Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG DẠY – HỌC TOÁN : ĐỒ ÁN DIDACTIC TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN CODE: 60.14.10 GIÁO SƯ HƯỚNG DẪN: Annie BESSOT TP HCM – 2004 LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo Cán phòng Sau Đại học ĐHSP TP.HCM; Ban Chủ nhiệm Giáo sư Khoa Toán – Tin học ĐHSP TP HCM; Ban Lãnh đạo Nhà Nghiên cứu nhóm DDM thuộc Phòng Nghiên cứu Leibniz INPG (Nước Cộng Hòa Pháp) giúp đỡ động viên thực luận văn Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến: - Giáo sư hướng dẫn Bà PGS TS Annie BESSOT Với đầy nhiệt huyết nghiêm khắc, Bà không tiếc công sức hướng dẫn thực nghiên cứu didactic giúp đỡ việc trình bày ngôn ngữ cho luận văn - TS Alain BIREBENT TS LÊ VĂN TIẾN, người giúp đỡ Giáo sư đồng hướng dẫn lời khuyên đầy chất lượng tài liệu bổ ích - PGS TS Annie BESSOT vaø PGS TS Claude COMITI, người bảo hộ ngày ôû Phaùp - GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI, TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS LÊ VĂN TIẾN TS ĐOÀN HỮU HẢI giảng dạy đầy nhiệt tình hiệu suốt khóa Cao học Thạc só Didactic Toán - Các anh: CÔNG KHANH, CHÍ THÀNH, ANFONSO, người giúp đỡ động viên ngày làm việc nhóm DDM INPG Grenoble - Các bạn Học viên Cao học khóa 12, hai cô THỦY HÀ, người giúp nhiều trình học tập nghiên cứu - Bà Claudine MERCIER, chủ nhà Grenoble, người hiếu khách đón tiếp thành viên gia đình - Ban Giám hiệu Trường PTTH Chuyên TRẦN ĐẠI NGHĨA (QI) cho phép tiến hành thực nghiệm lớp trường LỜI GIỚI THIỆU Khái niệm giới hạn, trung tâm giải tích, khái niệm toán học Trong chương trình toán học phổ thông Việt nam, khái niệm xuất lớp 11; người ta nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học khái niệm Đây khái niệm kiểu học sinh lần tiến trình vô hạn xuất Trong phần đầu công việc, đặt câu hỏi sau đây: đâu thực chất khó khăn việc lónh hội khái niệm giới hạn? Khái niệm tồn thể chế dạy học Việt nam? Thứ nhất, tổng hợp số kết nghiên cứu có nước Cộng hòa Pháp chủ đề nhằm hiểu chướng ngại việc học khái niệm nhằm làm rõ quan niệm khoa học luận khái niệm Những kết nghiên cứu dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam vấn đề dạy học khái niệm giới hạn Thứ hai, phân tích chương trình sách giáo khoa hai giai đoạn “cải cách giáo dục” (từ năm1990) giai đoạn “chỉnh lý hợp nhấ” (kể từ năm 2000) kiến thức lý thuyết nhân chủng học phát triển Y.Chevallard nhóm nghiên cứu ông (Chevallard, 1992) khái niệm hợp đồng didatique giới thiệu G.Brousseau (Brousseau, 1980) Việc nghiên cứu phần “sinh thái học” khái niệm giới hạn thể chế Việt nam cho phép xác định lựa chọn thể chế đặc biệt yếu tố hợp đồng didactique Từ đó, phát biểu thành giả thiết nghiên cứu hiệu ứng lựa chọn thể chế nghiên cứu Thứ ba, kiểm chứng hợp thức giả thiết nghiên cứu thông qua thực nghiệm lớp 12 Các kết nghiên cứu phần đặt cho đến vấn đề mở rộng mối quan hệ thể chế học sinh với khái niệm giới hạn Kể từ giai đoạn chống cải cách toán học đại CH Pháp (1980 –1998), quan điểm dạy học giải tích trường PTTH giảng dạy liên tiếp vấn đề xấp xỉ Như vậy, máy tính bỏ túi đóng vai trò lớn quan điểm dạy học Ở Việt nam, năm gần đây, ghi nhận tiến triển đáng kể máy tính bỏ túi chương trình phổ thông (PTCS PTTH) Trong