Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất ôn thi vào lớp 10

Biên soạn: Th.S. Chú ý: Ở bước 3 ta có thể lập phương trình đường thẳng OA.. Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com. Biên soạn: Th.S.. Bài giảng độc quyền bởi http://baigian[r]

(1)

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Để vẽ đồ thị hàm số y axb , ta vẽ hai đồ thị y1ax b với x b a

  y2  ax b với

b x

a

  xét giá trị đặc biệt

 Tìm điều kiện để  d1 :yaxb cắt  d2 :ya x b   điểm thuộc góc phần tư thứ - Bước 1: Giải hệ phương trình ax b y

a x b y

  



   

, ta nghiệm x y0; 0

- Bước 2: Tìm điều kiện thỏa mãn:

0

x

y

a a

  

     

Tương tự, (chỉ thay đổi bước 2) tìm điều kiện để  d1 cắt  d2 điểm thuộc góc phần tư:

- Thứ hai:

0

x

y

a a

  

     

- Thứ ba:

0

x

y

a a

  

     

- Thứ tư:

0

x

y

a a

  

     

 Tìm điều kiện để  d1 :yaxb cắt  d2 :ya x b   điểm có tọa độ nguyên

- Bước 1: Giải hệ phương trình ax b y

a x b y

  



   

, ta nghiệm x y0; 0

- Bước 2: Tìm điều kiện để x0, y0 v aà a

 Chứng minh đồ thị hàm số yax b qua điểm cố định với tham số m - Bước 1: Giả sử đồ thị hàm số qua điểm A x y 0; 0 với m

- Bước 2: Thay A x y 0; 0 vào yax b ta được: y0 ax0b  *

- Bước 3: Biến đổi (*) dạng A m B0 (A B biểu thức chứa , x v y ) 0 0

(2)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang - Bước 4: Giải hệ phương trình

0

A B

  

 

, ta tìm x y0; 0

 Tìm m để đường thẳng  d1 :yaxb,  d2 :ya x b  ,  d3 :ya x b   đồng quy

- Bước 1: Tìm điều kiện để aaa

- Bước 2: Nếu bb ta tìm điều kiện m để b b bb (trường hợp b b

bb ta tìm tương tự) Nếu bbb, ta giải hệ phương trình khơng chứa tham số m , thay vào phương trình cịn lại để tìm m

 Tìm m để đồ thị hàm số yax b tạo với hai trục tọa độ tam giác cân

- Bước 1: Tìm giao điểm với trục tung A0;b, giao điểm với trục hoành B b;

a

 



 

  - Bước 2: Giải phương trình b b

a

  ta tìm m

 Tìm điều kiện m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng yax b có giá trị lớn - Bước 1: Tìm điểm cố định A x y 0; 0 mà đồ thị qua

- Bước 2: Tìm giao điểm với trục tung B0;b, giao điểm với trục hoành C b;

a

 



 

 

- Bước 3: Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng lớn OABC nên áp dụng hệ thức lượng trong OBC vng với đường cao OA có: 12 12 12  *

OA OB OC Tính OA OB OC ta thay , ,

vào (*) tìm m

Chú ý: Ở bước ta lập phương trình đường thẳng OA Từ tìm điều kiện m để OA

vng góc với đường thẳng yax b

 Tìm điều kiện m để điểm A x A;yA, B x B;yB, C x C;yC thẳng hàng

- Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AB (hoặc AC BC ) ,

- Bước 2: Thay tọa độ điểm lại vào đường thẳng vừa lập ta tìm giá trị tham số m

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y2 x2 3 b) y x 1 x3

Giải:

a) y2 x2 3    

2 :

x x

   

  

  

 

2 :

x x

 

  

  

 Bảng giá trị:

x

2

y x  -3 -1

(3)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang -2

x y

-1

1

O

-3

b) y x 1 x3 Ta có bảng sau:

x

1

x  x x 1 x 1

3

x  3 x 3 x x 3

1

y x  x 4 2x 2x 4

Dựa vào bảng ta có: y x 1 x3

4 :

2 :

x x

x

x x

 

 

  

  

 Bảng giá trị:

x

1

y x  x 2

(4)

x y

1

O

4

3

Ví dụ 2: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 2x5y15

Giải:

Ta có: 2x5y15 15

y

x 

 

Nhận thấy x15 5 y2 y2n1 n x 5 5n

Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 5  

2

x n

n

y n

  

 

 





Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng:  d1 :ym1x2m,  d2 :ymx2 Tìm m để  d1 cắt  d2 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Giải:

Tọa độ giao điểm  d1  d2 nghiệm hệ phương trình:  1

2

m x m y

mx y

   

 

  



2

2 2

x m

y m m

 

  

  



 d1 cắt  d2 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

0

x

y

a a

    

   

2

2 2

1

m

m m

  



   

  



2

1

m

m m

   

   

2

1

0

2

m

  

  

  

 



 



1

m

 

Vậy m 1  d1 cắt  d2 điểm thuộc góc phần tư thứ hai

Ví dụ 4: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d :ymxm1 lớn

(5)

