Tạo lỗ trong siêu không gian của continua con của một peano continuum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Mai Tấn Đạt TẠO LỖ TRONG SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA CON CỦA MỘT PEANO CONTINUUM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Mai Tấn Đạt TẠO LỖ TRONG SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA CON CỦA MỘT PEANO CONTINUUM Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 ii MỤC LỤC PHỤ BÌA i MỤC LỤC ii BẢNG CÁC KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU .1 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .5 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Liên thông đường: 1.1.2 Đồng luân: 1.1.3 Các tiên đề tách [2]: 14 1.2 Lý thuyết continuum siêu không gian 16 1.2.1 Mở đầu: 16 1.2.2 Ánh xạ “Whitney”: 21 1.2.3 Không gian Peano Peano continuum: 22 Chương 2: 25 UNICOHERENCE 25 2.1 Unicoherence không gian tôpô liên thông địa phương: 26 2.2 Tính chất unicoherence tích: 37 2.3 X C(X) unicoherent: 41 2.4 Một số tính chất liên quan với tính chất (b) phép nâng: 47 Chương 3: 53 CONTINUA CON LIÊN THÔNG ĐỊA PHƯƠNG 53 iii 3.1 Các tính chất liên quan đến cung thứ tự: .53 3.2 Mối quan hệ phép nâng, tính chất b unicoherence: 62 Chương 4: 71 ĐỒ THỊ HỮU HẠN, ĐƯỜNG CONG ĐÓNG ĐƠN VÀ CONTINUA CON LIÊN THÔNG KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG 71 4.1 Đồ thị hữu hạn: 71 4.2 Đường cong đóng đơn: 73 4.3 Continua liên thông không địa phương: 81 KẾT LUẬN .85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 iv BẢNG CÁC KÍ HIỆU A− B : hiệu hai tập A B AE : thác triển tuyệt đối ANE : thác triển lân cận tuyệt đối ANR : co rút lân cận tuyệt đối AR : co rút tuyệt đối bd(A) : biên A cl(A) : bao đóng A cik : liên thơng Im Kleinen điểm diamd : ánh xạ đường kính inf(S) = glb(S) : cận S int : phần LC : liên thông địa phương LAC : liên thông cung địa phương length(J) : độ dài J qc : tựa thành phần liên thông sup(S) = lub(S) : cận S tplt : thành phần liên thông (component) Y crZ : Y co rút Z ∩ : phép giao ∪ : phép hợp  : đồng luân MỞ ĐẦU Lý thuyết continuum siêu không gian phận hình học tơpơ Trong tốn học đại, tơpơ có vai trị quan trọng Những ứng dụng vơ lớn khơng dùng ngành tốn học túy giải tích, đại số,… mà dùng học lý thuyết, học lượng tử, vật lí hạt nhân, … Một continuum (hay continua) khơng gian mêtric, liên thơng, compact có nhiều phần tử Cho X continuum B ⊂ X B gọi continuum X B continuum Khái niệm continuum xuất năm cuối kỷ XVIII Những tính chất continuum suy từ tính chất liên thơng khơng gian tôpô Từ khái niệm continuum đời nay, nhiều nhà toán học tên tuổi nghiên cứu thu kết quan trọng có ứng dụng cao tốn học thực tiễn Hiện cịn nhiều tốn mở lý thuyết continuum, giải tốn mở hướng nghiên cứu nhiều ứng dụng to lớn khác Do việc nghiên cứu