Sự hội tụ nghiệm của hệ gradient bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ thực hiện, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng năm 2017 Học viên thực Trần Ngọc Quang Tạo LỜI CẢM ƠN Trong trình thực hồn thành luận văn này, tơi nhận quan tâm giúp đỡ lớn từ thầy cơ, gia đình bạn bè Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến: Thầy TS Nguyễn Thành Nhân, người hướng dẫn khoa học, tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Q Thầy Cơ khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu học trường Ban giám hiệu quý Thầy Cô Phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian qua Trong q trình thực luận văn, khó tránh khỏi sai sót hạn chế Vì thế, tơi mong nhận đóng góp q Thầy Cơ bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Học viên thực Trần Ngọc Quang Tạo MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Hệ gradient bậc hai Chương Kết hội tụ nghiệm số 10 2.1 Sự tồn tại, tính ổn định Lyapunov 13 2.2 Sự hội tụ nghiệm số 20 2.2.1 Trường hợp 𝜺 > 𝟎 20 2.2.2 Trường hợp bậc 𝜺 = 𝟎 29 Chương Một số ứng dụng 36 3.1 Dạng rời rạc phương trình truyền sóng 36 3.2 Dạng rời rạc phương trình Swift-Hohenberg 40 Kết luận… ……………………………………………………………………………42 Tài liệu tham khảo 43 CÁC KÝ HIỆU ℝ Tập hợp số thực ℝ𝑑 Không gian thực 𝑑 chiều với chuẩn Euclide ℝ+ Tập hợp số thực không âm 𝐶 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian hàm liên tục ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 𝐶 𝑛 (ℝ𝑑 , ℝ) Không gian hàm khả vi cấp 𝑛 liên tục ℝ𝑑 ⟶ ℝ 𝑘,𝛼 (ℝ𝑑 , ℝ) 𝐶𝑙𝑜𝑐 Không gian hàm ℝ𝑑 ⟶ ℝ khả vi cấp 𝑘 liên tục Holder với số mũ 𝛼 tập compact ℝ𝑑 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo khả tích tập compact ℝ𝑑 𝐿2 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian hàm 𝑓 ∶ ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo thỏa mãn ∫ℝ ‖𝑓 (𝑠)‖2 d𝑥 < ∞ + 𝑝( 𝐿 Ω) Không gian hàm 𝑓 đo thỏa mãn ∫Ω‖𝑓(𝑠)‖𝑝 dμ < ∞ 𝐿∞ (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo bị chặn hầu khắp nơi ℝ+ 2,1 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) 𝑊𝑙𝑜𝑐 Không gian hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 có đạo hàm riêng suy rộng đến cấp khả tích tập compact ℝ+ 𝐻1 (Ω) Không gian hàm thuộc 𝐿2 (Ω) có đạo hàm riêng suy rộng cấp thuộc 𝐿2 (Ω) 𝐻01 (Ω) Không gian hàm thuộc 𝐿2 (Ω) biên Ω có đạo hàm riêng suy rộng cấp thuộc 𝐿2 (Ω) MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng rộng rãi Các phương trình thường xây dựng từ mơ hình thực tế nên đơi phức tạp chưa tìm nghiệm giải tích Thay cho việc tìm nghiệm phương trình này, đánh giá định tính tồn cấu trúc nghiệm tính chất dáng điệu tiệm cận, ổn định nghiệm trở nên hữu ích Hiện tại, với phát triển khoa học máy tính, phần lớn phương trình giải cách hiệu phương pháp số Tuy nhiên, áp dụng phương pháp số, nghiệm số phương trình khơng cịn mang đầy đủ tính chất nghiệm giải tích Do đó, việc nghiên cứu tính chất lời giải số trở nên cần thiết Thuật toán áp dụng thuật tốn backward Euler Việc khảo sát nghiệm số thuật toán tin giúp thu tính chất cần thiết cho thuật toán phức tạp Mặt khác, hệ phương trình