A(1;1) C x y 1 2 O 2 1 B Tìm điểm cố định thuộc  d :ymxm1

Giả sử A x y 0; 0 điểm cố định cần tìm Ta có: y0 mx0m1m x 0 1y0 1 m

0

1

x x y y                1;1 A  2

1

OA

   

Giao điểm  d với trục hoành B b; B m 1;

a m               

Giao điểm  d với trục tung C0;bC0;m1

Khoảng cách từ O đến đường thẳng  d lớn  d OA A

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng OBC, đường cao OA có:

2 2

1 1

OA OB OC 2  2

1 1

1

2 m m

m                2 1

2 1 1

m m m        2 1 m m       2

2m m

   

2

m m

    m12 0 m 1

Vậy với m  1 khoảng cách từ O đến đường thẳng  d lớn

Ví dụ 5: Tìm m để đường thẳng sau đồng quy:

 d1 :y2x3,  d2 :y x 1,  d3 :ym1x2m

Giải:

Tọa độ giao điểm  d1  d2 nghiệm hệ phương trình:

2 x y x y        x y x y         x y      

Để  d1 ,  d2  d3 đồng quy  d3 :ym1x2m phải qua điểm 2;1  

1 m 2m

    4m3

4

m

 

Vậy với

m   d1 ,  d2  d3 đồng quy

Ví dụ 6: Cho đường thẳng ' :y  Lập phương trình đường thẳng x d song song với đường thẳng 2

(6)

a) Đi qua điểm A' 1; 2 

b) Gọi P Q theo thứ tự giao điểm , d với trục 2 Ox Oy có diện tích , OPQ 2 c) Khoảng cách từ O đến d 2 2

Giải:

a) Đi qua điểm A' 1;  

Đường thẳng d song song với 2 ' có phương trinh d2:yx b Vì A' 1; 2 d2: 2  1 b b1

Vậy ta d2:y  x

b) Gọi P Q theo thứ tự giao điểm , d với trục 1 Ox Oy , ta , Với điểm P x:  0 y   b b P0;b

Với điểm Q y:  0 0  x b x  b Qb; 

Diện tích OPQ cho

2

OPQ

S  OP OQ  b  b b  b 

Khi đó:

Với b 2, ta đường thẳng d2:y x Với b   ta đường thẳng 2, d2:y x c) Khoảng cách từ O đến d 2 2

GọiP Q theo thứ tự giao điểm , d với trục 2 Ox Oy , ta được: , Với điểm P x:  0 y   b b P0;b

Với điểm Q y:  0 0  x b x  b Qb;  Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d 2

Trong OPQvuông O ta có:

 

2 2 2 2 2

2

1 1 12

4

5

b b b

OA OB

OH b b

OH OA OB OA OB b b



           

  

Với b 4 ta đường thẳng d2:y x

Với b  4 ta đường thẳng d2:y x

Ví dụ 7: Cho điểm B' 4;    Lập phương trình đường thẳng d qua 3 B' cắt Ox Oy theo thứ tự ,    

' ; , ' 0;

I a J b với a b  ,

a) Diện tích OI J' ' nhỏ b) OI'OJ' nhỏ

c) 12 12

' OJ '

OI  nhỏ

d) Đi qua B" 4;1  tạo với Ox góc  có tan  3

- Tìm đường thẳng d điểm 3 I"xI";yI" cho xI"2yI"2 nhỏ

(7)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang a) Diện tích OI J' ' nhỏ nhất.Từ giả thiết, ta 3:

x y

d

ab 

Vì ' 4;1  3:4 1

b

B d a

a b b

    

 với b 1(*) ' ' ' 2 OIJ ab

S  OI OJ 

Từ (*) sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4 ab 16 S

a b a b ab

       

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng 3 3: 3:

8

x y

d   d y  x

b) OI'OJ' nhỏ

Ta có ' ' 4  1

1 1

b b b

OI OJ a b b b b

b b b

             

  

Suy ra, ta  

' '

OI OJ  đạt khi:

3 a b b b          

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng 3 3

1

: :

6

x y

d   d y  x

c) 12 12 ' OJ '

OI  nhỏ

Ta có: 1 12 12 ' OJ '

OI  a b

Theo bất đẳng thức Bunhiacơpki, ta có:  

2 2

1 1 1

4 1

17

a b a b a b

   

         

   

Suy ra, ta

min

1 1

' ' 17

OI OJ

 

 

 

  đạt khi:

4 17

1 17 a a b b a b                Vậy phương đường thẳng d có dạng 3 3

1

: : 17

17 17 4

4

x y

d   d y  x

d) Đi qua B' 4;1 và tạo với Ox góc  có tan  3 Giả sử phương trình đường thẳng d có dạng 3 ymxn

3

d tạo với tia Oxmột góc  có tan  3nên: mtan  3 Vì B' 4;1 d3 nên 14mn4. 3  n n13

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng có dạng 3 y 3x13 - Tìm đường thẳng d điểm 3 I"xI";yI" cho 2

" "

