Các cấp độ whitney trong các siêu không gian của continua không metric hóa được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tấn Thuận CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA KHÔNG METRIC HĨA ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Tấn Thuận CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC SIÊU KHƠNG GIAN CỦA CONTINUA KHƠNG METRIC HĨA ĐƯỢC Chun ngành: Hình Học Tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian Hausdorff tiên đề tách 1.3 Cơ sở 1.4 Ánh xạ liên tục 1.5 Tập compact 1.6 Tập liên thông 10 1.7 Metric 13 1.8 Continuum 14 Chương ÁNH XẠ WHITNEY – CẤP ĐỘ WHITNEY 18 2.1 Giới thiệu 18 2.2 Siêu không gian 19 2.3 Ví dụ minh họa mơ hình siêu không gian 20 2.4 Tôpô Vietoris 23 2.5 Cung tổng quát hóa 24 2.6 Ánh xạ Whitney 24 2.7 Định lí 27 2.8 Ví dụ 27 2.9 Cung thứ tự cung dài thứ tự 28 2.10 Cấp độ Whitney continuum metric hóa 29 2.11 Định lí 30 2.12 Định nghĩa cấp độ Whitney continuum khơng metric hóa 30 2.13 Các định lí hệ 31 2.14 Định lí 36 2.15 Bổ đề 38 2.16 Định lí 38 2.17 Định lí 43 2.18 Định lí 43 2.19 Định lí 45 Chương ỨNG DỤNG CẤP ĐỘ WHITNEY 47 3.1 Các cung tổng quát hóa 47 3.2 Định lí 49 3.3 Kết 52 3.4 Cung dài 52 3.5 Cấp độ Whitney cung dài 55 3.6 Hình vng từ điển 56 3.7 Thứ tự từ điển hình vng đơn vị 56 3.8 Ví dụ 56 3.9 Cấp độ Whitney hình vng từ điển 57 3.10 Các kết quan trọng 59 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 LỜI CẢM ƠN Luận văn Thạc sĩ hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Trong trình viết luận văn, Thầy nhiệt tình, tận tụy hướng dẫn, dạy biết cách đọc tài liệu, biết phương pháp viết luận văn phương pháp nghiên cứu khoa học Qua đây, xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tơi xin kính chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi thành công nghiệp giáo dục  Tôi xin trân trọng cảm ơn đến TS Nguyễn Hà Thanh, suốt thời gian học cao học làm luận văn Thầy nhiệt tình dạy bảo, dẫn, động viên, nhắc nhở học tập hướng dẫn làm tốt luận văn Tôi xin chân thành biết ơn Thầy, xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi dào, thành cơng nghiệp giáo dục đạt nhiều thành công, kết công việc nghiên cứu khoa học  Tôi xin trân trọng cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, phịng Kế hoạch - Tài chính, q Thầy Cơ phịng Sau đại học khoa Tốn – Tin, Tổ Hình học Tơpơ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho học tập suốt hai năm vừa qua  Tôi xin cảm ơn bạn bè lớp Hình học Tơpơ K24 đồng hành giúp đỡ, chia sẻ với nhiều trình thực luận văn kinh nghiệm học tập Đặc biệt xin cảm ơn anh chị Thạc sĩ khóa K23 anh chị khóa trước nhiệt tình giúp đỡ cho tơi suốt hai năm học thực luận văn Thạc sĩ Nguyễn Tấn Thuận LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học – Tơpơ chuyên ngành lớn Toán học