dạng gradient mang đặc trưng phương trình tiến hóa tiêu tán hàm lượng giảm dần theo thời gian Đặc trưng giúp ta biểu diễn nhiều phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng dạng hệ phương trình có dạng gradient tựa gradient Từ đó, việc khảo sát nghiệm số phương trình dạng gradient gần nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết thú vị Các kết hội tụ nghiệm giải tích nghiệm số cho hệ tựa gradient bậc tìm hiểu vài luận văn thạc sĩ khóa trước Tiếp nối chủ đề này, luận văn tập trung khảo sát kết sụ hội tụ nghiệm cho hệ gradient bậc hai Nội dung luận văn tập trung khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm số hệ gradient bậc hai dạng rời rạc, với số ứng dụng Các kết hội tụ toán liên tục tham khảo báo [1], [4], [8] Kết hội tụ cho toán rời rạc ứng dụng tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15] Luận văn trình bày theo ba chương Chương Hệ gradient bậc hai Giới thiệu khái niệm hệ gradient bậc hai kết hội tụ nghiệm giải tích Chương Kết hội tụ nghiệm số Trình bày số kết tồn tại, tính hội tụ nghiệm số cho hệ gradient dạng rời rạc Chương Một số ứng dụng Trình bày ứng dụng kết hội tụ cho hệ gradient dạng rời rạc phương trình truyền sóng phương trình SwiftHohenberg Chương Hệ gradient bậc hai Chúng ta gọi hệ gradient bậc hai ℝ𝑑 hệ có dạng 𝜀𝑈 ′′ (𝑡) + 𝑈 ′ (𝑡) + ∇𝐹(𝑈(𝑡)) = 𝐺 (𝑡), 𝑡 ≥ 0, (1.1) 1,1 (ℝ𝑑 , ℝ), với 𝜀 ≥ 0, 𝐺 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ), 𝑈 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑑 )𝑡 , 𝐹 ∈ 𝐶𝑙𝑜𝑐 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑡 ∇𝐹 = ( , ,…, ) 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢𝑑 Ta viết lại (1.1) thành hệ gradient bậc nhất: 𝑈 ′ (𝑡) = 𝑉(𝑡), { ′ 𝑡 ≥ 𝜀𝑉 (𝑡) = −𝑉(𝑡) − ∇𝐹(𝑈(𝑡)) + 𝐺 (𝑡), (1.2) Nếu 𝐹 hàm giải tích 𝐺 thỏa mãn: tồn 𝛿 > cho ∞ sup (𝑡 1+𝛿 ∫ ‖𝐺 (𝑠)‖2 ds) < ∞, 𝑡∈ℝ+ (1.3) 𝑡 Ta nghiệm bị chặn (1.1) hội tụ điểm tới hạn 𝐹 𝑡 tiến tới ∞ Nội dung chương chủ yếu tham khảo [1], [4], [8] Trước vào chứng minh, ta cần công cụ quan trọng bất đẳng thức Lojasiewicz mà phát biểu sau đây: Định nghĩa 1.0.1 Ta nói 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ) thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz điểm 𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 tồn số 𝜃 ∈ (0, ] , 𝛾 ≥ 𝜎 > cho ∀𝑈 ∈ ℝ𝑑 , ‖𝑈 − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎 ⇒ |𝐹 (𝑈) − 𝐹 (𝑈 ∗ )|1−𝜃 ≤ 𝛾‖∇𝐹 (𝑈)‖ (1.4) Số 𝜃 xuất định nghĩa gọi số mũ Lojasiewicz 𝑈 ∗ Nếu 𝐹 thỏa mãn (1.4) với số mũ 𝜃 ∈ (0, ] cách thay đổi số 𝛾 𝜎 cần, ta thấy 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz với số mũ 𝜃 ′ ∈ (0, 𝜃] Kết Lojasiewicz cịn nói 𝐹: ℝ𝑑 ⟶ ℝ hàm giải tích thực lân cận 𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz 𝑈 ∗ Ta định nghĩa tập 𝜔 − limit 𝑈 ∈ 𝐶0 (ℝ+ , ℝ𝑑 ): ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜔(𝑈) = {𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 : ∃𝑡𝑛 ⟶ ∞ cho 𝑈(𝑡𝑛 ) ⟶ 𝑈 ∗ } = ⋂ ⋃{𝑈(𝑡)}, 𝜏≥0 𝑡≥𝜏 đặt 𝒮 ≔ {𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 ∶ ∇𝐹 (𝑈 ∗ ) = 0} 2,1 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) nghiệm (1.1) với 𝜀 ≥ 0, giả