lý thuyết continuum vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Lý thuyết siêu khơng gian xuất thơng qua cơng trình Hausdorff Viet năm 1900 Từ tạo quan tâm nhiều nhà toán học giới như: Borsuk – Mazurkiewicz [1931, 1932], Wojdyslawski [1939], Kelley [1942], Michael [1950], Segal [1959], Transue [1960], …Qua cơng trình đó, ta nhận thấy có nhiều mối quan hệ lý thuyết continuum siêu không gian Nhưng xét C ( X= ) {A∈ X : A liên thông} với X = { A : A tập đóng khác rỗng X } Khi C ( X ) gọi siêu không gian continuum X X siêu không gian tất tập đóng khác rỗng X Continuum X gọi có tính chất unicoherent với hai continuum A, B X mà X= A ∪ B A ∩ B liên thơng Khi nghiên cứu tính chất tơpơ khơng gian Euclide, hình lập phương I n (n = 1, 2, ) , S n (n ≥ 2) , không gian xạ ảnh thực Pn ( ) (n ≥ 2) , hình lập phương Hilbert I ∞ ,… giúp ta hiểu rõ tính chất unicoherent Về mặt hình học, ta nhận thấy không gian liên thông unicoherent khơng có “lỗ” Nói cách xác hơn, khơng gian liên thơng X có “lỗ” tồn hai tập liên thơng đóng phủ X giao chúng khơng liên thơng Do S , mặt trụ S × I , hình xuyến S × S ,… ví dụ khơng gian có lỗ Cho Z khơng gian tơpơ liên thơng, S đường trịn đơn vị  ánh xạ exp :  → S π it t  exp(= t ) e= ( cos(2π t ),sin(2π t ) ) Một ánh xạ f : Z → S gọi có phép nâng tồn ánh xạ h : Z →  cho f = exp h , h gọi phép nâng f Ta nói Z có tính chất (b) ánh xạ f : Z → S có phép nâng Tính chất unicoherent tính chất (b) có mối liên hệ chặt chẽ với Khơng gian tơpơ liên thơng Z unicoherent có tính chất (b) chuẩn tắc Hơn Z T1 − không gian , chuẩn tắc, liên thơng địa phương Khi Z gọi unicoherent có tính chất (b) Cho A ∈ C ( X ) gọi tạo lỗ C ( X ) C ( X ) − { A} khơng unicoherent Nhận thấy rằng, tính tạo lỗ siêu khơng gian có mối quan hệ chặt chẽ với tính chất unicoherent tính chất (b) Vì vậy, nghiên cứu tính tạo lỗ siêu khơng gian thực chất nghiên cứu hai tính chất quan trọng tính chất unicoherent tính chất (b) Hai tính chất quan tâm nhiều nhà toán học như: K.Kuratowski [1926 1929], K.Borsuk [1931], S.Eilenberg [1935 1936], T.Ganea [1952], A.H Stone [1949, 1950 1952], A.García – Máynez [1989], Alejandro Illanes [1989], Emil G Milewski Ph.D [1994],… Trong năm gần (2007, 2010, 2011 2012) ứng dụng hai tính chất unicoherent tính chất (b) J.G Anaya, David Maya Fernando Orozco−Zitli dùng làm công cụ để giải tốn “Tạo lỗ siêu khơng gian” A cung tự tập hợp điểm đường cong đóng đơn tự A = X quạt trơn… Có phải siêu khơng gian C ( X ) X điều có phần tử A ∈ C ( X ) A ∈ X để C ( X ) − { A} X − { A} không unicoherent? Để trả lời cho câu hỏi này, chọn đề tài “tạo lỗ siêu không gian” để nghiên cứu Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu tính “tạo lỗ siêu không gian continua Peano continuum” Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương trình bày số kiến thức khơng gian tôpô, lý thuyết continuum siêu không gian Chương chủ yếu giới thiệu tính chất unicoherent tính chất tương đương với Chương tập trung giải vấn đề “nếu X Peano continuum A continuum liên thông địa phương X, cho A không cung tự mà không đường cong đóng đơn tự A khơng tạo lỗ C ( X ) ” Chương nhằm quan tâm vấn đề việc tạo lỗ trong: đồ thị hữu hạn, đường cong đóng đơn continua liên thơng địa phương Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập làm luận văn, thầy động viên giúp tác giả tiếp cận với hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở toán Sự động viên hướng dẫn tận tình thầy khơng giúp tác giả việc hồn thành luận văn mà cịn giúp tác giả có thêm cách nhìn nhận lĩnh vực khác sống xã hội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Xin chân thành cám ơn thầy Tổ Hình học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ Chức Hành chính, Phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương giới thiệu số kiến thức về: Không gian tôpô, lý thuyết continuum siêu không gian Các kiến thức trình bày dạng ngắn gọn nhằm để phục vụ cho việc nghiên cứu hiểu kiến thức chương sau Sau khái niệm không gian tôpô 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Liên thông đường: Cho  = {V ⊂  : x ∈ V , ∃(a, b), x ∈ (a, b) ⊂ V } Khi  tơpơ  Ta nói  trang bị tơpơ  kí hiệu   Ngồi với [ a, b ] ⊂  ta dùng kí hiệu [ a, b ] cho tập trang bị tôpô thông thường Không gian X τ liên thông đường có hai điểm x0 x1 X nối đường liên tục X Ta có định nghĩa xác sau: 1.1.1.1 Định nghĩa [26]: Một đường α không gian X τ hàm liên tục α : [ 0,1] → X τ Điểm α (0) gọi điểm đầu α , α (1) điểm cuối α α Được minh họa Hình α (0) Im (α ) α (1) Hình X 76 liên thông Như vậy, theo bổ đề 2.4.3, ta có: C ( X ) − {S= } ( C (G ) − {S}) ∪ ( cl ( C ( X ) − C (G ) ) − {S}) có tính chất (b) 0 ⇒ C ( X ) − {S } unicoherent Vậy S không tạo lỗ C ( X )  4.2.5 Mệnh đề [4]: Cho p phần tử không gian tôpô liên thông Z Y1 , Y2 tập đóng Z cho Z = Y1 ∪ Y2 Y1 ∩ Y2 = { p} Khi Y1 Y2 tập liên thơng Hơn C tập liên thông Z C ∩ Y1 , C ∩ Y2 tập liên thông C ∩ Y1 ≠ φ C ∩ Y2 ≠ φ p ∈C 4.2.6 Bồ đề [4]: Cho p ∈ X Y1 , Y2 ∈ C ( X ) cho X = Y1 ∪ Y2 Y1 ∩ Y2 = { p} Đặt H = { A ∈ C ( X ) : A ∩ Y1 ≠ φ} Nếu Γ : H → C (Y1 ) xác định Γ( A) =A ∩ Y1 Γ liên tục Cho S đường cong đóng đơn tự X Ta đồng S với đường tròn đơn vị  Xác định ánh xạ m : C ( X ) − {S } → S cho m( B ) điểm chia B thành hai cung có độ dài nhau, B cung m( B) = y B = { y} với y ∈ S Đặt S = { A ∈ C ( X ) − {S } : A ∩ S ≠ φ } 77 Nhận thấy rằng, { A ∈ C ( S ) : A ∩ S ≠ φ } tập đóng C ( X ) Vì S tập đóng C ( X ) − {S } Cho continuum thật F S, xác định F = { A ∈ S : S  A m( A ∩ S ) ∈ F } ∪ { A ∈ S : S ∈ A} 4.2.7 Bồ đề [4]: Cho S đường cong đóng đơn tự X, F continuum thật