 5: Nhận bảng giá trị kết luận: Thông qua bảng giá trị hàm số ta nhận được, ta thấy phương trình có nghiệm x  Các câu hỏi thường gặp: Câu hỏi 1: Nếu hàm số có tập xác định D  lựa chọn nào? Trả lời: Khi ta chọn START  9 , END  , STEP  để quét hầu hết giá trị Câu hỏi 2: Nếu tập xác định hàm số nhỏ chẳng hạn D   2; 3.5 lựa chọn nào? Trả lời: Khi ta chọn START  , END  3.5 , STEP  0.1 Câu hỏi 3: Nếu không thấy nghiệm phương trình ta nên tư sao? Trả lời: Khi có tình huống: Nếu có vùng x  a, x  b hàm số đổi dấu phương trình có nghiệm  a; b  , quay lại MODE SOLVE với giá trị khởi đầu x  c   a; b  Nếu khu vực hàm số đổi dấu ta lựa chọn STEP bé chẳng hạn 0.2,0.1 để khảo sát kỹ dùng SOLVE hỗ trợ tìm nghiệm Nếu không tìm chứng tỏ phương trình vô nghiệm Câu hỏi 4: Nếu hàm số đồng biến nghịch biến phát qua TABLE sao? Trả lời: Trong trường hợp đó, ta ý f  x  đơn điệu hay f '  x   f '  x   0, x  D , đó:  Phương trình: f  x   f  y  có tối đa nghiệm x  y  D  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y  Bất phương trình: f  x   f  y  , f '  x   0, x , y  D  x  y Sử dụng TABLE nghệ thuật giải phương trình, bất phương trình Bạn đọc cần thực hành qua nhiều tập để thành thạo kỹ Ví dụ: Giải bất phương trình sau tập số thực:  x  1  x   x   Cách 1: Sử dụng liên hợp với số:  x  1     x   x    x2  x  Sử dụng đánh giá phụ: a b    x 1 1   x      x  2  x   với a  0, b  Do đó: b  x2 2  x 1 1   0 x2 2 1  1 , ta tạo biểu thức:    x2 2 2    1  1 1 x2  0 x2    BPT   x    x        x    x     2 x 1 1  x    x 1 1 x        Câu hỏi đặt ra: Làm để nhân liên hợp mà không bị mang dấu âm? Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết đến Phương pháp nhân liên hợp truy ngược dấu cấp độ sau:   a  b sử dụng liên hợp Nếu Nếu Ví dụ:   a b  ab a x   ta sử dụng liên hợp: Ví dụ:  a a  b sử dụng liên hợp   a b  x1 a b x   ta sử dụng liên hợp:     x 1   x 1 x 1 a  a  b2 a x5 2  x5 2  x   x   43 x  Cách 2: Sử dụng truy ngược dấu cấp độ 1: Ta có:  x  1  x   x     x  1  x   x   2       x    x   x     x   x  1   x  5x   2  x  2 x 1 1  x2   x2 2 0  x2    x    2x      Do đó:  x    x   x     Câu hỏi đặt ra: Điểm yếu truy ngược dấu cấp độ việc phải nhân thêm với hệ số muốn sử dụng Vì ta cần làm để vừa nhân liên hợp cho biểu thức bên mang không âm mà hạn chế việc nhân thêm hệ số? Để trả lời câu hỏi này, ta cần biết đến Phương pháp nhân liên hợp truy ngược dấu cấp độ sau: Giả sử toán chứa  x  phương trình có nghiệm x  Khi ta đánh giá: Do ta sử dụng phương án liên hợp sau:  x 1 x    2x  x   x2  x  x 1 x  4x2  x  2x  x    x    x   2x  x2   2x2   x  1 x   x 1 x   x  1 4x  3 2x  x  Việc lựa chọn liên hợp nghệ thuật, phải biết phối hợp điều kiện toán đưa ban đầu để từ định đâu liên hợp cần tìm Cách 3: Sử dụng truy ngược dấu cấp độ 2:    Ta có:  x  1  x   x    x2  3x    x   x  1      x 1 1  x  x      Do đó:  x  x 1 1 x  x   x 1 1 x x2  Câu hỏi đặt ra: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta hóa giải toán phương trình, bất phương trình phương pháp nào? Trả lời: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta hóa giải bằng: Đặt ẩn phụ, Phân tích nhân tử, nhóm đẳng thức, Sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số:   x  1 x    x2    x  2 x    x1 Nhận thấy với x  , bất phương trình Với x  Xét hàm số: f  x   x  2x   x   x  D  1;   Ta có: f '  x   x   f '  x    x  1  x 1  x2 x 1 x   x   x 1    x  1  x   x 1 x 1 x   0, x  Do f  x  hàm số đồng biến liên tục D  1;   Nhận thấy f    , đó:  x  1  x   x    f  x   f    x  F Cách xử lý toán có hai nghiệm hữu tỷ đơn trở lên: Giả sử có chứa 3x  với nghiệm x  0, x  Khi ta đặt ax  b  3x  giải hệ:  ax  b  3x  x0   ax  b  3x   x1      Tìm giá trị a , b là: a  b  , ta sử dụng liên hợp: ax  b  3x  hay x   3x  Ví dụ: Giải bất phương trình tập số thực: 2x2  x   21x  17  x  x2   Phân tích: Nghiệm: x  1, x  Nhân tử cần tìm:  x2  x   x   , 3x   21x  17   Bài giải: Ta có:  2x2  x   21x  17  x  x2  x2  x  2x2  x   21x  17      x2  3x    x2  x   x    3x   21x  17      x  3x      x2  x   x  3x   21x  17      17     x   ; 1   ;     21   G Phương pháp xử lý nghiệm vô tỷ đơn: Ví dụ: Giải phương trình tập số thực: x3  x2  x    x   x   Bước 1: Truy cập Mode (Table), xét: f  x   x3  x2  x    x   x  Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step = 0.5 Bước 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có đổi dấu  3; 3.5  Như phương trình có nghiệm khoảng Vì ta sử dụng SOLVE với giá trị khởi đầu x  3.2   3; 3.5  để tìm nghiệm Bước 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ phương trình: x3  x2  x    x   x   Bước 4: Bấm Shift Calc (Solve) với giá trị x  3.3 , ta thu nghiệm: x  3.302775638 Bước 5: Thay vào thức ta có:  x   2.302775638  x  Vậy phương trình có nhân tử là: x   x   Cách 1: Sử dụng liên hợp bản:   Ta có: x3  x2  x    x   x    x3  2x2  4x    x   x   x       x  1 x2  3x    x       x  3x   x    x   0 x 1 x   x 1 x    x  3x       x  1 x   x   x      x  3x  x  x   x  x    x  3x       x   x          x  3x   x   x           13   11    x       x  3x    x  2 4   Cách 2: Sử dụng liên ngược:   Ta có: x3  x2  x    x   x    x3  2x2  4x    x   x   x         x  1 x2  3x    x   x   x      Liên hợp ngược: Xét biểu thức liên hợp: x   x  x   x    x  1   x    x2  3x       Do ta viết lại: x2  3x   x   x  x   x     Do đó:  x  1 x   x  x   x    x   x   x     x 1 x     x  1  x    x 1 x   x 1 x           x   x    x   x  x2  x    x  1 x    2    11   13  x  1  x    x       x   x    x 2 4  x     ƯU ĐIỂM VÀ NHƯỢC ĐIỂM CỦA LIÊN HỢP CƠ BẢN VÀ LIÊN HỢP NGƯỢC Liên hợp Ưu điểm Có lợi gặp toán từ thức trở lên Nhược điểm Bất lợi giải bất phương trình phải xử lý điều kiện mẫu số Cần thử lại nghiệm sau giải xong phương trình H Các phương pháp xử lý toán có nghiệm bội: Liên hợp ngược Lợi gặp toán bất phương trình Bất lợi gặp toán có nhiều thức Nghiệm bội nghiệm mà thân nghiệm hoành độ cực trị hàm số Chẳng hạn hình bên, ta thấy hàm số có hình dáng tiếp xúc với trục hoành đồng thời điểm tiếp xúc nghiệm phương trình (Nghiệm giao điểm đồ thị với trục hoành) Do giá trị nghiệm đó, ta gọi nghiệm bội phương trình Một số loại nghiệm bội bản: Nghiệm bội 2:  x  