sử Định lý 1.0.2 Cho 𝑈 ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 (1) 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ), (2) tập hợp {𝑈(𝑡): 𝑡 ≥ 0} bị chặn ℝ𝑑 , (3) tồn 𝑈 ∗ ∈ 𝜔(𝑈) cho 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz 𝑈 ∗ theo định nghĩa (1.4), với số mũ Lojasiewicz 𝜃, (4) 𝐺 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) thỏa mãn (1.3) với 𝛿 > Khi lim 𝑈(𝑡) = 𝑈 ∗ Hơn nữa, tồn số 𝐶 > cho với 𝑡 ≥ 0, ta có: 𝑡⟶∞ ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ ≤ 𝐶 (1 + 𝑡)−𝑎 , 𝑣ớ𝑖 𝑎 = { 𝜃 𝛿 , } − 2𝜃 Chứng minh Ta chứng minh hội tụ 𝜀 > cách tương tự chứng minh [10] Đặt 𝑉 = 𝑈 ′ ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ), (𝑈, 𝑉 ) thỏa mãn (1.2) Đặt: ∞ 𝜀 Φ0 (𝑡) = ‖𝑉(𝑡)‖ + 𝐹(𝑈(𝑡)) + 𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠)‖2 d𝑠, 𝑡 𝜇 ∈ (0,1) 𝐶𝜇 > 4𝜇 Khi ta có −Φ′ (𝑡) = −𝜀〈𝑉 (𝑡), 𝑉 ′ (𝑡)〉 − 〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝑈 ′ (𝑡)〉 + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 = −𝜀⟨𝑉 (𝑡), 𝑉 ′ (𝑡)⟩ − ⟨𝐺 (𝑡) − 𝜀𝑉 ′ (𝑡) − 𝑉 (𝑡), 𝑉(𝑡)⟩ + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 = ‖𝑉(𝑡)‖2 − 〈𝐺 (𝑡), 𝑉 (𝑡)〉 + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 ≥ (1 − 𝜇)‖𝑉(𝑡)‖2 + (𝐶𝜇 − ) ‖𝐺 (𝑡)‖2 ≥ 4𝜇 (1.5) 30 Khi 𝜀 = 0, thuật toán (2.1) trở thành 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 + ∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) = 𝐺 𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 0, Δ𝑡 (2.37) (𝐺 𝑛+1 )𝑛∈ℕ dãy ℝ𝑑 Ta giả sử 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ), 𝐹 không thiết phải hàm tiền lồi Dãy (𝐺 𝑛+1 )𝑛∈ℕ ℝ𝑑 thỏa mãn điều kiện (2.5) (2.6) Sự tồn nghiệm (2.37) cách chọn ‖𝑊 − 𝑈 𝑛 ‖2 𝑈 𝑛+1 ∈ argmin { + 𝐹 (𝑊 ) − ⟨𝐺 𝑛+1 , 𝑊 − 𝑈 𝑛 ⟩ ∶ 𝑊 ∈ ℝ𝑑 } 2Δ𝑡 (2.38) Tập khơng rỗng ví dụ infℝ𝑑 𝐹 > −∞ Ta sử dụng (2.38) làm định nghĩa thuật toán backward Euler cho hệ gradient tiến hóa tiêu tán Về tính nhất, để ý kết chứng minh mệnh đề 2.1.2 trường hợp 𝜀 = Ta có kết tính ổn định: Mệnh đề 2.2.4 (ổn định Lyapunov) Nếu (𝑈 𝑛 )𝑛 thỏa mãn (2.38) 𝜇 ∈ (0,1), 𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) + − 𝜇 𝑛+1 Δ𝑡 𝑛+1 ‖𝑈 ‖𝐺 ‖ , − 𝑈 𝑛 ‖2 ≤ 𝐹 (𝑈 𝑛 ) + 2Δ𝑡 2𝜇 (2.39) với 𝑛 ≥ Chứng minh Với 𝑛 ∈ ℕ Do định nghĩa (2.38), ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 + 𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) ≤ 𝐹 (𝑈 𝑛 ) + ⟨𝐺 𝑛+1 , 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ⟩ 2Δ𝑡 (2.40) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ⟨𝐺 𝑛+1 , 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ⟩ ≤ Δ𝑡 𝑛+1 𝜇 ‖𝐺 ‖ + ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 2𝜇 2Δ𝑡 Từ bất đẳng thức (2.40), ta (2.39) Từ ổn định Lyapunov ta có hệ quả: ■ 31 Hệ 2.2.5 Giả sử (𝐺 𝑛+1 )𝑛 thỏa mãn (2.5) Nếu (𝑈 𝑛 )𝑛 dãy bị chặn thỏa mãn (2.38), 𝜔((𝑈 𝑛 )𝑛 ) tập compact liên thông khác rỗng 𝒮, 𝑑(𝑈 𝑘 , 𝜔((𝑈 𝑛 )𝑛 )) ⟶ 𝑘 ⟶ ∞ Nhắc lại (tương tự trường hợp bậc hai) tập hợp 𝜔((𝑈 𝑛 )𝑛 ) định nghĩa theo (2.9) tập hợp 𝒮 định nghĩa theo (2.10) Chứng minh Với 𝜇 ∈ (0,1) Từ (2.39), phép quy nạp ta 𝑛−1 𝑛−1 1−𝜇 Δ𝑡 𝐹 (𝑈 𝑛 ) + ∑‖𝑈 𝑘+1 − 𝑈 𝑘 ‖2 ≤ 𝐹 (𝑈 ) + ∑‖𝐺 𝑘+1 ‖2 , ∀𝑛 ≥ 2Δ𝑡 2𝜇 𝑘=0 (2.41) 𝑘=0 