Không gian mêtric mờ làm đầy được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Phạm Việt Duy Kha LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe thành công! Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 27 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Phạm Việt Duy Kha MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất không gian tôpô 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Không gian mêtric 1.4 Phần trong, bao đóng, biên, đường kính tập hợp, tập trù mật 11 1.5 Không gian khả ly 13 1.6 Ánh xạ liên tục 13 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ 15 2.1 Định nghĩa t-chuẩn 15 2.2 Ví dụ t-chuẩn 15 2.3 Định nghĩa Không gian mêtric mờ 16 2.4 Tính chất khơng giảm ánh xạ tập mờ 17 2.5 Định nghĩa Mêtric mờ ổn định 17 2.6 Định nghĩa Mêtric mờ mạnh 17 2.7 Định nghĩa Tôpô mờ tập mờ mở 17 2.8 Quả cầu mở 18 2.9 Hệ 19 2.10 Định lý không gian mêtric mờ không gian Hausdorff 19 2.11 Mêtric mờ chuẩn 20 2.12 Định nghĩa tập F- bị chặn 20 2.13 Định lý tập compact không gian mêtric 20 2.14 Định lý dãy hội tụ 21 2.15 Định nghĩa dãy Cauchy không gian mêtric mờ 22 Chương GIỚI THIỆU KHƠNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ 23 3.1 Không gian mêtric mờ đầy đủ 23 3.2 Không gian mêtric mờ phân tầng 29 3.3 Một số ví dụ phản ví dụ không gian mêtric mờ phân tầng 30 3.4 Các định lý không gian mêtric mờ phân tầng tính làm đầy 34 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Khi nghiên cứu khơng gian mới, ngồi việc tìm hiểu tương đồng với không gian biết, vấn đề khiến nhà Tốn học đặc biệt quan tâm tìm hiểu khác biệt với lí thuyết cổ điển Việc nghiên cứu khơng gian mêtric mờ khơng nằm ngồi định hướng Ngay từ khái niệm hình thành, hai chủ đề vừa nêu thu hút mạnh mẽ ý nhà Toán học khắp giới Trong số người tiên phong tìm hiểu lí thuyết khơng gian mêtric mờ, Geogre Veermani tên bật với việc xây dựng khái niệm tảng ban đầu tương đồng định với khơng gian biết Ví dụ họ chứng minh mêtric mờ M tập X cảm sinh tôpô  M X, điều tương tự lí thuyết cổ điển Kế thừa kết này, sau V Gregori S Romaguera chứng minh tơpơ cảm sinh khơng gian mêtric mờ đầy đủ khả mêtric đầy đủ [12] Chính nhờ vào chứng minh mà kết khơng gian mêtric lí thuyết cổ điển thác triển phát biểu cấu trúc mêtric mờ tính đầy đủ, tính khả li, tính compact [12] Ngồi vấn đề tương đồng nói trên, để làm rõ khác biệt với lí thuyết cổ điển khơng gian mêtric, nhiều nhà Toán học V Gregori, J.J Minana , S.Morillas, S Romaguera, A Sapena, … [6, 8, 9, 13, 14, 15] khơng ngừng tìm hiểu tính đầy đủ khơng gian mêtric mờ Trong đó, ta đặc biệt ý đến kết Gregori Romaguera việc chứng minh tồn không gian mêtric mờ làm đầy [13], để từ đây, cặp tác giả tìm hiểu đưa dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy Kết tiếp tục phát triển hoàn thiện V Gregori, J.J Minana , A Sapena góp phần tạo nhiều ứng dụng sau [15] 1.2 Thực tiễn đề tài Các dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy hai tác giả Gregori Romaguera phát biểu sau [14]: Một không gian mêtric mờ  X , M ,* gọi làm đầy với cặp dãy Cauchy an , bn  X điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép gán tương ứng t với lim M  an , bn , t  , t  ánh xạ liên tục n  0,   , xét theo tôpô thông thường (ii) Mỗi cặp dãy Cauchy tương đương điểm tương đương, nghĩa lim M  an , bn , s   với s  lim M  an , bn , t   với t  n n (iii) lim M  an , bn , t   với t  n Với đời nhóm dấu hiệu này, việc tìm kiếm lớp khơng gian mêtric