mà học sinh (ngày đông) sở hữu máy tính bỏ túi (trên bàn học) với hình (ngày lớn); thầy giáo có bảng đen , bục giảng, viên phấn dẻ lau bảng Môi trường làm việc ngøi thầy thay đổi từ 25 năm qua Điều đặt câu hỏi vai trò máy tính bỏ túi (bên cạnh công cụ khác) thể chế phổ thông Việt nam Chính vậy, phần thứ hai luận văn, phân tích có mặt của yếu tố tính toán tin học chương trình Toán PTCS PTTH Việt nam Cuối cùng, xây dựng công đoạn dạy học khái niệm giới hạn kết hợp máy tính bỏ túi Sự xây dựng công đoạn dựa phương pháp luận công nghệ didactique mà tìm thấy tài liệu tham khảo M Artigue (1988) Y.Chevallard (1982) Lời tựa: số yếu tố khái niệm đồ án didactic Tài liệu tham khảo: Artigue (1988) Chevallard (1982) Khái niệm đồ án didactic: Đồ án didactic tình giảng dạy soạn thảo nhà nghiên cứu, dạng công việc didactic tương tự công việc ngườiø kỹ sư: dựa tuân theo kiến khoa học lónh vực mình, để làm việc đối tượng thực tế phức tạp nhiều so với đối tượng túy khoa học Hai chức đồ án didactic: Đồ án didactic cho phép: - thực hành hệ thống giảng dạy, dựa phân tích didactic khởi đầu - kiểm chứng phần lý thuyết soạn thảo cách nghiên cứu thực hệ thống giảng dạy Các pha khác phương pháp luận đồ án didactic: Các phân tích khởi đầu: Chúng dựa trên: kết nghiên cứu lónh vực; phân tích khoa học luận tri thức nhắm đến; phân tích quan niệm chướng ngại học sinh; phân tích thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa) Xây dựng công đoạn dạy học phân tích tiên nghiệm tổ chức thu thập liệu Thực nghiệm tổ chức quan sát Phân tích hậu nghiệm hợp thức nội Sự hợp thức nội thực việc đối chiếu hai mô hình phân tích tiên nghiệm phân tích hậu nghiệm Giới thiệu luận văn: Chúng tiến hành nghiên cứu chủ đề: giảng dạy khái niệm giới hạn môi trường máy tính bỏ túi trường PTTH, dựa phương pháp luận đồ án didactic Luận văn gồm hai phần: Trong phần thứ (Phần I), thực nghiên cứu khởi đầu vấn đề dạy học khái niệm giới hạn trường THPT: - tổng hợp số kết nghiên cứu thực Pháp nhằm hiểu chướng ngại khoa học luận việc học khái niệm nhằm làm rõ quan niệm khoa học luận khái niệm Một số kết dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam - phân tích chương trình sách giáo khoa hai giai đoạn “cải cách giáo dục” giai đoạn “chỉnh lý hợp nhất” cách sử dụng công cụ lý thuyết nhân chủng học hợp đồng didatic Các kết phân tích thể chế hợp thức thực nghiệm thực cho học sinh lớp 12 Đặc biệt, phần thứ cho phép khẳng định vắng mặt quan điểm khoa học luận xấp xỉ khái niệm giới hạn, quan điểm cho phép hình thành khái niệm giới hạn theo nghóa “giải tích”, mối quan hệ nhân học sinh Trong Pháp, vấn đề giảng dạy Giải tích cấp độ THPT, chống cải cách toán học đại (1980 –1998) định hướng phải tổ chức giảng d liên tục vấn đề xấp xỉ hổ trợ có mặt máy tính bỏ túi Chính lý này, phần II, dự định xây dựng thực đồ án didactic mục tiêu dạy học giới thiệu quan điểm “xấp xỉ” khái niệm giới hạn môi trường máy tính bỏ túi Để thực hiện, xác định yếu tố tính toán tin học có mặt chương trình liên tiếp cấp II cấp III cho câu hỏi: số yếu tố tính toán máy tính bỏ túi đóng vai trò chiếm vị trí nào? vai trò vị trí máy tính bỏ túi tiến triển sao? Kế đến, dựa phân tích tiên nghiệm, xây dựng đồ án didactic khái niệm giới