𝑛+1 Từ đánh giá trên, (2.5) (𝑈 𝑛 )𝑛 bị chặn, ta ∑∞ − 𝑈 𝑛 ‖2 < ∞, 𝑛=0‖𝑈 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ⟶ 𝑛 ⟶ ∞ Phần lại chứng minh tương tự hệ ■ 2.1.5 Tương tự chứng minh hệ 2.1.7, ta có: 𝑛+1 ‖ Hệ 2.2.6 Nếu 𝑑 = ∑∞ < ∞, giả thiết hệ 2.2.5, tồn 𝑛=0‖𝐺 𝑈 ∗ ∈ 𝒮 cho 𝑈 𝑛 ⟶ 𝑈 ∗ Đối với trường hợp bậc một, hội tụ điểm cân phát biểu định lý sau: Định lý 2.2.7 Với (𝑈 𝑛 )𝑛∈ℕ dãy ℝ𝑑 thỏa mãn (2.38), giả thiết (1) 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ), (2) (𝑈 𝑛 )𝑛∈ℕ bị chặn, (3) tồn 𝑈 ∗ ∈ 𝜔((𝑈 𝑛 )𝑛 ) cho 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz điểm 𝑈 ∗ (định nghĩa 1.0.1), với số mũ Lojasiewicz 𝜃, (4) tồn số 𝛿 > cho (𝐺 𝑛+1 )𝑛∈ℕ thỏa mãn (2.6) Khi lim 𝑈 𝑛 = 𝑈 ∗ Hơn nữa, tồn số 𝐶 cho với 𝑛 > 0, 𝑛→∞ ‖𝑈 𝑛 − 𝑈 ∗ ‖ ≤ 𝐶𝑛−𝛼 , 𝛼 = { Chứng minh Ta đặt, với 𝑛 ≥ 0, 𝜃 𝛿 , } − 2𝜃 (2.42) 32 ∞ Φ𝑛 ≔ 𝐹 (𝑈 𝑛 ) − 𝐹 (𝑈 ∗ ) + 𝐶1/2 Δ𝑡 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 , 𝑘=𝑛 𝐶1/2 > 1 Với 𝑛 ∈ ℕ Bằng cách thay 𝜇 = (2.39), ta Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ≥ ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 + (𝐶1/2 − 1)Δ𝑡‖𝐺 𝑛+1 ‖2 4Δ𝑡 Từ bất đẳng thức (2.37), ta thấy ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ≥ ( + 𝐶1/2 − 1) Δ𝑡 +(𝐶1/2 − 1)Δ𝑡‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖2 −2(𝐶1/2 − 1)⟨𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 , ∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )⟩ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ≥ ( + (𝐶1/2 − 1)(1 − 𝛽 )) Δ𝑡 + ((𝐶1/2 − 1) (1 − )) Δ𝑡‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖2 , 𝛽 với 𝛽 > Nếu 𝛽 − > đủ nhỏ, ta có ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ≥ 𝛽∗ ( + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖) , Δ𝑡 Δ𝑡 (2.43) với 𝛽 ∗ > số phụ thuộc vào 𝐶1/2 Do đó, (Φ𝑛 )𝑛 dãy khơng tăng; cách chọn dãy số 𝑛𝑘 ⟶ ∞ cho 𝑈 𝑛𝑘 ⟶ 𝑈 ∗ , ta thấy Φ𝑛𝑘 ⟶ 0, Φ𝑛 ≥ với 𝑛 ≥ Khơng tính tổng qt, cách thay đổi số 𝜃, 𝛿 𝛾 bất đẳng thức Lojasiewicz (định nghĩa 1.0.1) cần thiết, ta giả sử 𝛿≥ 2𝜃 = 2𝛼 − 2𝜃 Bây với 𝑛 ∈ ℕ cho ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ < 𝜎 Φ𝑛 ≤ Nếu 33 1−𝜃 ∞ ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖ ≤ 𝛾 −1 (𝐶1/2 Δ𝑡 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 ) Δ𝑡 , (2.44) 𝑘=𝑛+1 (2.6), ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ ≤ 𝐶9 𝑛−(1+𝛿)(1−𝜃) , (2.45) với 𝐶9 số Nếu ngược lại, ta có 1−𝜃 ∞ ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖ > 𝛾 −1 (𝐶1/2 Δ𝑡 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 ) Δ𝑡 , (2.46) 𝑘=𝑛+1 ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Φ𝑛+1 ≤ Φ𝑛 , (2.43), 1 Δ𝑡 ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ ≤ ( ∗ ) (Φ𝑛 − Φ𝑛+1 )2 𝛽 ≤ 𝐶10 [(Φ𝑛 )𝜃 − (Φ𝑛+1 )𝜃 ], (2.47) với 𝐶10 > số Trường hợp 2: Φ𝑛+1 > Φ𝑛 , tương tự (2.28), ta có (Φ𝑛 )𝜃 − (Φ𝑛+1 )𝜃 ≥ 𝜃2𝜃−1 (Φ𝑛+1 )𝜃−1 (Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ) (2.48) Mặt khác, bất đẳng thức Lojasiewicz (2.46), ta ∞ 1−𝜃 (Φ𝑛+1 )1−𝜃 ≤ |𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) − 𝐹 (𝑈 ∗ )|1−𝜃 + (𝐶1/2 Δ𝑡 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 ) 𝑘=𝑛+1 ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ ≤ 2𝛾 ( + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖) Δ𝑡 (2.49) Do đó, từ (2.43), (2.48) (2.49), ta có ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖ ≤ 𝐶11 [(Φ𝑛 )𝜃 − (Φ𝑛+1 )𝜃 ] Δ𝑡 (2.50) Vậy kết hợp (2.45), (2.47) (2.50), với 𝑛 ≥ cho ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ < 𝜎, ta có 34 ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ ≤ 𝐶9 𝑛−(1+𝛿)(1−𝜃) + 𝐶12 [(Φ𝑛 )𝜃 − (Φ𝑛+1 )𝜃 ] (2.51) Từ đánh giá trên, cách làm tương tự định lý 2.2.2, ta có với 𝑛0 đủ lớn, 𝑛+1 ∑∞ − 𝑈 𝑛 ‖ < ∞ Do (𝑈 𝑛 )𝑛 hội tụ 𝑈 ∗ 𝑛=𝑛0 ‖𝑈 Ta chứng minh tốc độ hội tụ (2.42), chọn 𝑛0 ∈ ℕ∗ đủ lớn cho ≤ Φ𝑛0 ≤ ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 , ta đặt 𝐽1 = {𝑛 ≥ 𝑛0 ∶ (2.44) đúng} 𝐽2 = {𝑛 ≥ 𝑛0 ∶ (2.46) đúng} Chú ý 𝐽1 𝐽2 rời 𝐽1 ∪ 𝐽2 = {𝑛 ≥ 𝑛0 } Với 𝑛 ∈ 𝐽1 , đánh giá (2.45) Làm tương tự chứng minh định lý 2.2.2, ta có, với 𝑛 ∈ 𝐽2 , (Φ𝑛+1 )−1+2𝜃 − (Φ𝑛 )−1+2𝜃 ≥ 𝐶13 , với 𝐶13 > số ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ ≤ 𝐶12 ((Φ𝑛 )𝜃 − (Φ𝑛+1 )𝜃 ) Áp dụng đánh giá trên, xét ba trường hợp tương tự định lý 2.2.2, ta ■ tốc độ hội tụ (2.42) Định lý chứng minh Nhận xét 2.2.8 Chứng minh định lý 2.2.7 cho thấy rằng, ta thay giả thiết (2.38) (2.37) với đánh giá (2.40) Điều giúp ta kiểm tra dễ dàng tính tốn thực tế Chứng minh định lý 2.2.2 𝜀 = Với 𝜇 > đủ nhỏ cho − 𝑐𝑓 Δ𝑡 > 𝜇 Theo định lý 2.1.3, ta có 𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) + (1 − ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 𝑐𝐹 Δ𝑡 Δ𝑡 𝑛+1 ‖𝐺 ‖ , ∀𝑛 ≥ − 𝜇) ≤ 𝐹 (𝑈 𝑛 ) + Δ𝑡 4𝜇 Ta đặt, với 𝑛 ≥ 0, ∞ Φ𝑛 ≔ 𝐹 (𝑈 𝑛 ) − 𝐹 (𝑈 ∗ ) + 𝐶𝜇 Δ𝑡 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 , 𝑘=𝑛 𝐶𝜇 > 4𝜇 Với 𝑛 ∈ ℕ, (2.52), ta có (2.52) 35 𝑛 Φ −Φ 𝑛+1 ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 𝑐𝐹 Δ𝑡 ≥ (1 − − 𝜇) + (𝐶𝜇 − ) Δ𝑡‖𝐺 𝑛+1 ‖2 Δ𝑡 4𝜇 Từ bất đẳng thức trên, (2.37) bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ≥ (1 − ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖2 𝑐𝐹 Δ𝑡 − 𝜇 + (𝐶𝜇 − ) (1 − 𝛽)) 4𝜇 Δ𝑡 + (𝐶𝜇 − 1 ) (1 − ) Δ𝑡‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖2 , 4𝜇 𝛽 với 𝛽 > Với 𝛽 − đủ nhỏ ta có ‖𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ‖ Φ𝑛 − Φ𝑛+1 ∗ ≥𝛽 ( + ‖∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 )‖) , Δ𝑡 Δ𝑡 với 𝛽 ∗ > đủ nhỏ Phần lại chứng minh tương tự định lý 2.2.7 ■ Nhận xét 2.2.9 Ở định lý 2.2.2 trường hợp 𝜀 = 0, ta cần giả thiết 1,1 (ℝ𝑑 , ℝ) Giả thiết 𝐹 yếu ta 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ) thay 𝐹 ∈ 𝐶𝑙𝑜𝑐 định nghĩa bất đẳng thức Lojasiewicz cách thích hợp 36 Chương Một số ứng dụng 3.1 Dạng rời rạc phương trình truyền sóng Ta xét hệ tiến hóa tiêu tán với hàm phi tuyến tính phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt 𝜀𝑢𝑡𝑡 + 𝑢𝑡 − Δ𝑢 + 𝑓 ′ (𝑢) = 𝑔(𝑡), 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 > 0, (3.1) với Ω miền bị chặn ℝ𝑁 với biên Lipschitz, 𝜀 ≥ 𝑔 ∈ 𝐿2 (ℝ+ , 𝐿2 (Ω)) thỏa mãn ∞ sup 𝑡 1+𝛿 ∫ ‖𝑔(𝑠)‖2𝐿2(Ω) d𝑠 < ∞, 𝑡∈ℝ+ (3.2) 𝑡 với 𝛿 > số Phương trình (3.1) kèm theo điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên Neumann Với 𝑉 = 𝐻01 (Ω) trường hợp 𝑉 = 