Metric hyperbolic và lý thuyết hàm hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trương Thị Như Thủy METRIC HYPERBOLIC VÀ LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trương Thị Như Thủy METRIC HYPERBOLIC VÀ LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN ĐƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Luận văn “Metric hyperbolic lý thuyết hàm hình học” luận văn đầy tâm huyết tơi Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi thực Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Tác giả Trương Thị Như Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn cao học Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán – Tin đã tận tình dạy dỡ, hướng dẫn để tơi có thể trang bị cho các kiến thức cần thiết cho việc thực luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS.Nguyễn Văn Đơng đã hướng dẫn tận tình để tơi có thể hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương CÁC TỰ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ VÀ METRIC HYPERBOLIC 2.1 Đĩa đơn vị với metric hyperbolic 2.2 Bổ đề Schwarz-Pick 16 2.3 Một mở rộng bổ đề Schwarz-Pick 20 2.4 Đạo hàm hyperbolic 23 Chương ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC MIỀN ĐƠN LIÊN VÀ METRIC HYPERBOLIC .28 3.1 Metric miền đơn liên 28 3.2 Ví dụ về metric hyperbolic miền đơn liên 34 3.3 Nguyên lý so sánh 42 3.4 Độ cong bổ đề Ahlfors 47 Chương CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH GIỮA CÁC MIỀN HYPERBOLIC VÀ METRIC HYPERBOLIC 55 4.1 Metric hyperbolic miền hyperbolic 55 4.2 Metric miền nhị liên .62 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 KÝ HIỆU Trong luận văn ta ký hiệu: + D  z  : z  1 đĩa mở đơn vị mặt phẳng phức + D*  z  :  z  1 đĩa đơn vị thủng mặt phẳng phức + B  a, r  đĩa hyperbolic tâm a, bán kính r miền  + A  D  nhóm tự đẳng cấu bảo giác D + A  , a  nhóm tự đẳng cấu bảo giác  cố định a +   z  dz metric (hoặc nửa metric) bảo giác đó  hàm mật độ metric + lD      D  z  dz độ dài hyperbolic   + d  z, w  inf l   khoảng cách hyperbolic   + aD ( E )   D2 ( z )dxdy diện tích hyperbolic tập đo Borel D E + pD  z, w   z, w khoảng cách giả-hyperbolic với  z, w  zw  wz + f #  z, w tỉ số sai phân hyperbolic + f h  w đạo hàm hyperbolic f tại w + f h  w độ biến dạng hyperbolic f tại w + d  z,      ( z ) khoảng cách Euclide từ z đến  + K  a    log   a  độ cong Gauss metric bảo giác   z  dz tại a  a +  2 2 2 2 toán tử Laplace    x y z z  zz + f *    w dw  cái kéo ngược nửa metric   w dw + A  r , R   z : r  z  R hình vành khăn MỞ ĐẦU Lý thuyết hàm hình học lĩnh vực thuộc giải tích phức nghiên cứu tính chất hình học hàm giải tích Các kết quan trong lý thuyết định lý ánh xạ Riemann, bổ đề Schwarz Các chủ đề lý thuyết hàm hình học thường liên quan đến ánh xạ bảo giác, tựa bảo giác, toán thác triển giải tích, tốn cực trị Hình học Hyperbolic hay cịn gọi hình học Lobachevsky sử dụng nhiều việc nghiên cứu giải tích phức Đặc biệt metric hyperbolic metric tự nhiên dùng nhiều để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học Nội dung luận văn trình bày lại phần lý thuyết hình học cách sử dụng metric hyperbolic metric bảo giác khác Luận văn gồm bốn