S p phần tử S cho S − { p} tập mở X p ∉ int( S ) Khi F tập đóng S Hơn F ≠ { p0 } , với p0 điểm xuyên tâm đối p F liên thông Chứng minh Cho { An }n=1 dãy thuộc F , cho lim An = A0 , với A0 ∈ S ∞ Nếu S ⊂ A0 , rõ ràng A0 ∈F Giả sử S  A0 Trong trường hợp cho thấy m( A0 ∩ S ) ∈F Cố định x0 ∈ S cho x0 ∉ A0 Vì lim An = A0 , giả sử x0 ∉ An , ∀n ∈  Do { An : n ∈  } ⊂ { A ∈ S : m( A ∩ S ) ∈F S  A} Theo bổ đề 4.2.6, ta có Γ : S → C ( S ) , xác định Γ ( A ) =A ∩ S liên tục Suy m  Γ liên tục Vì m ( An ∩ S ) ∈F , với n ∈  F đóng, ta có m ( A0 ∩ S ) ∈F Do đó, A0 ∈F Vì vậy, F tập đóng liên thơng S Gỉa sử F ≠ { p0 } , với p0 điểm xuyên tâm đối p + Ta chứng minh F liên thông 78 Trước hết, ta chứng minh F1 = { A ∈ S : m ( A ∩ S ) ∈ F S  A} F2 = { A ∈ S : S ⊂ A} tập liên thông cl (F1 ) ∩ F2 ≠ φ Cho A∈F2 , α cung thứ tự từ A đến X thuộc C ( X ) Rõ ràng α ⊂ F2 , F2 liên thơng Mặt khác F1 liên thơng Cho A∈F1 , ⇒ A ∈ C ( X ), A ≠ S , m ( A ∩ S ) ∈F S  A Cho Y= X − int( S ) , A  S , theo mệnh đề 4.2.5, A ∩ Y liên thông p ∈ A ∩ Y Do đó, theo định lí 3.1.4, tồn cung thứ tự β từ C (Y ) Khi họ γ = { p} tới A ∩ Y {( A ∩ S ) ∪ B : B ∈ β } cung C ( X ) nối A ∩ S tới A Nhận thấy γ ⊂ F1 Do đó, ta cần kiểm tra tập F3 = { A ∈F1 : A ⊂ S} liên thông Cho A∈F3 , suy A tập thật S cho m( A) ∈F Rõ ràng, tồn cung thứ tự α từ {m( A)} tới A cho m( A) = m( B ) với B ∈ α Nhận thấy rằng, α ⊂ F3 ⊂ F1 Do đó, phần cịn lại ta chứng minh tập = F4 {{ x} : x ∈F } liên thơng Vì F4 đồng phơi với F ta có F1 liên thơng Ta chứng minh X ∈ cl (F1 ) ∩ F2 ≠ φ Rõ ràng X ∈F2 Vì F ≠ { p0 } nên ta cố định điểm y ∈F − { p0 } Khi ta chọn cung S m(C ) = y Xét cung γ = {Y ∪ C : C ∈ α } ⇒ γ cung thứ tự C ( X ) từ B ∪ Y tới X Vì D ∈ γ − { X } , D ∩ S ∈ α , ta thu D ∈F1 Vì X ∈ cl (F1 ) ⇒ X ∈ cl (F1 ) ∩ F2 79 Vậy F liên thông  4.2.8 Định lí [4]: Nếu S đường cong đóng đơn tự X S tạo lỗ C( X ) Chứng minh Ta chứng minh C ( X ) − {S } khơng unicoherent Vì S đường cong đóng đơn tự X, tồn phần tử p ∈ S cho p ∉ int( S ) S − { p} tập mở X Ta xác định p0 điểm xuyên tâm đối p p1 điểm cố định S − { p, p1} Ta xác định p0 p1 cung nối p0 p1 S cho p ∉ p0 p1 Cho S = { A ∈ C ( X ) − {S} : A ∩ S ≠ φ } F = { A ∈ S : m( A ∩ S ) ∈ ( S − int( p0 p1 ) ) S  A} ∪ { A ∈ S : S ⊂ A} Vì S tập đóng C ( X ) − {S } , theo bồ đề 4.2.7, F tập liên thơng đóng C ( X ) − {S } Mặt khác, cho Y= X − int( S ) Theo mệnh đề 4.2.5, Y liên thơng Do Y continuum X Hơn nữa, C (Y ) đóng C ( X ) − {S } Đặt G1= F ∪ C (Y ) đóng C ( X ) − {S } Rõ ràng, G1 liên thông Xác định, G = { A ∈ S : m( A ∩ S ) ∈ p0 p1 S  A} ∪ { A ∈ S : S ⊂ A} Vì S tập đóng C ( X ) − {S } , theo bổ đề 4.2.7, G tập liên thơng đóng C ( X ) − {S } Vì vậy, C ( X ) − {S } = G1 ∩ G Cho D1 = { A ∈ S : S  A m( A ∩ S ) = p0 } D = { A ∈ S : S  A m( A ∩ S ) = p1} ∪ { A ∈ S : S ⊂ A} 