Các mêtric trên siêu không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Cơng Mẫn CÁC MÊTRIC TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN Chun ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy tổ hình học, khoa Tốn–Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giảng dạy giúp đỡ chúng tơi nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học tập Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu truyền đạt cho tơi kiến thức q báu suốt trình thực luận văn Xin chân thành cảm ơn giáo sư Sam B Nadle, Jr, trường đại học Georgia gửi nhiều tài liệu quí báu hỗ trợ cho chúng tơi q trình làm luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Dương Minh Châu, Dương Minh Châu, Tây Ninh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Sau cùng, xin gởi lời cảm ơn đến bạn lớp học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2009 Tác giả Lê Công Mẫn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong luận văn chúng tơi trình vấn đề liên quan đến hyperspace (siêu không gian), vấn đề siêu khơng gian nhiều nhà tốn học quan tâm, : M Wojdyslawski, J L Kelly, R W Wardle, J J Charatonik, C J Rhee, Nadler, Felix Hausdorff , LeoPold Vietoris Vào năm đầu kỷ 20 lý thuyết siêu không gian nghiên cứu hai nhà toán học Felix Hausdorff LeoPold Vietoris, sau J L Kelly tiếp tục phát triển số tính chất siêu khơng gian, đặc biệt siêu không gian continuum Trong khoảng thời gian từ năm 1920 đến năm 1930 nhiều cấu trúc siêu không gian xác định Đặc biệt năm 1931 Borsuk-Mazurkiewicz chứng minh X C(X) liên thơng đường Ngồi siêu khơng gian cịn có nhiều tính chất khác nhiều nhà tốn học quan tâm Và M Wojdyslawski người nghiên cứu tính co siêu khơng gian X C ( X ) Năm 1938 Wojdyslawski chứng minh “Nếu X continuum liên thông địa phương X C(X) co rút được” Tuy nhiên ông không kết C(X), ông chứng minh được: với kết X áp dụng cho C(X) Năm 1942 Kelly tiếp tục phát triển kết Wojdyslawski ơng chứng minh tính co X C(X) tương đương, Kelly đưa điều kiện đủ (mà ta gọi tính chất Kelly hay tính chất k) tính co siêu khơng gian, sử dụng để tổng quát hóa kết Wojdyslawski, Kelly chứng minh X có tính chất k siêu khơng gian X co rút Tính chất k Kelly điều kiện đủ mà khơng phải điều kiện cần Do đó: Năm 1978 Nadler đặt câu hỏi: làm để tìm điều kiện cần (hoặc) đủ phần tử X để X co rút Sau Nadler đưa tính chất, gọi tính chất C chứng minh khơng gian X với tính chất C có siêu khơng gian C(X) co rút có thớ ánh xạ liên tục  cho  ( x)   ( x) với x  X ,  ( x) thớ chấp nhận x Cũng khoảng thời gian đó, năm 1977 Wardle giới thiệu báo tính chất Kelly Và nhiều kết báo tổng quát hóa J J Charatonik vào năm 1983, sau báo R W Wardle, có nhiều báo xuất hiện, báo giới thiệu tính chất Kelly nhiều khía cạnh khác Cho đến tính chất Kelly nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Như lý thuyết siêu không gian trở thành phương tiện quan trọng để tìm kiếm thơng tin tính compact, tính liên thơng không gian tôpô X cách nghiên cứu tính chất siêu khơng gian X  {F  X : F đóng, khác rỗng} C ( X )  {F  X : F liên thông} Như đề cập, đề tài siêu khơng gian đề tài nhiều nhà tốn học quan tâm, vấn đề quan tâm siêu không gian hàm khoảng cách siêu không gian