𝐻1 (Ω) trường hợp thứ hai Ta giả sử hàm phi tuyến tính 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ hàm giải tích thực thỏa mãn lim inf |𝑠|⟶∞ 𝑓 (𝑠) 𝜆1 > − , 𝑠2 (3.3) 𝑓 ′′ (𝑠) ≥ −𝑐𝑓′′ , (3.4) 𝑐𝑓′′ > 𝜆1 ≔ Chú ý inf 𝑤∈𝑉,‖𝑤|𝐿2 (Ω) =1 𝑉 = 𝐻01 (Ω) (∇w, ∇w) 𝜆1 > 0, (3.5) 𝑉 = 𝐻1 (Ω) 𝜆1 = ̅ ) Không gian Với 𝑉 ℎ không gian hữu hạn chiều 𝑉 cho 𝑉 ℎ ⊂ 𝑉 ∩ 𝐶 (Ω 𝑉 ℎ thường không gian dạng 𝑃𝑘 𝑄 𝑘 hữu hạn chiều Ta có tốn phần tử hữu hạn (3.1): với (𝑢ℎ,0 , 𝑣 ℎ,0 ) ∈ 𝑉 ℎ × 𝑉 ℎ , tìm 𝑢ℎ ∶ ℝ+ ⟶ 𝑉 ℎ thỏa mãn 37 ℎ 𝜀 (𝑢𝑡𝑡 , 𝜑) + (𝑢𝑡ℎ , 𝜑) + (∇uh , ∇𝜑) + (𝑓 ′ (𝑢ℎ ), 𝜑) = (𝑔, 𝜑), ∀𝜑 ∈ 𝑉 ℎ , ∀𝑡 ≥ 0, (3.6) 𝑢ℎ (0) = 𝑢ℎ,0 , 𝑢𝑡ℎ (0) = 𝑣 ℎ,0 (3.7) Ở đây, ( , ) kí hiệu cho tích vơ hướng 𝐿2 (Ω) Như thấy phần tiếp theo, dạng ma trận (3.6) hệ phương trình vi phân thường có dạng (1.1) Kết Chill Jendoubi (tham khảo [4] ) khẳng định tồn 𝑢ℎ,∞ ∈ 𝑉 ℎ cho 𝑢 ℎ (𝑡) ⟶ 𝑢ℎ,∞ 𝑡 ⟶ ∞ (nếu 𝑓 thỏa mãn thêm số điều kiện thích hợp, kết cịn cho phương trình (3.1) với số chiều vơ hạn) Ta xét thuật tốn backward Euler dành cho (3.6): với 𝑢ℎ,0 , 𝑣 ℎ,0 ∈ 𝑉 ℎ với 𝑛 ≥ 1, 𝑢ℎ,𝑛+1 thỏa 𝑢ℎ,𝑛+1 − 2𝑢ℎ,𝑛 + 𝑢ℎ,𝑛−1 𝑢ℎ,𝑛+1 − 𝑢ℎ,𝑛 𝜀( , 𝜑) + ( , 𝜑) 𝛿𝑡 𝛿𝑡 +(∇𝑢 ℎ,𝑛+1 ′ ( ℎ,𝑛+1 ) , ∇φ) + (𝑓 𝑢 , 𝜑) = 𝛿𝑡 𝑡𝑛+1 (∫ 𝑔(𝑡)d𝑡 , 𝜑), 𝑡𝑛 (3.8) với 𝜑 ∈ 𝑉 ℎ , 𝛿𝑡 > bước thời gian 𝑡𝑗 = 𝑗𝛿𝑡, (𝑗 = 0, 1, … ) Áp dụng định lý 2.2.2, ta có Định lý 3.1.1 Giả sử giả thiết nêu thỏa mãn, 𝜀 ≥ 0, 𝑓 hàm giải tích thực thỏa mãn (3.3)-(3.4), 𝑔 thỏa (3.2) Nếu (𝑢ℎ,𝑛 )𝑛∈ℕ dãy 𝑉 ℎ thỏa mãn (3.8), 𝛿𝑡 > cho 𝛿𝑡 > 𝑐𝑓′′ −𝜆1 , tồn 𝑢ℎ,∞ ∈ 𝑉 ℎ cho lim 𝑢ℎ,𝑛 = 𝑢ℎ,∞ 𝑛→∞ (∇𝑢ℎ,∞ , ∇𝜑) + (𝑓 ′ (𝑢ℎ,∞ ), 𝜑) = 0, ∀𝜑 ∈ 𝑉 ℎ (3.9) Chứng minh Gọi (𝑒𝑖ℎ )_(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 ℎ hệ sở trực giao 𝑉 ℎ với tích vơ hướng ℎ ( , ) 𝐿2 (Ω) Đặt 𝐹 ℎ ∶ ℝ𝑁 ⟶ ℝ định 𝑁ℎ 𝑡 ℎ 𝐹 ℎ (𝑊 ) = (𝑓 (∑ 𝑤𝑖 𝑒𝑖ℎ ) , 1), ∀𝑊 = (𝑤1 , … , 𝑤𝑁ℎ ) ∈ ℝ𝑁 , 𝑖=1 (3.10) 38 𝑁ℎ ∇𝐹 ℎ (𝑊 ) = ((𝑓 ′ (∑ 𝑤𝑖 𝑒𝑖ℎ ) , 𝑒𝑗ℎ )) 𝑖=1 𝑡 ℎ ℎ ∈ ℝ𝑁 , ∀𝑊 = (𝑤1 , … , 𝑤𝑁ℎ ) ∈ ℝ𝑁 1≤𝑗≤𝑁ℎ ℎ ℎ Bằng cách tìm 𝑢ℎ (𝑡) = ∑𝑁 𝑖=1 𝑢𝑖 (𝑡 )𝑒𝑖 đặt 𝑡 𝐴ℎ = ((∇𝑒𝑖ℎ , ∇𝑒𝑗ℎ )) 1≤𝑖,𝑗≤𝑁ℎ , 𝑈 = (𝑢1 , … , 𝑢𝑁ℎ ) , 𝐺 (𝑡) = ((𝑔(𝑡), 𝑒𝑖ℎ ))1≤𝑖≤𝑁ℎ , (3.11) ta có dạng ma trận (3.6) 𝜀𝑈𝑡𝑡 (𝑡) + 𝑈𝑡 (𝑡) + 𝐴ℎ 𝑈(𝑡) + ∇𝐹 ℎ (𝑈(𝑡)) = 𝐺 (𝑡), 𝑡 ≥ (3.12) Đây hệ gradient bậc hai có dạng (1.1) với (3.13) 𝐹 (𝑊 ) ≔ ⟨𝐴ℎ 𝑊, 𝑊 ⟩ + 𝐹 ℎ (𝑊 ) ̅ ) nên hàm 𝐹 ℎ định nghĩa (3.10) Do 𝑓 hàm giải tích thực 𝑉 ℎ ⊂ 𝐶 (Ω hàm giải tích thực; 𝐹 (𝑊 ), định nghĩa (3.13), hàm giải tích thực biến (𝑤1 , … , 𝑤𝑁ℎ ), 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz (1.4) điểm ℎ 𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑁 Hơn ta có ‖𝐺 (𝑡)‖2 ≤ ‖𝑔(𝑡)‖2 , ∀𝑡 ≥ 0, theo (3.2), ta thấy 𝐺 thỏa mãn (1.3) Suy dãy (𝐺 𝑛+1 )𝑛 định nghĩa theo công thức 𝐺 𝑛+1 ≔ ( 𝑡𝑛+1 (∫ 𝑔(𝑡)d𝑡 , 𝑒𝑖ℎ )) 𝛿𝑡 𝑡𝑛 , ∀𝑛 ≥ 0, 1≤𝑖≤𝑁ℎ thỏa mãn (2.6) ℎ ℎ ̅ ≃𝑤 Với 𝑊 ≃ 𝑤 ℎ ∈ ℝ𝑁 , 𝑊 ̅ ℎ ∈ ℝ𝑁 , (3.4) (3.5), ta có ̅ ), 𝑊 − 𝑊 ̅ ⟩ = (∇(𝑤 ℎ − 𝑤 ⟨∇𝐹 (𝑊 ) − ∇𝐹 (𝑊 ̅ ℎ ), ∇(𝑤 ℎ − 𝑤 ̅ ℎ )) +(𝑓 ′ (𝑤 ℎ ) − 𝑓 ′ (𝑤 ̅ ℎ ), 𝑤 ℎ − 𝑤 ̅ ℎ) ≥ (𝜆1 − 𝑐𝑓′′ )‖𝑤 ℎ − 𝑤 ̅ ℎ ‖2𝐿2(Ω) Do 𝐹 thỏa mãn (2.3) với 𝑐𝐹 = max {𝑐𝑓′′ − 𝜆1 , 0} Hơn (3.3), ta có 39 𝑓 (𝑠) ≥ − 𝐾1 𝑠 − 𝐾2 , ∀𝑠 ∈ ℝ, ℎ với 𝐾1 , 𝐾2 số thỏa 𝐾1 < 𝜆1 𝐾 ≥ 0, với 𝑊 ≃ 𝑤 ℎ ∈ ℝ𝑁 , 𝐹 (𝑊 ) = (∇w h , ∇w h ) + (𝑓 (𝑤 ℎ ), 1) 𝜆1 𝐾1 ‖𝑤 ℎ ‖𝐿2(Ω) − ‖𝑤 ℎ ‖2𝐿2 (Ω) − 𝐾2 |Ω| 2 𝜆1 − 𝐾1 ‖𝑊 ‖2 − 𝐾2 |Ω| ≥ ≥ Vậy (3.14) lim 𝐹 (𝑊 ) = ∞ hay 𝐹 thỏa mãn điều kiện cưỡng Các điều kiện (1)-(5) ‖𝑊‖⟶∞ định lý 2.2.2 thỏa mãn nên tồn 𝑢ℎ,∞ ∈ 𝑉 ℎ cho 𝑢ℎ,𝑛 ⟶ 𝑢ℎ,∞ Bằng ■ cách cho (3.8) qua giới hạn ta (3.9) Nhận xét 3.1.2 Ví dụ điển hình 𝑓 hàm vị 𝑓 (𝑠) = (𝑠 −𝜆) (với 𝜆 > 0) Trong trường hợp này, Ω = 𝐵 cầu ℝ2 , với điều kiện biên Dirichlet, nghiệm ổn định toán (3.1) thỏa mãn Δ𝑢 = 𝑢3 − 𝜆𝑢 𝐵, (3.15) 𝑢 = 𝛿𝐵 (3.16) Nếu 𝜆 > 𝜆1 , tốn (3.15)-(3.16) có nghiệm trơn khơng tầm thường kì dị (tham khảo [9] ) Do tính biến đổi bất biến tốn, từ nghiệm ta xây dựng loạt nghiệm Nếu xét dạng rời rạc toán, ví dụ (3.9), với Ω đa giác xấp xỉ 𝐵, ta có số lượng lớn nghiệm, hội tụ điểm cân không rõ ràng Đó lí để ta giả sử nghiệm (3.9) cô lập, việc kiểm tra giả thiết bất khả thi Định lý 3.1.1 đảm bảo việc hội tụ điểm cân mà khơng cần hiểu biết cấu trúc nghiệm (3.9) Nhận xét 3.1.3 Trong định lý 3.1.1, 𝛿𝑡 phụ thuộc vào 𝜆1 ≥ 𝑐𝑓′′ Cụ thể, 𝛿𝑡 không phụ thuộc vào lưới ℎ (hay 𝑉 ℎ ) không phụ thuộc vào 𝜀 40 3.2 Dạng rời rạc phương trình Swift-Hohenberg Ta xét phương trình Swift-Hohenberg sửa đổi 𝜀𝑢𝑡𝑡 + 𝑢𝑡 + (𝐼 + Δ)2 𝑢 + 𝑓 ′ (𝑢 ) = 𝑔(𝑡), 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ≥ 0, (3.17) Ω miền bị chặn ℝ𝑁 với biên Lipschitz, 𝜀 ≥ 𝑔 thỏa mãn (3.2) Ta giả sử thêm điều kiện biên Neumann điều kiện biên tuần hoàn, 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ hàm giải tích thỏa mãn (3.3)-(3.4) (với 𝜆1 = 0) Đối với phương trình (3.1), ta biết tính chất nghiệm liên tục: kết liên quan đến tồn nghiệm, hội tụ điểm cân chứng minh với giả thiết hàm phi tuyến (tham khảo [4] , [14], [15]) Ngược lại, nghiên cứu phương trình (3.17) thiếu thốn, kết tương tự đưa ra, chí cịn dễ dàng Trong trường hợp đặc biệt 𝜀 = 0, kết liên quan hội tụ điểm cân chứng minh [10] với vài giả thiết thích hợp hàm 𝑔 Thêm nữa, trường hợp 𝑔 = 0, tồn nghiệm không tầm thường [3] Trong trường hợp 𝜀 = 0, (3.17) phương trình Swift-Hohenberg Nó hệ 𝐿2 (Ω)-gradient hàm ℇ(𝑢) ≔ ∫ [ (Δ𝑢 + 𝑢2 )2 + 𝑓(𝑢)] d𝑥 , Ω với ví dụ điển hình hàm 𝑓 hàm vị 𝑓(𝑠) = (𝑠 −𝑟) (với 𝑟 > 0) Hàm số Elder Grant sử dụng để biểu diễn trình chuyển tiếp chất lỏng-rắn (tham khảo [5], [6]) Từ đó, Galenko thêm 𝜀𝑢𝑡𝑡 vào phương trình (3.17) để mở rộng ứng dụng mơ hình Bài toán phần tử hữu hạn (3.17) cho ta hệ (tương tự (3.12)): 𝜀𝑈𝑡𝑡 (𝑡) + 𝑈𝑡 (𝑡) + (𝐼 − 𝐴ℎ )2 𝑈(𝑡) + ∇𝐹 ℎ (𝑈(𝑡)) = 𝐺 (𝑡), 𝑡 ≥ 0, với 𝐹 ℎ định nghĩa (3.10) 𝐺 định nghĩa (3.11) Hàm (3.18) 41 𝐹 (𝑊 ) = ⟨(𝐼 − 𝐴ℎ )𝑊, (𝐼 − 𝐴ℎ )𝑊 ⟩ + 𝐹 ℎ (𝑊 ) thỏa mãn (2.3) với 𝑐𝐹 = 𝑐𝑓′′ Hơn 𝐹 thỏa mãn điều kiện cưỡng (3.14) Do đó, bước thời gian 𝛿𝑡 > thỏa mãn 𝛿𝑡 > 𝑐𝑓′′ , nghiệm (𝑈 𝑛 )𝑛 thuật tốn backward Euler hệ (3.18) hội tụ điểm cân 𝑛 tiến tới ∞ Nhận xét 3.2.1 Dạng sai phân hữu hạn (3.17) (hoặc (3.1)) dẫn tới hệ tương tự (3.18) (hoặc (3.6)) ta có kết luận tương tự 42 Kết luận Luận văn trình bày kết hội tụ nghiệm giải tích hệ gradient bậc hai có nghiệm bị chặn với 𝐹 hàm giải tích, tốc độ hội tụ nghiệm xác định phụ thuộc vào hàm 𝐹 𝐺 Luận văn khẳng định tồn nghiệm thuật toán backward Euler dành cho hệ gradient bậc hai hàm 𝐹 thỏa mãn điều kiện hàm tiền lồi inf 𝐹 > −∞ bước thời gian đủ nhỏ Luận văn kết hội tụ 𝑑 ℝ nghiệm giải tích cịn nghiệm số Hơn nữa, trường hợp đặc biệt 1,1 (ℝ𝑑 , ℝ) mà đảm 𝜀 = 0, ta cần giả thiết hàm 𝐹 ∈ 𝐶 (ℝ𝑑 , ℝ) thay 𝐹 ∈ 𝐶𝑙𝑜𝑐 bảo hội tụ nghiệm số Các kết sử dụng để khẳng định hội tụ nghiệm số phương pháp phần tử hữu hạn dạng rời rạc phương trình truyền sóng dạng rời rạc phương trình Swift-Hohenberg với điều kiện qn tính 43 Tài liệu tham khảo H Attouch and J Bolte (2009), "On the convergence of the proximal algorithm for nonsmooth functions involving analytic features", Math Program., 116, pp 5-16 H Brezis (1973), Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Publishing Co., Amsterdam J V Chaparova, L A Peletier and S A Tersian (2003), "Existence and nonexistence of nontrivial solutions of semilinear fourth- and sixth-order differential equations", Adv Differential Equations, 8, pp 1237-1258 R Chill and M A Jendoubi (2003), "Convergence to steady states in asymptotically autonomous semilinear evolution equations", Nonliear Anal., 53, pp 1017-1039 K R Elder and M Grant (2004), "Modeling elastic and plastic deformations in nonequilibrium processing using phase field crystals, Phys Rev E, 70 K R Elder, N Provatas, J Berry, Stefanovic and M Grant (2007), "Phase-field crystal modeling and classical density functional theory of freezing", Phys Rev B, 75 P Galenko, D Danilov and V Lebedev (2009), "Phase-field-crystal and SwiftHohenberg equations with fast dynamics", Phys Rev E, 79 M Grasselli and M Pierre (2012), "Convergence to equilibrium of solution of the backward Euler scheme for asymptotically autonomous second-order gradient-like systems", Commun Pure Appl Anal., 11(6) A Haraux (1991), Systèmes dynamiques dissipatifs et applications, Masson, Paris 10 A Haraux and M A Jendoubi (1998), "Convergence of solutions of second-order gradient-like systems with analytic nonlinearities", J Differential Equations, 144, pp 313-320 44 11 P.-E Maingé (2009), "Asymptotic convergence of an inertial proximal method for unconstrained quasiconvex minimization", J Global Optim., 45, pp 631-644 12 B Merlet and M Pierre (2010), "Convergence to equilibrium for the backward Euler scheme and applications", Commun Pure Appl Anal., 9, pp 685-702 13 J B Swift and P C Hohenberg (1977), "Hydrodynamic fluctuations at the convective instability", Phys Rev A, 15, pp 319-329 14 S Zelik (2004), "Asymptotic regularity of solutions of a nonautonomous damped wave equation with a critical growth exponent, Commun Pure Appl Anal., 3, pp 921-934 15 S Zelik (2004), "Asymptotic regularity of solutions of singularly perturbed damped wave equations with supercritical nonlinearities", Discrete Contin Dyn Syst., 11, pp 351-392 ... chương Chương Hệ gradient bậc hai Giới thiệu khái niệm hệ gradient bậc hai kết hội tụ nghiệm giải tích Chương Kết hội tụ nghiệm số Trình bày số kết tồn tại, tính hội tụ nghiệm số cho hệ gradient dạng... Trình bày ứng dụng kết hội tụ cho hệ gradient dạng rời rạc phương trình truyền sóng phương trình SwiftHohenberg 3 Chương Hệ gradient bậc hai Chúng ta gọi hệ gradient bậc hai ℝ