mờ làm đầy trở thành câu hỏi thú vị dành cho nhà toán học Và đặc biệt nữa, ba điều kiện vừa nêu chứng minh xem hệ tiên đề hoàn toàn độc lập [8] Và thực tế, dựa vào “hệ tiên đề” này, Gregori số nhà toán học khác nhiều trường hợp không gian mêtric mờ không làm đầy thỏa mãn hai số ba điều kiện nêu Để có điều kiện (iii) thỏa mãn không gian mêtric mờ  X , M ,* * phải t-chuẩn dương Giả thiết vậy, mêtric mờ mạnh (phi Archimedes) làm đầy điều kiện (ii) thỏa mãn [8] hệ suy trực tiếp từ việc điều kiện (i) thỏa mãn không mêtric mờ mạnh [9] Và suốt thời gian, nhà Toán học chưa tìm hướng tiếp cận cho điều kiện (ii) cơng trình V Gregori, J.J Minana , A Sapena vào năm 2017 [15] Khung lí thuyết tham chiếu Dựa kiến thức tảng Tôpô đại cương, Tôpô mờ đặc biệt hệ thống khái niệm nghiên cứu tính chất Tơpơ mờ tính đầy đủ không gian tôpô mờ Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy nêu Định lí 1, luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định lớp không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện (ii) để có hướng tiếp cận tiện lợi cơng tìm kiếm khơng gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là:  Chỉ lớp không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian mêtric mờ quen thuộc  Cung cấp ví dụ khơng gian mêtric mờ khơng phân tầng  Chỉ hướng tiếp cận khác việc tìm kiếm khơng gian mêtric mờ phân tầng 3.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số cơng trình có làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu có để chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết thúc ba chương Mở đầu Trong phần tơi trình bày ghi nhận ban đầu thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Các kiến thức chuẩn bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thông, không gian mêtric, kiến thức tiên đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm không gian tôpô thông thường Và đặc biệt nhấn mạnh khái niệm, định lý tính đầy đủ lý thuyết mêtric Chương 2: Một số khái niệm tính chất Khơng gian mêtric mờ Trong chương nêu số kiến thức không gian mêtric mờ Geogre Veeramani để làm tiền đề cho việc thông hiểu số ký hiệu sử dụng số tính chất chứng minh đề cập chương sau Chương 3: Giới thiệu Không gian mêtric phân tầng – Tính đầy đủ Khơng gian mêtric mờ Trong chương nêu lại số định nghĩa kết việc nghiên cứu tính đầy đủ không gian mêtric mờ trước đây, giới thiệu khái niệm không gian mêtric mờ phân tầng mà cần tới chứng minh sau Cuối cùng, tơi trình bày rõ ràng lại phần chứng minh số kết quan trọng liên quan đến tính đầy đủ lớp không gian mêtric mờ; đồng thời cung cấp số ví dụ để minh họa làm rõ luận điểm nêu Kết luận: Tơi trình bày lại cách rõ ràng kết chứng minh chương chương 3, đồng thời nêu số vấn đề mở rộng phương hướng nghiên cứu tương lai 35 n2  m  , m  n1 | M  am , bm ,s   M  x2 , y2 , s  Từ ta định nghĩa theo quy nạp dãy M  a , b , s  n n n M  a ni , bni , s i dãy thỏa mãn M  ani , bni , s   M  xi , yi , s  , i  Do M phân tầng điều kiện (1) thỏa mãn nên ta suy lim M  ani , bni , t   lim M  xi , yi , t   1, t  i  i  Lấy t  0,    0,1 , chọn    0,1 cho  *  *    Ta có: t t t    M  an , bn , t   M  an , ani ,  * M  ani , bni ,  * M  bni , bn ,  3 3 3    Do an,bn dãy Cauchy nên tồn p cho t t   M  an , ani ,    , M  bni , bn ,    , n, ni  p 3 3   Vì t  lim M  ani , bni ,   i  3  nên tồn q cho t  M  ani , bni ,    , i  q 3  Chọn n0  max  p, q , ta có M  an , bn , t    *  *    , n  n0 từ ta suy lim  an , bn , t   n  Cần lưu