ứng dụng hàm khoảng cách Chẳng hạn ta dùng hàm khoảng cách siêu không gian để đo q trình phát triển robot ví dụ sau đây: Cho robot thiết kế để điêu khắc, trước hết ta phải có mẩu gỗ (trong toán học khối lập thể  ), mục đích để tạo hình dáng mong muốn (khối lập thể khác 3 ), ta đặt hình dáng cần điêu khắc vào mẩu gỗ ban đầu (khối lập thể ban đầu  ) cách cắt bỏ phần thừa để sản phẩm cần điêu khắc (xem hình 1) Bằng phương pháp gắn cho khối lập thể ban đầu 3 hệ tọa độ dùng hàm khoảng cách siêu khơng gian tập đóng 3 để biến khối lập thể ban đầu 3 thành hình dáng mong muốn (khối lập thể khác  ) (ta gọi trình trình phát triển robot) Nếu nhát cắt mơ tả hình 1, khoảng cách Hausdorff phần điêu khắc chưa xong thành phẩm cần đạt không đổi, thực tế hàm khoảng cách có tiến định Điều gợi ý cho mêtric Hausdorff khơng hàm khoảng cách tốt để đo q trình phát triển Robot Do luận văn ta xác định hàm khoảng cách thích hợp để sử dụng cho mục đích Vì siêu khơng gian đề tài thời có nhiều ứng dụng thực tế nên luận văn nghiên cứu số vấn đề siêu không gian, đề tài nghiên cứu “các mêtric siêu không gian” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mêtric siêu không gian Đối tượng nội dung nghiên cứu Các mêtric hàm khoảng cách siêu không gian Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng hàm khoảng cách siêu khơng gian để đo tiến trình phát triển robot Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí chọn đề tài Phần nội dung: Chương 1: Nêu số kiến thức chuẩn bị độ đo tích phân Chương 2: Luận văn dành cho việc nghiên cứu khái niệm ánh xạ Whitney, hàm phân kỳ tính chất chúng Chương 3: Giới thiệu số hàm khoảng cách siêu không gian Nội dung chương gồm hai phần Phần 1, giới thiệu hàm khoảng cách Hmax, H+, HLmax, HL+, Wmax, W+ so sánh hàm với Phần 2, giới thiệu thêm hàm khoảng cách tích phân nghiên cứu tính chất mêtric tích phân Phần kết luận: Tóm tắt đưa nhận xét nghiên cứu mêtric siêu không gian Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương kiến thức độ đo, tích phân tơpơ đại cương làm sở lý thuyết cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 Độ đo tích phân 1.1.1 Đại số,  - Đại số 1.1.1.1 Định nghĩa Một họ M tập tập hợp X gọi đại số tập hợp X a) X M (1) Với A  M , Ac  X \ A  M (2) n b) Với họ hữu hạn tùy ý A1 , , An M ,  Ai M (3) i 1 M gọi  - đại số tập hợp X thỏa mãn hai  điều kiện (1), (2) với họ đếm A1 , A2 M ,  An M (3’) n 1 Cặp (X, M ) M  - đại số tập hợp X gọi không gian đo Mỗi tập hợp AM gọi tập hợp đo Mỗi  - đại số đại số Thật vậy, giả sử M  - đại số A1 , , An M Đặt An+1 = An+2 = … =  Khi tập hợp  n  A   A M i i 1 j j 1 Vậy M đại số Từ (1), (2) suy tập hợp rỗng phần tử đại số M 1.1.1.2 Ví dụ Ví dụ Họ tất tập hợp tập hợp X cho trước đại số Ví dụ Giả sử A tập hợp tập hợp X Khi { X , A, Ac }  - đại số 1.1.1.3 Định lí Nếu M đại số a) Giao họ hữu hạn tập hợp thuộc M tập thuộc M b) Hiệu hai tập thuộc M tập hợp thuộc M Chứng minh a) Giả sử A1 , , An M Theo công thức Đờ Móocgăng ta có n n n i 1 i 1 n 1  Ai  (( Ai )c )c  (  ( Ai )c )c M b) Nếu A, B  M A \ B  A  Bc M Hiển nhiên định lí M  - đại số 1.1.1.4 Định lí Giao họ đếm tập hợp thuộc -đại số M tập hợp thuộc M Chứng minh Nếu A1 , A2 M    n 1 n 1 n 1 (  