chương Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị cho các chương sau Chương Trình bày về tự ánh xạ chỉnh hình đĩa đơn vị metric hyperbolic Chương Trình bày việc sử dụng metric hyperbolic để nghiên cứu hàm chỉnh hình miền đơn liên thực mặt phẳng phức Chương cũng số metric hyperbolic cho miền đơn liên đặc biệt cách đánh giá cho miền đơn liên tổng quát Chương Đề cập đến hàm chỉnh hình miền hyperbolic, đó miền mà phần bù mặt phẳng phức mở rộng chưa ít ba điểm Chương cũng xác định rõ metric hyperbolic đĩa thủng hình vành khăn Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ + Ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.1 Ánh xạ bảo giác ánh xạ bảo tồn góc cách địa phương Chính xác hơn, ánh xạ f : U  V với U ,V  n gọi bảo giác tại điểm uo bảo tồn độ lớn hướng các góc định hướng các đường cong qua uo Trong phần lớn các trường hợp ánh xạ có miền xác định miền giá trị nằm mặt phẳng phức Ta có kết quan trọng Định lý 1.2 (Tiêu chuẩn song chỉnh hình địa phương) Cho f : D  ánh xạ chỉnh hình Khi đó f song chỉnh hình địa phương tại c  D f bảo giác tại c (nghĩa f '  c   ) + Mặt Riemann Định nghĩa 1.3 Cho n  Một đa tạp phức n chiều (phức) X không gian tôpô Hausdorff , có sở đếm với atlas phức A  U , I thỏa mãn: i U  tập mở khác rỗng X với mọi   I ii  : U  iii I n đồng phôi từ U  lên tập mở n với mọi   I U  X iv  1 :  U U     U U   ánh xạ chỉnh hình với mọi ,   I Tập hơp A gọi cấu trúc phức X Ví dụ Không gian tô-pô n chiều n , không gian xạ ảnh phức P n ( ) các đa tạp phức Định nghĩa 1.4 Mặt Riemann đa tạp phức liên thơng có số chiều phức Các ánh xạ chỉnh hình cũng định nghĩa mặt Riemann Định nghĩa 1.5 Cho hai đa tạp phức X , Y tập mở   X Khi đó ánh xạ f :   Y gọi chỉnh hình với mỡi cặp đồ địa phương U ,  X V ,  Y cho f U   V ánh xạ  f  1 :  U   V  chỉnh hình Định nghĩa 1.6 Hai mặt Riemann S S’ gọi tương đương bảo giác có đờng phơi f từ S vào S’chỉnh hình đờng thời ánh xạ ngược nó cũng chỉnh hình Khi đó f gọi ánh xạ song chỉnh hình đẳng cấu bảo giác Poincaré Koebe có mặt Riemann đơn liên sai khác đẳng cấu Định lý 1.7 (Uniformization theorem) Bất kỳ mặt Riemann đơn liên cũng đẳng cấu bảo giác với các mặt sau (a) mặt phẳng phức bao gồm tất các số phức z  x  iy ;   (b) đĩa mở đơn vị D  x  iy  : x  y  , tương đương với nửa mặt phẳng H   z  : Imz  0 (c) mặt cầu Riemann     hay ký hiệu P1 ( ) + Metric bảo giác Cho U miền phẳng (khác rỗng, liên thông, không thiết đơn liên) Định nghĩa 1.8 Một metric bảo giác metric có dạng  dz , ρ hàm trơn dương U Nếu không sợ nhầm lẫn ta cũng ký hiệu ρ metric đó 57 Chứng minh Ta xây dựng metric với độ cong 1 miền hyperbolic Đầu tiên ta định nghĩa metric cách địa phương Với miền hyperbolic  , đặt h : D   phủ chỉnh hình Một metric xác định  sau Với miền đơn liên U  đặt H  h1 nhánh chỉnh hình hàm ngược U Đặt   z   D  H  z   H '  z  Đây metric với độ cong 1 U Thực điều xác định metric  Giả sử U1 U miền đơn liên  U1  U khác rỗng Cho H j nhánh chỉnh hình đơn trị h 1 U j Khi đó có ánh xạ g  A  D  cho H  g H1 cách địa phương U1  U Vì vậy, H *  D  z  dz    g H1  *  D  z  dz    H1 * g *  D  z  dz    H1 *  D  z  dz  mỡi tự đẳng cấu bảo giác D đẳng cự đối với metric hyperbolic D  z  dz Do