hạn hàm số, kết hợp máy tính bỏ túi Sau đó, thực nghiệm đồ án lớp 11 mà khái niệm giới hạn giảng dạy Cuối cùng, tiến hành phân tích hậu nghiệm từ kiện thu đối chiếu với phân tích tiên nghiệm PHẦN I I Tổng hợp công trình nghiên cứu didactique khái niệm giới hạn Chúng tổng hợp lại nghiên cứu lịch sử khoa học luận kết thực nghiệm CH Pháp khái niệm từ bốn công trình: Cornu (1983), Robert (1982), Trouche (1996) Bosch, Espinoza, Gascon (2002) I.1 Luận án Cornu (1983) Mục tiêu nghiên cứu nhằm hiểu rõ thực chất khó khăn việc lónh hội khái niệm giới hạn nhằm cải thiện việc dạy học khái niệm  Nghiên cứu lịch sử khái niệm giới hạn B.Cornu chứng minh xuất khái niệm giới hạn cách tất yếu gắn với trường nhiều khái niệm khác: khái niệm vô hạn (tính xác đáng việc sử dụng vô hạn toán học); đại lượng hình học (các diện tích thể tích …); khái niệm thời gian (giới hạn có đạt hay không?); khái niệm dãy, chuỗi; khái niệm hàm số, đạo hàm, giá trị lớn vá giá trị nhỏ nhất, tiếp tuyến; vất đề tính liên tục, tích phân; với: vận tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn chặn dùi, điểm tụ … Cornu nghiên cứu chướng ngại khoa học luận xuất phát triển suốt lịch sử khái niệm giới hạn: - “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hình học ngữ cảnh chuyển động học, “ đại lượng” quy phạm vi số mà khái niệm giới hạn hợp - Khía cạnh “siêu hình” khái niệm giới hạn: kiểu suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụngï Ở không dãy suy luận logic, mà suy luận tiến trình vô hạn - Khái niệm “vô bé” hay “vô lớn”: có tồn hay không đại lượng chưa không, chúng “gán được” ? có tồn hay không đại lượng “tan dần” mà cần qua “khoảnh khắc” chúng không? có phải số nhỏ tất lượng (dương) cho trước không? - Một giới hạn đạt tới hay không ? - Ngoài có chướng ngại khác: mô hình đơn điệu Một tổng vô hạn số hữu hạn Hai đại lïng tiến không mà tỷ số chúng lại tiến lượng hữa hạn”  Từ nghiên cứu lịch sử, Cornu xây dựng nhiều Test vấn đề cụm từ “tiến về” “giới hạn” nhằm quan sát “quan niệm tự nhiên1” học sinh Các test này, đề nghị cho học sinh chưa học khái niệm giới hạn, cho thấy đa dạng ý nghóa mà học sinh gán cho cụm từ đa dạng quan niệm gắn với khái niệm giới hạn : - Cụm từ “giới hạn” trước hết học sinh mang ý nghóa cố định: “giới hạn” đặt không gian thời gian; không phép vượt qua giới hạn Người ta khó mà tiếp cận giới hạn khó mà đạt “Giới hạn” chia cắt thành hai phần “cuối cùng” - Cụm từ “tiến về” nói chung mang nghóa “động” Các “quan niệm tự nhiên” quan niệm không xây dựng từ giảng dạy có tổ chức (Cornu, 1983) Theo Cornu, quan niệm tự nhiên để lại ảnh hưởng mạnh mẽ dai dẳng Chúng hòa lẫn với từ vựng toán học với khái niệm toán học hình thành nên quan niệm riêng học sinh  Sau nghiên cứu lịch sử quan niệm riêng học sinh, Cornu xây dựng công đoạn dạy học Công đoạn lồng vào tiến trình dạy học toán với mong muốn giúp học sinh vït qua chướng ngại học khái niệm giới hạn Những phân tích Cornu cho thấy rằng:  Các học sinh (ở Pháp) gặp phải ba chướng ngại khoa học luận: - Khía cạnh “siêu hình” khái niệm giới hạn: chắn số tồn ta tính nó? - Các vô bé vô lớn: có tồn hay số nhỏ, nhỏ số số “thất sự” nào, chưa không? - Một giới hạn đạt tới hay không? Chướng ngại khoa học luận quan trọng “sự chuyển đổi sang phạm vi số” không xuất học sinh ngày từ nhỏ học sinh có thói quen sử dụng số để giải toán “đại lượng” Những chướng ngại nguồn gốc khoa học luận: bất đẳng thức, điều kiện đủ, giá trị tuyệt đối, bước chuyển từ hội tụ đơn điệu sang hội tụ vv… Đâu quan niệm riêng học sinh ? I.2 Robert A.