Phần tử ngẫu nhiên và sự hội tụ yếu của độ đo xác xuất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH VÕ SƠN PHỊNG PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2010 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan : Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy Đậu Thế Cấp Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm cơng bố Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Học viên Võ Sơn Phịng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN 1T T MỤC LỤC 1T T MỞ ĐẦU 1T T CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1T 1T 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1T T 1.1.1 Không gian tôpô 1T 1T 1.1.2 Không gian mê tric 1T 1T 1.1.3 Định lí 1T T 1.1.4 Định lí 1T T 1.1.5 Không gian Banach thực 1T 1T CHƯƠNG : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T T 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T 1T 2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ 26 1T 1T 2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 33 1T T 2.3.1 Kì vọng phần tử ngẫu nhiên 33 1T 1T CHƯƠNG : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 41 1T T 3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON 41 1T T 3.1.1 Độ đo quy 41 1T 1T 3.1.6 Độ đo Radon 44 1T 1T 3.2 SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO 46 1T 1T 3.2.1 Hội tụ yếu 46 1T 3.3 1T 1T T π -HỆ THỐNG 51 T 1T KẾT LUẬN 53 1T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 1T 1T MỞ ĐẦU Lý thuyết độ đo không gian mêtric giữ vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích xác suất Đã có nhiều kết đặc sắc lĩnh vực định lý Prohorov, định lý Varadarajans, định lý Fernigue … Mục đích luận văn nghiên cứu phần tử ngẫu nhiên hội tụ yếu độ đo xác suất không gian mêtric vấn đề có liên quan Luận văn hồn thành trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn khoa học PGS TS Đậu Thế Cấp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn tận tâm nhiệt tình Thầy tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 GIẢI TÍCH HÀM VÀ LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO 1.1.1 Không gian tôpô Cho X tập Một họ τ tập X gọi tôpô X có tính chất sau: (i) ∅ ∈ τ , X ∈τ ; (ii) U i ∈τ , i ∈ I ∪i∈I U i ∈τ ; (iii) U ,V ∈τ U ∩ V ∈τ Nếu τ tơpơ X cặp X = ( X ,τ ) gọi không gian tôpô Cho ( X ,τ ) không gian tôpô Khi tập U ∈τ gọi tập mở Phần bù tập mở gọi tập đóng Cho A tập không gian tôpô X Tập đóng bé X chứa A gọi bao đóng A , kí hiệu A Tập A ⊂ X gọi tập trù mật X A = X Không