I I

x  y nhỏ Vì I"xI";yI"d3 nên

" " " "

13

3 13

3 I

I I I

y

(8)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang Khi

2 2 2

2 " " " "

" " "

13 169 26

3

I I I I

I I I

y y y y

x y    y    

 

 

2

2 2

" " " " "

1 13 1521 1521

10 26 169 10

9 10 90 90

I I I I I

x y y y y

  

          

  

 

2

" "

1521 90

I I

x y

   đạt " 13, " 117

10 20

I I

y  x 

Vậy ta tìm " 117 13; 20 10

I  

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hai hàm số dm: y f x   m1x2m3  dn : y f x   n2x1 Tìm m n, để đồ thị hàm số nằm góc phần tư thứ II, IV qua O ĐS:

2

m  

Bài 2: Vẽ hệ tọa độ đồ thị hàm số y2x y2 x 1 Bài 3: Vẽ hệ tọa độ đồ thị hàm số y2x y x1 Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số y 2 x1

Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số y = x + x4 Từ giải phương trình: x = - x4 ĐS:  4 x0 Bài 6: Cho đường thẳng  d có phương trình: 2m1xm2y2

a) Tìm điểm cố định  d ĐS: M1; 2 

b) Tìm m để  d cách gốc tọa độ khoảng lớn ĐS:

m 

Bài 7: Tìm m để đường thẳng sau đồng quy:  d1 :y2x5,  d2 :y x 2,  d3 :ymx12

ĐS:

7

m  

Bài 8: Cho đường thẳng  d có phương trình: x 3y40

a) Vẽ  d hệ trục toạ độ Oxy tính góc tạo  d với trục Ox ĐS: 30 b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng  d ĐS:

c) Chứng tỏ đường thẳng  d1 có phương trình: x4  3y cắt  d điểm trục

tung Tìm toạ độ điểm ĐS: 0;4

3

 

 

 

(9)

b) Tìm tất giá trị x cho f x   ĐS:

x x

     Bài 10: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y x b) y x 2

Bài 11: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình

a) 3x2y ĐS:  

3

x n

n

y n

 



 

 





b) 5x11y ĐS: 11  

5

x n

n

y n

 



 

 





c) 7x5y143 ĐS:  

23

x n

n

y n

 



 

 





Bài 12: Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình

a) 11x8y73 ĐS: 3;5

b) 5x7y112 ĐS: 21;1 , 14;6 , 7;11    

c) 2x3y ĐS:  

2

x n

n

y n

 



 

 





d) 7x13y71 ĐS: Vô nghiệm

Bài 13: Cho điểm A 1;1 đường thẳng  d1 :y x 1,  d2 :y4x2 Viết phương trình đường thẳng qua A cắt đường thẳng    d1 , d2 tạo thành tam giác vuông

ĐS:

2

1

4

y x

   



   



Bài 14: Tìm m để hai đường thẳng y  x y2mx cắt điểm có tung độ

ĐS:

4

m 

(10)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang Bài 16: Cho hàm số y x  1 x

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm GTNN hàm số ĐS: ymin 

Bài 17: Trên hệ trục tọa độ vng góc có độ dài đơn vị cm

a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 3x

b) Gọi  d đường thẳng có phương trình ym cắt đồ thị y x2 3x tạo thành hình thang Tìm m để diện tích hình thang

28cm ĐS: m 9

Bài 18: Cho đường thẳng  d :yax b Xác định giá trị ,a b biết  d song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai qua điểm A1; 2  ĐS: y   x

Bài 19: Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy:  d1 :y x 1,  d2 :y3x2,  3

1

:

2

d y x ĐS: 5;

2

 

 

 

Bài 20: Tìm a b để hai đường thẳng , a2x by 2 axy cắt điểm b M2; 1 

ĐS:

3

a

b

           Bài 21: Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng: A2;1, B  2; 2, C m 1;m

ĐS:

5

m 

Bài 22: Chứng minh đồ thị hàm số y3mx2m qua điểm cố định A với m

Tìm tọa độ điểm A ĐS: 2;

3

 



 

 

Bài 23: Cho hai đường thẳng  d1 :ym22m x  d2 :yax a0

a) Định a để  d2 qua điểm A3; 1  ĐS:

a  

b) Tìm giá trị m để    d1  d2 (ở câu a) ĐS:

m m

  

(11)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Học viên: Nguyễn Thị Trang Bài 24: Cho hàm số  d1 :yaxb

a) Tìm a b biết đồ thị hàm số qua điểm M  1;1 N2; 4 ĐS:

a b

  

 

b) Xác định m để đồ thị hàm số  d2 :y2m2m x m2m đường thẳng song song với đường thẳng  d1 tìm câu a Vẽ  d2 ứng với m vừa tìm ĐS:

2

m  

c) Gọi A điểm đường thẳng  d1 có hồnh độ Tìm phương trình đường thẳng  d3 qua

A vng góc với hai đường thẳng  d1 ,  d2 Tính khoảng cách  d1  d2

ĐS:

 3 :

8

d y x

d

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	318,89 KB