Một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Hữu Hớn MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phan Hữu Hớn MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi kính xin gửi đến Thầy PGS TS Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn học viên cao học Toán Giải tích K19 gia đình ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi thời gian tơi học tập làm luận văn Do kiến thức thân tơi cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận nhận xét bảo Q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn đồng nghiệp Tp Hồ Chí Minh, ngày 20/08/2011 Học viên cao học khoá 19 Phan Hữu Hớn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục tiêu đề tài 3.Phương pháp nghiên cứu 4.Nội dung luận văn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Đạo hàm Fréchet 1.2.Công thức Taylor 1.3.Định lý hàm ẩn 1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) 1.5.Định lý mở rộng Dugundji 1.6.Bậc tôpô ánh xạ compắc Chương SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN 12 2.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit 12 2.2.Định lý Crandal-Rabinowitz 14 2.3.Ứng dụng 15 Chương SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC 18 3.1.Nguyên lý nối dài 18 3.2.Định lý hàm ẩn toàn cục 21 3.3.Định lý Rabinowitz phân nhánh toàn cục 23 Chương SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG 26 4.1.Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón 26 4.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương 31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Các hệ thống tự nhiên xã hội phát triển tác động nhiều yếu tố Khi tác động yếu tố đạt tới ngưỡng phát triển hệ thống xảy đột biến lớn Phát biểu dạng tốn học, ta có họ phương trình dạng F ( x,λ ) = phụ thuộc tham số λ thuộc khơng gian L ∀λ ∈ L , phương trình có nghiệm tầm thường tồn λ0 cho lân cận ( λ0 − ε ; λ0 + ε ) có thêm nghiệm x ( λ ) ≠ Ta nói họ nghiệm ( x ( λ ) , λ ) phân nhánh từ họ nghiệm tầm thường ( 0, λ ) điểm ( 0, λ0 ) λ0 gọi điểm phân nhánh Nghiên cứu phân nhánh phương trình phi tuyến năm 1930, phát triển hoàn thiện ngày Chúng ta tìm ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu, phân tích nhiều tượng tự nhiên xã hội 2.Mục tiêu đề tài • Trình bày cách hệ thống, chi tiết số định lý phân nhánh nghiệm, định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz • Giới thiệu phương pháp khác nghiên cứu phân nhánh • Xét số ứng dụng đơn giản 3.Phương pháp nghiên cứu Chỉ nghiên cứu mặt lý thuyết Từ tài liệu giảng viên hướng dẫn giới thiệu học viên tự tìm; học viên tự tìm hiểu vấn đề trình bày kết theo hiểu biết cách chi tiết, theo hệ thống khoa học Các phương pháp chứng minh cụ thể: sử dụng định lý hàm ẩn, bậc tôpô 4.Nội dung luận văn Nội dung luận văn gồm chương: Chương Trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương sau như: đạo hàm Fréchet, công thức Taylor (trong không gian Banach), định lý hàm ẩn, bổ đề Whyburn, định lý mở rộng Dugundji kết bậc tơpơ ánh xạ compắc Chương Trình bày phân nhánh nghiệm phương trình F ( ,λ ) = ,∀λ ∈  từ giá trị riêng đơn Phần 2.1 trình bày phép chiếu Liapunov-Schmit để từ nhờ Bổ đề 2.1.2, ta tìm nghiệm khơng tầm thường phương trình F ( u,λ ) = Phần 2.2 trình bày định lý Crandal-Rabinowitz Phần 2.3 trình bày ứng dụng