gian tôpô ( X ,τ ) gọi không gian khả li (hay tách được), có tập đếm trù mật Tập mở lớn chứa A gọi phần A , kí hiệu Một họ {Gα }α∈I int A tập mở X gọi phủ mở X ∪α∈I Gα = X Không gian tô pô X gọi không gian compăc từ phủ mở {Gα }α∈I X trích phủ hữu hạn Tập A ⊂ X gọi compăc compăc tôpô cảm sinh, tức tôpô τA = {U ∩ A : U ∈τ } A 1.1.2 Không gian mê tric Cho X ≠ ∅ Một ánh xạ d : X × X →  gọi mêtric (hay khoảng cách) X với x, y, z ∈ X có (i) d ( x, y ) ≥ 0, d ( x, y ) = ⇔ x = y ; (ii) d ( x, y ) = d ( y, x ) ; (iii) d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) Nếu d mêtric cặp X = ( X , d ) gọi không gian mêtric Giả sử X không gian mêtric Với x ∈ X , ε > đặt B ( x, ε ) = { y ∈ X : d ( x, y ) < ε } gọi hình cầu tâm x bán kính ε Tập G X gọi mở x ∈ G tồn ε > cho B ( x, ε ) ⊂ G Họ tập mở X tôpô X , gọi tôpô sinh mê tric Không gian mêtric không gian tơpơ với tơ pơ sinh mêtric Ta nói dãy ( xn ) ⊂ X hội tụ x ∈ X d ( xn , x ) → n → ∞ Kí hiệu xn → x (khi n → ∞ ) hay lim xn = x n→∞ 1.1.3 Định lí Tập F ⊂ X tập đóng với dãy ( xn ) ⊂ F , xn → x ∈ X x ∈ F Giả sử X không gian mêtric Dãy ( xn ) ⊂ X gọi dãy (hay dãy Cauchy) ∀ε > 0, ∃ N , ∀ m, n ≥ N : d ( xm , xn ) < ε Không gian mêtric X gọi không gian đầy đủ dãy hội tụ Trong không gian mê tric X , tập A ⊂ X tập compăc với dãy ( xn ) ⊂ A , ( ) tồn dãy xnk ⊂ ( xn ) cho xnk → x ∈ A Nếu X không gian mêtric compăc tập đóng tập compăc Tập F không gian tôpô gọi tập có tính chất Gδ F giao đếm tập mở 1.1.4 Định lí Trong khơng gian mê tric, tập đóng có tính chất Gδ Chứng minh Giả sử F đóng không gian mêtric ( X , d ) Đặt 1  Gn =  x ∈ X : d ( x, F ) <  n  Khi x ∈ Gn , ta có d ( x, F )= a < d ( y, F ) ≤ d ( x, y ) + d ( x, F ) < r + a= 1 Đặt r= − a r > n n , ∀y ∈ B ( x, r ) n ∞ nên B ( x, r ) ⊂ Gn Vậy Gn mở Ta chứng minh F =  Gn Thật vậy, với x ∈ F ta có n =1 d ( x, F )= < Do ∞ với n , nên x ∈ Gn với n hay x ∈  Gn n n =1 ∞ F ⊂  Gn n =1 ∞ Ngược lại, với x ∈  Gn ta có x ∈ Gn , ∀n , nên d ( x, F ) < n =1 yn ∈ F cho d ( x, yn ) < ∞ G n n =1 , ∀n Từ đó, với n có n nên lim d ( x, yn ) = , chứng tỏ yn → x Mà F đóng nên x ∈ F , n→∞ n ∞ ⊂ F Vậy F =  Gn Từ suy F có tính chất Gδ  n =1 1.1.5 Không gian Banach thực Không gian vectơ thực E gọi không gian định chuẩn (thực) tồn ánh xạ ⋅ : E →  thỏa mãn (i) x ≥ 0, x = ⇔ x = ; (ii) λ x = λ x ; (iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ E , λ ∈  Nếu đặt d ( x, y= ) x − y , với x, y ∈ E d mêtric E , gọi mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach ∗ Cho