quan tâm nhiều nhà Tốn học tồn giới Ứng dụng ngành lan tỏa vào nhiều ngành khoa học khác nhau, hứa hẹn mang nhiều đột phá lớn tương lai Và lĩnh vực mang tính thời nhiều nhà Tốn học quan tâm lý thuyết siêu khơng gian Lý thuyết siêu khơng gian hình thành từ đầu kỉ XX với cơng trình nghiên cứu F Hausdorff L Vietoris Nhà Toán học Vietoris chứng minh tính chất cấu trúc siêu không gian X tính compact (liên thơng) X tương đương với tính compact (liên thơng) X Trong trường hợp X không gian metric, họ tất tập khác rỗng đóng bị chặn X metric hóa tơpơ Hausdorff (metric Hausdorff), giới thiệu Hausdorff vào năm 1914 Sau vào năm 1942, kết quan trọng lý thuyết siêu không gian xuất luận văn J L Kelley mang tên “Hyperspace of a continuum” Bằng kết có, ơng tổng hợp lại đưa nhiều kết xuất Và ơng người sử dụng ánh xạ Whitney để nghiên cứu, khảo sát tính chất siêu khơng gian Ông sử dụng ánh xạ đặc biệt từ đoạn đơn vị đóng [ 0,1] vào siêu không gian, mà ông gọi “đoạn” Ánh xạ Whitney đoạn thẳng trở thành công cụ chuẩn lý thuyết siêu không gian để giải vấn đề tôpô Và báo Kelley báo đưa ứng dụng lý thuyết siêu không gian nước giới Giai đoạn quan trọng lý thuyết siêu khơng gian ánh xạ Whitney hình thành nhà Toán học Ernest Michael năm 1951 báo: “Topologies on space of subset” nghiên cứu mối liên hệ tính chất khơng gian X siêu khơng gian X từ dẫn đến mối liên quan đến siêu không gian Fn ( X ) , đặc biệt F2 ( X ) Và sau nghiên cứu cấp độ Whitney S Sirota vào năm 1968 S.B Nadler Jr vào năm 1970 đến 1978 Mark Lynch vào năm 1989 L.E Ward Jr vào năm 1981 Robert Cauty vào năm 1992 Đặc biệt báo quan trọng A Illanes, “The space of Whitney Levels” vào năm 1991 A Illanes, S.B Nadler Jr vào năm 1999 báo “Whitney maps – a non-metric case” J.J Charatonik, W.J Charatonik vào năm 2000 Liên tiếp sau hàng loạt kết quan trọng W.J Charatonik J Stone Hội nghị quốc tế Giải Tích Tơpơ Ukraine năm 2008… Do đó, ta thấy chủ đề chủ đề mang tính chất thời phát triển cách mạnh mẽ, có hướng phát triển liên tục ngày hấp dẫn, quan tâm sâu sắc nhiều nhà Toán học toàn giới Giai đoạn quan trọng lý thuyết siêu không gian năm 1942, luận án Tiến sĩ nhà Toán học J L Kelly xuất bản, lý thuyết siêu không gian trở thành phương pháp quan trọng để xác định, tổng hợp thông tin cấu trúc không gian tơpơ X cách nghiên cứu tính chất siêu không gian X siêu không gian khác Vấn đề cần thiết đặt ta thiết lập cơng thức cho việc nghiên cứu tính chất siêu khơng gian nhằm mục đích để thu thập nhiều thơng tin cấu trúc tính chất thân khơng gian khơng? Bởi cho trước không gian X , cấu trúc siêu không gian X khơng gian phức tạp khó để tưởng tượng, nhìn Hầu hết mơ hình hình học siêu không gian hình dung tưởng tượng Khi lý thuyết siêu khơng gian, nhà Tốn học tạo nhiều phương pháp nghiên cứu, phương pháp đặc biệt