định lý Crandal-Rabinowitz vào tốn tìm điểm phân nhánh phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hồn Chương Trình bày tính đồng luân bậc Leray-Schauder liên quan đến mặt trụ đồng luân có biến thiết diện từ đến nguyên lý nối dài LeraySchauder áp dụng nó; trình bày định lý hàm ẩn tồn cục, từ đến mở rộng định lý phân nhánh địa phương Chương 2, định lý Rabinowitz phân nhánh tồn cục ứng dụng định lý Chương Trình bày khái niệm nón kết thu không gian Banach với thứ tự sinh nón Định lý phân nhánh nghiệm dương ứng dụng Trong luận văn này, số kết sử dụng phát biểu dạng định lí bổ đề mà khơng chứng minh Các ký hiệu dùng luận văn L(X,Y) : khơng gian hàm số tuyến tính liên tục từ X vào Y L(X) = L(X,X) I : ánh xạ đơn vị không gian Banach X C(X,Y) : không gian hàm số liên tục từ X vào Y C k ( Ω ) : không gian hàm số khả vi liên tục cấp k Ω ∂Ω : biên tập Ω span { x1 , ,x2 } : không gian sinh x1 , ,x2 co { x1 , ,x2 } : bao lồi điểm x1 , ,x2 T K : ánh xạ T hạn chế tập K B ( x0 ,r= ) {x : x − x0 < r} : cầu tâm x0 bán kính r o ( x ) : vô bé theo x Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Đạo hàm Fréchet Cho E X không gian Banach, U tập mở E, x0 ∈U hàm số Ùf :U → X Khi đó: + f gọi khả vi Fréchet (F-khả vi) x0 tồn T ∈ L ( E,X ) (khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào X) cho với h ∈ E mà x0 + h ∈U , ta có với o ( h ) thoả lim h →0 E f ( x0 + h ) − f ( x0 = ) T (h) + o( h o( h ) =0 h X ) Ánh xạ T tồn Đặt f ' ( x ) = T gọi đạo hàm Fréchet f x0 + f ' gọi khả vi Fréchet (F-khả vi) x0 tồn B ∈ L ( E,L ( E,X ) ) (không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào L ( E,X ) ) cho với h ∈ E mà x0 + h ∈U , ta có f ' ( x0 + h ) − f ' ( x0 = ) B (h) + o( h ) với o ( h ) thoả lim h →0 E o( h ) =0 h L( E ,X ) Ánh xạ B tồn Đặt f ( bậc hai f x0 2) ( x) = B gọi đạo hàm Fréchet Bằng cách tương tự ta có đạo hàm bậc cao k f x0 f ( k) ( x0 ) 1.2.Công thức Taylor Cho E X không gian Banach, U tập mở E, x0 ∈U hàm số Ùf :U → X khả vi bậc m Khi đó, với h ∈ E cho x0 + th ∈U với t ∈ [ ,1] , ta có f ( x= + h ) − f ( x0 ) ( ) với o h k thoả lim h →0 ( ) = 0; f ∑ k ! f ( ) ( x )(h) k k =1 k ( ) +o h k k o h h m k (k ) ( x0 ) ( h ) k := f ( k) ( x0 ) ( h, ,h ) (k lần h) 1.3.Định lý hàm ẩn Cho X, Y, Z không gian Banach, U ⊂ X ,V ⊂ Y hai lân cận x0 y0 ; F :U × V → Z liên tục có đạo hàm riêng theo biến y liên tục Giả sử F ( x0 ; y0 ) = Z F −1 y ( x0 ; y0 ) ∈ L ( Z ,Y ) Khi đó, tồn cầu đóng B ( x0 ,r ) ⊂ U ,B ( y0 ,δ ) ⊂ V ánh xạ T : B ( x0 ,r ) → B ( y0 ,δ ) cho Tx0 = y0 F ( x;Tx ) = B ( x0 ,r ) Ánh xạ T liên tục 1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) Cho A B tập đóng, rời khơng gian tơpơ compắc X Khi đó, (i) tồn tập đóng, liên thông C AB ⊂ X cho A ∩ C AB ≠ ∅ ≠ B ∩ C AB , (ii) tồn hai tập đóng, rời DA ,DB ⊂ X cho A ⊂ DA , B ⊂ DB , DA ∪ DB = X 1.5.