a  A  x  Nghiệm bội 3:  x  a  A  x    g  x  f  x  xa xa  f  a  g  a  Bổ đề: Nếu x  a nghiệm bội phương trình f  x   g  x  , đó:    f ' a  g ' a f' x     x  a  g ' x x  a  Trong máy tính Casio, tính đạo hàm f '  x  hàm số f  x  giá trị x  a , ta sử dụng công cụ:   d f  x xa dx I Cách nhận diện phương pháp giải toán nghiệm bội hữu tỷ: Ví dụ: Giải phương trình tập số thực: x2  x   2x   Phương pháp nhận diện SOLVE d/dx: Bước 1: Bấm phương trình máy tính Casio sử dụng SHIFT CALC (SOLVE) ta thu x  Bước 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm bội:   d x  x   2x  0 x 1 dx Vậy x  nghiệm bội kép Phân biệt nghiệm đơn bội qua d/dx: x  a nghiệm bội f  x       d d f  x  x  a nghiệm đơn f  x   f  x 0 xa xa dx dx Phương pháp nhận diện TABLE: Bước 1: Xét f  x   x2  x   2x  Lựa chọn giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bước 2: Nhận xét: Hàm số tiếp xúc trục hoành điểm x  Như x  nghiệm bội kép Phân biệt nghiệm đơn nghiệm bội kép thông qua TABLE  Hàm số đổi dấu qua trục hoành nghiệm đơn  Hàm số không đổi dấu qua trục hoành nghiệm kép Phân biệt loại nghiệm kết hợpSOLVE, d/dx TABLE: Nghiệm đơn Là nghiệm đơn f  x   Không phải nghiệm f '  x   Nghiệm kép Là nghiệm kép f  x   Không phải nghiệm kép f "  x   Nghiệm bội Là nghiệm đơn f  x   Là nghiệm kép f '  x   Nghiệm bội Là nghiệm kép f  x   Là nghiệm kép f "  x   Chú ý: Các toán nghiệm lớn nghiệm kép Giải toán nghiệm bội hữu tỷ nào? Cách 1: Nhân liên hợp: Tổng quát: Nếu x  x0 nghiệm bội kép hữu tỷ phương trình có chứa thức ax  b  n A  x   n A , ta đặt: ax  b  n A Ta tìm hệ số a , b cách giải hệ sau:  d n A a  x  x0 dx      ax  bx  c    Nếu nghiệm bội 3, ta đặt ax2  bx  c  n A Giải hệ:  ax  bx  c    ax  bx  c      Trong d  dx   n  A  x  ' để tính đạo hàm cấp  x  x xx  n A  x0  ' x  x  " x  x  0 d dx  A x  x n d  dx   n  A  x  '  x  x0  Nếu có nghiệm bội kép, ta rút nghiệm kép nhân liên hợp đặt   n A  x1  ; ax  bx  c  n A  x2   ax  bx  c x  x x  x2  n ax  bx  c  A Giải hệ:  d n d n  ax  bx  c '  A ; ax  bx  c '  A  x  x1 dx x  x1 x  x2 dx x  x2                  2 Giải: Ta có: x2  x   2x    x  2x   x2  2x     x  1   1   x   x  2x    Cách 2: Tạo đẳng thức (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép): Ta có: x2  x   2x    2x2  2x   2x      x     x  1   x  2 Cách 3: Sử dụng đánh giá AM – GM (Chỉ nên áp dụng với nghiệm kép) a2  b2 a,b  Do sử dụng bất đẳng thức với biểu thức chứa bậc lựa chọn đại lượng a,b có giá trị dấu xảy a  b  AM – GM cho số: ab   AM – GM cho số: abc   a3  b3  c a,b,c  Do sử dụng với biểu thức chứa bậc lựa chọn đại lượng a,b,c không âm có giá trị dấu xảy a  b  c Tương tự ta đánh giá bất đẳng thức AM – GM cho bậc cao Áp dụng: Vì x   2x   Vậy a  2x  1, b  (AM – GM cho số) Ta có: x  1.1  2x    x   x Mà x2  x   2x  Do đó: x2  x   x   x  1   x  Cách 4: Đặt ẩn phụ phân tích nhân tử (Phương pháp hoàn toàn độc lập không lệ thuộc máy tính): Đặt  t2  2x   t   x  Khi phương trình trở thành:     2 1 t  1 t  2t     t  1 t  2t     4   t2   t2  1   t   t4  t2  t            x   2x     2x    x  Cách 5: Liên hợp