việc nghiên cứu siêu không gian ánh xạ Whitney cấu trúc ảnh ngược nó, gọi cấp độ Whitney để nghiên cứu, tiếp cận đến lý thuyết siêu không gian Cho X không gian continuum Hausdorff (là không gian Hausdorff compact, liên thông không suy biến) Đặt C ( X ) (và F1 ( X ) ) siêu không gian không gian continuum liên thơng (tập phần tử), trang bị tôpô Vietoris Trong luận văn, xin giới thiệu định nghĩa cấp độ Whitney siêu không gian C ( X ) nghiên cứu số tính chất chúng Với định nghĩa này, tập F1 ( X ) { X } C ( X ) cấp độ Whitney C ( X ) gọi cấp độ Whitney tầm thường Trong trường hợp đặc biệt X cung tổng quát hóa, ta thêm vài điều kiện vào tồn cấp độ Whitney không tầm thường siêu không gian continuum Và cuối cùng, ta áp dụng kết để nghiên cứu cấp độ Whitney C ( X ) X cung dài hình vng từ điển Luận văn tơi dựa vào tài liệu báo L M Garcia – Velazquez mang tên “Whitney levels in hyperspace of non – metrizable continua”, Topology Appl 182, 24 – 35 vào năm 2015 Với tính chất thời phát triển mạnh mẽ đề tài, lý tơi chọn đề tài “CÁC CẤP ĐỘ WHITNEY TRONG CÁC SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA KHƠNG METRIC HĨA ĐƯỢC” làm đề tài luận văn Thạc sĩ Luận văn gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ánh xạ Whitney – Cấp độ Whitney Chương 3: Ứng dụng cấp độ Whitney Mục đích đề tài Trình bày giới thiệu định nghĩa cấp độ Whitney siêu không gian C ( X ) không gian continuum Hausdorff X trình bày số tính chất chúng Sau đó, trình bày áp dụng nghiên cứu cấp độ Whitney siêu không gian C ( X ) X cung dài hình vng từ điển Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Không gian continuum Hausdorff b Siêu không gian c Ánh xạ Whitney – Cấp độ Whitney d Cung tổng quát hóa e Cung dài cung dài thứ tự f Hình vng từ điển Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài  Xây dựng cấu trúc thứ tự siêu không gian, đặc biệt C ( X )  Phát biểu định nghĩa ánh xạ Whitney tính chất chúng Sử dụng ánh xạ Whitney để đo lường, so sánh cấu trúc siêu khơng gian Từ tìm mối liên hệ tính chất quan trọng compact, liên thơng siêu khơng gian tương ứng với tính compact, liên thông không gian tôpô X ban đầu  Phát biểu định nghĩa cấp độ Whitney trường hợp continuum metric hóa khơng metric hóa tính chất cấp độ Whitney Sau áp dụng tính chất cấp độ Whitney vào cung tổng quát hóa, cung dài hình vng từ điển Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chủ yếu nhắc lại khái niệm, định nghĩa bản, tính chất khơng gian tơpơ Chương chương kiến thức tảng cho việc nghiên cứu continuum, siêu không gian, ánh xạ Whitney cấp độ Whitney chương sau 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Họ  tập X gọi tôpô X phần tử gọi tập mở thỏa: (1) ∅, X ∈  (tập rỗng X tập mở) (2) Nếu {Uα }α∈A ⊂  (3) Nếu {U i }i =1 ⊂  k  Uα ∈  (hợp họ tập mở tập mở) α ∈A k