Bài 4: Cho đờng tròn o với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho AC>AB vµ AC > BC.. Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC.[r]
(1)§Ò C©u1 : Cho biÓu thøc 1− x2 ¿2 ¿ x ¿ A= Víi x √ ;1 3 x −1 x +1 +x − x :¿ x−1 x +1 a, Ruý gän biÓu thøc A b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc cho x= √ 6+2 √2 c Tìm giá trị x để A=3 C©u2.a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x − y ¿ +3 ( x − y)=4 ¿ x +3 y=12 ¿ ¿ ¿ b Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x −4 x −2 x − 15 < x +x+3 C©u3 Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gäi Klµ giao ®iÓm cña CFvµ ED a chứng minh điểm E,B,F,K nằm trên đờng tròn b Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× ? đáp án ( )( ) C©u 1: a Rót gän A= x −2 x b.Thay x= √ 6+2 √2 vào A ta đợc A= +2 √2 √6+ √ c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= ± √ 17 Câu : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 x − y ¿ +3 (x − y)=4 ¿ x +3 y=12 Từ đó ta có <=> ¿ ¿ ¿ ¿ x − y=1 * x +3 y=12 (1) ¿{ ¿ ¿ x − y=− * x +3 y=12 (2) ¿{ ¿ Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4 b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 C©u 3: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 đó ta có Δ , = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) (2) m−m+1 = m−1 m− 1 pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0) => -1 < <0 m− ¿ ¿ 2m +1> >0 m− m− => =>m < m−1<0 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy Pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0) vµ chØ m<0 víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= D K E C©u 4: a Ta cã KEB = 900 mặt khác BFC = 900( góc nội tiếp chắn đờng tròn) CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D => BFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK b BCF= BAF Mµ BAF = BAE =450=> BCF = 450 Ta cã BKF = BEF Mà BEF = BEA = 450(EA là đờng chéo hình vuông ABED)=> BKF=450 V× BKC = BCK = 450 => BCK vu«ng c©n t¹i B Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = ( §Ò x √ x −1 x √ x+1 ( x − √ x +1 ) − : x−1 x −√ x x +√ x )( F A B O ) a,Rót gän P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x − x | 3 =50 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2 Chøng minh: a,Ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a = còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2 b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là trực tâm tam giác D là mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng điểm D qua các đờng thẳng AB và AC Chứng minh r»ng ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bµi 5: Cho hai sè d¬ng x; y tho¶ m·n: x + y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = 501 + x + y xy §¸p ¸n Bµi 1: (2 ®iÓm) §K: x ; x ≠ √ x −1 ¿2 a, Rót gän: P = b P = x ( x −1 ) ( √ x −1❑ ) : x −1 x ( x −1 ) √ x+1 =1+ √x− √x− z <=> P= ¿ ¿ √ x −1 ¿ C (3) §Ó P nguyªn th× √ x −1=1 ⇒ √ x=2 ⇒ x=4 √ x −1=− 1⇒ √ x=0⇒ x=0 √ x −1=2⇒ √ x=3 ⇒ x=9 √ x −1=−2 ⇒ √ x=−1( Loai) VËy víi x= { ; ; } th× P cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 2: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: ⇔ Δ=25>0 (m− 2)(m+3)>0 m<− ⇔ m<− ¿{{ ¿ Δ=( m+1 ) − ( m2 +m− ) ≥ x1 x 2=m2+ m−6 >0 x1 + x 2=2 m+ 1< ¿{{ ¿ m+3 ¿ b Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( m− )3 − ¿=50 ¿ − 1+ √ − 1− √5 m2 = ¿ ⇔|5 (3 m2 +3 m+7)|=50 ⇔ m2+ m−1=0 { ⇔ Bµi 3: a V× x1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0 ¿ m1 = V× x1> => c a = 0; t1 = +b + a=0 x1 x ( ) x1 Chøng tá x1 lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: ct2 + bt + V× x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c = v× x2> nªn c +b +a=0 x2 x2 ( ) ( ) + bt + a = ; t2 = ®iÒu nµy chøng tá x2 lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh ct2 x2 VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d¬ng ph©n biÖt x1; x2 th× ph¬ng tr×nh : ct2 + bt + a = còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 t1 = x1 ; t2 = x2 b Do x1; x1; t1; t2 là nghiệm dơng nên t1+ x1 = x1 + x1 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 t2 + x2 = x2 + x2 A Bµi a Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC cho tứ giác BHCD là hình bình hành Khi đó: BD//HC; H CD//HB v× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn O CH AB vµ BH AC => BD AB vµ CD AC P C B Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 D Q (4) Vậy AD là đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D là đầu đờng kính AD đờng tròn tâm O thì tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng c) Ta thấy Δ APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP và AQ là lớn hay AD là lớn D là đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O §Ò √ x+ √ y x y xy P= − ( √ x+ ) ¿ − ¿ ( √ x + √ y)(1 − √ y ) ( √ x +1 )( − √ y ) a) Tìm điều kiện x và y để P xác định Rút gọn P b) T×m x,y nguyªn tháa m·n ph¬ng tr×nh P = Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) a) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x + y + z=9 1 + + =1 x y z xy + yz+zx =27 ¿{{ ¿ Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A ; C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính cña cung nhá AC Tia BC c¾t Ax t¹i Q , tia AM c¾t BC t¹i N a) Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R 1 1 Bµi 5: Cho x , y , z ∈ R tháa m·n : + + = x y z x+ y+z H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) §¸p ¸n Bµi 1: Cho biÓu thøc: x ≥ ; y ≥ ; y ≠1 ; x+ y ≠ Bài 1: a) Điều kiện để P xác định là :; P x(1 *) Rót gän P: x ) y (1 x y 1 x x y ( x y ) x x y y xy x y 1 y ) xy x 1 y 1 x y y (5) x y x x y x x y 1 y y y x 1 y xy y xy x 1 x 1 y x y 1 1 y x 1 y 1 x 1 y y 1 y x 1 y 1 y x 1 x x xy y VËy P = √ x+ √ xy − √ y b) P = ⇔ √ x+ √ xy − √ y = ⇔ √ x ( 1+ √ y ) − ( √ y +1 )=1 ⇔ ( √ x −1 ) ( 1+ √ y )=1 y 1 Ta cã: + x 1 x 4 x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – Hoành độ giao điểm (d) và (P) là nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m – ⇔ x2 + mx + m – = (*) V× ph¬ng tr×nh (*) cã Δ=m2 − m+8=( m− )2+ >0 ∀ m nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm phân biệt , đó (d) và (P) luôn cắt hai điểm phân biệt A và B b) A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ⇔ ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – = cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m < ¿ x + y + z=9 ( ) 1 + + =1(2) Bµi : x y z xy + yz+ xz=27 ( ) ¿{{ ¿ §KX§ : x ≠ , y ≠ , z ≠ x y z 81 x y z xy yz zx 81 x y z 81 xy yz zx x y z 27 x y z xy yz zx 2( x y z ) xy yz zx ( x y)2 ( y z ) ( z x)2 ( x y ) 0 x y ( y z ) 0 y z x y z ( z x ) 0 z x Thay vµo (1) => x = y = z = Ta thÊy x = y = z = thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = y = z = Bµi 4: a) XÐt Δ ABM vµ Δ NBM Ta có: AB là đờng kính đờng tròn (O) nªn :AMB = NMB = 90o Q M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC nªn ABM = MBN => BAM = BNM => Δ BAN cân đỉnh B Tø gi¸c AMCB néi tiÕp N => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB) => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M C b) XÐt Δ MCB vµ Δ MNQ cã : M MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt) BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ) => Δ MCB= Δ MNQ (c g c) => BC = NQ XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC ⊥ BQ ⇒ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) A O => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R = BC( BC + 2R) => BC = ( √ 5− 1) R B (6) Bµi 5: 1 1 => + + = x y z x+ y+z x+ y x+ y+z− z + =0 => xy z ( x+ y+ z ) 1 ⇒( z+ y) + =0 xy z ( x+ y + z ) Tõ : 1 1 + + − =0 x y z x+ y +z ( ) zx +zy + z + xy ⇒ ( x+ y )( =0 xyz (x+ y+ z) ) ⇒ ( x+ y )( y + z ) (z + x)=0 Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) 3 VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 §Ò Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là: 1 A.y = x + ; B.y = x - ; C.y = x - ; D.y = - 2x - 2 Hãy chọn câu trả lời đúng 2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cÇu lÊy mùc níc b×nh cßn l¹i b×nh TØ sè gi÷a b¸n kÝnh h×nh trô vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu lµ A.2 ; B √3 ; C √3 ; D mét kÕt qu¶ kh¸c B×a2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = √ x + √ y Bµi 3: 1) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay cho AB < AC, MA điểm M di động góc xAy cho = MB Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I trên đoan CD a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC cho I lag trung ®iÓm cña MN b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Híng dÉn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng 2) Chän D KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè lµ: Bµi : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho sè chÝnh ph¬ng kh¸c víi mäi sè nguyªn d¬ng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( √ x + √ y )2 = x + y + √ xy = + √ xy (1) x+ y Ta cã: √ xy (Bất đẳng thức Cô si) => > √ xy (2) Bµi3 Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + √ xy < + = Max A2 = <=> x = y = , max A = √ <=> x = y = C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nªn víi x = th× - = (4 + b)(4 + c) Cã trêng hîp: + b = vµ 4+b=7 (7) 4+c=-7 4+c=-1 Trêng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) C©u2 (1,5®iÓm) Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB cho: AD = AB Ta có D là điểm cố định MA AD Mµ = (gt) đó = D AB MA XÐt tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c ADM cã M©B (chung) A MA AD = = AB MA MB MA Do đó AMB ~ ADM => = =2 MD AD => MD = 2MD (0,25 ®iÓm) Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC DÊu "=" x¶y <=> M thuéc ®o¹n th¼ng DC Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + MC lµ DC * C¸ch dùng ®iÓm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính AB - Dùng D trªn tia Ax cho AD = AB M là giao điểm DC và đờng tròn (A; AB) Bµi 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N Do MâN = 900 nên MN là đờng kính VËy I lµ trung ®iÓm cña MN b) KÎ MK // AC ta cã : INC = IMK (g.c.g) => CN = MK = MD (v× D MKD vu«ng c©n) VËy AM + AN =AM +CN + CA = AM + MD + CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta cã IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp D AMN qua hai điểm A, B cố định Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x B M C N C I K O A B M D §Ò x y y z z x 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A x 2007 y 2007 z 2007 2 Bµi 2) Cho biÓu thøc : M x x y xy y 2014 Với giá trị nào x, y thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó Bµi Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x y x y 18 x x 1 y y 1 72 Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) c¾t c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn lît t¹i C vµ D a.Chøng minh : AC BD = R2 b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ Bµi 5.Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng : a b 2a b 2b a a b Bµi 6).Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD Chøng minh : AD2 = AB AC - BD DC Híng dÉn gi¶i Bµi Tõ gi¶ thiÕt ta cã : (8) x y 0 y z 0 z x 0 x Cộng vế các đẳng thức ta có : 2 x 1 y y 1 z z 1 0 x 0 y 0 z 0 x y z 1 x 1 y 1 z 1 0 A x 2007 y 2007 z 2007 1 2007 1 2007 1 2007 VËy : A = -3 Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã : M x x y y xy x y 2007 M x y 1 x y 1 2007 M x y 1 y 1 2007 x y 1 0 y 1 0 vµ x, y Do M 2007 x 2; y 1 M 2007 Bµi §Æt : u x x 1 v y y 1 u v 18 Ta cã : uv 72 u ; v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X 18 X 72 0 X 12; X 6 u 12 u 6 v 6 ; v 12 x x 1 12 x x 1 6 y y 1 6 ; y y 1 12 Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ c¸c ho¸n vÞ Bµi a.Ta cã CA = CM; DB = DM C¸c tia OC vµ OD lµ ph©n gi¸c cña hai gãc AOM vµ MOB nªn OC OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD R2 = AC BD b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp m MCO MAO ;MDO MBO COD AMB g g (0,25®) Chu.vi.COD OM Chu vi AMB MH1 (MH AB) Do đó : OM 1 MH Do MH1 OM nªn Chu vi COD chu vi AMB d c a h o b (9) DÊu = x¶y MH1 = OM M O M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB 2 1 1 a 0; b 0 2 2 a,b>0 Bµi (1,5 ®iÓm) Ta cã : 1 1 a a 0; b b 0 (a a ) (b b ) 0 4 4 a,b>0 a b a b a MÆt kh¸c a b 2 ab Nh©n tõng vÕ ta cã : a b a b a b a b 2a 1 2 ab a b b 2b a Bài (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O) Ta cã: ABD CED (g.g) b d c e BD AD AB.ED BD.CD ED CD AD AE AD BD.CD AD AD AE BD.CD ABD AEC g g L¹i cã : AB AD AB AC AE.AD AE AC AD AB AC BD.CD §Ì C©u 1: Cho hµm sè f(x) = √ x − x+ a) TÝnh f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rót gän A = f (x) x −4 x ± ¿ x ( y −2)=(x +2)( y −4 ) C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3) ¿{ ¿ C©u 3: Cho biÓu thøcA = ( xx√−1x+1 − √xx−1−1 ) :( √ x + √ x√−1x ) víi x > vµ x a) Rót gän A b) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH b) Gi¶ sö PO = d TÝnh AH theo R vµ d C©u 5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án (10) x − ¿2 ¿ C©u 1a) f(x) = ¿ √ x − x+ 4=√ ¿ Suy f(-1) = 3; f(5) = f ( x)=10 ⇔ x −2=10 ¿ x −2=−10 ¿ x=12 ¿ x=−8 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ f (x) |x − 2| A= = x − ( x − 2)( x +2) b) c) x +2 Víi x > suy x - > suy A= Víi x < suy x - < suy A=− x +2 C©u : x( y 2) ( x 2)( y 4) ( x 3)(2 y 7) (2 x 7)( y 3) C©u a) ( Ta cã: A = ( x √ x+1 x −1 − : x −1 √ x −1 )( ( √ x+ 1)(x − √ x+1) x − − : (√ x −1)( √ x+ 1) √x−1 => ) ) = − √ x +2 x : √ x − √ x −1 = − √ x +2 √ x − = ⋅ x √ x−1 − √ x = => 3x + √x x C©u : Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) b) A = x y x -2 x y 0 y 2 x = √x + √ √ x −1 √ x ( √ x − 1) + √ x √x−1 √ x −1 )( x − √ x+1− x +1 x = : √ x−1 √ x −1 xy x xy y x 2 xy y x 21 2 xy y x 21 -2=0 ( x −√ x√−1x +1 − √xx−1−1 ) : ( x −√√xx+−1√ x ) − √x x => x = 2/3 P a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH CH ; (1) = PB CB MÆt