80 Do G1 ∩ G = D1 ∪ D D1 , D tập tách Nên C ( X ) − {S } không unicoherent Vậy S tạo lỗ C ( X )  Nhận thấy định lí 4.2.8 cho ta kết “Nếu S đường cong đóng đơn tự X S tạo lỗ C ( X ) ” Câu hỏi đặt là, chiều ngược lại định lí 4.9 có hay khơng? Ta cần phải thêm điều kiện chiều ngược lại định lí 4.9 đúng? Sau ta xét mệnh đề 4.2.9 sau 4.2.9 Mệnh đề: Cho X Peano continuum S đường cong đóng đơn cho S tập thật X Khi S tạo lỗ C ( X ) S đường cong đóng đơn tự Chứng minh ⇐) Là hiễn nhiên (theo định lí 4.2.8) (1) ⇒) Ta có S tạo lỗ C ( X ) Chứng minh S đường cong đóng đơn tự Thật vậy: Gỉa sử S khơng đường cong đóng đơn tự Khi theo mệnh đề 4.2.4 ta có C ( X ) − {S } unicoherent Do S khơng tạo lỗ C ( X ) (Vơ lý) Vậy S đường cong đóng đơn tự (2) Từ (1) (2), mệnh đề 4.2.9 chứng minh  1   X ( x, y ) ∈ E :  x −  + y= Ví dụ 11: Cho =  2     1   = S ( x, y ) ∈ E :  x −  + y=  2 16    81  1   ) ( x, y ) ∈ E :  x −  + y ≤  Khi C ( X= 2    2  1 1  1 1  ⇒ C ( X ) − {S= } ( x, y ) ∈ E :  x −  + y < <  x −  + y ≤  Theo 2 16 16  2    mệnh đề 4.2.9, S tạo lỗ C(X) Có hình vẽ minh họa sau: Hình 14 4.3 Continua liên thơng không địa phương: Trong phần chúng minh: Nếu X Peano continuum A continuum X cho A không liên thông địa phương A khơng tạo lỗ C ( X ) Cho X Peano continuum A ∈ C ( X ) cho A không liên thông địa phương Xác định: F ( A= ) {a ∈ A : A không liên thông địa phương a} Ở chương ta có biểu thức xác định K d ( t0 , B ) với B continuum X t0 ∈ ( 0, ∞ ) Nếu ta đặt A = K d ( t0 , B ) A có tính chất đặc biệt khơng? Câu trả lời nội dung bổ đề 4.3.1 sau: 4.3.1 Bổ đề: Cho X Peano continuum với mêtric lồi d, cho t0 ∈ ( 0, ∞ ) B continuum X Nếu A = K d ( t0 , B ) A liên thơng địa phương Chứng minh 82 Ta có A K= = d ( t0 , B ) C b∈B d t0 với Ctd (b) = { x ∈ X : d ( x, b ) ≤ t0 } Hiễn nhiên A liên thông địa phương 4.3.2 Mệnh đề: Cho X Peano continuum A ∈ C ( X ) cho A không liên thông địa phương Khi A khơng tạo lỗ C ( X ) Chứng minh Cho f : C ( X ) − { A} → S ánh xạ Cố định t0 ∈ exp −1 ( f ( X ) ) Do X Peano continuum có mêtric lồi ρ Theo bồ đề 3.1.5 4.3.1, = αB {K ( t , B ) : t ∈ [0, ∞ )} cung thứ tự từ B tới X C ( X ) − { A} , ρ với B ∈ C ( X ) − { A, X } thỏa mãn f α Cho hB : α B →  ánh xạ  hB hB ( X ) t0 = = exp B Ta định nghĩa h : C ( X ) − { A} →  xác định hB ( B) neáu B ≠ X h( B ) =  neáu B = X t0 + Theo định nghĩa ta có h ánh xạ + Chứng minh h liên tục X Cho ε > : 2ε < δ > thỏa mãn f ( B (δ , X ) ) ⊂ exp ( (t0 − ε , t0 + ε ) ) Khi ( h ' = (exp [t −ε ,t +ε ] ) −1  f 0 B (δ , X ) ) phép nâng f Nếu B ∈ B ( ε , X ) h ' α phép nâng f B Vì αB B (δ , X ) h ' α ( X )= t0= hB ( X ) , theo mệnh đề 2.4.2, h ' α = hB Do B hB ( B) ∈ [t0 − ε , t0 + ε ] B 83 Cho B0 ∈ C ( X ) − { A, X } { Bn }n=1 dãy C ( X ) − { A, X } thỏa ∞ mãn B0 = lim Bn Theo bổ đề 2.4.7 3.1.5, h