ý: (i) Chiều đảo định lý khơng Điển hình phản ví dụ 3.3.4, cặp dãy Cauchy tương đương điểm tương đương, chứng minh ví dụ không phân tầng Kết luận nhấn mạnh thực tiễn lớp không gian phân tầng thỏa mãn điều kiện (ii) Định lý 3.1.14, chưa thể mối quan hệ chiều hạn chế việc sử dụng dấu hiệu 36 (ii) Ta thay tính chất phân tầng tính mạnh định lý vừa nêu Bằng chứng ta chứng minh  X , M ,* Phản ví dụ 3.3.5 mạnh, đồng thời tồn cặp dãy tương đương điểm khơng tương đương Hay nói cách khác, điều kiện (i) (ii) 3.1.14 thay lẫn Quay lại với định lý 3.1.14, [15] tác giả có đề cập đến việc để có điều kiện (iii) thỏa mãn không gian mêtric mờ  X , M ,* * phải dương Ta bắt đầu sử dụng giả thiết * dương từ phần trở sau việc khảo sát 3.4.2 Bổ đề dãy hội tụ Cho  X , M ,  không gian mêtric mờ * dương Lấy an ,bn  hai dãy Cauchy X t  Nếu dãy M  an , bn , t  hội tụ c theo tơpơ thơng thường c  Chứng minh Lấy  xn  , yn  hai dãy Cauchy X giả sử lim  xn , yn , t   c n Lấy    0,1 , tồn p cho t  M  xr , xs ,     3  t  M  yr , ys ,     với r , s  p 3  t  Đặt M  x p , y p ,   a    1     a  1     (do  dương) 3  Khi đó, với n  p , ta có: 37 t t t    M  xn , yn , t   M  xn , x p ,   M  x p , y p ,   M  y p , yn ,  3 3 3     1     a  1      Như lim M  xn , yn , t   c     n 3.4.3 Mệnh đề không gian mêtric mờ phân tầng làm đầy Dựa vào định lý 3.4.1 bổ đề 3.4.2, ta có mệnh đề sau: Cho  X , M ,  không gian mêtric mờ phân tầng * dương  X , M , làm đầy điều kiện (i) định lý 3.1.14 thỏa mãn (tức bổ sung điều kiện mạnh) Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này, ta thay điều kiện (i) định lý 3.1.14 điều kiện tương đương, điều kiện (i) 3.1.13 Nếu chứng minh điều này, ta bỏ qua điều kiện (ii) (vốn khó tiếp cận) với lớp khơng gian mêtric mờ phân tầng Như toán quy việc chứng minh xn , yn  dãy Cauchy X, t  M  xn , yn , t  hội tụ  0,1   Vì M  xn , yn , t  0,1 , ta chọn dãy M xni , yni , t cho dãy hội tụ c0,1     Vì xni   xn  , yni   yn  nên chúng dãy Cauchy Kết hợp bổ đề 3.4.2 ta thu kết c  Lấy    0,1 cho c    0, t  Ta nhận thấy tồn p  M  x n , yn , t   c   với m  p cho 38 Để chứng minh tính chất trên, ta chọn    0,1 cho       c    c    Vì   xn , yn  dãy Cauchy nên tồn l    cho M x m , xni , t    M y ni , ym , t   với m, i  l Ngoài ra, tồn q     cho M x ni , yni , t  c  , với i  q M  x , y , t  hội tụ c ni ni Đặt p  max l , q Vì M mêtric mạnh nên với m  p ta có:      M  xm , ym , t   M xm , xn p , t  M xn p , yn p , t  M yn p , ym , t        c     c   2  Bây giờ, thông qua phép hạn chế, ta chứng minh lim  xn , yn , t   c n Xét c  , ta có điều phải chứng minh cách hiển nhiên theo định lý 3.4.1   Xét c  , giả sử M  xni , yni , t  khơng hội tụ c Khi tồn   với  c   , c      0,1 cho có vơ hạn phần tử dãy M  xn , yn , t  nằm tập compact 0, c     c   ,1    M  x , y ,t  hội tụ e , e  c e  theo bổ đề 3.4.2,  x  , y  dãy Cauchy Suy tồn dãy M xn' j , yn' j , t n ' nj n ' nj X Xem c  e , lấy  '  ec cho  c   '  c   '  e   ' 39 Theo nhận xét chứng minh trên, ta vận dụng với e ,  '  0, t  cho M  xn , yn , t   e   ' với m  p1 tồn p1  Vì  M  x , y , t  ni hội tụ c ni nên tồn p2  cho  M xni , yni , t   c   ', c   ' với i  p2 Điều mâu thuẫn với ý vừa chứng minh Bây ngược lại giả sử c  e , ta xét  '   0,1 với   '  ce cho  e  ' e  ' c e Vì  M  x ' nj , yn' j , t  hội tụ e nên tồn p3  cho  M xn' j , yn' j , t   e   ', e   ' , với n 'j  p3 , điều mâu thuẫn với tính chất M  xm , ym , t   c   , với m  p Và vậy, ta chứng minh M  xn , yn , t  hội tụ c  Sau luận văn giới thiệu định lý sau cùng, công cụ để lớp rộng không gian mêtric mờ làm đầy được, hay nói cách khác chứng minh cách đầy đủ việc mêtric mờ mạnh phân tầng kèm theo điều kiện * dương thỏa mãn trọn vẹn định lý 3.1.14 dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy 3.4.4 Định lý không gian mêtric mờ làm đầy Cho  M ,  mêtric mờ mạnh phân tầng X với * dương Khi  X , M ,* làm đầy Chứng minh Lấy an ,bn  hai dãy Cauchy X Ánh xạ gán tương ứng t với lim M  an , bn , t  liên tục  0, n trang bị tôpô thông thường 40 Vì M mạnh nên điều kiện (i) định lý 3.1.14 thỏa mãn Theo bổ đề 3.4.2, ta có lim M  an , bn , t   điều kiện (iii) định n lý 3.1.14 thỏa mãn Cuối cùng, dựa theo định lý 3.4.1, ta có kết điều kiện (ii) định lý 3.1.14 thỏa mãn Và ta kết luận  X , M ,* làm đầy  Với định lý 3.4.4, từ ta mạnh dạn áp dụng 3.1.14 dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy lớp mêtric mờ mạnh phân tầng kèm theo điều kiện * dương Tuy nhiên cần đặc biệt lưu ý chiều ngược lại định lý khơng Thật vậy, phản ví dụ 3.3.4 cho không gian mêtric mờ mạnh làm đầy Tuy nhiên ra, không gian không phân tầng, chiều đảo định lý 3.4.4 lúc xảy 3.4.5 Hệ tính làm đầy Lấy  M ,   siêu mêtric mờ phân tầng X Với giả thiết siêu mêtric mờ mêtric hiển nhiên mạnh thỏa mãn (i) Khi  X , M ,   làm đầy Hệ suy trực tiếp từ định lý 3.4.4 Tuy nhiên cần lưu ý trường hợp tổng quát siêu mêtric mờ lúc làm đầy Điều minh họa qua số ví dụ mục 3.5 3.5 Ví dụ minh họa cho ý nghĩa điều kiện định lý 3.4.4 Trong mục này, luận văn tập trung giới thiệu ví dụ để minh họa kết có 3.4 Đặc biệt, trọng nhấn mạnh tất điều kiện định lý 3.4.4 cần thỏa mãn đầy đủ dùng làm dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy 41 3.5.1 Ví dụ 1: Khơng gian mêtric mờ phân tầng khơng làm đầy dù có t-chuẩn dương (thiếu điều kiện mạnh) Lấy d mêtric thông thường giới hạn X   0,1 xét mêtric mờ chuẩn M d cảm sinh d Định nghĩa ánh xạ:  M d  x, y , t  ,  t  d  x, y    M x, y,2t  t  d  x, y   M x, y, t   t   d  d  d  x, y   d  x, y  M  x, y , t    , d x, y  t      M d  x, y,2t  , t   Khi   0,1, M ,  khơng gian mêtric mờ (xem Mệnh đề 9, [6]) Trong tài liệu [6], tác giả chứng minh  M ,  vừa không làm đầy vừa mêtric mờ mạnh X (xem Lưu ý 13, 14, [6]) Ngồi ta có t-chuẩn  dương Kế tiếp ta chứng minh  M ,  mêtric mờ phân tầng X Cần ý d  x, y   d  x ', y ' M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  Giả sử M  x, y, t0   M  x ', y ', t0  , t0  Ta chứng minh M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  Xét trường hợp sau: 1) Nếu  t0  d  x, y   t0  d  x ', y ' thì: M  x, y , t   t0 t0   M  x ', y ', t0  t0  d  x, y  t0  d  x ', y ' d  x, y   d  x ', y ' Từ ta rút kết luận M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  42 2) Nếu t0  M  x, y, t0   2t0 2t0  2t0  d  x, y  2t0  d  x ', y ' d  x, y   d  x ', y ' Tương tự ta rút kết luận M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  3) Giả sử d  x, y   t0  d  x ', y '  t0  Hiển nhiên d  x, y   d  x ', y ' M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  Khơng tính tổng qt, giả sử d  x, y   d  x ', y ' Khi M d  x, y, t   M d  x ', y ', t  , t  Hơn M d  x, y,2t   M d  x, y, t  , x, y   0,1 Ta có: M  x, y, t0   M d  x, y,2t0    M d  x, y,2t0   t0  d  x , y   t0  M d  x, y , t    d  x, y   d  x, y  t0  d  x ', y '  t0  M d  x, y , t    d  x ', y '  d  x ', y '  t  d  x, y  t0  d  x ', y '   M d  x, y,2t0       d x , y  d  x ', y '       t0   t0  M d  x, y , t0       d x , y  d x ', y '        M d  x ', y ',2t0   t0  d  x ', y '   t0  M d  x ', y ', t0    d  x ', y '  d  x ', y '   t  d  x, y  t0  d  x ', y '   t0  t0  M d  x, y , t0          d  x, y   d  x ', y '   d  x, y   d  x ', y '    M d  x ', y ',2t0   t0  d  x ', y '  t0  M d  x ', y ', t0    d  x ', y '  d  x, y   M  x ', y ', t0  trái giả thiết Vậy M  x, y, t   M  x ', y ', t  , t  43 4) Cuối cùng, xét trường hợp d  x, y   t0  t0  d  x ', y ' Ta chứng minh trường hợp xảy Với d  x, y   d  x ', y ' , dựa vào giả sử ban đầu, ta có: M  x ', y ', t0    t0 t0  d  x ', y ' t  d  x, y  2t0 t0  t0  2t0  d  x ', y '  d  x, y  t0  d  x, y   d  x, y   M  x, y , t0  Rõ ràng M  x, y, t0   M  x, y , t   t0 vậy: t0  d  x, y  t0 t0   M  x ', y ', t0  t0  d  x, y  t0  d  x ', y ' Điều hiển nhiên vô lí 3.5.2 Ví dụ 2: Khơng gian mêtric mờ mạnh phân tầng không làm đầy (thiếu t-chuẩn dương) Lấy  t-chuẩn không dương nêu Ví dụ 2.2: a  b  max a  b  1,0 với a, b0,1 Lấy  xn n3 , yn n3 dãy phân biệt Đặt A   xn n3 , B   yn n3 , giả sử A  B   Đặt X  A  B , định nghĩa hàm giá trị thực M X  X   0,   thỏa mãn:   1 M  xn , xm , t   M  yn , ym , t      , m , n max m , n       1 M  xn , ym , t   M  ym , xn , t    n m với n, m  44 Trong tài liệu [13], Ví dụ 2, tác giả chứng minh  X , M ,  không gian mêtric mờ không làm đầy Theo cách định nghĩa hàm giá trị thực trên, ta nhận thấy hàm lấy giá trị không phụ thuộc vào xn , ym hay nói cách khác  M ,  mêtric mờ ổn định Trong phần trước, ta nêu rõ mêtric mờ ổn định mạnh phân tầng (xem 3.3.1),  M ,  mêtric mờ mạnh phân tầng Vậy ta nêu trường hợp t-chuẩn  khơng dương khơng xảy tính chất làm đầy 3.5.3 Ví dụ 3: Không gian mêtric mờ mạnh không làm đầy với t-chuẩn dương (thiếu điều kiện phân tầng) Xét không gian mêtric mờ  X , M ,   cho 3.3.5 Ta có  dương suy trực tiếp từ Ví dụ 2.2, a  b  a, b  a  b  Ta chứng minh  M ,   mạnh Đầu tiên nhắc lại cách xây dựng  M ,   3.3.5 với trường hợp sau: M  xn , ym , t   M  ym , xn , t   xn  ym , n, m  , t  M  xn , ym , t   M  ym , xn , t   xn  ym  t , n, m  ,0  t  Lấy zk  dãy tăng nghiêm ngặt số thực dương hội tụ theo mêtric Ơ-clit Nếu t  , ta có: M  xn , zk , t   xn  zk   xn , zk     xn , ym  ,min  yn , zk    M  xn , ym , t   M  ym ,z k , t  Do  M ,   mạnh Trường hợp  t  1chứng minh tương tự Ngoài ra, tài liệu [14], Ví dụ 2, chứng minh mêtric  M ,   không làm đầy X 45 Cuối cùng, ta chứng minh luận văn  M ,   không phân tầng (Phản ví dụ 3.3.5) Bên cạnh đó, với nhận xét  X , M ,   không gian siêu mêtric mờ, ta rút kết luận đề cập cuối mục 3.4: Trong trường hợp tổng quát, lúc không gian siêu mêtric mờ trang bị t-chuẩn dương làm đầy thiếu điều kiện phân tầng 46 KẾT LUẬN Những kết đạt Từ dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được, luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định lớp không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện nêu định lý 3.1.14, từ có hướng tiếp cận tiện lợi việc tìm kiếm khơng gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là:  Chỉ lớp không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian mêtric mờ quen thuộc, đối tượng tiện lợi cho nghiên cứu  Chỉ điều kiện (ii) (iii) định lý 3.1.14 thay trường hợp định, dùng để nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy (3.4.3)  Chỉ lớp khơng gian mêtric mờ áp dụng 3.1.14 để xét tính làm đầy (xem 3.4.4)  Làm rõ độc lập đặc tính không gian mêtric mờ nêu 3.4.4 nhấn mạnh việc áp dụng dấu