kh¸c, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => Do đó: AHC ∞ = A E B POB AH CH (2) = PB OB Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña AH O H C (11) b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã ⇔ AH CB AH CB ) 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB AH =(2 R − = 4R.PB.CB - AH.CB2 2R ¿2 ¿ 4PB 2+ ¿ ¿ 4R CB PB 4R 2R PB ⇔ AH= = ¿ PB 2+ CB2 C©u §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ đó suy m 1,5 Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: ¿ 2m−1 x1 + x 2=− m− x x 2= 3x1 − 4x2=11 ⇔ ¿{{ ¿ (1) ¿ 13-4m x1= 7m−7 x1= 26-8m 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ¿{{ ¿ 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ta đợc m = - và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - m = 4,125 thì ph ơng trình đã cho có hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x1 + x2 = 11 §Ò x2 x 1 x 1 C©u 1: Cho P = x x + x x - x a/ Rót gän P b/ Chøng minh: P < víi x vµ x 1 ( ) ; m lµ tham sè C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm này ba lần nghiệm 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 = a 0 b 0 a 2b 4c 0 b/ Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc thâa m·n : 2a b 7c 11 0 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña Q = a + b + 2006 c Câu 4: Cho ABC cân A với AB > BC Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C và D cắt K a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp b/ Tø gi¸c ABCK lµ h×nh g×? V× sao? C©u 3: a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + (12) c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK là hình bình hành §¸p ¸n C©u 1: §iÒu kiÖn: x vµ x 1 (0,25 ®iÓm) x 1 x2 x 1 P = x x + x x - ( x 1)( x 1) x2 x 1 = ( x ) + x x 1 - x x ( x 1)( x 1) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) = x x x = ( x 1)( x x 1) = x x x 1 b/ Víi x vµ x 1 Ta cã: P < x x < x < x + x + ; ( v× x + x + > ) x-2 x +1>0 ( x - 1)2 > ( §óng v× x vµ x 1) C©u 2:a/ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ chØ ’ (m - 1)2 – m2 – – 2m m b/ Víi m th× (1) cã nghiÖm Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm lµ 3a Theo Viet ,ta cã: a 3a 2m a.3a m m m a= 3( )2 = m2 – m2 + 6m – 15 = m = –3 2 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn) C©u 3: x §iÒu kiÖn x ; – x2 > x ; < 2 §Æt y = x > x y 2 (1) 1 x y 2 (2) Ta cã: A Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hoÆc xy = - * Nếu xy = thì x+ y = Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: X2 – 2X + = X = x = y = 1 * Nếu xy = - thì x+ y = -1 Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: 1 X2 + X - = X = 1 1 x= 2 V× y > nªn: y = K D O B C (13) 1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 = C©u 4: c/ Theo c©u b, tø gi¸c ABCK lµ h×nh thang AB // CK Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành BAC ACK ACK s® EC = s® BD Mµ = DCB Nªn BCD BAC Dựng tia Cy cho BCy BAC Khi đó, D là giao điểm AB và Cy Víi gi¶ thiÕt AB > BC th× BCA > BAC > BDC D AB Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm §Ò Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = b Cho biÓu thøc: P = √ x2 +1 − x − √ x + 1− x Lµ mét sè tù nhiªn √z √x √y BiÕt x.y.z = , tÝnh √ P + + √ xy+ √ x +2 √ yz + √ y+ √ zx+ √ z +2 C©u 2:Cho c¸c ®iÓm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a.Chøng minh ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng b TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC C©u3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x −1 − √3 − x=5 Câu Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cho OA = R √ Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng trßn Mét gãc xOy = 450 c¾t ®o¹n th¼ng AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh r»ng: a.DE là tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b R<DE< R đáp án C©u 1: a x +1+ x √ A = √ x +1 − x − =√ x +1 − x −( √ x 2+ 1+ x )=− x 2 ( √ x +1 − x ).( √ x +1+ x ) k A lµ sè tù nhiªn ⇔ -2x lµ sè tù nhiªn ⇔ x = (trong đó k Z vµ k 0) b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z > và √ xyz=2 Nhân tử và mẫu hạng tử thứ với √ x ; thay mẫu hạng tử thứ √ xyz ta đợc: √ x+2+ √ xy ¿ √z ¿ P= (1®) √x √ xy + √ z + √ xy+ √ x +2 √ xy + √ x+ ¿ ⇒ √ P=1 v× P > C©u 2: a.§êng th¼ng ®i qua ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C kh«ng th¼ng hµng Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàn b.Ta cã : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 ⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ABC vu«ng t¹i C VËy SABC = 1/2AC.BC = √10 √10=5 ( đơn vị diện tích ) (14) Đkxđ x 1, đặt √ x −1=u ; √3 − x=v ta có hệ phơng trình: ¿ u − v=5 u2 +v =1 ¿{ ¿ Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v = ⇒ x = 10 C©u a.