liên tục B0 Do h liên tục X Vậy A không tạo lỗ C ( X )  4.3.3 Định lí [4]: Nếu pq cung tự X cho p q khơng điểm pq pq tạo lỗ C ( X ) 4.3.4 Định lí [4]: Nếu S cung đóng đơn tự X S tạo lỗ C( X ) Ta nhận thấy “Nếu A continuum liên thông địa phương X thỏa A không cung tự khơng đường cong đóng đơn A khơng tạo lỗ C ( X ) ” hay “Nếu A continuum khơng liên thơng địa phương X A khơng tạo lỗ C ( X ) ” hay “ S tạo lỗ C ( X ) S đường cong đóng đơn tự X ” … Một câu hỏi đặt “Những trường hợp tạo lỗ siêu không gian C ( X ) X continuum liên thơng địa phương (Peano continuum)?” Định lí sau cho ta câu trả lời 4.3.5 Định lí: Cho X continuum liên thông địa phương A continuum X Khi A tạo lỗ C ( X ) A = X X đường cong đóng đơn A đường cong đóng đơn tự cung tự với điểm cuối p, q thỏa mãn p, q ∉ int( A) Chứng minh ⇒) Gỉa sử A tạo lỗ C ( X ) Nếu A = X X đường cong đóng đơn (theo định lý 3.2.5) Vì vậy, ta giả sử A ≠ X Theo mệnh đề 4.3.2, A liên thông địa phương Theo mệnh đề 3.2.7, A đường cong đóng đơn 84 cung tự Trong trường hợp A đường cong đóng đơn, theo mệnh đề 4.2.9, A đường cong đóng đơn tự Trong trường hợp A cung tự với điểm cuối p q , theo định lí 4.3.4, p, q ∉ int( A) ⇐) Theo định lí 4.2.8 4.3.3 đủ để chứng minh kết  85 KẾT LUẬN Phần đầu luận văn dành cho việc giới thiệu kiến thức như: số kiến thức không gian tôpô, lý thuyết continuum siêu không gian lý thuyết Peano continuum Các kiến thức phần chủ yếu để phục vụ cho phần lại luận văn Phần luận văn nội dung chương trình bày số kiến thức unicoherent, phần nội dung trình bày chủ yếu là: khai niệm, tính chất liên quan đến unicoherent, tính chất (b), phép nâng tính chất liên quan đến phép nâng Thơng qua phần ta thấy tính chất bậc tính chất unicoherent việc nghiên cứu chương Chương chủ yếu đề cập đến nội dung nhằm để giải vấn đề tạo lỗ continua liên thông địa phương Cụ thể như: Cho X Peano continuum + Ta có X C ( X ) Peano continuum (theo nội dung định lí 3.2.6) + Lấy A0 ∈ C ( X ) , với A ∈ C ( X ) A thuộc biên C ( A0 ) thỏa A ⊂ A0 A ∩ bd X ( A0 ) ≠ φ ngược lại (bổ để 3.2.1) + Cho A0 Peano continuum X cho A0 khơng cung tự Khi tập hợp tạo nên từ biên C ( A0 ) bỏ A0 liên thông đường (mệnh đề 3.2.2) + Cho A0 ∈ C ( X ) − { X } C0 ∈ bdC ( X ) ( C ( A0 ) ) Khi bao đóng tập C ( X ) − C ( A0 ) bỏ tập phần tử C0 có tính chất b) (mệnh đề 3.2.5) 86 Từ ta tới giải vấn đề chương + Nếu X khơng đường cong đóng đơn X khơng tạo lỗ C ( X ) (định lí 3.2.5) + Cho A0 Peano continuum thật X Nếu A0 không đường cong đóng đơn khơng cung tự A0 khơng tạo lỗ C ( X ) (mệnh đề 3.2.7) Chương cuối luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề: đồ thị hữu hạn, đường cong đóng đơn continua liên thơng khơng địa phương nhằm mục đích phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề tạo lỗ Cho G0 đồ thị hữu