U ∈  i (giao hữu hạn tập mở tập mở) i =1 Tập hợp X với tôpô  X gọi khơng gian tơpơ Kí hiệu ( X ,  ) Nếu tập mở chứa x ∈ X tập mở gọi lân cận x Ta thường bỏ qua kí hiệu  kí hiệu khơng gian tơpơ thường nói đơn giản khơng gian tơpơ X 1.1.2 Ví dụ a  với họ tập mở không gian tôpô b Cho tập hợp X khác rỗng Họ tất tập P ( X ) X tôpô X 50 ∅ [ m, xM ] ∩ [ xm , M ] = Nếu ta chứng minh xong ≤ [ m, xM ] đẳng cấu với [ xm , M ] , ta điều cần [ m, xM ] ∩ [ xm , M ] = chứng minh Nếu không, ta phải chứng minh tồn i ∈  cho i > = P f i ( m ) ∈ ( xM , M ] Giả sử ngược lại { f ( m ) : i ∈ }, i > 1} ⊂ [ m, x ] i M Vì f= = f ( P ) sup P , f có điểm cố định Do đó,  ∩ F1 ( X ) ≠ ∅ , ( sup P ) sup ta có mâu thuẫn Ta chứng minh tồn i ∈  cho i > f i ( m ) ∈ ( xM , M ] Cho a ∈ [ m, xM ] cho f i ( a ) = M Nếu a = m , f i −1 : [ m, xm ] →  f i −1 ( m ) , M  [ m, xm ] ∩ đẳng cấu Vì i >1 , i i f i −1 ( m ) , M ≤ Nếu a ≠ m f : [ m, a ] →  f ( m ) , M  đẳng i ∅ cấu Vì a ≤ xM < f i ( m ) [ m, a ] ∩  f ( m ) , M  = Ta chứng minh điều ngược lại, giả sử tồn a, b ∈ X cho ( X ) < a ≤ b < max ( X ) đồng phôi φ :  ( X ) , a  → b, max ( X )  mà bảo toàn thứ tự Chúng ta chứng tỏ  = { x,φ ( x ) ∈ C ( X ) : x ∈ min ( X ) , a } cấp độ Whitney không tầm thường Định nghĩa = G φ , {( x,φ ( x ) ) ∈ X × X : x ∈ min ( X ) , a } Bằng tính liên tục {( x, x ) ∈ min ( X ) , a  × min ( X ) , a } continuum nên ta có 51 G ∈ C ( X × X ) Ta xét ánh xạ g định nghĩa bổ đề 3.1.1 Lưu ý thêm  = g ( G )  ∈ C ( C ( X ) ) Vì  ( X ) , a  ∩ b,max ( X )  ≤ φ bảo tồn thứ tự, ta có x < φ ( x )  ∩ F1 ( X ) = ∅ Để chứng minh  cấp độ Whitney, ta ( ) // chứng tỏ  thỏa (2.12a) điều kiện b định lí 2.14 Cho x, y ∈  ( X ) , a  cho x < y , φ bảo tồn thứ tự, ta có φ ( x ) < φ ( y ) Do  x,φ ( x )   y,φ ( y )  thỏa mãn tính chất (2.12a)  x,φ ( x )  ⊄  y,φ ( y )   y,φ ( y )  ⊄  x,φ ( x )  Ta chứng minh  thỏa (2.12a) ∅ Lấy [ x, y ] ∈  \  Cho  ⊂ C ( X ) cho     ∩ F1 ( X ) = Ta chứng minh  không thỏa điều kiện (2.12a) Nếu x ∈  ( X ) , a  [ x, y ] ≠  x,φ ( x ) [ x, y ]  x,φ ( x )  so sánh Do  x,φ ( x )  ∈  nên {[ x, y ],  x,φ ( x )} ⊂  −1 −1 Nếu y ∈ b, max ( X )  [ x, y ] ≠ φ ( y ) , y  , [ x, y ] φ ( y ) , y  −1 so sánh Vì φ ( y ) , y  ∈  , nên {[ x, y ], φ −1 ( y ) , y } ⊂  Nếu [ x, y ] ⊂ [ a, b] [ x, y ]   ( X ) , b  ∈  = Vì  ( X ) , b   ( X ) ,φ ( ( X ) )  ∈  nên ⊂ {[ x, y ], min ( X ) , b} 52 Trong trường hợp khác     khơng thỏa (2.12a) Khi ( ) //  thỏa điều kiện b định lí 2.14 3.3 Kết Nếu φ đồng phôi đoạn đầu không tầm thường S đoạn cuối T X , cho S ∩ T ≤ φ bảo toàn thứ tự  = { x,φ ( x ) : x ∈ S} cấp độ Whitney không tầm thường 3.4 Cung dài Định nghĩa số thứ tự không đếm thứ Chỉ số thứ tự không đếm thứ kí hiệu ω1 Ω , số thứ tự đếm nhỏ xét tập hợp khơng đếm Nó chặn lớn tất số thứ tự đếm Các phần tử Ω số thứ tự