ngược:          Ta có: x2  x   2x    x  2x   x2  2x    x  2x   x  2x  x  x       x  2x  x   2x    x  2x   x  II Cách nhận diện phương pháp giải toán nghiệm bội hữu tỷ: Ví dụ: Giải phương trình tập số thực: x2  5x  x 3x    x  1 5x Phương pháp nhận diện TABLE: Bước 1: Xét hàm số: f  x   x2  5x  x 3x    x  1 5x Lựa chọn giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bước 2: Nhận bảng giá trị TABLE: Ta thấy: Phương trình nghiệm tất giá trị mang dấu dương Tuy nhiên, điều lý giải sau:  Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE hiển thị giá trị hoành độ hữu tỷ, giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị  Nghiệm vô tỷ nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có đổi dấu từ âm sang dương điều không xuất nghiệm kép vô tỷ khiến hàm số đổi dấu qua trục hoành Như dấu hiệu Nghiệm kép vô tỷ, nhiên, điều khẳng định hoàn toàn ta tìm nghiệm phương trình, mà điều không khó khăn, ta quay trở lại Mode dùng SOLVE Bước 3: Quay trở lại Mode sử dụng SOLVE, ta tìm được: x  2.618033812 Giải toán nghiệm bội hữu vô tỷ nào?  3x   2.618033887  x Bước 4: Thay vào thức ta được:   5x  3.618033866  x  Vậy ta có đánh giá x  3x  1; x   5x Cách 1: Tạo đẳng thức: x2  5x  x 3x    x  1 5x  x2  5x  x 3x    x  1 5x   2x2  10x  2x 3x    x  1 5x        x2  2x 3x   3x   x2  2x    x  1 5x  5x   x  3x    x  3x  3 x   x Vì vậy:   x2  3x    x   5x    x  1 5x  0 Cách 2: Sử dụng đánh giá AM – GM:  x  3x   x 3x     x 3x    x  1 5x  x  5x Do Ta có:   x  1  5x   x  1 5x   x  3x  3 x   x   5x Cách 3: Ép tích ẩn phụ: Đặt 5x  t   x      t2 Khi phương trình trở thành:  t  5t  25t  25t  t 15t  25       t  5t t  5t   t  5t   15t  25    t  5t 10t  50t  50  10t  5t   15t  25            t  5t 5t   15t  25 5t   15t  25  10t 5t   15t  25   2   5t   15t  25   5t  20t  25t  t  5t       15t  25         5t   15t  25   t 10t  50t  50  t  5t  5t   15t  25        2     5t   15t  25   t  5t   15t  25   t  5t     5t   15t  25   4t  t 15t  25              Thay t  5x :  5x   75x  25   20x   5x 75x  25    5x   3x  Bình phương vế: 5x  3x  3x   x   5x   3x    4x   5x 3x   3 Bình luận Một toán có nhiều cách giải, bạn đọc không dừng lại mà tiếp tục phát triển cách giải khác nhau, kết hợp nhiều cách giải với để nâng cao kỹ giải toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình vô tỷ Riêng kỹ sử dụng đánh giá bất đẳng thức, xin nhắc lại bất đẳng thức, đánh bạn đọc cần biết: TÊN ĐÁNH GIÁ ĐÁNH GIÁ ĐIỂM RƠI AM – GM biến ab 2 a  b  ab , ab    , a  b  2ab   AM – GM biến  abc 3 a  b  c  abc , abc    , a  b  c  3abc   ab Cauchy – Schwarz biến Cauchy – Schwarz biến ax  by  ax  by  cz  a a 2  b2  x   y2   b2  c x  y  z abc a b  x y  a b c   x y z Cauchy – Schwarz phân thức biến a2 b2  a  b    x y xy Cauchy – Schwarz phân thức biến a2 b2 c  a  b  c     x y z xyz a b  x y a b c   x y z K Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Đây dạng phương pháp giải phương trình có dạng A B  C cách nhóm nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm phương trình Các bươc làm sau: Bước 1: đặt t  B điều kiện