(1982) A Robert nêu ba kiểu mô hình2 khái niệm giới hạn, theo biểu quan niệm riêng học sinh, từ thực nghiệm sinh viên đại học khái niệm giới hạn dãy số:  Các mô hình “sơ khai” tương ứng với miêu tả không đầy đủ học sinh hội tụ: không tính đến số n Các dãy số hội tụ xem dãy số có số hạng vượt qua số (mô hình chắn)  Các mô hình “động” có tính đến số n biến thiên Các mô hình học sinh diễn tả động từ tiến triển không gian thời gian Ví dụ: n tăng , un dần số n tăng, khoảng cách từ un đến L nhỏ Trường hợp riêng mô hình “động” mô hình động “đơn điệu”: dãy số hội tụ dãy tăng dần đến giới hạn  Các mô hình “tónh” tương ứng với miêu tả hội tụ thể mối liên hệ  N: khoảng bé tùy ý chứa tất un kể từ số n hay kể từ số n tất số hạng dãy phải thuộc lân cận L nhỏ tùy ý Các mô hình “tiền tónh” mối liên hệ  N: với n đủ lớn, un chứa khoảng chứa L, hay gần với L I.3 Làm rõ ba “quan điểm khoa học luận”3 khái niệm giới hạn Được kể A Bessot cour Thạc só (2002) Quan điểm “chuyển động học”: “Chính biến số kéo hàm số” (Bkouche, 1996) “Nếu đại lượng biến x tiến giá trị a đại lượng (theo nghóa x nhận giá trị ngày gần giá trị a), đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y hàm số đại lượng x) tiến giá trị b Nếu x xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b” (Bkouche, 1996)  Quan điểm “xấp xỉ”: “Chính độ xấp xỉ mong muốn kéo biến số ”( Bkouche, 1996) Quan điểm minh họa xấp xỉ thập phân số a dãy số thập phân (an): “Định nghóa (, ) không khác hệ thống hoá khái niệm xấp xỉ này” (Bkouche, 1996) Đây quan điểm cho phép hình thành khái niệm giới hạn ổn định ngày Như vậy, có một đối lập quan điểm chuyển động học quan điểm xấp xỉ: “Nếu khái niệm chuyển động học, biến số kéo hàm số khái niệm xấp xỉ, độ xấp xỉ mong muốn quy định độ xấp xỉ biến” Tuy nhiên, Bkouche bổ sung thêm mối liên hệ hai quan điểm: “Nếu quan điểm này4 thực có ưu thế, giá trị hình thức tính hiệu chứng minh giải tích; nguy hiểm ta bỏ quan điểm chuyển động học phương tiện phạm vi trực quan mà người ta nghó khái niệm giới hạn”  Quan điểm “đại số” (thao tác): vận hành theo quy tắc, “không làm rõ chất đối tượng mà quan điểm đại số vận hành (Dahan-Dalmédico, 1982) Thật vậy, người ta thao tác định lý, sử dụng kết liên quan đến “giới hạn thông dụng”, không mang quan điểm chuyển động học xấp xỉ Quan điểm việc tính toán giới hạn  Ghi chú: Nếu đối chiếu ba quan điểm với mô hình diễn tả sinh viên, mô hình “động” tương ứng với quan điểm “chuyển động học”,ø mô hình “tónh” “tiền tónh” tương ứng với quan điểm “xấp xỉ” Khái niệm giới hạn giảng dạy phổ thông ? I.4 Bosch, Espinoza Gascon (2002) cung cấp phương pháp luận để phân tích chuyển đổi didactique khái niệm giới hạn hàm số thể chế phổ thông Tây Ban Nha Chúng tóm tắt bước phân tích vài kết quả:  Mô tả tổ chức toán học (TCTH) tham chiếu - Mô tả tổ chức toán học tham chiếu cho phép phân tích trở lại xây dựng TCTH chương trình thức SGK (ở liên quan đến khái niệm