áp dụng định lí Pitago tính đợc B AB = AC = R ⇒ ABOC lµ h×nh vu«ng (0.5®) D KÎ b¸n kÝnh OM cho BOD = MOD ⇒ M MOE = EOC (0.5®) A Chøng minh BOD = MOD E ⇒ OMD = OBD = 900 T¬ng tù: OME = 900 ⇒ D, M, E thẳng hàng Do đó DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) b.XÐt ADE cã DE < AD +AE mµ DE = DB + EC ⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE > R VËy R > DE > R C©u 3: O C §Ò C©u 1: Cho hµm sè f(x) = √ x − x+ a) TÝnh f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 f (x) x ± x −4 C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ x ( y −2)=(x +2)( y −4 ) (x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3) ¿{ ¿ C©u 3: Cho biÓu thøc c) Rót gän A = A= ( xx√−1x+1 − √xx−1−1 ) :( √ x + √ x√−1x ) víi x > vµ x a) Rót gän A 2) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH b) Gi¶ sö PO = d TÝnh AH theo R vµ d C©u 5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án C©u (15) a) x − ¿2 ¿ f(x) = ¿ √ x − x+ 4=√ ¿ Suy f(-1) = 3; f(5) = f ( x)=10 ⇔ x −2=10 ¿ x −2=−10 ¿ x=12 ¿ x=−8 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ f (x) |x − 2| A= = x − ( x − 2)( x +2) b) c) x +2 Víi x > suy x - > suy A= Víi x < suy x - < suy A=− x +2 ¿ C©u 2: C©u 3a) x ( y −2)=(x+ 2)( y − 4) ( x −3)(2 y+ 7)=(2 x − 7)( y +3) ¿ ⇔ xy −2 x=xy+2 y − x −8 xy − y +7 x −21=2 xy − y +6 x −21 ¿ ⇔ x − y=− x + y=0 ⇔ ¿ x=-2 y =2 ¿ ¿{ ¿ Ta cã: A = = = = = ( x √ x+1 x −1 − : x −1 √ x −1 )( x √x + √ √ x −1 ) ( √ x+ 1)(x − √ x+1) x − √ x ( √ x − 1) + √ x − :( ( (√ x −1)(√ x+ 1) √ x − ) √ x − √ x −1 ) x − √ x +1 x −1 x − √ x+ √ x − : ( √ x −1 √ x −1 ) ( √ x −1 ) x − √ x+ 1− x +1 x : √ x−1 √ x −1 − √ x +2 x : √ x − √ x −1 = − √ x +2 √ x − = ⋅ x √x−1 − √x x (16) − √ x = => 3x + √ x - = => x = 2/3 x C©u 4: Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC) a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có b) A = => EH CH = ; PB CB MÆt kh¸c, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC ∞ POB P (1) AH CH (2) = B PB OB Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy AH = 2EH hay E lµ trug ®iÓm cña AH Do đó: A E O H b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã ⇔ AH CB AH CB ) 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB AH =(2 R − = 4R.PB.CB - AH.CB2 2R ¿2 ¿ 4PB 2+ ¿ ¿ 4R CB PB 4R 2R PB ⇔ AH= = 2 ¿ PB + CB C©u (1®) §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ đó suy m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: ¿ 2m−1 x1 + x 2=− m− x x 2= 3x1 − 4x2=11 ⇔ ¿{{ ¿ ¿ 13-4m x1= 7m−7 x1= 26-8m 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ¿{{ ¿ 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ta đợc m = - và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm ph©n biÖt t Gi¶i ph¬ng tr×nh C©u I : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 A= + + + .+ √3+ √ √5+ √ √7+ √ 35 ⏟ B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 99sè C©u II :Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : §Ò 10 √ 97 + √ 99 C (17) 1) X2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dông : cho x+4y = T×m GTNN cña biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2 Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm BC, M là điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M c¾t BD vµ DC t¹i P vµ Q a) Chøng minh DM.AI= MP.IB MP b) TÝnh tØ sè : MQ C©u 5: Cho P = √ x − x +3 √ 1− x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức đáp án C©u : 1 1 + + + .+ √3+ √5 √5+ √ √ 7+ √9 √97 + √ 99 = ( √ 5− ❑√ + √ 7− √ + √ − √ + .+ √ 99 − √ 97 ) = 35 = ⏟ 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 1) A = ( √ 99 − √ ) 99sè3 =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + 101 B = 10 −10 +165 27 C©u 2: 1) x2 -7x -18 = x2 - - 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) C©u 3: 4® 1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=> a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=> a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=> (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc 2) áp dụng đẳng thức trên ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) => 25 100 20 x + y2 => 4x2 + 4y2 dÊu = x·y x= ,y= 17 17 17 17 C©u : 5® Ta cã : gãc DMP = AMQ = AIC MÆt kh¸c ADB = BCA DM MP => Δ MPD đồng dạng với Δ ICA => => DM.IA=MP.CI = CI IA Hay DM.IA=MP.IB (1) ( ) (2®) (18) Ta cã : ADC = CBA, DMQ = 1800 - AMQ=1800 - AIM = BIA Do đó Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA => DM MQ = => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA MP Tõ (1) vµ (2) ta suy =1 MQ C©u Để P xác định thì : x2-4x+3 vµ 1-x >0 Tõ 1-x > => x < MÆt kh¸c : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), V× x < nªn ta cã : (x-1) < và (x-3) < từ đó suy tích (x-1)(x-3) > VËy víi x < th× biÓu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã : (x −1)( x − 3) P = √ x − x +3 = √ =√3 − x √ 1− x √ 1− x §Ò 11 √ C©u : a Rót gän biÓu thøc A= 1+ b TÝnh gi¸ trÞ cña tæng 1 + a ( a+1 )2 √ B= 1+ Víi a > 1 1 1 + + 1+ + + .