E không gian định chuẩn Kí hiệu E khơng gian phiếm hàm tuyến tính E , E ′ khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Với f ∈ E ′ ta gọi chuẩn f { } = f sup f (= x ) inf k > : f ( x ) ≤ k x , ∀x ∈ E x ≤1 Không gian E ′ gọi không gian liên hợp (tơpơ) E 1.1.6 Định lí (Định lí Hahn- Banach) Cho E khơng gian định chuẩn, F khơng gian E Khi với f F = f f ∈ F ′ , tồn f ∈ E ′ cho f = f 1.1.7 Hệ Cho E khơng gian định chuẩn Khi với x ∈ E , x ≠ , tồn f ∈ E cho f ( x ) = x f = 1.1.8 Hệ Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi với x, y ∈ E , f ( x ) = f ( y ) với f ∈ E ′ x = y 1.1.9 Hệ Giả sử E khơng gian khả li Khi tồn dãy ( f n ) ⊂ E ′ cho = x sup f n ( x ) , ∀x ∈ E n Chứng minh Vì E khả li nên tồn dãy ( xn ) ⊂ E cho tồn dãy ( f n ) ⊂ E ′ cho { xn : n ∈ } trù mật E Vậy f n = f n ( xn ) = xn Giả sử x ∈ E Vì f n ( x ) ≤ ⋅ x , ∀n , nên x ≥ sup f n ( x ) Mặt khác, với ε > , n { xn : n ∈ } trù mật E nên tồn n : xn − x < x − xn < x − xn < ε ε hay xn > x − Khi ε Từ ta có f n ( x ) = xn − ( xn − f n ( x ) ) ≥ f n ( xn ) − xn − f n ( x ) = xn − f n ( xn ) − f n ( x ) =xn − f n ( xn − x ) ≥ xn − f n ⋅ xn − x = xn − xn − x ε ε  > x − − = x −ε 2  Do với ε > , tồn n cho f n ( x ) ≥ x − ε Vậy x = sup f n ( x )  n 1.1.10 Độ đo Cho Ω ≠ ∅ Họ tập F ⊂ 2Ω gọi đại số thỏa mãn điều kiện (i) ∅, Ω ∈ F ; (ii) Nếu A, B ∈ F A \ B ∈ F ; (iii) Nếu A, B ∈ F A ∪ B ∈ F Nếu thay điều kiện (iii) điều kiện (iii’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  ∞ A ∈F n F n =1 1.1.11 Định lí F đại số thỏa mãn (i) (iv) Nếu A∈ F thì= Ac X \ A ∈ F ; (v) Nếu A, B ∈ F A ∩ B ∈ F gọi σ - đại số F σ - đại số (i), (ii) (v’) Nếu An ∈ F , ∀n ∈  ∞  A ∈F n n =1 Cặp ( Ω, F ), F hai khơng gian đo ( Ω, F σ - đại số tập Ω , gọi không gian đo Cho ) ( ϒ, G) Ánh xạ ϕ : Ω → ϒ gọi F/G -đo ϕ −1 ( B ) ∈ F với B ∈ G σ - đại số tập Ω Ánh xạ µ : F →  gọi độ đo Cho Ω ≠ ∅ F F thỏa mãn: (i) µ ( A ) ≥ 0, ∀A ∈ F ; (ii) µ ( ∅ ) =0 ;   ∞ A  n  = ∑ µ ( An )  n=1  n=1 ∅, i ≠ j µ  (iii) Nếu An ∈ F, ∀n Ai ∩ Aj = ∞ Nếu µ ( Ω ) < ∞ µ gọi độ đo hữu hạn Đặc biệt, µ ( Ω ) = µ gọi độ đo xác suất Bộ ba ( Ω, F , µ ) , F σ - đại số tập Ω , µ độ đo F , gọi không gian độ đo Không gian độ đo gọi đầy đủ A∈ F , µ ( A ) = tập B ⊂ A thuộc F Khi ta có µ ( B ) = Nếu p độ đo xác suất (Ω, F , p) gọi không gian xác suất 1.2 TẬP BOREL TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.2.1 Tập Borel Cho X khơng gian tơ pơ Khi σ - đại số bé chứa tập mở X gọi σ đại số Borel X , kí hiệu B ( X ) Tập A ∈ B ( X ) gọi tập Borel D ( aX ) = E ||aX-e (aX)|| =a2 E P E (αξ ) = α E ξ nên E (α ξ − Εξ P P P || X-e X||2 =a2DX P P D (αξ ) = E αξ − αΕξ )=α Dξ D X= ⇔ E|| X-e X||2 =0 P P ⇔ || X-e X||2 = h.c.c P P ⇔ || X-e X|| = h.c.c ⇔ X-e X = h.c.c E X h.c.c  ⇔X= P P E α (ξ − Εξ ) , = CHƯƠNG : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON 3.1.1 Độ đo quy Cho X khơng gian tơ pơ, µ độ đo B ( X ) Khi µ gọi quy với A ∈ B ( E ) µ ( A )= sup {µ ( F ) : F= F ⊂ A} ; µ gọi quy ngồi với A ∈ B ( X ) µ= : G int G ⊃ A} ; ( A) inf {µ ( G )= µ gọi quy µ quy quy ngồi 3.1.2 Định lí Nếu µ độ đo xác suất, ba điều kiện sau tương đương (i) µ quy (ii) µ quy ngồi (iii) µ quy Chứng minh Giả sử µ quy A ∈ B ( X ) Khi với ∀ε > , tồn Fε đóng, Fε ⊂ Ac cho µ ( Fε ) ≥ µ ( Ac ) − ε Đặt Gε = X \ Fε Gε mở, Gε ⊃ A µ ( Gε ) = − µ ( Fε ) ≤ − µ Ac + ε = µ ( A ) + ε { } Do µ= ( A) inf µ ( G = ) : G int G ⊃ A , nên µ quy ngồi Ngược lại, giả sử µ quy ngồi, tương tự ta chứng minh µ qui  3.1.3 Định lí Nếu µ độ đo xác suất µ qui ∀A ∈ B ( X ) , ∀ε > 0, ∃Fε đóng, Gε mở cho Fε ⊂ A ⊂ Gε , µ ( Gε \ Fε ) < ε Chứng minh Ta có µ quy ⇔ µ quy µ quy ngồi ⇔ ∀A ∈ B ( X ) , ∀ε > 0, ∃Fε đóng, Fε ⊂ A cho: µ ( Fε ) > µ ( A ) − Gε ⊃ A cho µ ( Gε ) < µ ( A ) + ε ε tồn Gε mở, ⇔ Với ∀A ∈ B ( X ) , ∀ε > 0, ∃Fε đóng, Gε mở, Fε ⊂ A ⊂ Gε , cho: µ ( Gε \ F= µ ( Gε ) − µ ( Fε ) < µ ( A ) + ε) ε ε − µ ( A ) += ε  2 3.1.4 Định lí Cho X khơng gian tơpơ cho tập đóng có tính chất Gσ Khi đó, độ đo xác suất B ( X ) quy Chứng minh Đặt ℘= { A ∈ B ( X ) : µ ( A)= } sup {µ ( F ) : F= F ⊂ A}= inf {µ ( G ) : G= int G ⊃ A} Từ chứng minh Định lí 3.1.2 ta thấy A ∈℘⇔ ∀ε > 0, ∃Fε đóng, Gε mở, Fε ⊂ A ⊂ Gε : µ ( Gε \ Fε ) < ε Do với A ≠ ∅ ∅ ⊂ A ⊂ ∅ : µ ( ∅ \ ∅ ) = < ε , ∀ε > 0, nên A = ∅ ∈℘ = X ∈℘ với A = X X ⊂ A ⊂ X : µ ( X \ X ) = < ε , ∀ε > 0, , nên A Giả sử A∈℘ với ε > , tồn Fε đóng, Gε mở, Fε ⊂ A ⊂ Gε cho µ ( Gε \ Fε ) < ε Khi Gεc đóng, Fε c mở, Fε c ⊂ Ac ⊂ Gε c , µ ( Fε c \ Gε c ) = µ ( Fε c ) − µ ( Gε c ) = − µ ( Fε ) − + µ ( Gε ) = µ ( Gε \ Fε ) < ε Do Ac ∈℘ Giả sử An ∈℘, ∀n ∈  ε > Khi với n , tồn Fε n đóng, Gε n mở, Fε n ⊂ An ⊂ Gε n , cho µ ( Gε n \ Fε n ) < ε 3n Đặt ∞ k n =1 n =1 F =  Fε n , Gk =  Fε n Vì Gk ↑ F nên theo tính liên tục µ tồn lim µ ( Ck ) = µ ( F ) Do tồn k →∞ ε ( ε ) k0 để µ ( F ) − µ ( Ck ) < , ∀k ≥ k0 Đặc biệt ta có µ F \ Ck0 < 2 Đặt = Fε k0 Fε = n n =1 ∞ ∞ Ck0 , Gε =  Gε Khi Fε đóng, Gε mở, Fε ⊂  An ⊂ Gε n n =1 n =1 ∞  µ ( Gε \ Fε ) ≤ µ ( Gε \ F ) + µ ( F \ Fε ) ≤ µ  ( Gεn \ Fεn )  + µ F \ Ck0  n=1  ( ∞ ( ) ∞ ≤ ∑ µ ( Gε \ Fε ) + µ F \ Ck0 < ∑ n n n 1= n ε 3n + ) ε ε ε ε + = + =ε n 2 n =1 ∞ =ε ⋅ ∑ Do ∞  A ∈℘ Vậy ℘ σ - đại số n n =1 Bây giả sử F tập đóng X Khi đó, theo giả thiết, F có tính chất Gσ , ∞ nên F =  Gn , với Gn mở n =1 k Đặt Dk =  Gn Dk ↓ F nên tồn lim µ ( Dk ) = µ ( F ) Do với ε > , tồn k →∞ n =1 ( ) k0 để µ ( Dk ) − µ ( F ) < ε , ∀k ≥ k0 lúc ta có µ Dk0 \ F < ε Đặt Fε = F ; Gε = Dk0 Khi Fε đóng, Gε mở, Fε ⊂ F ⊂ Gε µ ( Gε \ Fε ) ≤ µ ( Dk \ F ) < ε Do đó: F ∈℘ , tức ℘ chứa tập đóng Từ chứng minh suy ℘= B ( X ) Vậy µ độ đo quy  3.1.5 Hệ Mọi độ đo Borel xác suất không gian mêtric độ đo quy 3.1.6 Độ đo Radon Cho X khơng gian tơpơ µ độ đo xác định B ( X ) Khi đó, µ gọi độ đo Radon µ ( A ) sup {µ ( K ) : K compăc ⊂ A} , ∀A ∈ B ( X ) 3.1.7 Định lí Giả sử µ độ đo xác suất Khi µ độ đo Radon µ quy với ε > , tồn Kε compăc cho µ ( X \ Kε ) < ε Chứng minh Giả sử độ đo xác suất µ độ đo Radon Khi µ độ đo xác suất nên µ quy Vì X ∈ B ( X ) , µ độ đo Radon, nên µ ( X ) = sup {µ ( K ) : K compăc } Do đó, với ε > , tồn Kε compăc cho µ ( X ) < µ ( Kε ) + ε , hay µ ( X \ Kε ) < ε Ngược lại, giả sử µ quy µ thỏa mãn: ε > , ∃Kε compăc cho µ ( X \ Kε ) < ε Khi đó, µ quy nên với ∀A ∈ B ( X ) , ε > , tồn Fε đóng A cho µ ( A \ Fε ) < ε Với ε nói trên, theo giả thiết tồn Kε compăc cho ε µ ( X \ Kε ) < Đặt K= Fε ∩ Kε K đóng Kε nên K compăc Ta có K ⊂ A µ= ( A \ K ) µ  A \ ( Fε ∩ Kε ) = µ ( A \ Fε ) ∪ ( A \ Kε )  ≤ µ ( A \ Fε ) + µ ( A \ Kε ) < ε + ε = ε Từ µ ( A ) < µ ( K ) + ε = Do µ ( A ) sup {µ ( K ) : K compăc ⊂ A } Vậy µ độ đo Radon  3.1.8 Định lí Mỗi độ đo Borel xác suất không gian mêtric đầy đủ khả li độ đo Radon Chứng minh Giả sử X khơng gian mêtric đủ khả li cịn µ độ đo xác suất B ( X ) Khi đó, µ độ đo xác suất nên µ quy Giả sử ε > Vì X khả li nên với n = 1,2, ta có X = ∞ B nj , Bnj j =1 hình cầu đóng bán kính ∞ B Vì= Ck nj n ↑ X µ liên tục nên tồn lim µ ( Ck ) = µ ( X ) , hay lim µ ( X \ Ck ) = k →∞ j =1 k →∞ kn   ε Do đó, với n = 1,2, tồn kn cho µ  X \  Bnj  < n j =1   Đặt X n = ∞ kn B nj j =1 ; Kε =  X n Khi X n , Kε đóng Hơn nữa, với δ > , tồn n0 cho n =1 < δ Ta có Kε ⊂ X n0 , với X n0 bị phủ kn0 hình cầu đóng bán kính bé δ , nên Kε hồn n0 tồn bị chặn Do Kε compăc Mặt khác ta có ∞   µ ( X \ Kε ) = µ  X \  X n  n =1   ∞  ∞ = µ  X \ Xn  ≤ ∑µ ( X \ Xn )  n=1  n=1 kn   = ∑ µ  X \   Bnj   n =1 j =1   ∞ ∞ , 1  An =  x ∈ X : µ ({ x} ) ≥  n  ∞ ta có A =  An Giả sử tồn n0 cho An0 tập vơ hạn Khi đó, tồn dãy ( xk ) ⊂ An0 cho n =1 xi ≠ x j Lúc ta có ∞ ∞ µ ( An ) ≥ µ ({ X k : k ∈ }) = ∑ µ ({ xk }) ≥ ∑ = ∞ k 1= k n0 = Ta gặp mâu thuẩn Do An tập hữu hạn với n A không đếm  Bây ta chứng minh định lí quan trọng sau 3.2.3 Định lí Các điều kiện sau tương đương w (i) µ n  →µ ; (ii) ∀f ∈U ( X ) : lim n→∞ ∫ fd µ = ∫ fdu ; n X X (iii) ∀F đóng X : lim µ n ( F ) ≤ µ ( F ) ; n→∞ (iv) ∀G mở X : lim µ n ( G ) ≥ µ ( G ) ; n→∞ (v) ∀A ∈ B ( X= lim µn ( A ) µ ( A ) ) , µ ( ∂A) 0, = n→∞ Chứng minh w (i) ⇒ (ii) Nếu µ n  → µ lim n→∞ nên lim n→∞ ∫ fd µ = ∫ fdu , n X ∀f ∈ Cb ( X ) , mà U ( X ) ⊂ Cb ( X ) X ∫ fd µ = ∫ fdu , ∀f ∈U ( X ) n X X (ii) ⇒ (iii) Giả sử lim n→∞ ∫ fd µ = ∫ fdu , n X ∀f ∈U ( X ) F tập đóng X Vì X X ∞ khơng gian mêtric nên theo Định lí 1.1.4, F có tính chất Gδ , tức F =  Gn , với Gn mở n =1 n X Ta xem Gn ↓ F (vì khơng thay Gn Gn′ =  Gk ) Đặt k =1 fn ( x ) = ρ ( x, Gnc ) ρ ( x, Gnc ) + ρ ( x, F ) Ta có f n ∈U ( X ) Kí hiệu χ A hàm đặc trưng tập A Vì χ F ≤ f n ≤ χ Gn , ∀n , nên µn ( F ) = ∫ χ F d µn ≤ ∫ f k d µn , ∀k Từ ta có X X lim µn ( F ) ≤ lim ∫ f k d µn = lim ∫ f k d µn n→∞ n→∞ n →∞ X X ≤ ∫ χ Gk d µ = µ ( Gk ) , ∀k X µ(F ) Do lim µ n ( F ) ≤ lim µ ( Gk ) = n→∞ k →∞ ( ) ( ) (iii) ⇒ (vi) Giả sử có (iii) G tập mở X Khi ta có lim µ n G c ≤ µ G c n→∞ Do ( lim µn ( G ) = lim − µn ( G c ) n→∞ n→∞ ) ( ) ( ) − limµn G c + lim − µn ( G c ) = = n→∞ n→∞ ≥ − µ ( G c ) =µ ( G ) (iv) ⇒ (v) Giả sử có (iv) A thuộc B ( X ) cho µ ( ∂A ) = Khi int A ⊂ A ⊂= A int A ∪ ∂A , ( ) nên µ ( int A ) µ= = ( A) µ A Do µ ( A) ; lim µn ( A ) ≥ lim µn ( int A ) ≥ µ ( int A ) = n→∞ n→∞ lim µn ( A ) ≤ lim µn ( A ) ≤ µ ( A ) = µ ( A) n→∞ n→∞ Như lim µ n ( A ) ≥ µ ( A ) ≥ lim µ n ( A ) n→∞ n→∞ Mặt khác, ta ln có lim µ n ( A ) ≤ lim µ n ( A ) , n→∞ Nên n→∞ lim µn ( A ) = lim µn ( A ) = µ ( A ) n→∞ n→∞ Do tồn lim µ n ( A ) = µ ( A ) n→∞ (v) ⇒ (i) Giả sử có (v) f tùy ý thuộc Cb ( x ) Xét hàm tập = v f (µ ) : B () →  xác định ( v( B) = f ( µ )( B ) = µ ( f −1 ( B ) ) = µ { x ∈ X : f ( x ) ∈ B} ) với B ∈ B (  ) Ta có v độ đo xác suất Thật vậy, f ∈ Cb ( x ) nên f bị chặn nên tồn khoảng ( a, b ) hữu hạn cho f ( X ) ⊂ ( a, b ) Do v ( ( a= , b ) ) µ ( f −1 ( a= , b ) ) µ= ( X )  ( b − a ) + 1  khoảng ε   Giả sử ε > tùy ý Ta chia đoạn [ a, b ] thành m =  ∆1 , , ∆ m với độ dài bé ε Vậy tồn ti ∈ ∆ i cho v (= t j ) 0,= j 1, , m Khi t1 , , tm thỏa mãn a = t0 < t1 < < tm = b ; a < f ( x ) < b, ∀x ∈ X ; t j − t j −1 < ε , j = 1, , m v (= t j ) 0,= j 1, , m { } Đặt Aj =∈ x X : t j −1 ≤ f ( x ) < t j , j = 1, , m Khi m X =  Aj ∅ i ≠ j Ai ∩ Aj = j =1 Mặt khác {x ∈ X : t j −1 ≤ f ( x ) ≤ t j } đóng chứa Aj , cịn { x ∈ X : t j −1 < f ( x ) < t j } mở Aj nên Aj ⊂ { x ∈ X : t j −1 ≤ f ( x ) ≤ t j } , int Aj ⊃ { x ∈ X : t j −1 < f ( x ) < t j } Từ suy Aj \ A0j ⊂ { x ∈ X : f ( x ) = t j −1} ∪ { x ∈ X : f ( x ) = t j} Do µ ( ∂Aj ) = µ ( Aj \ A0j ) ≤ µ ( x : f ( x) = t j −1 ) + µ ( x : f ( x ) = tj ) = v ( t j −1 ) + v ( t j ) = Từ áp dụng (v), ta lim µn ( Aj ) = µ ( Aj ) n→∞ Đặt f = * m ∑t j =1 j −1 χ A ta có j f * ( x ) − f ( x ) = f ( x ) − t j −1 ≤ t j − t j −1 < ε , ∀x ∈ X Do ∫ fd µ − ∫ fd µ = ∫ ( f − f ) d µ + ∫ ( f * n X n X X X * − f ) d µ + ∫ f *d µn − ∫ fd µn ≤ ∫ f − f * d µn + ∫ f * − f d µ + X X ≤ 2ε + m ∑t j =1 j −1 X ∫f X X * d µn − ∫ fd µn X ⋅  µn ( Aj ) − µ ( Aj )  ≤ 2ε + ∑ t j −1 ⋅ µn ( Aj ) − µ ( Aj ) m j =1 Từ suy lim n→∞ Vì lim n→∞ ∫ fd µ − ∫ fd µ ≤ 2ε , ∀ε > 0, ∀f ∈ C ( X ) n X ∫ fd µ = ∫ fd µ n X b X X w µ n  →µ  3.3 π -HỆ THỐNG Trong đoạn ta kí hiệu X khơng gian mêtric Tập A không gian xác suất (Ω, F , p) gọi p -liên tục p ( ∂A ) = Họ tập hợp A gọi π -hệ thống A, B ∈ A A ∩ B ∈ A 3.3.1 Định lí Cho ( p n ) dãy độ đo xác suất ( X , B ( X ) , P), A π -hệ thống R R B ( X ) cho tập mở X viết dạng hợp dãy tập thuộc A Khi P n ( A) → P ( A) với w → P A∈ A P n  Chứng minh Với A1 , , An ∈ A ta có  r  p n   Ai  = ∑ Pn (A i )  i =1  i R ∑ → R R R P(A i ) R R P n (A i A j)+ ∑ P(A i A j )+ R R R R R ∑ R R R R R ∑ i< j tùy ý nên Theo (iv) Định lí 3.2.2 ta có khẳng định định lí  3.3.2 Định lí Cho (p n ) dãy độ đo xác suất ( X , B ( X ) , P),, X không gian mêtric R R khả li, A π -hệ thống B ( X ) có tính chất: x ∈ X , ε > , tồn A∈ A cho x ∈ int A ⊂ A ⊂ B ( x, ε ) w Khi p n ( A ) → p ( A ) với A∈ A p n  → p Chứng minh Theo giả thiết, x thuộc tập mở G tồn Ax ∈ A cho x ∈ int Ax ⊂ Ax ⊂ G ( ) Vì X khả li nên theo tính chất Lindelof, tồn họ đếm int Axi họ ( int Ax ) x∈G phủ G Do G = A xi Vậy giả thiết Định lí 3.3.1 thỏa mãn có kết luận định lí  i Một họ A B ( X ) gọi họ hội tụ xác định độ đo xác suất p dãy (p n ) R R w độ đo xác suất B ( X ) , p n ( A ) → p ( A ) với tập p-liên tục A∈ A p n  → p Với x ∈ X đặt A=A x ,ε { A ∈ : x ∈ int A ⊂ A ⊂ B ( x, ε )} , Cho AB⊂ ∂A=A x ,ε {∂A : A ∈ x ,ε ( X ) } 3.3.3 Định lí Cho X khơng gian mêtric khả li, A π -hệ thống B ( X ) Khi x ∈ X , ε > , ∂Ax ,ε chứa tập rỗng chứa đếm tập rời A họ hội tụ xác định Chứng minh Cố định p kí hiệu A p họ tập p -liên tục A Với A, B ∈ A R R p R R ta có ∂ ( A ∩ B ) ⊂ ∂A ∩ ∂B nên ( ) p ∂ ( A ∩ B ) ≤ p ( ∂A ) + p ( ∂B ) = Do