đếm được, có nhiều số thứ tự khơng đếm Khi đó, Ω tập thứ tự tốt, tập thứ tự tốt tập hợp thứ tự toàn phần cho tập khác rỗng có phần tử nhỏ Khi đó: Ω giới hạn số thứ tự, tức khơng có số thứ tự α để α + =Ω Lực lượng tập Ω lực lượng số thứ tự không đếm thứ nhất, ℵ1 Bất kì thứ tự chuyển thành khơng gian tơpơ cách trang bị tôpô thứ tự Khi xem xét không gian tôpô, Ω thường viết dạng [ 0,Ω ) để nhấn mạnh không gian chứa tất số thứ tự nhỏ Ω Mỗi Ω − dãy tăng phần tử [ 0,Ω ) hội tụ giới hạn [ 0,Ω ) 53 Để làm rõ cho tập số thứ tự [ 0,Ω ) , ta cần lưu ý: số thứ tự ln thứ tự tốt Có nhiều số thứ tự Sự thật viết tập hợp tất số thứ tự khơng cịn tập hợp bình thường lúc tập hợp không đếm Chỉ số thứ tự vô hạn: 0,1, 2,3, 4, } ω1 {= = = ω + {0,1, 2,3, 4, , ω} {0,1, 2,3, 4, ,{0,1, 2,3, 4, }} = ω = ω +ω {0,1, 2,3, 4, , ω , ω + 1, } { } = 0,1,2,3,4, ,{0,1,2,3,4, } ,{0,1,2,3,4, ,{0,1,2,3,4, } , } Từ tập số thứ tự với vô hạn không đếm phần tử, điều ta thấy số thứ tự vơ hạn sử dụng số thứ tự tự nhiên, ω1 Ω Và đặc biệt ω1 tập vơ hạn “nhỏ nhất”, đếm làm thêm bước tiếp khơng đếm Do ω1 mang tên số thứ tự không đếm thứ 54 Hình ảnh minh họa cho khái niệm cung dài Cung dài L xây dựng từ không gian thứ tự [ 0,Ω ) (với Ω thứ tự không đếm thứ nhất) cách đặt thứ tự α phần tử tiếp sau α + phiên khoảng đơn vị I = ( 0,1) L thứ tự tuyến tính trang bị tôpô thứ tự từ điển Thứ tự từ điển X thứ tự thỏa tính chất: ( ( x, y ) < ( a, b ) x < a, x = a y < b ) Nói cách dễ hiểu ta xem L tích Đề-các  × [ 0,1) , lúc tập hợp số tự nhiên làm “đầy” cách dán tập [ 0,1) vào khoảng số tự nhiên Ta có tính chất sau: Lưu ý L khơng compact, phủ mở có dạng { y y < α }, α ∈ [0, Ω ) khơng có phủ hữu hạn Thật vậy, khơng có phủ hữu hạn cận nhỏ họ đếm thứ tự α ∈ [ 0, Ω ) phải đếm được, khơng thể Ω 55 Vì thế, L khơng chia tách Nếu D tập hữu hạn đếm L β cận nhỏ D , tập hợp tập mở khác rỗng L tách rời với D Vì D khơng trù mật L Định nghĩa cung dài: Cho Ω số thứ tự không đếm thứ R= Ω [0, Ω ) tập hợp tất số thứ tự nhỏ Ω , trang bị tôpô cảm sinh thứ tự Cung dài tập hợp = L ( R × [0,1) ) ∪ ({Ω} × {0}) với tôpô Ω cảm sinh thứ tự từ điển Khi đó, cung dài cung tổng quát hóa có thứ tự tuyến tính tơpơ cảm sinh thứ tự Đặc biệt cung dài khơng metric hóa cung dài khơng có tính chất compact nên khơng thể đo khoảng cách từ hai điểm chúng 3.5 Cấp độ Whitney cung dài Siêu không gian continuum cung dài khơng có cấp độ Whitney khơng tầm thường Chứng minh Mỗi đoạn thẳng không tầm thường ban đầu cung dài có tính chất chia tách được, đoạn thẳng khơng tầm thường cuối khơng chia tách Như hai đoạn thẳng S T khơng bảo tồn tính đồng phơi chúng chúng khơng đẳng cấu với Do hệ 3.5 suy từ định lí 3.2 56 3.6 Hình vng từ điển Hình vng từ điển hình vng đơn vị mặt phẳng với tôpô cảm sinh thứ tự từ điển Như hình vng từ điển cung