Định lý mở rộng Dugundji Cho E X không gian Banach, C tập đóng E, K tập lồi X f : C → K ánh xạ liên tục Khi đó, tồn ánh xạ liên tục f : E → K cho f ( u ) f ( u ) ,u ∈ C = 1.6.Bậc tôpô ánh xạ compắc Định nghĩa 1.6.1 Cho Ω tập mở, bị chặn  n f : Ω →  n ánh xạ thoả • f ∈ C1 ( Ω , n ) ∩ C Ω , n , ( ) • y ∈  n cho y ∉ f ( ∂Ω ) , • Nếu x ∈ Ω mà f ( x ) = y f ' ( x ) = Df ( x ) khơng suy biến Ta định nghĩa: k • d ( f ,Ω , y ) = ∑ sgn det f ' ( xi ) , với x1 , ,xk nghiệm f ( x ) = y Ω i =1 +  neáu det f ' ( xi ) > = sgn  det f ' ( xi )  = ,i 1, ,k − neá u det f ' x < ( i)  • d ( f ,Ω , y ) = phương trình f ( x ) = y vô nghiệm Ω ta gọi d ( f ,Ω , y ) bậc tôpô ánh xạ f Ω y Định nghĩa 1.6.2 Cho E không gian Banach thực với chuẩn Ω ⊂ E ( ) tập mở, bị chặn Lấy F : Ω → E liên tục F Ω chứa không gian hữu hạn chiều E Khi đó, ánh xạ f ( x) = x + F ( x) = ( I + F )( x ) gọi nhiễu loạn hữu hạn chiều ánh xạ đồng E Định nghĩa 1.6.3 Ánh xạ F : Ω → E gọi hoàn toàn liên tục (hay ánh xạ ( ) ( ) compắc) F liên tục F Ω tiền compắc (tức F Ω compắc) Định nghĩa 1.6.4 Cho E không gian Banach thực với chuẩn Ω ⊂ E tập mở, bị chặn Lấy F : Ω → E hồn tồn liên tục Khi đó, ánh xạ f ( x) = x + F ( x) = ( I + F )( x ) gọi nhiễu loạn hoàn toàn liên tục ánh xạ đồng E Bổ đề 1.6.1 Cho f : Ω → E nhiễu loạn hoàn toàn liên tục ánh xạ đồng y ∉ f ( ∂Ω ) Khi đó, tồn số nguyên d thoả tính chất sau: Nếu h : Ω → E nhiễu loạn liên tục hữu hạn chiều ánh xạ đồng cho sup f ( x ) − h ( x ) < inf f ( x ) − y x∈Ω y ∉ h ( ∂Ω ) d ( h,Ω , y ) = d x∈∂Ω Bổ đề 1.6.2 • Pε : M → co { y1 , , yn } liên tục • Pε ( M ) chứa khơng gian hữu hạn chiều E • Pε y − y ≤ ε , y ∈ M Cho E không gian Banach thực với chuẩn , M tập compắc E Khi đó, với ε > tồn phủ hữu hạn M gồm cầu có tâm y1 , , yn ∈ M , bán kính ε Lấy ánh xạ µi : M → [ a,∞ ) xác định ε − y − yi y − yi ≤ ε µi ( y ) =  neáu y − yi > ε 0 λi ( y ) = µi ( y ) n ∑ µ ( y) j =1 , 1≤ i ≤ n j Do tất µi ,i = 1, ,n không đồng thời triệt tiêu nên λi ( y ) không âm liên tục M, n ∑ λ ( y ) = i i =1 Định nghĩa 1.6.5 Toán tử Pε gọi toán tử chiếu Schauder M xác định ε y1 , , yn ∈ M n Pε ( y ) = ∑ λi ( y ) yi i =1 Bổ đề 1.6.3 Cho f : Ω → E nhiễu loạn hoàn toàn liên tục ánh xạ đồng y ∉ f ( ∂Ω ) Lấy ε > cho ε < inf f ( x ) − y Lấy Pε toán tử x∈∂Ω chiếu Schauder xác định ε điểm y1 , , yn ∈ (f ( ) − I ) Ω Khi đó, d ( I + Pε F ,Ω , y ) = d , d số nguyên xác định bổ đề 1.6.1 Định nghĩa 1.6.6 Số nguyên d xác định bổ đề 1.6.3 gọi bậc LeraySchauder f Ω điểm y ký hiệu là: d ( f ,Ω , y ) Mệnh đề 1.6.1 (Nguyên lý bất biến đồng luân) Cho f ,g ∈ C Ω ,E với f ( x ) g ( x ) ( h : [ a,b ] × Ω → E ) liên tục cho khác y, với x ∈ ∂Ω Lấy h ( t,x ) ≠ y,( t,x ) ∈ [ a,b ] × ∂Ω h= ( a,x ) f ( x ) ;h= ( b,x ) g ( x ) ,x ∈ Ω Khi đó, d ( f ,Ω , y )= d ( g ,Ω , y ) d ( h ( t,.) ,Ω , y ) = constant với a ≤ t ≤ b Mệnh đề 1.6.2 (Nguyên lý cắt (khoét)) Cho f ∈ C Ω ,E K tập con, đóng Ω cho y ∉ f ( ∂Ω ∪ K ) ( Khi đó, ) d ( f ,Ω , y )= d ( f ,Ω \ K , y ) Mệnh đề 1.6.3 (Cơng thức tích Đềcác) Giả sử Ω = Ω1 × Ω2 tập mở, bị chặn E với Ω1 mở E1 Ω2 mở E1 , dim E1 + dim E2 = dim E Với x ∈ E ta viết x = ( x1 ,x2 ) , x1 ∈ E1 , x2 ∈ E2 Chương SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG 4.1.Khơng gian Banach với thứ tự sinh nón Định nghĩa 4.1.1 1) Tập K không gian Banach X gọi nón nếu: (i) K tập đóng, khác rỗng, K ≠ {0} , (ii) K + K ⊂ K ,λ K ∈ K ,∀λ ≥ , (iii) K ∩ ( − K ) ={0} hay x ∈ K ,− x ∈ K ⇒ x =0 , 2) Nếu K nón thứ tự “ ≤ ” X sinh nón K định bởi: x ≤ y ⇔ y − x ∈ K ,∀x, y ∈ X 3) Mỗi x ∈ K \ {0} gọi dương Ta thấy, quan hệ “ ≤ ” quan hệ thứ tự X Thật vậy, quan hệ “ ≤ ” có tính chất sau: • Phản xạ: x − x = ∈ K ⇒ x ≤ x,∀x ∈ K , y − x∈K, • Phản xứng: ∀x, y ∈ K ,x ≤ y, y ≤ x ⇒  ⇒ y−x= x − y ∈ K  ⇒x= y (do (iii)), y − x∈K, • Bắc cầu: ∀x, y,z ∈ K ,x ≤ y, y ≤ z ⇒  z − y ∈ K ⇒z−x= ( y − x) + ( z − y)∈ K (do (ii)) ⇒ x ≤ z Ví dụ 4.1.1 Cho X =  Khi đó: = K {( x1 ,x2 , ,xn ) : xi = ∈  ,xi ≥ ,i 1,2 , ,n} nón X =  n n Mệnh đề 4.1.1 Cho X không gian Banach với thứ tự sinh nón K Khi đó: λ x ≤ λ y i) ∀λ ≥ ,∀x, y,z ∈ X ,x ≤ y ⇒  x + z ≤ y + z ii) Nếu xn ≤ yn ,∀n và= lim xn x,lim = yn y x ≤ y n→∞ n→∞ iii) Nếu dãy { xn } tăng (giảm) hội tụ x xn ≤ x, ( xn ≥ x ) , ∀n Chứng minh i) Ta có: x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ x − λ y= λ ( x − y ) ∈ K ⇒ λ x ≤ λ y Tương tự, x ≤ y ⇒ y − x∈ K ⇒ ( y + z) − (x + z) = y − x∈ K ⇒ x + z ≤ y + z ii) Ta có: xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K ,∀n Do lim xn x,lim yn y = = n→∞ n→∞ nên lim ( yn − xn ) =y − x Hơn nữa, { xn } ,{ yn } ⊂ K K đóng nên y − x ∈ K n→∞ iii) Giả sử dãy { xn } xn ≤ x,∀n ⇒ x≤ y tăng hội tụ x Với n, ta có xn ≤ xn+ m Cho m → ∞ , ta có Mệnh đề chứng minh □ Định nghĩa 4.1.2 Cho K nón khơng gian Banach X Khi đó: 1) K gọi nón miniheral mạnh tập M bị chặn X tồn supM 2) K gọi nón chuẩn ∃N > cho ∀x, y ∈ X ,x ≤ y x ≤ N y Lúc đó, số N gọi số chuẩn nón K 3) K gọi nón (nón quy) dãy đơn điệu tăng, bị chặn X hội tụ 4) K gọi nón tách (nón sinh) ∀x ∈ X ,∃u,v ∈ K : x = u − v Ví dụ 4.1.2 1) K = { x ∈ C1 [ ,1] : x ( t ) ≥ ,x' ( t ) ≥ ,∀t ∈ [ ,1]} nón chuẩn C1 [ ,1] 2) K = { f ∈ C1 [0,1] : f ≥ 0} không nón chuẩn C1 [0,1] 3) Nón hàm không âm hầu khắp nơi L [ ,1] nón L [ ,1] 4) Nón hàm khơng âm C[0 ,1] khơng nón 5) Nón hàm khơng âm C[0 ,1] nón sinh Mệnh đề 4.1.2 Cho K nón chuẩn X Khi đó: i) Nếu ∀u,v ∈,u ≤ v u,v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} tập đóng bị chặn ii) Nếu xn ≤ yn ≤ zn ,∀n lim = xn lim = zn a lim yn = a n→∞ n→∞ { } iii) Nếu dãy đơn điệu { xn }n có dãy xnk n→∞ k hội tụ x { xn }n hội tụ x Chứng minh i) * Chứng minh u,v đóng: Giả sử xn ∈ u,v ,∀n lim xn = x Ta có: n→∞ u ≤ xn ≤ v,∀n ⇒ u ≤ x ≤ v ⇒ x ∈ u,v Vậy, u,v đóng * Chứng minh u,v bị chặn: x − u ∈ K x − u ≤ v − u Do K nón chuẩn nên ∀x ∈ u,v ⇒ u ≤ x ≤ v ⇒  v − u ∈ K ∃N > cho x − u ≤ N v − u Do đó: x − u ≤ N v−u ⇒ x ≤ N v−u + u = M Vậy, u,v bị chặn ii) Giả sử xn ≤ yn ≤ zn ,∀n lim = = xn lim zn a Ta có: yn − xn ≤ zn − xn ,∀n Do K n→∞ n→∞ nón chuẩn nên ∃N > cho yn − xn ≤ N zn − xn ,∀n (*) Vì lim = xn lim = zn a nên zn − xn → n → ∞ Trong (*), cho n → ∞ ta có: n→∞ n→∞ yn − xn → Do đó, yn = ( yn − xn ) + xn → a n → ∞ Vậy lim yn = a { } iii) Giả sử { xn }n dãy đơn điệu tăng, có dãy xnk n→∞ k hội tụ x Ta có: ε ( N > 0) N Do { xn }n tăng nên xnk ≤ x,∀k xn ≤ xnk Do đó, xn ≤ x,∀n Suy ra: ∀n ≥ nk0 , ta có: xnk → x ⇒ ∀ε > ,∃k0 : x − xnk < xnk ≤ xn ≤ x ⇒ ≤ x − xn ≤ x − xnk 0 ⇒ x − xn ≤ N x − xnk < ε Vậy lim xn = x Mệnh đề chứng minh □ n→∞ Định lý 4.1.1 Trong khơng gian Banach với nón chuẩn K ln tồn chuẩn * tương đương với chuẩn ban đầu cho ∀x, y ∈ X ,0 ≤ x ≤ y ⇒ x * ≤ y * Chứng minh Đặt= A  B ( ,1) + K  ∩  B ( ,1) − K  * Ta chứng minh B ( ,1) ⊂ A ⊂ B ( ,r ) , với r > đủ lớn + Do ∈ K ∩ ( − K ) nên B ( ,1) ⊂ A + Ta có: A ⊂ B ( ,r ) , với r > đủ lớn Thật vậy, ngược lại, ta xây dựng dãy ( xn )n ⊂ A với xn ≥ n yn ,zn ∈ B ( ,1) ;un ∈ K cho xn = yn + un = zn − Do un + = zn − yn nên un + ≤ zn + yn ≤ Do K nón chuẩn nên ∃N > cho un ≤ N un + ≤ N Do đó, n ≤ xn ≤ yn + un ≤ + N ,∀n (vô lý) Vậy A ⊂ B ( ,r ) , với