hiệu 3.1.14 hạn chế áp dụng lớp không gian mêtric mờ mạnh phân tầng trang bị t-chuẩn dương (xem phân tích cuối định lý 3.4.4) Hướng nghiên cứu Như vậy, việc tìm kiếm dấu hiệu phổ quát để nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được, ta quay lại với tảng ban đầu từ dãy Cauchy Trong [8], tác giả chứng minh ánh xạ tương ứng t với lim M  an , bn , t  , t  ánh xạ liên tục, với hai dãy n Cauchy không gian mêtric mờ mạnh an,bn dãy 47 Tuy nhiên nhận định lại chưa với trường hợp không gian mêtric mờ phân tầng tổng quát (trong [6], ví dụ 3.3, tác giả tìm dãy Cauchy khiến cho ánh xạ không liên tục trường hợp ví dụ 3.5.1) Hay nói cách khác, điều kiện phân tầng khơng thể thay hoàn toàn điều kiện mạnh để thỏa mãn (i) 3.1.14 Dù với việc điều kiện phân tầng giúp ta thay (ii) 3.1.14, ta tiếp tục đặt câu hỏi cho việc tiếp tục nghiên cứu mối tương quan điều kiện phân tầng điều kiện (iii), nghĩa là: Lấy  X , M ,* không gian mêtric mờ phân tầng dãy an ,bn  dãy Cauchy X Liệu có tồn lim M  an , bn , t  với t  ? n 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Trần Tráng (2004) “Tôpô đại cương”, Nxb Đại học Sư phạm TP HCM Đậu Thế Cấp (2005) “Tôpô đại cương”, NXB Giáo dục Tài liệu nước D Mihet (2007), “On fuzzy contractive mappings in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 158, 915-921 George, P Veeramani (1994), “On some results in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 64, 395-399 George, P Veeramani (1997), “On some results of analysis for fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 90, 365-368 V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2015), “On completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 267, 133-139 V Gregori, J.J Minana , S Morillas (2012), “Some questions in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 204, 71-85 V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Characterizing a class of completable fuzzy metric spaces”, Topology and its Applications, 3-11 V Gregori, S Morillas, A Sapena (2010), “On a class of completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 161, 2193-2205 10 V Gregori, S Morillas, A Sapena (2011), “Examples of fuzzy metrics and applications”, Fuzzy, Sets and Systems (170), 95–111 11 V Gregori, J.J Minana , S Morillas, A Sapena (2016), “Cauchyness and convergence in fuzzy metric spaces”, RACSAM, Volume 111, Issue 1, 25– 37 12 V Gregori, S Romaguera (2000), “Some properties of fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 115, 485-489 49 13 V Gregori, S Romaguera, “On completion of fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 130 (2002) 399-404 14 V Gregori, S Romaguera (2004), “Characterizing completable fuzzy metric spaces”, Fuzzy Sets and Systems 144, 411-420 15 V Gregori, J.J Minana , A Sapena (2017), “Completable fuzzy metric spaces”, Topology and its application, Volume 225, 103-111 ... Cauchy không gian mêtric mờ 22 Chương GIỚI THIỆU KHƠNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ 23 3.1 Không gian mêtric mờ đầy đủ 23 3.2 Không gian mêtric mờ phân... 1.2.6 Tính chất 1) T1  không gian T0  không gian 2) T2  không gian T1  không gian 3) T3  không gian T2  không gian 4) T4  không gian T3  không gian 1.3 Không gian mêtric 1.3.1 Định nghĩa... mêtric mờ  X , M ,* không gian mêtric mờ đầy đủ Y , N ,   cho  X , M ,* đẳng cự với không gian trù mật Y 3.1.11 Định nghĩa không gian làm đầy Lấy  X , M ,* không gian mêtric mờ X gọi làm đầy