đó,   z  xác định không phụ thuộc vào nhánh sử dụng h 1 h *     D Hơn nữa, metric không phụ thuộc vào hàm phủ Giả sử k : D   hàm phủ khác Khi đó k  h g với g  A  D  , k *      h g  *     g *  h *      g *  D   D Rõ ràng  giải tích thực cách xây dựng Độ cong 1 suy từ h *     D định lý 3.4.3 3.4.4  58 Metric   w dw miền hyperbolic  cho định lý 4.1.3 gọi metric hyperbolic  Khoảng cách hyperbolic miền hyperbolic đầy đủ Khoảng cách hyperbolic d  xác định d  z, w  inf l   , với infimum lấy tất đường cong trơn   nối z w Không giống trường hợp miền đơn liên, phủ chỉnh hình f : D   lên miền hyperbolic đa liên khơng đẳng cự, đẳng cự địa phương Nghĩa là, mỡi điểm a  có lân cận U cho f |U đẳng cự Tổng quát, ta có thể khẳng định d  f  z  , f  w   d D  z, w với z, w  D Khi  đa liên, f khơng đơn ánh, tờn tại hai điểm phân biệt z, w  D với f  z   f  w Trong trường hợp này, d  f  z  , f  w    d D  z, w Tổng quát, metric hyperbolic không bất biến qua ánh xạ bảo giác mà bất biến qua phủ chỉnh hình Định lý 4.1.4 (Bất biến phủ) Nếu f :    phủ chỉnh hình miền hyperbolic f *    w dw     z  dz Nói cách khác, mỡi phủ chỉnh hình miền hyperbolic đẳng cự địa phương Chứng minh Cho h : D   phủ chỉnh hình Khi đó k  f h : D   cũng phủ chỉnh hình, D  k *     h *  f *     Như f *    metric bảo giác  có kéo ngược đĩa đơn vị phủ D , f *    metric hyperbolic  định lý 4.1.3  59 Định lý 4.1.4 suy mỗi h  A    đẳng cự đối với metric hyperbolic, tổng quát hơn, mỗi tự ánh xạ phủ chỉnh hình h  đẳng cự địa phương đối với metric hyperbolic Một miền hyperbolic có thể có tự ánh xạ phủ mà không tự đẳng cấu bảo giác Tính chất cực đại metric hyperbolic cho định lý 3.4.5 vẫn cho miền hyperbolic Theo ý sau chứng minh định lý 3.4.5, điều có nghĩa phiên bổ đề Schwarz-Pick thỏa mãn cho ánh xạ chỉnh hình miền hyperbolic Ta đưa chứng minh độc lập cho kết Định lý 4.1.5 ( Dạng tổng quát bổ đề Schwarz-Pick) Giả sử   miền hyperbolic f :    chỉnh hình Khi đó với mọi z   ,   f  z   f '  z     z  (4.1) Nếu f :    hàm phủ   f  z   f '  z     z  với mọi z   Nếu tồn tại điểm  cho đẳng thức xảy (4.1) f phủ Chứng minh F D  D k h f    Cho k : D   h : D   phủ chỉnh hình Hàm f k : D   nâng h tới hàm F : D  D Khi đó f k  h F bổ đề Schwarz-Pick cho đĩa đơn vị dẫn đến k *  f *       f k  *      h F  *     F *  h *      F *  D   D  k *    60 `Bởi k tồn ánh, đờng phơi địa phương, bất đẳng thức k *  f *      k *    dẫn đến bất đẳng thức (4.1) Do h k phủ, f phủ F phủ Nhận xét dẫn đến khẳng định lại định lý  Ta cần thiết lập kết về tự ánh xạ phủ chỉnh hình miền hyperbolic mà có điểm bất động để thu kết tương tự bổ đề Schwarz cho miền hyperbolic Định lý 4.1.6 Một tự ánh xạ phủ miền hyperbolic có điểm bất động tự đẳng cấu bảo giác Đặc biệt, miền hyperbolic  không đơn liên a  , nhóm A  , a  đẳng cấu với nhóm bậc n phần tử đơn vị với n số nguyên dương đó Chứng minh Giả sử  miền hyperbolic, a  f tự ánh xạ phủ  cố định a Ta chứng minh f tự đẳng cấu bảo giác Kết tầm thường  đơn liên mỗi ánh xạ phủ miền đơn liên đồng phôi Cho h : D   phủ phổ dụng chỉnh hình với h    a h '    Bởi phủ toàn ánh, ta cần chứng minh f đơn ánh f D  D h h f    Cho f phép nâng f h tương ứng với h mà thỏa mãn