t  Xét phương trình tổng quát có dạng  t  At  C   B  Bước 2:  Đối với phương trình vô tỷ biến x : Gán cho x  10 ta phương trình bậc hai với ẩn t tham số   Đối với phương trình vô tỷ hai biến x , y : Gán cho x  10, y  ta phương trình bậc hai 100 với ẩn t tham số  Bước :  Tính  tìm  cho  Khi tìm   f   số hữu tỷ     f   sử dụng TABLE với Start =  9; End = 9; Step = tìm giá trị   thỏa mãn điều kiện  Ta tìm  tính  Trong phần này, đề cập đến việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình, kỹ đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình đề cập sau   Ví dụ: Giải phương trình sau: x2  Đặt x3  x   2x2  2x  ( 1) x3  x   t với t   t  x3  x  theo phương trình tổng quát ta tìm  phương trình     cho có dạng sau :  t  x2  t  2x2  2x    x3  x   ( 2) Gán giá trị cho x  10 phương trình ( 2)   t  101t  223  1009  Tới ta tiến hành giải   101  4  223  1009     Xét hàm số f      101 101  4  223  1009   4  223  1009  Sử dụng chức TABLE để tìm    nguyên cho f     có giá trị hữu tỷ: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: F( X )  101  4X  223  1009X  Với giá trị: START = 9 END = STEP = X 9 8 F(X) 587.4904… 525.0152… 7 6 5 4 3 2 1 Khi ta tìm giá trị X cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ đồng thời X giá trị khác Dựa vào bảng giá trị TABLE trên, ta nhận thấy với X =  thì: F(X)  123  100  20   x2  2x  Vậy lựa chọn   1 thì:   x2  2x    1    123  x2  x  Do đó, ta lựa chọn:  f   123    Vậy với cách đặt ẩn phụ t   1 ta phương trình có     123  100  20   x2  x     x2  x  Vậy phương trình cho có dạng sau:        t   x  1 t   x  2x  3x        x  1   x  2x  3x     x  x   t  x2  t  2x2  2x   x3  x   2 2 3 2      x2  x  Khi đó, công thức nghiệm phương trình bậc 2, ta thu hai   x2   x2  2x  x2  x  t   2 nghiệm sau :    x2   x2  2x  t   x1 2  462.8271… 401.0598… 339.9426… 279.9017… 221.8129… 167.7170… 123 101 115.5205… 156.7194… 209.4015… 266.8501… 326.5593… 387.4854… 449.1336… 511.2426… 573.6627…  Đến phương trình viết dạng nhân tử sau:     x2  x   3 t     t  x  1   2t  x  x   t  x  1   x  x   x  x  x   x  x       L Phương pháp xét tổng hiệu: Ví dụ: Giải phương trình: x2  3x   x2  5x   x  Nhận xét x  1 nghiệm phương trình Xét x  3x   x 2 x  5x       2x    3x   x  5x  x  3x   x  5x  x1  x  3x   x  5x   x   Do ta có:  2   x  3x   x  5x    x  1   x  32 Cộng hai vế hai phương trình ta được: x2  3x   x    x  3x   x  x      M Hàm đặc trưng giải hệ phương trình:  f  a   f  b  Nếu f  x  hàm số đơn điệu liên tục tập xác định D đồng thời  ta có a  b a , b  D Chú ý: Không phải lúc hai biến x , y có tập xác định Giả sử x  D1 , y  D2 , xét hàm đặc trưng, ta sử dụng hàm số f  t  t đại diện cho hai biến x , y đồng thời t  D với D  D1  D2  Ví dụ 1: x  , y   t   Ví dụ 2: x  0, y   t   Ví dụ 3: x  2;  , y  1; 3  t  1;  Hàm đặc trưng cổ điển:   x  2y   Ví dụ: Giải hệ phương trình:     x   x  y y   Xét phương trình   x   x  y y      x   x  y y  Đây phương trình ta nhìn thấy hai vế có nhóm biểu thức xếp gần giống Tuy nhiên để chắn đưa hàm đặc trưng, tan cần đánh giá mối quan hệ biến x , y Xét y  100 , ta có phương trình trở thành:   x   x  100 796 SHIFT CALC với x  ta được: x  197 Để tìm mối quan hệ x , y ta cần liên hệ với cách biểu diễn 197 với 100 : 197   2.100 Do đó: x  197   y Như vậy:  x  y  Do ta biến đổi phương trình hai dạng hàm số đặc trưng đại diện cho hai biến Bài giải: Ta có:   x   x  y y      x   x  y y     x   x   x   y  1 y   y   Xét hàm đặc trưng f  t   t  t với t  tục Vậy: f    2x  f   2x   2x   2y    2y  Khi ta có: f '  t   3t   Vậy: f  t  hàm đồng biến liên y    x  y   x   y Thay y   x vào phương trình ta   được: x3  y    x3    x  1   x3  x     x  1 x2  x   Do x   y  Hàm đặc trưng không hoàn toàn:    2  x  x     y y   y  Ví dụ: Giải hệ phương trình:   y  x  x2  y   Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: x x2   2x  y y   y   y y   y Ta f  t  hàm số đồng biến liên tục Xét hàm số f  t   t t   2t với t  f  x   f  y   x  y Mặt khác theo điều kiện xác định ta có: y  x Do vậy: x  y Thay vào phương trình thứ hai ta được: x  y  x  y  3 N Nhân liên hợp giải hệ phương trình: Phương pháp 1: Nhân liên hợp với căn: Ví dụ: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: 2x2  5xy  y  x  3y   5y   Bước 1: Đặt y  100 , ta được: 2x2  500x  20000  x  301  501  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  200  2.100  y Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  200, y  100 vào   x  y   501 thức ta được:    y   501 Do nhân tử cần tìm là:  x  3y   5y   Ta có: 2x2  5xy  y  x  3y   5y     x  y  2x  y     x  y  x  y     x  3y   5y     0    x  y   2x  y    x  y   y  x  3y   5y    x  2y Phương pháp 2: Nhân liên hợp với đa thức hai biến: Ví dụ: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  y  x  y Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  100  x  100 Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  10.5124922 Bước 2: Sử dụng CALC thay vào thức: x  y  x  100  10.5124922 Do ta có đánh giá: x  x  y   Vậy nhân tử cần tìm: x  x  y   x2  y  x  y  x2  x  y  x  x  y   x  x  y  x2  x  y x xy      x2  x  y x  x  y    x2  x  y     x  x  y        0 Do đó: O Ép tích giải hệ phương trình liên hợp ngược: Ví dụ: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  y  2x   2x x2  y  Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  99  2x  2x x2  100  Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  5.116450524 Bước 2: Sử dụng công cụ CALC thay giá trị x  5.116450524, y  100 x2  y  11.23290105 vào thức ta được: Chú ý rằng: 2x  10.23290105 x2  y  x  Do ta có đánh giá: Vậy biểu thức cần tìm là: Chú ý liên hợp ngược:    x2  y  2x   x2  y  x   x  y  x   y  3x  x   x  y  2x  1    x  y  2x  1 x  y  2x  1  2x  x  y  2x  1    x  y  2x  1 Ta có: x2  y  2x   2x x2  y   y  3x2  x   x 2 2  x2  y   P Ép tích giải hệ phương trình ẩn phụ không hoàn toàn:   y  x  y  x  y  3xy  Ví dụ: Giải hệ phương trình:  2   y   x  2y  2y  x Ta có: 1  y  x2  y  x  y  3xy    x2  y  x  y  Việc tách nhân tử toán không đơn giản: 1  y  x2  y  x  y  3xy    x2  y  x  y   x2  y  x  y   *   x2  y  x  y   *  Để tách nhân tử thế, ta sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ không hoàn toàn cho hai biến sau: Đặt t  x2  y , ta giả sử tồn số  cho: 1  y  x2  y  x  y  3xy       x2  y  1  y  x2  y   x2  y   x  y  3xy       t  1  y  t   x2  y   x  y  3xy   Phương trình bậc hai ẩn t , hai tham số x , y cần tìm hệ số  cho phương trình có biệt thức:     1  y   4  x2  y   x  y  3xy    đẳng thức theo giá trị x , y Để làm điều đó, ta có hai cách sau: Cách 1: Sử dụng TABLE: Đặt x  100, y  Khi ta tìm giá trị  cho:  9801 400000004 10302 , ta có:     100 10000 10000 25 9801 400000004 10302   10000 10000 25 có giá trị số hữu tỷ Để làm điều ta sử dụng công cụ quen thuộc TABLE: X F(X) Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: 998.9697… 5 9801 400000004X 10302X Với giá trị: START = 9 , END F( X )    798.9697… 4 10000 10000 25 598.9697… 3 = 9, STEP = Khi ta tìm giá trị X cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ đồng 398.9697…  thời X khác Dựa vào bảng giá trị TABLE trên, ta nhận thấy với X = 198.9697… 1 thì: F(X)  201.03  200    2x  3y  0.99 100 201.03 Vậy   thì:   2x  3y  Khi phương trình có nghiệm: 401.0301…  y 1   y   2x  3y  601.0301… t  t  2  801.0301…   y 1  t  y   x  y  1001.0301… t   2  1201.0301… Vậy t  x  y  t  x  y  1401.0301… Do vậy:  t  x  y  t  x  y  1     x2  y  x  y  Cách 2: Sử dụng công cụ CALC: Ta xét:  1  y  Do bấm máy tính:    4  x2  y   x  y  3xy    1  Y     A  A X  2Y   X  2Y  3XY    , riêng giá trị A , ta lựa chọn 100 giá trị sau: A 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 , Sau đó, bấm CALC gán X  100, Y  thông thường A 1; 2; 3; 4 , ta tìm với A    thì:   201.03  2x  3y   x2  y  x  y  [...]... Bình phương 2 vế: 5x  3x  2 3x  1  x   5x  1  3x  1   4x  2  5x 3x  1  0 3 5 2 Bình luận Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, bạn đọc sẽ không dừng lại mà hãy tiếp tục phát triển các cách giải khác nhau, hoặc có thể kết hợp nhiều cách giải với nhau để có thể nâng cao kỹ năng giải toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỷ Riêng kỹ năng sử dụng đánh giá bằng bất. .. này, chúng ta sẽ chỉ đề cập đến việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình, kỹ năng đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình sẽ được đề cập sau   Ví dụ: Giải phương trình sau: x2  1 Đặt x3  x  1  2x2  2x  3 ( 1) x3  x  1  t với t  0  t 2  x3  x  1 khi đó theo phương trình tổng quát ta đi tìm  vậy phương trình     đã cho có dạng như sau :  t 2  x2  1 t  2x2 ... dạng phương pháp giải quyết các phương trình có dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của phương trình Các bươc làm như sau: Bước 1: đặt t  B điều kiện t  0 Xét phương trình tổng quát có dạng  t 2  At  C   B  0 Bước 2:  Đối với phương trình vô tỷ một biến x : Gán cho x  10 khi đó ta được phương trình bậc hai với ẩn là t và tham số là   Đối với phương trình. .. với t  f  x   f  y   x  y Mặt khác theo điều kiện xác định ta có: y  x Do vậy: x  y Thay vào phương trình thứ hai ta được: x  y  1 hoặc x  y  3 N Nhân liên hợp giải hệ phương trình: Phương pháp 1: Nhân liên hợp