r > đủ lớn * Xét phiếm hàm Minkopski tập A: x   x * = inf λ > : ∈ A ,x ∈ A λ   x x * ∀x ∈ X ,x ≠ gọi λ0 = x * Khi đó, ∈ B ( ,1) ∈ A x λ0 x x Theo chứng minh ta có: ∈ A ∈ B ( ,r ) Do đó, x λ0 x * < x x < r x* Suy ra: x *< x : ∈ A ⊂ λ > : ∈ A Thật vậy, xét λ λ     y λ > thoả ∈ A λ Do x ≥ nên Do x ≤ y nên Mặt khác, y λ x λ x λ ∈K ⇒ ≤ y λ ⇒ x λ y λ =0 + − x λ x λ ∈ B ( ,1) + K (1) ∈K ∈ A nên theo định nghĩa A ta có y = u − v , với u ∈ B ( ,1) ,v ∈ K λ y  y x = −  −  ∈ B ( ,1) − K λ λ λ λ x Từ (1), (2) suy ∈ A Do đó, x (2) λ y x     Vậy λ > : ∈ A ⊂ λ > : ∈ A ⇒ x * ≤ y * λ λ     Định lý chứng minh □ Định lý 4.1.2 i) K nón quy dãy đơn điệu giảm, bị chặn hội tụ ii) K nón quy K nón chuẩn Chứng minh i) ( ⇒ ) Giả sử K nón quy Xét dãy x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ≥ x Khi đó, dãy ( x1 − xn )n đơn điệu tăng bị chặn x1 − x nên hội tụ (do K nón quy ) Vậy ( xn )n hội tụ ( ⇐) Xét x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ x Ta thấy ( x1 − xn )n đơn điệu giảm bị chặn x1 − x nên hội tụ Do đó, ( xn )n hội tụ Vậy K nón quy ii) Giả sử trái lại, K nón quy khơng nón chuẩn Khi đó: ∀N ,∃xN , y N ∈ K ,0 ≤ xN ≤ y N xN > N y N Cho = N n= ,( n 1,2 ,3, ) ta dãy ( xn )n ,( yn )n ⊂ K thoả ≤ xn ≤ yn , xn > n yn xn yn Ta có: Rõ rằng, xn ≠ Xét dãy = xn ' = , yn ' xn xn ≤ xn ' ≤ yn ' , xn '= 1, yn ' < n Do đó, chuỗi ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ yn ' hội tụ Đặt y = ∑ yn ' , ta có: y1' + y2 ' + + yn ' ≤ y,∀n Ta thấy dãy zn = x1 ' + x2 ' + + xn ' tăng bị chặn y Do K nón quy nên ( zn )n hội tụ Suy xn = ' zn − zn−1 → ( n → ∞ ) Điều mâu thuẩn với điều kiện xn ' = Vậy K nón chuẩn Định lý chứng minh □ Mệnh đề 4.1.3 Nếu nón K X có điểm u0 i) ∀x ∈ X , ∃α > cho −α x u0 ≤ x ≤ α x u0 ii) K nón tách (nón sinh) Chứng minh i) u0 ∈ int K ⇒ ∃r > : B ( u0 ,r ) ⊂ K rx rx * Với x ≠ , ta có u0 ± ∈ B ( u0 ,r ) , u0 ± ≥0 x x 2 ⇒ − x u0 ≤ x ≤ x u0 r r * Khi x = đẳng thức Chọn α = , ta có điều phải chứng minh r ii) Theo i) ta có: ∀x ∈ X , ∃α > cho −α x u0 ≤ x ≤ α x u0 Đặt u = α x u0 + x v = α x u0 − x Ta có: u ≥ ,v ≥ x= u − v Do u,v ∈ K x= u − v Vậy, K nón tách Mệnh đề chứng minh □ Định lý 4.1.3 Nếu K nón tách tồn số M > cho ∀x ∈ X ,∃u,v ∈ K : x= u − v, u ≤ M x , v ≤ M x Định nghĩa 4.1.3 Cho X không gian Banach sinh nón K Một ánh xạ tuyến tính A : X → X gọi ánh xạ dương ∀x ≥ ⇒ A ( x ) ≥ hay A ( K ) ⊂ K 4.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương Định nghĩa 4.2.1 Cho X không gian Banach thực với nón K, Ω ⊂ K tập mở bị chặn, F : Ω → K ánh xạ compắc khơng có điểm bất động ∂Ω , −1 y ∉ ( I − F ) ( ∂Ω ) , R : X → K ánh xạ co Khi đó, ta định nghĩa d ( I − F ,Ω , y= ) d LS ( I − FR,R −1 ( Ω ) , y ) ≠ ( I − F ) d ( I − F ,Ω , y= ) d LS ( I − FR,R −1 ( Ω ) , y=) ( y) ≠ ; −1 0 ( I − F ) ( y ) = −1 Định nghĩa 4.2.2 Cho ( X ,d ) khơng gian mêtríc compắc, A ⊂ X Khi đó, A gọi thành phần liên thông (thành phần) X A đóng A tập liên thơng lớn X Bổ đề Cho ( X ,d ) khơng gian mêtríc compắc, A ⊂ X thành phần X ∅ Khi đó, tồn hai tập compắc B ⊂ X tập đóng cho A ∩ B = X ⊃ A,X ⊃ B cho X = X ∪ X X ∩ X = ∅ Chứng minh Trước hết định nghĩa ε _dây xích: cho ε > , hai điểm a,b ∈ X gọi ε _khả dây xích có số hữu hạn điểm x1 ,x2 , ,xn ∈ X cho = i 1, ,n − Trong trường hợp x1 , ,xn = x1 a,x = b d ( xn ,xn+1 ) < ε với n