f    Do h f h phủ nên f cũng phủ Vì D đơn liên, f tự đẳng cấu bảo giác D Khi đó f  z   ei z với   Bởi  không đơn liên, h1  a  chứa vô hạn điểm bên cạnh Vì thớ tập rời rạc D , phần tử khác khơng h1  a  có mơ-đun dương cực tiểu r 61 h1  a   z : z  r  a j : j  1, , m   Từ f h1  a   h1  a  , ta kết luận f cảm sinh phép hoán vị tập a j : j  1, , m Do đó, tồn tại n  m! cho f n ánh xạ đồng Khi đó n f n h  h f  h đó f n ánh xạ đồng Nếu n  f ánh xạ đờng Nếu n  , f n  I , ánh xạ đồng nhất, suy f tự đẳng cấu bảo giác  với ánh xạ ngược f n1 Lập luận cho thấy  khơng đơn liên có số ngun khơng âm m cho với mọi f  A  , a  , f m ánh xạ đồng Do đó f '  a   tức m f '  a  bậc m phần tử đơn vị Như vậy, f f '  a  xác định ánh xạ chỉnh hình A  , a  vào đường trịn đơn vị T ảnh nhóm bậc m phần tử đơn vị Vì vậy, A  , a  nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhóm bậc n phần tử đơn vị với n nguyên dương  Ví dụ 4.1.7   Cho  R   z :  z  R  với R  Nhóm A   R ,1 có bậc hai; tự đẳng cấu  R  bảo giác  R cố định ánh xạ đồng f  z   z Hệ 4.1.8 (Bổ đề Schwarz tổng quát) Giả sử  miền hyperbolic, a  f tự ánh xạ chỉnh hình  cố định a Khi đó f '  a   đẳng thức xảy f  A  , a  , nhóm tự đẳng cấu bảo giác  cố định a Hơn nữa, f '  a   f ánh xạ đồng Chứng minh 62 Bổ đề Schwarz suy f '  a   với đẳng thức xảy f tự ánh xạ phủ  cố định a Mỗi f  A  , a  phủ, f '  a   Nếu f tự ánh xạ phủ  cố định a , đó f  A  , a  theo định lý 4.1.6 Ta sử dụng chứng minh định lý 4.1.6 để kiểm tra f '  a   suy f ánh xạ đồng Cho f nâng f h chứng minh định lý 4.1.6 Khi đó h f  f h dẫn đến  f '  a   f '   , f ánh xạ đờng Suy f ánh xạ đồng  Picard đã thiết lập khái quát hóa định lý Liouville Định lý 4.1.9 (Định lý nhỏ Picard) Nếu hàm nguyên bỏ hai giá trị phức hữu hạn, f hàm Chứng minh Giả sử f hàm nguyên f   \ a, b : a ,b , với a b số phức phân biệt Ta tìm mâu th̃n f khơng hàm Miền miền hyperbolic; cho a ,b  z  dz biểu thị metric hyperbolic hàm hằng, đó f *  a ,b  z  dz  nửa metric a ,b Nếu f không với độ cong lớn 1 ; điều mâu thuẫn với định lý 3.4.6  4.2 Metric miền nhị liên Có phân lớp miền nhị liên liên (a) *   a ,b Nếu  miền nhị  tương đương bảo giác với miền: \ 0 , (b) D*  D \ 0 , (c) Hình vành khăn A  r , R   z : r  z  R , với  r  R 63 Trong trường hợp  mặt phẳng mở rộng  bị thủng hai điểm khơng miền hyperbolic Trong phần ta tính toán metric hyperbolic cho đĩa đơn vị thủng D * hình vành khăn AR  z :1/ R  z  R , với R  4.2.1 Metric hyperbolic đĩa đơn vị thủng Để xác định metric hyperbolic D * ta sử dụng phủ chỉnh hình từ H lên D * định lý 4.1.4 Hàm h  z   exp  iz  phủ chỉnh hình từ H lên D * Do đó, mật độ metric hyperbolic D * D*  z   z log 1/ z  Thật vậy, với h : D*   , h  z   exp  iz   eiz ta có h *  D*  w dw   H  z  dz Mà h *  D*  w dw   D*  h  z   h '  z  dz  D*  eiz  ieiz dz  D*  eiz  eiz dz H  z  dz  dz Im z   nên ta có D* eiz eiz dz  1 dz Suy D*  eiz  eiz  Im z Im z Đặt Z  eiz z  i log Z  i  ln Z  i arg Z   arg Z  i ln Do đó Im z  log Z Z Như D*  Z  Z  1 log Z nghĩa D*  Z   1 Z log Z Với miền hyperbolic đơn liên, đẳng cự hyperbolic đối với metric hyperbolic tự đẳng cấu bảo giác Đối với miền đa liên, đó có thể tự ánh xạ phủ mà giữ cho metric