hạn X peano continuum + Cho S đường cong đóng đơn G0 Khi S khơng tạo lỗ C ( G0 ) (mệnh đề 4.1.2) + Cho S đường cong đóng đơn khơng tự tập thật X Khi tồn continuum G X cho G đồng phôi với G0 S ⊂ G (bổ đề 4.2.2) + Cho S đường cong đóng đơn continuum G0 Peano continuum X Khi tập gồm biên C (G0 ) bỏ tập hợp có S liên thông (bổ đề 4.2.3) + Nếu S đường cong đóng đơn khơng tự X S ≠ X S khơng tạo lỗ C ( X ) (mệnh đề 4.2.4) Nếu S đường cong đóng đơn tự X S tạo lỗ C ( X ) (định lí 4.2.8) Từ ta có S đường cong đóng đơn tự X S tạo lỗ C ( X ) (mệnh đề 4.2.9) 87 + Cho A tập không liên thông địa phương C ( X ) Khi A không tạo lỗ C ( X ) (mệnh đề 4.3.2) Cuối ta có kết tổng quát trường hợp tập tạo lỗ siêu không gian trường hợp tập không tạo lỗ siêu không gian + Cho A continuum X Khi A tạo lỗ C ( X ) A = X X đường cong đóng đơn A đường cong đóng đơn tự cung tự với điểm cuối p, q cho p, q không thuộc phần A (Định lí 4.3.5) Tuy giải vấn đề đặt cho luận văn, qua đặt tốn mở sau: + Bài tốn 1: Có phải tạo lỗ số siêu không gian C ( X ) với X continuum Peano continuum? + Bài toán 2: Những ứng dụng từ phổ biến đến tổng qt khơng gian có lỗ? Giải vấn đề giúp khẳng định thêm, việc tạo lỗ cho không gian siêu khơng gian hữu ích cho việc nghiên cứu khơng gian Một phần tốn nhà toán học José G.Anaya, David Maya Fernando Orozco – Zitli cơng trình đầu năm 2012 có tên “Tạo lỗ tích đối xứng thứ hai Dendrite quạt” 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt: [1] Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, Nxb Giáo Dục (2008) [2] Đỗ Văn Lưu, Tôpô đại cương, Nxb Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội (1998) [3] Nguyễn Nhụy – Lê Xuân Sơn, Bài tập Tôpô đại cương, NXB giáo Dục (2007) Tiếng anh: [4] J G Anaya, “Making holes in hyperspaces”, Topology Appl 154 (2007), 2000 − 2008 [5] J G Anaya, “Making holes in the hyperspace of subcontinua of smooth fans”, Advances in Pure Mathematics, (2012), 133 – 138 [6] R H Bing, Partitioning a set, Bull Amer Math Soc 55 (1949), 1101−1110 [7] W.C Chewning, Connectivity retracts of unicoherent Peano continua in  n , Fund, Math, 75 (1972), 25 – 27 [8] R.F Dickman, Jr Some mapping characterizations of unicoherence, Fund, Math, 78 (1973), 27 – 35 [9] R Duda, On the hyperspace of subcontinua of finite graph, I, Fund Math 62 (1968), 265-286 [10] A García − Máynez and A Illanes, A survey on unicoherence and related properties, An Inst Mat Univ Nac Autónoma México 29 (1989), 17−63 [11] A.García – Máynez, Some results on unicoherent space, An, Inst, Mat, Univ, Nac, Autonoma Mexico 16 (1976), 117 – 133 [12] A.García – Máynez, and W Martínez, Unicoherent plane Peano sets are σ − unicoherent , Pacific J Math, 82 (1979), 493 – 497 [13] Emil G Milewski, Ph.D, The topology problem solver, (1994) [14] M J