+ 1+ + 2 99 1002 √ √ C©u : Cho pt x − mx+m− 1=0 a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi ∀ m x , x lµ hai nghiÖm cña pt T×m GTLN, GTNN cña bt b Gäi P= x x 2+ x + x +2 ( x x2 +1 ) 2 1 + ≥ 2 1+ xy 1+ x 1+ y Câu Cho đờng tròn tâm o và dây AB M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từM kẻ MH AB (H AB) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vuông góc H trên MA và MB Qua M kẻ đờng thẳng vu«ng gãc víi Ì c¾t d©y AB t¹i D Chứng minh đờng thẳng MD luôn qua điểm cố định M thay đổi trên đờng tròn C©u : Cho x ≥ , y ≥ Chøng minh: Chøng minh : MA AH AD = MB2 BD BH Híng dÉn C©u a B×nh ph¬ng vÕ ⇒ A= a + a+1 (V× a > 0) a ( a+1 ) c ¸p dông c©u a 1 A=1+ − a a+1 9999 ¿ ⇒ B=100 − = 100 100 C©u a : cm Δ ≥ ∀ m B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã: ¿ x 1+ x2 =m m+1 ⇒ P= x x 2=m− (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn m +2 ¿{ ¿ (19) ⇒ − ≤ P≤ ⇒ GTLN=− ⇔ m=− 2 GTNN=1 ⇔ m=1 Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc x( y −x) y(x− y) + ≥0 b®t ⇔ ( 1+ x ) ( 1+ xy ) ( 1+ y ) (1+ xy ) ⇔ ( x − y ) ( xy − ) ≥ đúng vì xy ≥1 C©u 4: a - Kẻ thêm đờng phụ - Chứng minh MD là đờng kính (o) => b Gäi E', F' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn MA vµ MB E' §Æt HE = H1 HF = H2 E AH AD HE h1 MA ⇒ = ( 1) A BD BH HF h2 MB2 ⇔ Δ HEF Δ DF ' E ' ⇒ HF h 2=HE h Thay vµo (1) ta cã: MA2 = AH AD MB BD BH §Ò 12 a+ b+2 ab C©u 1: Cho biÓu thøc D = √ a+ √b + √ a+ √ b : 1+ −ab − √ ab 1+ √ab a) Tìm điều kiện xác định D và rút gọn D [ ] [ b) TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = M o F F' D B H I ] 2 − √3 c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña D C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh 2 x2- mx + m2 + 4m - = (1) − √3 − √3 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoã mãn 1 + =x + x x1 x2 Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, AI = bc Cos α ^ A=α ( α=900 ) Chøng minh r»ng (Cho Sin2 α =2 Sin α Cos α ) b+ c Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm N di động trên nửa đờng tròn cho N A ≤ N B Vễ vào đờng tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP luôn qua điểm cố định Q b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn qua điểm cố định C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña: B= xy zx xyz + + z y x §¸p ¸n (20) Câu 1: a) - Điều kiện xác định D là - Rót gän D a+ b+ab D = √ a+2 b √ a : 1− ab 1− ab 2+ √ ¿ 3+1¿ ⇒ √ a=√ 3+1 √ b) a = 2¿ =¿ 2+ √ [ ] [ ] = ¿ a≥0 b≥0 ab ≠ ¿{{ ¿ √a a+1 2+2 √ √ −2 = +1 − √ √3 c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có √ a≤ a+1 ⇒ D ≤1 VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1 C©u 2: a) m = -1 ph¬ng tr×nh (1) ⇔ x 2+ x − =0 ⇔ x2 +2 x − 9=0 2 ⇒ x 1=−1 − √ 10 x 2=− 1+ √10 ¿{ ( ) b) §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× Δ ≥ ⇔ − m+2 ≥ ⇔ m ≤ * ¿ m1 ≠ − −3 √ m2 ≠ − 4+3 √ ¿ (*) + §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c ⇔ m +4 m−1 ≠ { ⇒ 1 + =x + x ⇔(x + x 2)(x x − 1)=0 ⇔ x1 x2 + x + x 2=0 x x − 1=0 ¿{ ⇔ m=0 m2+8 m−3=0 ⇔ ¿ m=0 m=−4 − √ 19 m=− 4+ √ 19 ¿{ Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = và m=− − √19 A C©u 3: α + S Δ ABI = AI cSin ; 2 VËy D = a α + S Δ AIC = AI bSin ; 2 B I b c C (21) + S Δ ABC= bcSin α ; S Δ ABC=S Δ ABI+ S Δ AIC α ⇒ bcSin α=AISin ( b+c ) 2 bcCos α N bcSin α = α b+c Sin (b+c ) ˆ ˆ C©u 4: a) N N Gäi Q = NP (O) QA QB Suy Q cố định ^ (¿ ^ b) ^ A 1= M A2 ) Tø gi¸c ABMI néi tiÕp c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF Δ ABF vu«ng t¹i A B=45 ^ ^ B=45 ⇒AF ˆ ˆ L¹i cã P1 45 AFB P1 Tø gi¸c APQF néi tiÕp ^ F= A Q ^ F=900 AP Ta cã: A ^ P F +A ^ P M =900 +900 =1800 M1,P,F Th¼ng hµng 1 + + = ⋯=xyz =2 Câu 5: Biến đổi B = xyz xyz x y z §Ò 15 ⇒ AI= ( 2 A M I 1 P Q F ) 2√ x−9 x +1 √ x +3 + √ + x −5 √ x+6 √ x − − √ x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa và rút gọn M b Tìm x để M = c T×m x Z để M Z bµi 2: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 1 Bµi 3: a Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n + + =4 x y z 1 Chøng ming r»ng: + + x+ y+z x +2 y + z x + y +2 z x −2 x+2006 b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (víi x ) x Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD KÎ tia Ax, Ay cho x ^ A y = 45 ❑0 Tia Ax c¾t CB vµ BD lÇn lît t¹i E vµ P, tia Ay c¾t CD vµ BD lÇn lît t¹i F vµ Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên đờng tròn b S Δ AEF = S Δ APQ Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C ^ PD = C^ MD Bµi 5: (1®) ¿ ac bc ac 1 + 2+ Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n: + + =0 ; H·y tÝnh P = a b c c a b ¿ đáp án Bµi 1: Cho biÓu thøc M = Bµi 1:M = a.