ε _dây xích nối a b Đặt Aε = { x ∈ X : coù a ∈ A để x a ε _ khả d ây xí ch} Rõ ràng A ⊂ Aε Aε vừa tập mở, vừa tập đóng X ∅ với z ∈ Aε ; B ( z,ε ) ∩ Aε = ∅ với z ∈ X \ Aε B ( z,ε ) ∩ ( X \ Aε ) = Ta thấy B ∩ Aε = ∅ với ε > Khi đó, ta chọn = X A= X \ Aε ta ε ,X có điều phải chứng minh Giả sử trái lại, B ∩ Aε ≠ ∅ với ε > Xét dãy ε n → 0, ( an ) ⊂ A, ( bn ) ⊂ B cho an bn ε _khả dây xích Do A B tập compắc nên ta giả sử an → a ∈ A bn → b ∈ B Khi đó, ta có ε n _dây xích X n nối a0 b0 , với n ≥ Xét tập giới hạn { } X =∈ x X :x= lim xnk ,xnk ∈ X nk k →∞ Ta có X tập compắc a0 ,b0 ∈ X Giả sử X không liên thông Khi đó, X= C1 ∪ C2 với Ci ,i = 1,2 compắc d ( C1 ,C2 ) > ρ với ρ > đủ bé Với ε n < ρ điều mâu thuẫn với c1 ∈ C1 c2 ∈ C2 ε n _khả dây xích Vậy, X liên thơng Hơn nữa, X ⊂ A a0 ∈ X ∩ A A tập liên thơng lớn Do đó, ∅ Bổ đề chứng minh □ b0 ∈ A ∩ B , mâu thuẫn với A ∩ B = Định nghĩa 4.2.3 Cho X không gian Banach thực, K ⊂ X nón F ( λ ,x ) =− x F0 ( λ ,x ) =− x λTx − G ( λ ,x ) , F0 :  + × K → K hoàn toàn liên tục, T ∈ L ( X ) ánh xạ dương, G ( λ ,x ) = o ( x ) x → hội tụ λ khoảng bị chặn Khi đó, ( λ0 ,0 ) gọi điểm phân nhánh dương phương trình F ( λ ,x ) = ( λ0 ,0 ) = lim ( λn ,xn ) với F ( λn ,xn ) = , xn ∈ K \ {0} ,∀n n→∞ Do đó, T K ánh xạ compắc nên ( λ0 ,0 ) điểm phân nhánh dương λ0 > λ0−1 giá trị riêng T K , nghĩa T có véc tơ riêng dương Định lý Cho X không gian Banach thực, K ⊂ X nón, T ∈ L ( X ) ánh xạ dương, T K ánh xạ compắc, G :  + × K → X hồn tồn liên tục G ( λ ,x ) = o ( x ) x → hội tụ λ tập compắc  + Giả sử (a) x = điểm bất động G ( ,.) (b) T K λTx + G ( λ ,x ) ∈ K  + × K ; F0 ( λ ,x ) = có giá trị đặc trưng λ1 , ,λm với m ≥ Khi đó, tồn λi ,i = 1, ,n cho ( λi ,0 ) điểm phân nhánh dương phương trình x − F0 ( λ ,x ) = thành phần M chứa điểm phân nhánh dương không bị chặn, với M x F0 ( λ ,x ) ,x ∈ K \ {0}} = {( λ ,x ) ∈  + × K := Chứng minh Gọi K r = K ∩ B ( ,r ) ,r > ;= Ω0 ( λ ) { x : ( λ ,x ) ∈ Ω } ,λ ∈  + , tất khái niệm tôpô hiểu theo tơpơ K, + × K −1 Ω ) d LS ( I − F1R,R ( Ω ) ,0 ) , với Ω ⊂ K tập mở bị chặn, F1 : Ω → K ánh i ( F1 ,= xạ compắc khơng có điểm bất động ∂Ω , R : X → K ánh xạ co Lấy λ0 = max λi , C0 thành phần M ∪ ([ ,λ0 ] × {0} ) chứa [ ,λ0 ] × {0} 1≤i ≤ m Giả sử C0 bị chặn Khi đó, ta chọn r > λ0 cho C0 không giao với = ([ ,r ] × { x ∈ K : = x r } ) ∪ ( {r } × K r ) [0,r ] × K r , lưu ý ∂Ω Xét C = C0 ∪ ([ ,r ] × {0} ) ,ε ∈ ( ,r ) = D {0} × ( K r \ Kε )  ∪ ([ ,r ] × ∂K r ) ∪ {r} × ( K r \ Kε )      Ω biên của= Lưu ý C ∩ D = ∅ (vì phần hai ba D chứa ∂Ω ( 0,x0 ) ∈ M với x0 ∈ K r \ Kε đó, kéo theo x0 = G ( ,x0 ) , điều giả thiết (a)) Do đó, ta lý luận ta làm Bổ đề để nhận tập mở, bị chặn Ω0 ⊂ [ 0,r ] × K , chứa tập compắc C cho M ∩ ∂Ω0 = ∅ D ∩ Ω0 = ∅ Khi đó, từ tính chất bậc tơpơ, suy i ( F0 ( r,.) ,Ω0 ( r )= ) i ( F0 ( 0,.) ,Ω0 ( )=) i ( G ( 0,.) ,Kε=) i ( 0,Kε=) với ε > đủ bé Hơn nữa, từ Ω0 ( r ) ⊂ Kε r −1 ∉ σ (T K ) ta có i ( F0 ( r,.) ,Ω0 ( r ) ) = i ( rT ,Kε ) , i ( rT ,Kε ) = Nhưng điều vô lý Chú ý rλ0−1 > giá trị riêng rT K nên rT K x0 = rλ0−1 x0 với x0 ∈ K \ {0} d LS ( I − rTR,R −1 ( Kε ) , ρ x0 ) = với ρ nhỏ Tuy nhiên, x − rTx = ρ x0 khơng có nghiệm K với ρ > , với t0 ρ ( rλ0−1 − 1) rT ( x + t0 x0 ) =+ x t0 x0 ∈ K \ {0} = −1 mâu thuẫn với λ0 giá trị đặc trưng lớn T K Như vậy, C0 