tổng quát hóa 3.7 Thứ tự từ điển hình vng đơn vị đó: X Cho X hình vng đơn vị Khi = Thứ tự từ điển X thứ tự thỏa tính chất: {( x, y ) : ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ 1} ( ( x, y ) < ( a, b ) x < a, x = a y < b ) , ta hiểu so sánh theo thứ tự từ điển đơn giản việc so sánh hai số thực với Nếu số hạng đứng trước dấu phẩy số thập phân lớn số số hạng trước dấu phẩy hai số ta so sánh tiếp số hạng đứng sau dấu phẩy tiếp tục 3.8 Ví dụ Cho X hình vng từ điển 57  Tập hợp   ( p, r ) , ( q, r )  ∈ C= = ( X ) : q − p  cấp độ Whitney 3  Ta xét          φ : ( 0,0 ) ,  ,1  →  ,0  , (1,1)  3    định nghĩa φ ( a, b= )  a + , b  Lưu ý φ đồng phôi từ đoạn không tầm   thường ban đầu đến đoạn cuối mà bảo toàn thứ tự Theo kết 3.3,  cấp độ Whitney không tầm thường 3.9 Cấp độ Whitney hình vng từ điển Cho X hình vng từ điển Lấy A ∈ C ( X ) \ ( F1 ( X ) ∪ { X } ) tồn a, b, c, d ∈ X cho A = ( a, b ) , ( c, d )  Khi tồn cấp độ Whitney khơng tầm thường  C ( X ) cho A∈  a < c A thỏa điều kiện sau: < b d < b = d = b = d = a 0,= b d < = c 1,= d b > = Chứng minh Lấy A =( a, b ) , ( c, d )  ∈ C ( X ) \ ( F1 ( X ) ∪ { X } ) Chọn s, t ∈ [ a, c ] thỏa điều kiện sau: (a) Nếu < a c < , a < s < t < c (b) Nếu a = c < , a = s < t = c (c) Nếu a > c = 1, a = s < t < c 58 (d) Nếu a = c = 1, a = s t = c Ta chuẩn bị hàm φ1 ,φ2 để thiết lập hàm φ cần thiết Lưu ý: tồn đồng phôi φ1 : [ 0, s ] → [t ,1] thỏa φ1 ( a ) = c φ1 ( ) = t  Với ( a, b ) ≠ ( 0,0 ) ( c, d ) ≠ (1,1) , lấy đồng phôi φ2 : [ 0,1] → [ 0,1] cho φ2 ( b ) = d Áp dụng cho điều kiện 1, 2,  Nếu ( a, b ) = ( 0,0 ) , lấy đồng phôi φ2 : [ 0,1] → [ d ,1] cho φ2 ( ) = d Áp dụng cho điều kiện  Nếu ( c, d ) = (1,1) , lấy đồng phôi φ2 : [ 0, b ] → [ 0,1] cho φ2 ( ) = Áp dụng cho điều kiện Khi đó, gọi đoạn S = ( 0,0 ) , ( s,φ2−1 (1) )  T = ( t ,φ2 ( ) ) , (1,1)  Vì s < t , S ∩ T = ∅ (φ1 ( x ) ,φ2 ( y ) ) , x = a Xét hàm φ : S → T cho φ ( x, y ) =  x ≠ a  (φ1 ( x ) , y ) , Vì φ1 ,φ2 ánh xạ đồng nhất, đơn điệu song ánh, ta có φ song ánh bảo tồn thứ tự Vì S T cung tổng quát hóa, φ đồng phơi bảo tồn thứ tự Vì S đoạn đầu X T đoạn cuối X cho có  S ∩T = ∅ , kết 3.3, ta = { p,φ ( p ) : p ∈ S} cấp độ Whitney φ1 ( a ) ,φ2 ( b ) )  ( a, b ) ,φ ( a, b )  ∈  Cuối cùng, ( a, b ) , ( c, d )  = ( a, b ) , (= Do A∈  59 Bây giờ, ta giả sử tồn cấp độ Whitney không tầm thường  C ( X ) cho A∈  Ta tìm ngược lại điều kiện ràng buộc a, b, c, d A phải tồn cấp độ Whitney không tầm thường  3.10 Các kết quan trọng 3.10.1 Kết 1: Nếu b = d = a = Giả sử d > Lấy t ∈ [ 0,1] cho < t < d Vậy ( a,0 ) , ( c, t )  ⊂ A ⊂ ( 0,0 ) , ( c, d )  Tập hợp  ) ( (  ( a,0 ) , ( c, t )  , ( 0,0 ) , ( c, t )  ∪  ( 0,0 ) , ( c, t )  , ( 0,0 ) , ( c, d )  ) cung thứ tự từ ( a,0 ) , ( c, t )  ∈ L ( L ) đến ( 0,0 ) , ( c, d )  ∈ M (  ) Bằng bổ đề 2.13.5(h), tồn