§K 2√ x−9 x +1 √ x +3 + √ + x −5 √ x+6 √ x − − √ x 0,5® x≥0; x≠ ;x ≠9 Rót gän M = √ x − 9− ( √ x+3 )( √ x −3 ) + ( √ x+1 ) ( √ x − ) ( √ x −2 ) ( √ x −3 ) B (22) Biến đổi ta có kết quả: M = x −√ x − ( √ x −2 ) ( √ x −3 ) M= ( √ x+ )( √ x − ) √ x +1 ⇔ M= ( √ x −3 ) ( √ x − ) √ x −3 x −1 =5 √x− ⇒ √ x +1=5 ( √ x − ) ⇔ √ x +1=5 √ x − 15 ⇔16=4 √ x 16 ⇒ √ x= =4 ⇒ x=16 b M = ⇔ √ √ x+1 = √ x −3+ =1+ √ x − √ x −3 √ x −3 Do M z nªn √ x −3 lµ íc cña ⇒ c M = ⇒ x ∈ { 1; ; 16 ; 25 ; 49 } x≠4⇒ √ x −3 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; x ∈ { 1; 16 ; 25 ; 49 } Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa số không nhá h¬n lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn đó ¿ x +2 y=6 x+ y=24 HÖ PT nµy v« nghiÖm ¿{ ¿ ¿ ⇒ x +2 y=6 x=4 HoÆc x+ y=16 y=1 ¿{ ¿{ ¿ ¿ x +2 y =8 HoÆc x+ y=12 HÖ PT v« nghiÖm ¿{ ¿ VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A ∀ A Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ❑/x −2005+2008 − x /❑/3 /❑3 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3) ¿ x −2006 /❑0 y − 2007/❑ ⇔ (3) s¶y vµ chØ ¿ x=2006 y=2007 ¿{ ¿ (1) (23) a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ Bµi b Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã a2 b2 ( a+b ) + ≥ (∗) x y x+ y < >(a2y + b2x)(x + y) ( a+b )2 xy a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy a2y2 + b2x2 2abxy a2y2 – 2abxy + b2x2 (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) đúng với a, b, và x,y > a b DÊu (=) x¶y ay = bx hay x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2x y z 2x y z x y x z xy xz 2 2 1 1 1 1 1 4 4 x y x z 16 x y z 1 1 T¬ng tù x y z 16 x y z 1 1 2 x y z 16 x y z Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 1 2 x y z x y z x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y z 4 4 1 1 1 16 x y z 16 x y z 1 4 x y z V× x x 2006 B x 0 x2 2006 2006 x2 −2 2006 x +2006 Ta cã: B= x −2 x+ ⇔ B= 2006 x x2 ( x − 2006 )2 +2005 x2 ( x −2006 )2+2005 2005 ⇔ + 2006 x2 2006 x V× (x - 2006)2 víi mäi x x2 > víi mäi x kh¸c ⇔ B= (24) x 2006 2005 2005 B khix 2006 2006 x 2006 2006 Bµi 4a EBQ EAQ 45 EBAQ néi tiÕp; B̂ = 900 à gãc AQE = 900 à gãcEQF = 900 T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450 0 B à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 à gãc APF = 900 à gãc EPF = 900 …… 0,25® Các điểm Q, P,C luôn nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh EF …………………0,25® b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE Gãc AFE + gãc EPQ = 1800 àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g) S APQ à S AEF k 2S APQ SAEE 2 c gãc CPD = gãc CMD à tø gi¸c MPCD néi tiÕp à gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung MD) L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC) à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC à góc CMD = 600 à tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM) Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300 à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750 à gãcMAB = 900 – 750 = 150 Bµi §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) à x = -(y + z) à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = §Ò 16 Bµi 1Cho biÓu thøc A = x −3 ¿ 2+12 x ¿ + ¿ ¿ √¿ x+ 2¿ −8 x ¿ √¿ a Rót gän biÓu thøc A b T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho các đờng thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) luôn qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt b T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña pt (1)) (25) Bài 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và điểm A thay đổi vị trí trên cung lớn BC cho AC>AB vµ AC > BC Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm các cặp đờng thẳng AB với CD; AD và CE a Chøng minh r»ng DE// BC b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp c Gäi giao ®iÓm cña c¸c d©y AD vµ BC lµ F 1 Chøng minh hÖ thøc: = + CE CQ CE a b c Bµi 5: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 1< + + <2 a+b b+c c +a đáp án Bµi 1: - §iÒu kiÖn : x x +6 x 2+ + √ x2 − x + x x +3 | ¿ + x − 2| |x| −2 x 2+ x −3 - Víi x <0: A= x x+3 - Víi 0<x 2: A= x 2 x −2 x+ - Víi x>2 : A= x b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyªn <=> x2 + ⋮|x| <=> 3=> x ⋮|x| = { −1 ; −3 ; ; } Bµi 2: a (d1) : y = mx + (m +2) <=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số luôn qua điểm cố định với m a Rót gän: A= √ ¿ ¿ x+ 1=0 x=−1 2− y=0 =.