không bị chặn rẽ nhánh ( λi ,0 ) từ nhánh số không (zero) tầm thường, với i ≤ m Định lý chứng minh □ Ví dụ Xét toán sau  x'' + λ f ( x= ) treân J=  ( ) x= (1)  x= [0,1] (1) với λ ≥ f :  + →  + Lipschitz địa phương Hãy tìm nghiệm dương tốn, nghĩa nghiệm K ={ x ∈ C ( J ) : x ( t ) ≥ 0, t ∈ J } Giải ρ ) α ρ + o ( ρ ) ρ → 0+ với α ≥ Khi theo (a) Giả sử f (= Định lý trên, có tập liên thơng khơng bị chặn C ⊂  + × K nghiệm không tầm thường phân nhánh (π α ,0 ) từ nhánh nghiệm tầm thường Chú ý λ0 = π α giá trị riêng T K , (Tx )( t ) = α ∫ k ( t,s ) x ( s ) ds ; k hàm Green tức  s (1 − t ) neáu ≤ s ≤ t ≤ k ( t,s ) =  t (1 − s ) neáu ≤ t ≤ s ≤ Nếu ( λ ,x ) ∈ C,x ≠ x ( t ) > ( ,1) Thật vậy, giả sử x ( t0 ) = với t0 ∈ ( ,1) đó, ta có: x' ( t0 ) = , x ( t ) = cho tính giải toán giá trị đầu x'' = − λ f ( x ) , x ( t0 ) = , x' ( t0 ) = (b) C tập bị chặn theo phương λ f ( ρ ) ≥ βρ  + với β > Thật vậy, ta cần chứng minh: (1) khơng có nghiệm x ≠ λ > π β Khi ta có điều cần chứng minh Ta dùng phản chứng Giả sử (1) có nghiệm x ≠ λ > π β Ta có: x'' + λβ x = λ ( β x − f ( x ) ) ≤ (do f ( ρ ) ≥ βρ ) ⇒ x'' ≤ −λβ x Mặt khác: với y ( t ) = sin (π t ) , ta có: −π xy x'' y ≤ −λβ xy J y'' + π y = ⇒ xy'' = Do đó: ∫ ( x'' y − xy'' ) dt ≤ (π − βλ ) ∫ xydt Áp dụng tích phân phần, ta lại có: ∫ x'' ydt =( x′y − xy′) 1 + ∫ xy′′dt ⇒ ∫ ( x'' y − xy′′ ) dt =( x′y − xy′ ) = x′.sin (π t ) − xπ cos (π t )  =0 0 1 (do x= ( ) x= (1) ) Suy ra: ≤ (π − βλ ) ∫ xydt ⇒ π − βλ ≥ ⇒ π ≥ βλ , với x ≠ (do x ≠ ⇒ x > ( ,1) (do (a)) y ≥ J ), mâu thuẫn với λ > π β (c) Tập liên thông C bị chặn theo phương x f ( ρ0 ) = với ρ0 > Thực tế x < ρ0 ( λ ,x ) ∈ C Chú ý x ( t0 ) = x =⇒ ρ0 x' ( t0 ) = , x ( t ) = ρ0 tính giải toán: x'' = − λ f ( x ) , x ( t0 ) = ρ0 , x' ( t0 ) = Khi đó, ta có x ≥ rε > , ( λ ,x ) ∈ C λ − λ0 ≥ ε > Thật vậy, ( λn ,xn ) ∈ C , λn − λ0 ≥ ε xn → ( λn ) khơng thể bị chặn, điều sinh giá trị riêng khác T K Nhưng λn → ∞ khơng thể f (ρ) ≥ α0 với ρ nhỏ argument cho (b) yêu cầu nghiệm nhỏ 2ρ (d) Tương tự kết nhận cho phân nhánh vơ cực f có đường tiệm cận tuyến tính dương Thay điều giả sử, ta buộc giả thiết yếu hơn: α ρ + o ( ρ ) ≤ f ( ρ ) ≤ α1ρ + o ( ρ ) , ρ → ∞ , với < α ≤ α1 (2) giải thích cho thủ thuật khác chứa đựng việc dùng nhiễu loạn thích hợp f ( λ ,x ) λ f ( x ) cho toán đơn giản x′′ + f ( λ ,x ) = 0, x ( ) = x (1) = (3) Có thể giải kết chứng minh định lý trung bình nghiệm làm nghiệm (1), λ _ lân cận Vì vậy,= đặt λi π= α i , i 0,1,2 N = 0} Ta định nghĩa {ρ > : f ( ρ ) = nhiễu loạn f sau: Nếu N ≠ ∅ , lấy ρ0 > đủ nhỏ ρ1 đủ lớn f , ta định nghĩa f1 :  + →  + xác định bởi: f1 = f  + \ ( ρ0 , ρ1 ) f1 ( ρ ) = ( ρ0 , ρ1 ) Nếu N = ∅ lấy f1 = f  + Như nhiễu loạn thứ hai f, xét f ánh xạ Lipschitz địa phương, f lân cận bên phải lân cận ∞ cho f ( ρ ) ≥ βρ  + với β > Xem Hình 4.1 sau: Hình 4.1 Bây giờ, ta chọn µ1 < µ2 < µ3 < µ4 cho µ1 > max λ0 ,λ2 µ4 > π β định { } nghĩa f :  + ×  + →  + xác định bởi: λ f ( ρ ) treân [ , à1 ] ì + f ( λ , ρ ) λ f ( ρ ) treân [ , ] ì + =  + λ f ( ρ ) treõn [ à4 , ) ì , v f ( (1 − s ) µi + sµi +1 , ρ ) =− 1,3 (1 s ) f ( µi , ρ ) + s f ( µi+1 , ρ ) , với s ∈ [0,1] ; i = Rõ ràng, định nghĩa f cho f ( λ , ) có tính chất tiệm cận (a) (2) λ f Hơn nữa, (1) (3) có tập nghiệm với λ ≤ µ1 Tiếp đó, từ λ0 = λ0 (3) có điểm phân nhánh nhánh