A p một π -hệ thống Giả sử p R R n ( A) → p ( A) với A∈ A p R R Nếu ∂Ax ,ε chứa rỗng tồn x ∈ Ax ,ε có ∂A =∅ nên p ( ∂A ) = Do A∈ A p R R Nếu ∂Ax ,ε khơng chứa rỗng theo giả thiết ∂Ax ,ε đếm tập rời nên phải tồn A ∈ Ax ,ε để p ( ∂A ) = Từ A∈ A p R R Vậy trường hợp họ Ax ,ε chứa tập A p Do giả thiết Định lí 3.2.2 thỏa R R w mãn nên ta có p n  → p  KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: Đã hệ thống kiến thức bản, cần thiết không gian mêtric không gian tơpơ, mơt số khái niệm tính chất độ đo Đã nêu tính chất độ đo khơng gian mêtric Đã nêu tính chất phần tử ngẫu nhiên hội tụ yếu độ đo xác suất không gian mêtric hội tụ theo phân phối dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian mêtric Vấn đề phần tử ngẫu nhiên hội tụ yếu độ đo xác suất không gian mêtric vấn đề rộng lớn Kết luận văn phần vấn đề rộng lớn Hy vọng sau luận văn này, tơi có kiện tốt để quan tâm nghiên cứu vấn đề Vì thời gian kiến thức có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả chân thành mong thầy giáo bạn góp ý kiến giúp đỡ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2008 [ 2] Đậu Thế Cấp, Độ đo tích phân, NXB Giáo dục, 2009 [3] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2009 [ 4] Y.S Cho, H.Teicher, Probability theory: Independence, Interchangebility, Martingale, Springer-Verlag, New York, 1997 [5] M Ledoux, M Talagrand, Probability in Banach spaces, Springer-Verlag, New York, 1991 [6] K.R Parthasathy, Probability measures on mêtric spaces, New York, London, 1967 [7] Nguyễn Văn Quảng, Phân phối xác suất không gian Banach, Đại học Vinh, 2007 [8] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2001 [9] N.N Vakhania, V.I Tarieladze, S.A Chobanyan, Probability Distributions on Banach Space, D.Reidel Publishing Company, Holland ... : PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T T 2.1 PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 16 1T 1T 2.2 CÁC DẠNG HỘI TỤ 26 1T 1T 2.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA PHẦN TỬ... CỦA PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 33 1T T 2.3.1 Kì vọng phần tử ngẫu nhiên 33 1T 1T CHƯƠNG : SỰ HỘI TỤ YẾU CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 41 1T T 3.1 ĐỘ ĐO CHÍNH QUY VÀ ĐỘ ĐO RADON ... X : Ω → e gọi phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận giá trị e X G / B (e) -đo (tức B ∈ B (e) X −1 ( B ) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F -đo gọi đơn giản phần tử ngẫu nhiên Phần tử ngẫu nhiên nhận giá