giới hạn hàm số) trình bày luận án L Trouche, 1996 quan điểm xấp xỉ Từ phân tích chương trình thức SGK, ta mô hình hoá hai TCTH địa phương tham chiếu xoay quanh giới hạn hàm số:  OM1, xoay quanh vấn đề đại số giới hạn, xuất phát từ việc giả sử tồn giới hạn hàm số đặt vấn đề xác định giá trị giới hạn hàm số quen thuộc Vấn đề xử lý qua kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn hàm số f(x) x->a, với a số thực hữu hạn vô cực; xác định giới hạn hàm số điểm hay vô cực Những kỹ thuật toán học gắn với kiểu nhiệm vụ dựa thực thao tác đại số biểu thức f(x) Công nghệ tối tiểu OM1 giải thích cho kỹ thuật miêu tả, chẳng hạn, hệ thống tiên đề Serge Lang Calculus (1986)5  OM2, xoay quanh chất topo khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến chất đối tượng “giới hạn hàm số” trả lời chủ yếu cho câu hỏi tồn giới hạn kiểu xác định hàm số Câu hỏi xử lý qua số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh tồn (hay không tồn tại) giới hạn hàm số f(x) x -> a, với a hữu hạn hay vô hạn; chứng minh tồn (hay không tồn tại) giới hạn biên khoảng cho số lớp xác định hàm số; chứng minh tính chất phép toán giá trị giới hạn hàm số, cách đặt biệt bao gồm chứng minh “các quy tắc tính toán” công nghệ tối tiểu OM1 Công nghệ tối tiểu OM2 (giải thích cho kỹ thuật toán học gắn với kiểu nhiệm vụ này) tập trung việc sử dụng tính chất giới hạn dãy số định nghóa cổ điển ngôn ngữ ,  Công nghệ đến lượt lại dựa lý thuyết số thực Vậy là, ta nói OM1 phần chứa OM2 Hai TCTH chứa đựng hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng số thực Hai TCTH địa phương kết hợp TCTH miền trả lời, chẳng hạn, cho câu hỏi khả vi số kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi khả tích  Người ta sử dụng cấu trúc mô tả TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng dạy cách xác định: - Những dấu vết OM1 thể chế dạy học - Những dấu vết OM2 thể chế dạy học Làm rõ TCTH thật giảng dạy xác định quy trình xây dựng (tri thức):  Nhận xét Việc giảng dạy khái niệm giới hạn đòi hỏi phải tính đến yếu tố khoa học luận (trường quan niệm, chương ngại khoa học luận quan niệm riêng học sinh Cần thiết phải nghiên cứu “trường sinh thái” khái niệm giới hạn thể chế Việt nam: Chúng nghiên cứu chương trình SGK hành (như phần sinh thái) để trả lời câu hỏi sau: Mỗi tiên đề biểu thị “quy tắc tính toán” Làm mà khái niệm giới hạn giảng dạy thể chế phổ thông Việt nam? (chúng sử dụng tổ chức toán học tham chiếu TCTH báo Bosch nhóm nghiên cứu (2002)) Quan điểm khoa học luận khái niệm giới hạn ngự trị thể chế phổ thông Việt nam? II Phân tích chương trình SGK Việt nam II.1 Phân tích tổ chức toán học Để trả lời cho câu hỏi “ khái niệm giới hạn giảng dạy thể chế trung học nào?”, phân tích chương trình6 SGK hành7: II.1.1 Cấu trúc chương trình cấu trúc SGK hành xoay quanh khái niệm giới hạn tương tự  Phần II bao gồm chương sau đây: - Chương III: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân - Chương IV nhan đề “giới hạn” : giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục - Chương V : hàm số mũ chương VI: hàm số logarit  Trong SGK , nhận thấy rằng: - Khái niệm dãy số định nghóa hàm số có tập xác định tập hợp số tự nhiên khác không - Khái niệm giới hạn dãy số định