B=  ∩  Lấy p, q ∈ X cho B = [ p, q ] Lưu ý p ≤ ( a,0 ) q ≤ ( c, d ) Khi A∩ B = ( a,0 ) , q  Hơn nữa, p = ( a,0 ) a = Tập hợp ( )  =  ( a,0 ) , q  , ( a,0 ) , ( c, d )  cung thứ tự từ A ∩ B đến A Bằng nhận xét 3.1.3,  đồng phôi với  q, ( c, d )  Vì  q, ( c, d )  ⊂ ( c, t ) , ( c, d )  , nên  ( ) chia tách Tập hợp  =  ( a,0 ) , q  , [ p, q ] cung thứ tự từ A ∩ B đến B Bằng nhận xét 3.1.3,  đồng phôi với  p, ( a,0 )  Lưu ý  chia tách ( a,0 ) = p Vậy theo định lí 2.18   đồng phơi Do đó, ( a,0 ) = p a = Kết chứng minh Vì có vai trị, tính chất đối xứng X , lập luận tương tự ta có được: 60 3.10.2 Kết 2: Nếu d = b = c = 3.10.3 Kết 3: Nếu a = b = d < Giả sử ngược lại d = A = Vì b = , theo kết c = , = ( 0,0 ) , (1,1) X Vì A ∈ C ( X ) \ ( F1 ( X ) ∪ { X } ) , điều trái giả thiết Lập luận (đối xứng) tương tự cho kết sau: 3.10.4 Kết 4: Nếu c = d = b > 3.10.5 Kết 5: a < c Giả sử ngược lại a = c Lưu ý ( a,0 ) , ( a,1)  ⊃ A ∈  Gọi  cung thứ ( ) {( a,1)} ∈ L ( L ) đến ( a,0) , ( a,1) ∈ M (  ) tự  ( a,1) , ( a,1)  , ( a,0 ) , ( a,1)  từ Bằng bổ đề 2.13.5(h), tồn t ∈ [ 0,1] cho ( a, t ) , ( a,1)  ∈  ∩  Vì  ∩ F1 ( X ) = ∅ , ta có t < Do đó, kết 2, áp dụng cho phần tử ( a, t ) , ( a,1)  ∈  a= c= ( ) Gọi  =  (1,0 ) , (1,0 )  , (1,0 ) , (1,1)  Lập luận trên, tồn s ∈ [ 0,1] cho (1,0 ) , (1, s )  ∈  Vì  ∩ F1 ( X ) = ∅ , s > điều trái giả thiết với kết Do a < c 3.10.6 Kết 6: Nếu b = d = Giả sử ngược lại d < Bằng kết 5, với a < c Lấy t ∈ [ 0,1] cho ( ) ( t ,0 ) , ( c, d )  , ( a,1) , ( c,1)  cung thứ tự từ a < t < c Tập hợp  = � ( t ,0 ) , ( c, d )  ∈ L ( L ) đến ( a,1) , ( c,1)  ∈ M (  ) Bằng bổ đề 2.13.5(h), tồn B ∈  ∩  Lấy p, q ∈ X cho B = [ p, q ] Vì d < ( t ,0 ) , ( c, d )   A ta có 61 q > ( c, d ) Vì { A, B} ⊂  theo (2.12a) p > ( a,1) Do A∩ B =  p, ( c, d )  ( ) Tập hợp  =   p, ( c, d )  , ( a,1) , ( c, d )  cung thứ tự từ A ∩ B đến A Theo nhận xét 3.1.3,  đồng phơi với ( a,1) , p  Vì ( a,1) < p nên  không ( ) chia tách Xét tập  =   p, ( c, d )  , [ p, q ] cung thứ tự từ A ∩ B đến B Theo nhận xét 3.1.3,  đồng phôi với ( c, d ) , q  Vì ( c, d ) , q  ⊂ ( c, d ) , ( c,1)   chia tách Bằng bổ đề 2.18   đồng phơi Điều trái giả thiết Như d = Điều hoàn tất chứng minh kết 3.10.7 Kết 7: Nếu d = b = Bằng kết ta có a < c (a) Nếu < b d < (1) (b) Nếu b = , theo kết A thỏa điều kiện (2) (4) (c) Nếu b = , theo kết A thỏa điều kiện (3) (d) Nếu d = , theo kết A thỏa điều kiện (2) (e) Nếu d = , theo kết A thỏa điều kiện (3) (5) Vậy ta hoàn tất việc chứng minh định lí 62 KẾT LUẬN “Các cấp độ Whitney siêu không gian Continua khơng metric hóa được” đề tài mang tính chất thời quan tâm sâu sắc Trong luận văn này, giới thiệu trình bày được: Khái niệm continuum Khái niệm siêu không gian siêu không gian đặc biệt không gian tôpô Tôpô Vietoris, tính metric hóa Các ánh