căn với căn: Ví dụ: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: 2x2  5xy  2 y 2  x  3y  1  5y  1  0 Bước 1: Đặt y  100 , ta được: 2x2  500x...  2y  1  0 Ví dụ: Giải hệ phương trình:    3  x  2  x  y 8 y  4  0 Xét phương trình  3  x  2  x  y 8 y  4  0   3  x  2  x  y 8 y  4 Đây là một phương trình ta nhìn thấy hai vế có nhóm biểu thức được sắp xếp gần giống nhau Tuy nhiên để chắc chắn sẽ đưa được về hàm đặc trưng, tan cần đánh giá về mối quan hệ của các biến x , y Xét y  100 , ta có phương trình trở thành:  3... 2x  1  x  1 II Cách nhận diện và phương pháp giải bài toán nghiệm bội hữu tỷ: Ví dụ: Giải phương trình trên tập số thực: x2  5x  x 3x  1   x  1 5x 1 Phương pháp nhận diện bằng TABLE: Bước 1: Xét hàm số: f  x   x2  5x  x 3x  1   x  1 5x Lựa chọn các giá trị: Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5 Bước 2: Nhận bảng giá trị của TABLE: Ta thấy: Phương trình có vẻ như không có nghiệm bởi... khi đi qua trục hoành Như vậy đây là dấu hiệu của Nghiệm kép vô tỷ, tuy nhiên, điều đó sẽ chỉ được khẳng định hoàn toàn nếu ta tìm được nghiệm của phương trình, mà điều này không quá khó khăn, ta có thể quay trở lại Mode 1 và dùng SOLVE Bước 3: Quay trở lại Mode 1 và sử dụng SOLVE, ta tìm được: x  2.618033812 2 Giải bài toán nghiệm bội hữu vô tỷ như thế nào?  3x  1  2.618033887  x Bước 4: Thay vào... 449.1336… 511.2426… 573.6627…  Đến đây phương trình sẽ được viết dưới dạng nhân tử như sau:     x2  x  2  2 3 3 2 t     t  x  1  0  2t  x  x  2  t  x  1  0  x  x  2  2 x  x  1 x  1  x  x  1  0 2     L Phương pháp xét tổng hiệu: Ví dụ: Giải phương trình: x2  3x  3  x2  5x  1  x  1 Nhận xét x  1 không phải là nghiệm của phương trình Xét x  3x  3  x 2 2 x... y  0  x 2  x  y  x2  x  y x xy   1   0  x2  x  y x  x  y  1  0  x2  x  y  1    x  x  y        0 Do đó: O Ép tích giải hệ phương trình bằng liên hợp ngược: Ví dụ: Sử dụng phương pháp phân tích nhân tử giải phương trình hai biến sau: x2  y  2x  1  2x x2  y  0 Bước 1: Đặt y  100 , ta được: x2  99  2x  2x x2  100  0 Sử dụng công cụ SOLVE ta được: x  5.116450524... dấu dương Tuy nhiên, điều này có thể được lý giải như sau:  Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị được các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị được  Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có sự đổi dấu từ âm sang dương nhưng điều này không hề xuất hiện bởi nghiệm kép vô tỷ này sẽ khiến hàm số không thể đổi dấu khi ... nhau, kết hợp nhiều cách giải với để nâng cao kỹ giải toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình vô tỷ Riêng kỹ sử dụng đánh giá bất đẳng thức, xin nhắc lại bất đẳng thức, đánh bạn đọc... x2  Câu hỏi đặt ra: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta hóa giải toán phương trình, bất phương trình phương pháp nào? Trả lời: Ngoài phương pháp nhân liên hợp, ta hóa giải bằng: Đặt ẩn phụ, Phân... nghệ thuật giải phương trình, bất phương trình Bạn đọc cần thực hành qua nhiều tập để thành thạo kỹ Ví dụ: Giải bất phương trình sau tập số thực:  x  1  x   x   Cách 1: Sử dụng liên hợp