An )c   ( An )c M Do  An M 1.1.2 Độ đo 1.1.2.1 Định nghĩa Giả sử M  - đại số tập hợp tập hợp X hàm số  : M  [0, ] gọi độ đo 1) µ() = 2) µ  - cộng tính, tức A1, A2, … họ đếm tập hợp đơi rời thuộc M    (  An )   ( An ) n 1 n 1 Bộ ba (X, M , µ) M  - đại số tập hợp tập hợp X,  : M  [0, ] độ đo, gọi khơng gian độ đo Nếu A M số µ (A) gọi độ đo tập hợp A Độ đo µ gọi hữu hạn µ (X) < ∞  Độ đo µ gọi  - hữu hạn X   X n , X n M , µ (Xn) < ∞ với số tự n 1 nhiên n Hiển nhiên độ đo hữu hạn  - hữu hạn 1.1.2.2 Ví dụ Ví dụ Hàm số xác định  - đại số đồng không độ đo Đó độ đo hữu hạn Ví dụ Cho M  - đại số tập hợp tập hợp X, xo  X Hàm số  : M  [0, ] xác định 1 neáu xo  AM 0 neáu xo  AM  ( A)   độ đo hữu hạn 1.1.2.3 Định lí 3.Giả sử µ độ đo xác định  - đại số M Khi a) µ cộng tính hữu hạn (gọi tắt cộng tính), tức A1, …, Am m m phần tử đôi rời M )    ( Ai ) i 1 i 1 b) Nếu A, B M A  B µ(A) ≤ µ(B), ngồi µ(A) < ∞ µB \ A  µ B  µA   c) Nếu A1, A2, …  M   An )    ( An ) n 1 n 1 Chứng minh a) Đặt Am+1 = Am+2 = … =  Do tính  - cộng tính µ, ta có m   m m i 1 n 1 n 1 i 1 i 1  Ai )   An )   ( An )   ( Ai )        ( Ai ) b) Ta có B = A  (B\A) Theo a) µ(B) = µ (A) + µ(B\A) Vì µ(B\A)  nên µ  A   µ  B  Nếu µ(A) hữu hạn từ đẳng thức suy µ(B\A) = µ (B) - µ(A) n 1 c) Đặt B1 = A1, Bn  An \  Ai , với n = 2, 3, … Các tập hợp Bn đo i 1   n 1 n 1  An   Bn Vì Bn  An nên µ(Bn) ≤ µ(An) với n Các Bn đôi rời nên     n 1 n 1 n 1 n 1  ( An )   ( Bn )    ( Bn )    ( An ) 1.1.2.4 Hệ 1) Tập hợp đo tập hợp có độ đo khơng tập hợp có độ đo khơng 2) Nếu A, B  M , µ(B) = µ(A  B) = µ (A\B) = µ(A) 3) Hợp họ hữu hạn đếm tập hợp có độ đo khơng tập hợp có độ đo khơng Chứng minh 1) Giả sử A, B  M , A  B µ(B) = Khi ≤ µ(A) ≤ µ(B) = Do µ(A) = 2) Vì A  A  B nên µ(A) ≤ µ(A  B) Mặt khác µ(A  B) ≤ µ(A) + µ(B) = µ(A) Từ hai bất đẳng thức vừa chứng minh, suy µ(A  B) = µ(A) Ta có A = (A\B)  (A  B) Vì A  B  B, µ(B) = nên  ( A  B )  Theo trường hợp vừa chứng minh, ta có µ(A) = µ(A\ B) 3) Giả sử A1, A2, … M µ(An) = với n Khi      (  An )    ( An )  Do  (  An )  n 1 n 1 n 1 1.1.3 Hàm số đo Hàm số f : X   gọi hữu hạn (trên X) f(X)   Cho A  {a}  B  X , với B đóng Thì D ( A, B )  H ( A, B ) Chứng minh: Cho b  B , với d (a, b)  H ( A, B) Nếu x  X , cho xB  B với d ( x, xB )  d B ( x) Thì d B ( x)  d A ( x)  d ( xB , x)  d ( x, a )  d ( xB , a )  d (b, a )  H ( A, B )  ess  sup{ d B ( x)  d A ( x) / x  X }  H ( A, B )  D ( A, B )  H ( A, B) 3.2.1.7 Bổ đề Cho A  B  X , với A,B đóng Thì D ( A, B )  H ( A, B ) Chứng minh Cho Y = X/A định nghĩa  : Y  Y   công thức  ([ x],[ y ])  min{d ( x, y ), d A ( x)  d A ( y )} Ta chứng tỏ  mêtric Y Thật vậy: hiển nhiên  thỏa mãn i/ iv/ Lấy [ x],[ y ]  Y Thì  ([ x],[ y ])  d(x,y) = d A ( x)  d A ( y )  * Trường hợp d(x,y) = 0, suy x = y, [x] = [y] * Trường hợp d A ( x)  d A ( y )  , suy dA(x) = dA(y) = Suy [ x],[ y ]  A Do đó,  ([ x],[ y ])  [x] = [y] Tiếp theo ta chứng tỏ  thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Lấy [ x],[ y ],[ z ]  Y giả sử  ([ x],[ y ])   ([ y ],[ z ])   ([ x, z ]) (*) Ta xét ba trường hợp: 1/  ([ x],[ y ])  d ( x, y )  ([ y ],[ z ])  d ( y, z ) ; 2/  ([ x],[ y ])  d A ( x)  d A ( y )  ([ y ],[ z ])  d ( y, z ) ; 3/  ([ x],[ y ])  d A ( x)  d A ( y )  ([ y ],[ z ])  d A ( y )  d A ( z ) Trường hợp  ([ x],[ y ])  d ( x, y )  ([ y ],[ z ])  d ( y, z ) Trong trường hợp ta có d ( x, y )  d ( y , z )   ([ x],[ y ])   ([ y ],[ z ])   ([ x ],[ z ])  d ( x, z ) ; Vì mêtric d thỏa mãn bất đẳng thức tam giác (d(x,y) + d(y,z)  d(x,z))   ([ x ],[ y ])   ([ y ],[ z ])  d ( x, y )  d ( y , z )  d ( x, z )   ([ x],[ z ]) , (mâu thuẩn với (*)) Trường hợp  ([ x],[ y ])  d A ( x)  d A ( y )  ([ y ],[ z ])  d ( y, z ) Lấy x A , y A  A với d A ( x)  d ( x A , x) d A ( y )  d ( y A , y ) Khi ta có d ( x, x A )  d ( y A , y )  d ( y , z )   ([ x],[ y ])  d ( y , z )   ([ x ],[ y ])   ([ y ],[ z ])   ([ x],[ z ])  d ( x, z ) Vì d ( y A , y )  d ( y, z )  d ( y A , z )  d A ( z ) d ( x, x A )  d A ( z )  d ( x , x A )  d ( y A , y )  d ( y , z ) = d A ( x)  d A ( y )  d ( y, z ) =  ([ x],[ y ])+ ([ y ],[ z ])   ([ x ],[ z ])  d ( x, z ) Suy d A ( x )  d A ( z )  d ( x, z )  ([ x],[ z ])  d A ( x)  d A ( z ) Suy d A ( x)  d A ( z )  d A ( x)  d A ( y )  d ( y, z ) Suy  ([ x],[ z ])   ([ x],[ y ])   ([ y ],[ z ]) (mâu thuẩn với (*)) Trường hợp  ([ x],[ y ])  d A ( x)  d A ( y )  ([ y ],[ z ])  d A ( y )  d A ( z ) Ta có  ([ x],[ y ])   ([ y ],[ z ])  d A ( x)  d A ( y )  d A ( y )  d A ( z )   ([ x],[ z ])  d A ( x)  d A ( y )  d A ( y )  d A ( z )   ([ x],[ z ])  d A ( x)  d A ( z ) Suy dA(y) = 0, tức y  A Do  ([ x],[ y ])   ([ y ],[ z ])  d A ( x)  d A ( y )  d A ( y )  d A ( z ) (mâu thuẩn với (*)) = d A ( x)  d A ( z )   ([ x],[ z ]) Vậy  mêtric Ta áp dụng bổ đề cho không gian Y Cố định a  A b  B với H(A,B) = d(a,b) Cho x  X , xB  B với d ( x, xB )  d B ( x) xBA  A với  ([ xB ], A)  d ( xBA , xB ) Lúc d B ( x)  d A ( x)   ([x B ],A) = d(x BA ,x B )  d(b,a) = H(A,B) Suy ess  sup  d B ( x)  d A ( x) / x  X   H ( A, B)  D  H ( A, B ) 3.2.1.8 Hệ Cho p  (0, ) Thì với tập đóng A, B  X , p D p ( A, B)  H ( A, B ) ( X ) Chứng minh Với x  X , ta có d B ( x)  d A ( x)  H ( A, B ) Suy   p D p ( A, B )    d B ( x)  d A ( x) d  ( x)  X  p  p    H ( A, B ) p d  ( x)  X   p =  H ( A, B ) p  d  ( x)  X   = H(A,B) (X) P 3.2.1.9 Định lí Cho A, B  X tập đóng Thì D ( A, B )  H ( A, B ) Chứng minh Từ bổ đề ta thấy D ( A, B )  H ( A, B ) Do ta cần chứng minh bất đẳng thức ngược lại Cho a  A b  B thỏa mãn H(A,B) = d(a,b) Thì H ( A, B )  d (a, b)  max{d A (b), d B (a )}  D ( A, B ) , Vậy D ( A, B)  H ( A, B) 3.2.2 Xét thuật tốn mêtric tích phân Trong phần ta mơ tả làm để tính D p ( A, B) có hiệu quả: Cho p  (0, ] tập đóng A, B  X , ta giới thiệu thuật toán chạy qua đa thức thời gian sau: Xấp xỉ A với tập hữu hạn A có lực lượng m, xấp xỉ B với tập  có lực lượng n xấp xỉ S với tập hữu hạn  X có lực lượng K hữu hạn B X , d A ( x) ước lượng d ( x, a ) với a   A qua m phép đo Thì với x    qua n khoảng cách Tương tự, d B ( x) ước lượng d ( x, b ) với b  B phép đo khoảng cách, ước lượng d A ( x)  d B ( x) tuyến tính, X có K điểm, nên phụ thuộc vào thứ tự m + n phép tính Cuối cùng,   ước lượng tích phân p d A ( x)  d B ( x) d  ( x) địi hỏi K(m + n) phép tính X Do xấp xỉ D p ( A, B) độ phức tạp bậc hai 3.2.3 So sánh Dp Dq với p, q  (0, ] Trong mục cho p, q  (0, ] , xét hai trường hợp cổ điển: (i) p