xạ Whitney, cấu trúc thứ tự để so sánh siêu không gian Cấp độ Whitney continuum metric hóa continuum khơng metric hóa Cung tổng qt hóa, cung dài hình vng từ điển Luận văn trình bày nội dung quan trọng sau: Chương 1: Nêu kiến thức sở tôpô cần thiết quan trọng để phục vụ việc nghiên cứu luận văn Chương 2: Trình bày phát biểu định nghĩa siêu không gian đưa ví dụ minh họa Trình bày phát biểu định nghĩa ánh xạ Whitney, đưa ví dụ minh họa để hiểu khái niệm Xây dựng cấu trúc thứ tự cung Định nghĩa cấp độ Whitney continuum metric hóa khơng metric hóa Chương 3: Trình bày kết quan trọng cấp độ Whitney, điều kiện để cấp độ Whitney áp dụng cung tổng quát hóa cung dài Và hệ cấp độ Whitney cung dài Trình bày kết cấp độ Whitney hình vng từ điển, đưa ví dụ minh họa điều kiện để hình vng đơn vị có cấp độ Whitney khơng tầm thường 63 Qua luận văn giúp hiểu ý nghĩa ánh xạ Whitney cấp độ Whitney continuum khơng metric hóa số khơng gian tôpô đặc biệt Nắm cấu trúc siêu không gian phương pháp nghiên cứu siêu không gian đặc biệt Các điều kiện để continuum không metric hóa có cấp độ Whitney Và tơi cố gắng trình bày, thực liên tục chỉnh sửa luận văn cách khoa học thỏa mãn yêu cầu đặt Thầy hướng dẫn khoa học phịng Sau đại học Nhưng thời gian hạn chế trình độ nghiên cứu có hạn nên luận văn số vấn đề thiếu sót cần chỉnh sửa hồn thiện Kính mong Q Thầy Cơ phản biện xem xét, góp ý, bạn độc giả quan tâm đến đề tài góp ý, thiếu sót để luận văn trình bày cách hồn thiện 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, Nxb Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh J.J Charatonik, W.J Charatonik (2000), Whitney maps – a non-metric case, Colloq Math 83, pp 305-307 A Illanes (1991), The space of Whitney Levels, Topol Appl 40, pp 157164 A Illanes, S.B Nadler Jr (1999), Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol 216, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel L.E Ward Jr (1981), Extending Whitney maps, Pac J Math 93 pp 465469 J.A Seebach, L.A Steen (1978), Counterexamples in Topology, 2nd ed., Springer, Berlin L M Garcia – Velazquez (2015), Whitney levels in hyperspace of non – metrizable continua, Topology Appl 182, 24 – 35 ... C ( X ) cấp độ Whitney C ( X ) gọi cấp độ Whitney tầm thường Trong trường hợp đặc biệt X cung tổng quát hóa, ta thêm vài điều kiện vào tồn cấp độ Whitney không tầm thường siêu không gian continuum... nghiên cứu cấp độ Whitney siêu không gian C ( X ) X cung dài hình vng từ điển Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Không gian continuum Hausdorff b Siêu không gian c Ánh xạ Whitney – Cấp độ Whitney d... với metric d gọi khơng gian metric kí hiệu ( X , d ) Hàm d ( x, y ) gọi khoảng cách x y Lưu ý: Không gian metric không gian Hausdorff T2 1.7.2 Tôpô không gian metric Tồn = B không gian metric