nghóa ngôn ngữ  N bảng kế hoạch chương trình “không sử dụng ngôn ngữ , ” - Khái niệm giới hạn hàm số định nghóa thông qua khái niệm giới hạn dãy số, sử dụng “ngôn ngữ giới hạn dãy số”  Các câu hỏi đặt ra: Tại định nghóa truyền thống ngôn ngữ (, N) sử dụng dự định chương trình tránh nó? Tại người ta chọn cách định nghóa khái niệm giới hạn hàm số qua khái niệm giới hạn dãy số? Đâu lý xuất lý chọn lựa nội dung toán khái niệm giới hạn SGK hành? Hai định hướng chương trình hành được Bộ Giáo dục Đào tạo phê duyệt: 1) Không thay đổi chương trình CCGD thể qua ba SGK Toán THPT 2) Giảm tải, nghóa giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược nội dung phức tạp xét thấy không cần thiết Để tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt trên, cố gắng xác định tiến triển nội dung toán học lý tiến triển thông qua việc so sánh với SGK chương trình CCGD (1989) Chương trình chỉnh lý hợp áp dụng từ năm 2000 Đại số Giải tích 11 nhóm tác giả Trần Văn Hạo – Cam Duy Lễ – Ngô Thúc Lanh- Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn, nhà xuất Giáo dục, 2001 Các số thập phân phương trình tạo thuận lợi cho chiến lược đại số với trợ giúp công cụ máy tính bỏ túi tính toán toán vật lý Chúng ta giả thiết đặt nhân tử chung đơn giản phương trình học sinh không yêu cầu tính giới hạn: là, đặt học sinh phạm vi vận hành quy tắc hành động RA3 Hoạt động Mục tiêu didactic: Tồn giá trị x cho f(x) nhận giá trị lân cận (cụ thể) cho trước Khái niệm lân cận Các chiến lược dự kiến để tìm giá trị x S1 Chiến lược đại số phương trình: Tìm x cách giải phương trình, ví dụ, f(x) =2,99 có (hay không có) giúp đỡ máy tính bỏ túi S2 Chiến lược đại số bất phương trình: Bằng cách giải bất đẳng thức, chẳng hạn, 2,99  f(x) < 3,01 S3 Chiến lược giải tích ngầm ẩn (với kiến thức ngầm ẩn tính liên tục tính đơn điệu): Chẳng hạn, lấy giá trị x (b; 0,2), xét xem f(x) có thỏa mãn yêu cầu hay không với (hay không cần) giúp đỡ máy tính bỏ túi Một số tiến trình dự kiến để tính giá trị x [S13]: Giải ba phương trình f(x) = m với m [2,99; 3) (hay (3; 3,01]) [S12-S3]: Giải hai phương trình để tìm x1 x2; sau lấy giá trị x (x1; x2) [S1- S32]:Giải phương trình để tìm x1 sau lấy x2, x3 (x1; 0,2) (hay (0,2; x1)) [S33]: Thực lần “thành công” chiến lược S3 [S2]: Cho khoảng giá trị x Biến didactic V1 Số lượng giá trị x cần tìm: n = 1, n =2, n =3 hay nhiều hay tất Với n = hay 2, học sinh sử dụng chiến lïc đại số S1 Với n lớn hay tất cả, khiến cho học sinh giải bất phương trình theo chiến lược S2 Việc lựa chọn n = cho phép tạo thuận lợi bước chuyển từ chiến lược đại số sang chiến lược giải tích ngầm ẩn Trong trường hợp chiến lược S2 tốn V2 Độ xấp xỉ f(x) - 3  : (trong trường hợp  = 0,01)   = 0,01 hay  = 0,0r (18) gây khoảng cách f(0,1 99  99 ) (resp f(0,1 99    n . 01 ) ) với “khá” nhỏ f(0,2 00  n n n Với máy tính bỏ túi (C1 vaø C2): –10-8 = 2,99999999 ; – 10-9 = 2,999999999 ; + 108 = 3,00000001 vaø + 109 = 3,000000001 Nhưng MTBT cho kết tính toán  10-10 ;  10-11 … Câu hỏi : Số máy tính bỏ túi có ý nghóa ? Kết máy tính bỏ túi tương ứng với 3 –10-10 ; +1010  Chúng ta luôn tìm cặp (x; f(x)) “tốt hơn” cặp số nhóm thắng : - Số thập phân 2,99…99 (tương ứng 3,00 01) gần số 2,99 9r (tu 3,00 0r) với r nguyên 0