> y =2 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M là giao điểm (d1) và (d2) Tọa độ M là nghiệm hệ ¿ ¿ y =x −2 x=2 y=2 x − => y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy M (2; 0) NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3) Ta cã : = 2m + (m+2) => m= Vậy m = thì (d1); (d2); (d3) đồng quy 3 Bµi 3: a Δ ' = m2 –3m + = (m ) + >0 ∀ m VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt ¿ ¿ x 1+ x 2=2( m−1) x 1+ x2 =2m −2 b Theo ViÐt: => x x2 =2m −6 x1 x 2=m− ¿{ ¿{ ¿ ¿ <=> x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phô thuéc vµo m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) (26) = (2m - 15 15 ) + ≥ ∀m 4 15 VËyPmin = víi m = Bài 4: Vẽ hình đúng – viết giả thiết – kết luận 1 a S®CDE = S® DC = S® BD = ∠ BCD 2 => DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) b APC = s® (AC - DC) = AQC => APQC néi tiÕp (v× APC = AQC cïng nh×n ®oan AC) c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ) CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy CPQ = CDE => DE// PQ DE CE Ta cã: = (v× DE//PQ) (1) PQ CQ DE QE = (v× DE// BC) (2) FC QC DE DE CE+QE CQ Céng (1) vµ (2) : + = = =1 PQ FC CQ CQ 1 (3) + = PQ FC DE ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ 1 Thay vµo (3) : + = CQ CF CE a a a+ c Bµi 5:Ta cã: < < a+b+ c b+a a+b+ c b b b+ a < < a+b+ c b+c a+b+ c c c c +b < < a+b+ c c+ a a+b+ c Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : a b c 1< + + <2 a+b b+c c+ a => (1) (2) (3) §Ò sè 15: Bµi 1: BiÕt r»ng x, y lµ c¸c sè tù nhiªn cã 2005 ch÷ sè.Sè x chØ viÕt bëi c¸c ch÷ sè vµ sè y chØ viÕt bëi c¸c ch÷ sè H·y so s¸nh tæng c¸c ch÷ cña tÝch xy vµ tæng c¸c ch÷ sè cña x2 Bài 2: Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy - 2x + 2y + 4z29x + y) = 4a + x2 + y2 + z2 +x –y = a Bµi 3: Cho ( x + √ x2 +1 )( y + √ y +1 ) =1 tÝnh M = x √ y 2+1+ y √ x 2+1 (27) Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC, AB < AC C¸c ®iÓm M,N lÇn lît thuéc c¸c c¹nh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN và CM là O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y Chøng minh: BX = CA; CY = BA §Ò 16: Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyen d¬ng n cho 2n + 153 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè nguyªn Bµi 2: Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n abc =1 H·y tÝnh Min cña biÓu thøc: a2 +b2 −c b 2+ c2 −a c 2+ a2 − b2 + + c a b Bµi 3: Chøng minh r»ng kh«ng cã sè nµo hai sè sau: p -1; p +1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi p lµ tÝch cña 2005 sè nguyªn tè ®Çu tiªn P= Bài 4: Cho AB & CD là hai đờng kính vuông góc với đờng tròn (O,R).M là điểm trªn (O) T×m Max cña P = MA.MB.MC.MD Bài 5: Trong mặt phẳng cho (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đờng tròn Tìm vị trí điểm m cho đờng thẳng AM cắt (O) C và AM = AC + CB (C#A) §Ò sè 17: Bµi 1: Chøng minh r»ng sè d phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 lµ hoÆc sè nguyªn tè Bµi 2: T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d¬ng x,y,z tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh: x+ y + z =6 1 + + =2 − x y z xyz Bµi 3: Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f ( 2006 2005 ) < f( ) 2005 2004 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC, ®iÓm O n»m tam gi¸c BO,CO theo thø tù c¾t AC,AB t¹i M,N Dùng AE AM AN OM ON c¸c h×nh b×nh hµnh OMEN,OBFC Chøng minh r»ng A,E,F th¼ng hµng vµ = = AF AB AC OB OC Bài 5: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB =c =2R Tìm trên nửa đờng tròn đó (không kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C 1, C2, C3 cho BC + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, đó d là độ dài đoạn thẳng cho trớc Biện luận §Ò sè 18; Bµi 1: Cho sè nguyªn n > 2005 vµ sè thùc x tho¶ m·n 2006 n + 2005n =xn Hái x cã thÓ lµ sè nguyªn kh«ng? Bµi 2: BiÕt r»ng: x2 + y2 = x = y T×m gi¸ trÞ Max & Min cña F = x - y Bµi 3: Rót gän: T = ( + 14 )(3 + 14 ) ( 2005 + 14 ) (2 + 41 )( + 14 ) .(2006 + 14 ) 4 4 4 Bµi 4: Gi¶ sö hai tam gi¸c ABC,DEF cã = , AB = DE vµ c¸c c¹nh cßn l¹i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác đó Bài 5: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích các điểm M cho tổng các khoảng cách từ M tới các đờng thẳng AB,BC ,CD ,DA 2a (28)