nghiệm tầm thường Ta có, tập liên thơng khơng bị chặn C1 nghiệm không tầm thường (3), phân ( ) nhánh λ0 ,0 Rõ ràng, C1 bị chặn µ4 theo phương λ , lưu ý từ phần (b), kéo theo C1 không bị chặn theo phương x Như vậy, nhận phân nhánh vơ cực tốn góc (1) ta thấy phần (khúc) C1 tương ứng với x, thật thính hợp miền λ ≤ µ1 (xem Hình 4.1) Các chắn = x rε= ,λ µ4 mn chn [ 0, à3 ] ì [ , ρ1 ] hiển nhiên Cuối cùng, ta thấy cho ε > , tồn Rε > cho ( λ ,x ) ∈ C1 λ ∉ λ1 − ε ,λ2 + ε  = Y kéo theo x < Rε , tức có chắn= x Rε , λ ∉ Y Thật vậy, giả sử ( λn ,xn ) ∈ C1 , λn ≥ λ2 + ε xn → ∞ (trái lại với x < Rε ) Từ λn ≤ µ4 , ta giả sử λn → λ* ≥ λ2 + ε Đặt = (3) phương trình tích phân tương đương x = L f ( λ ,x ) , L = α 0−1T với T từ (a) compắc Từ λn ≤ µ4 = f có đường tăng, ta có xn viết xn (4) f ( λ ,x ) n n bị chặn Do đó, xn L f ( λn ,xn ) xn hội tụ Khơng tính tổng quát, giả sử → v với = xn xn v ∈ K ∩ ∂B ( ,1) Từ f ( ρ ) ≥ α ρ + o ( ρ ) ρ → ∞ λn → λ* , ta có: λn f ( ρ ) ≥ λnα ρ + λn o ( ρ ) −1 Đặt ρ = Lvn , ta có:= L= ρ f ( λn= , ρ ) λn f ( ρ ) (do λn ≤ µ4 ) Suy ra: ≥ λnα Lvn + zn , với zn → ( (5) ) Do đó: v ≥ λ*α Lv ≥ λ2 + ε α Lv ≥ (π + εα ) Lv Với z = Lv , ta có: z′′ + (π + εα ) z ≤ z′′ + v , mà z′′ + v = z′′ + L−1 z = z′′ + f ( λ ,z ) = (do (4) (3)) nên z′′ + (π + εα ) z ≤ argument cho (b) kéo theo z = Lại z′′ + v = nên v = − z′′ = , mâu thuẫn với (5) Như vậy, ta có chắn x = Rε với ( λ ,x ) ∈ C1 , λ > λ2 + ε trường hợp λ < λ1 − ε làm tương tự Xa hơn, ta có tập liên thơng C∞ phân nhánh ∞ tập liên thông C0 phân nhánh ( λ0 ,0 ) , tốn (1) miền λ ≤ µ1 Bây giờ, ta lấy µ1 → ∞ để thấy tồn tồn Chúng khơng thể giao f có zero dương chúng đơn vị f ( ρ ) > với ρ > Trong dải ρ0 < x < ρ1 có nhánh liên tục nghiệm (1) khác, biểu thị Hình 4.1 Như vậy, nhiễu loạn gần cho ta kiện mà coi tập nghiệm điều giúp ta đáng kể ta cố gắng tính tốn nhánh KẾT LUẬN Trong luận văn này, bước đầu chúng tơi trình bày số kết phân nhánh nghiệm từ giá trị riêng đơn, phân nhánh nghiệm toàn cục, phân nhánh nghiệm dương phương trình phi tuyến số ứng dụng chúng Đây cách tiếp cận chúng Hướng nghiên cứu tìm ứng dụng kết lý thuyết vào lớp tốn cụ thể Qua q trình làm luận văn, nhận thấy kiến thức học học phần: giải tích hàm nâng cao, giải tích phi tuyến, lý thuyết bậc tơpơ,…đã giúp chúng tơi nhiều việc hồn thành luận văn Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học tự nghiên cứu Chúng hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985 [2] K Schmitt, R.C Thompson, Nonlinear Functional Analysis and Differential Equations, 2004 [3] G Whyburn, Analytic Topolgy, Amer Math Soc., Provindece, 1942 [4] Phan Tự Vựng, luận văn thạc sĩ phương trình với ánh xạ đa trị khơng gian có thứ tự, 2009 ... tài • Trình bày cách hệ thống, chi tiết số định lý phân nhánh nghiệm, định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz • Giới thiệu phương pháp khác nghiên cứu phân nhánh. .. luận văn này, bước đầu chúng tơi trình bày số kết phân nhánh nghiệm từ giá trị riêng đơn, phân nhánh nghiệm tồn cục, phân nhánh nghiệm dương phương trình phi tuyến số ứng dụng chúng Đây cách tiếp... LeraySchauder áp dụng nó; trình bày định lý hàm ẩn tồn cục, từ đến mở rộng định lý phân nhánh địa phương Chương 2, định lý Rabinowitz phân nhánh toàn cục ứng dụng định lý Chương Trình bày khái niệm