Greenberg and J R Harper, Algebraic Topology, A First Course Benjamin/Cummings, Menlo Park, CA, 1981 89 [15] J.H.V Hunt, A characterization of unicoherence in terms of separating open sets, Fund, Math, 107 (1980), 195 – 199 [16] A Illanes and S B Nadler, Jr., Hyperspaces, Fundamentals and Recent Advances, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, v 216, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999 [17] A Illanes, Multicoherence of whitney levels, Topology Appl.68 (1996), 251 – 265 [18] A Illanes, The hyperspace C2 ( X ) for a finite graph X is unique, Glasnik matematicki, Vol.37 (57) (2002), 347 – 363 [19] K.Kuratowski, Topology, Vol I, Acad Press, New York, N.Y., 1966 [20] K.Kuratowski, Topology, Vol II, Acad Press, New York, N.Y., 1968 [21] S Mardesic, Equivalence of singular and Cech homology for ANR – s, Application to unicoherence, Fund, Math, 46 (1958), 29 – 45 [22] E E Moise, Grille decomposition and convexi¯cation theorems for compact locally connected continua, Bull Amer Math Soc 55 (1949), 1111−1121 [23] S B Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, v 49, Marcel Dekker, Inc., New York, 1978 [24] S B Nadler, Jr., Continuum Theory, An introduction, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 158, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992 [25] S B Nadler, Jr., A characterization of locally connected continua by hyperspace retractions, Proc Amer Math Soc 67 (1997), 167−176 [26] Paul L.Shick, Topology (point – set and Geometric), 2007, 271 pp [27] A.H Stone, Incidence relations in unicoherent space, Trans, Amer, Math Soc, 65 (1949) 427 – 447 [28] A.H Stone, Incidence relations in multicoherent space I, Trans, Amer, Math Soc, 66 (1949) 389 – 406 90 [29] A.H Stone, Incidence relations in multicoherent space II, Trans, Amer, Math Soc, 66 (1950) 461 – 480 [30] A.H Stone, Incidence relations in multicoherent space III, Trans, Amer, Math Soc, 66 (1952) 99 – 128 [31] G T Whyburn, Analytic Topology American Mathematical Society Colloquium Publications, v 28, American Mathematical Society, New York, 1942, 278 pp [32] G.T Whyburn, Topology Analytic, Princeton, New Jersey, Princeton University Press (1958) ...i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Mai Tấn Đạt TẠO LỖ TRONG SIÊU KHÔNG GIAN CỦA CONTINUA CON CỦA MỘT PEANO CONTINUUM Chun ngành: Hình học tơpơ Mã... [24]: Không gian X C ( X ) với tôpô sinh H d gọi siêu không gian X Ta gọi C ( X ) siêu không gian continua X , X siêu không gian tất tập đóng khác rỗng X Trong luận văn dùng khái niệm continua. .. tài ? ?tạo lỗ siêu không gian? ?? để nghiên cứu Cụ thể, nghiên cứu tính ? ?tạo lỗ siêu khơng gian continua Peano continuum? ?? Nội dung luận văn gồm bốn chương Chương trình bày số kiến thức không gian tôpô,