hyperbolic bất biến Chẳng hạn, ánh xạ 64 z z n , n  2,3, , tự ánh xạ phủ D * mà D*  z  dz bất biến Các ánh xạ (sai khác phép hợp thành với phép quay quanh điểm gốc) tự ánh xạ phủ D * mà khơng tự đẳng cấu Bởi mỡi trắc địa hyperbolic D * ảnh trắc địa hyperbolic H qua ánh xạ h , mỗi đoạn  rei , Rei  với  r  R  (trên bán kính ) phần trắc địa hyperbolic Vì mật độ D* khơng phụ thuộc vào  , độ dài hyperbolic đoạn trắc địa  r , R   rei , Rei  khơng phụ thuộc vào  Tính tốn trực tiếp ta có lD*  r , R    r , R D*  z  dz   R r dt log R  log t log t log r Theo công thức, độ dài tiến đến vô cực r  R  suy từ tính đầy đủ metric hyperbolic Đường tròn Euclide Cr  z : z  r , với  r  , không trắc địa hyperbolic; nó có độ dài hyperbolic lD*  Cr    z r dz 2  z log 1/ z  log 1/ r  Độ dài hyperbolic Cr dần về r  dần về  r  Diện tích hyperbolic hình vành khăn A  r , R   z : r  z  R  D * a D*  A  r , R      2 A r , R   R r z log z dxdy dt t log t   1  2    log / R log / r       65 Diện tích hyperbolic A  r , R  tiến đến vơ cực R  có giới hạn hữu hạn 2 r  log 1 / R  Nhắc lại với miền đơn liên  , mật độ hyperbolic  mật độ tựa hyperbolic 1/   tương đương bi-Lipschitz (xem 3.3.4 với   ( z )  d  z,   ) Hai metric không tương đương bi-Lipschitz D * dáng điệu D* gần đường tròn đơn vị khác với dáng điệu gần điểm gốc Với 1/  z  1,  D*  z    z đó lim  D*  z  D*  z   z 1 Với  z  1/ ,   z   z đó lim  D*  z  D*  z   z 0 4.2.2 Metric hyperbolic hình vành khăn Bây giờ ta xác định metric hyperbolic hình vành khăn cách sử dụng phủ chỉnh hình từ dải lên hình vành khăn Trong mỡi lớp tương đương bảo giác hình vành khăn ta chọn đại diện mà đối xứng qua đường tròn đơn vị Với  r  R cho A  r , R   z : r  z  R Số mod  A  r , R    log  R / r  gọi mô đun A  r , R  Hai hình vành khăn A  rj , R j  , j  1,2 tương đương bảo giác R1 / r1  R2 / r2 ; nghĩa chúng có mơ đun Nếu S   R / r  , AS  z :1/ S  z  S hình vành khăn tương đương bảo giác với A  r , R  mà đối xứng qua đường tròn đơn vị Ở 66 tính đối xứng có nghĩa AS bất biến qua ánh xạ z , đó phép đối xứng qua z đường tròn đơn vị Chú ý mod  AS   2log S Hàm k  z   exp  iz  phủ chỉnh hình phổ dụng từ dải thẳng đứng Sb   z : Imz  b , với b  log R lên hình vành khăn AR  z :1/ R  z  R Do đó mật độ metric hyperbolic hình vành khăn AR R  z    2log R   log z  z cos    2log R  Thật vậy, xét Sb   z : Im z  b với b  log R , AR  z :1/ R  z  R Do k : Sb  AR , k ( z )  eiz nên ta có k *  AR  w dw   Sb  z  dz Mà k *  AR  w dw   AR  k  z   k '  z  dz  AR  eiz  eiz dz Sb  z    2b cos  Nên AR  eiz  eiz  2b cos  2b y Đặt Z  eiz z  i log Z  i  ln Z  i arg Z   arg Z  i ln Ta có Im z  y  log Tức AR  Z   Suy AR  Z  Z  Z    2b Z cos  log  Z   2b Cuối ta có R  z   AR  z    Z    2b cos  log  Z   2b  2log R    Z cos  log  Z   2log R  2log R   log z  z cos    2log R   2b y 67 Ví dụ 4.2.1 Ta xét độ dài hyperbolic đường tròn Euclide Cr  z : z  r Ar Độ dài hyperbolic Cr lR  Cr    z r  dz 2log R   log z  z cos    2log R   2   log r   log R  cos    2log R  Tính đối xứng AR đối với đường tròn đơn vị phản ánh hai đường tròn đối xứng qua đường tròn đơn vị có độ dài hyperbolic Độ dài hyperbolic Cr tăng từ  / log R  2 / mod AR đến  r tăng từ đến R Như vậy, độ dài hyperbolic đường tròn Euclide Cr AR có cực tiểu dương Đường trịn Euclide C1 trắc địa hyperbolic; Cr khơng trắc địa hyperbolic r  Nếu  n  t   exp  2 int  , đó I  n ,0   n , với I  ,0  biểu thị số số vòng quay đường cong đóng  quanh điểm gốc, 2 n lR   n   mod AR Bây giờ ta số các đường cong đóng nằm AR quay quanh điểm gốc n vịng  n có độ dài cực tiểu Định lý 4.2.2 Giả sử  đường cong đóng trơn AR I  ,0   n  Khi đó 2 n  lR    (4.2) mod AR với lR   biểu thị độ dài hyperbolic  Đẳng thức (4.2) xảy  tham số hóa đường trịn đơn vị giao n lần 68 Chứng minh Giả sử  : 0,1  AR đường cong đóng với I  ,0   n  Khi đó lR          z  dz R   2log R  2log R     log   t   2log R    t  cos  0  '  t  dt     't  dt  t    log   t   cos   2log R     (4.3)  đẳng thức xảy   t   với t  0,1 Tiếp theo,   't    t   't  dt (4.4)  t      dz z  2 iI   ,0   2 n Như vậy, 2 n 2 n lR      log R mod AR Có thể kiểm tra  n  t   exp  2 int  , t  0,1 đẳng thức (4.2) xảy Ngược lại, giả sử  đường cong mà đẳng thức xảy Khi đó 69 đẳng thức xảy (4.3),   t   với t  0,1 Cho  : 0,1  ánh xạ nâng  ứng với phủ exp :  *    0,1  exp * Từ I  ,0   n , ta có  1      2 ni Điều kiện   t   suy   t   i với t  0,1 Hàm h  t     t       / 2 i nhận giá trị thực, h    h 1  n Đồng thời,   t   exp  2 ih  t     0  Đẳng thức (4.4) phải xảy điều có nghĩa  '  t  /   t   2 ih '  t  có argument Như vậy, h '  t  dương âm, t exp 2 ih t    0   tham số hóa đường trịn đơn vị bắt đầu tại     exp    đường tròn đơn vị quay theo chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đờng hờ  70 KẾT LUẬN Lý thuyết hàm hình học lĩnh vực từ lâu đã nghiên cứu nhiều có kết định Trong đó cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu metric hyperbolic Luận văn đã trình bày khái niệm metric hyperbolic cách xây dựng metric miền khác Các kết mà luận văn đã trình bày là: + Các khái niệm metric hyperbolic đĩa đơn vị, miền đơn liên, miền hyperbolic Các ví dụ minh họa về metric hyperbolic đĩa, nửa mặt phẳng, mặt phẳng rạch, hình quạt dải vơ hạn về hai phía, đĩa đơn vị thủng, hình vành khăn + Bổ đề Schwarz – Pick cho đĩa đơn vị mở rộng bổ đề cho miền đơn liên thực , cho miển hyperbolic + Nguyên lý so sánh số đánh giá các metric hyperbolic miền đơn liên thực + Độ cong metric bảo giác bổ đề Ahlfors Do thời gian vốn kiến thức có hạn, luận văn dừng lại việc nghiên cứu các nội dung Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu thêm về vấn đề tương lai, qua đó phát nhiều ứng dụng quan trọng tuyệt vời nó Giải tích phức nói riêng cũng Toán học nói chung 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Beardon.A.F and Minda.D, (2006), The hyperbolic metric and geometric function theory, Proceedings of the International Workshop on Quasiconformal Canon.J.W, Floyd.W.J, Kenyon.R, and Parry.W.R, (1997), Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, Vol 31 Yamada, A., (1988), “Bounded analytic functions and metrics of constant curvature”, Kodai Math.J.11, 317-324 ... Đặc biệt metric hyperbolic metric tự nhiên dùng nhiều để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học Nội dung luận văn trình bày lại phần lý thuyết hình học cách sử dụng metric hyperbolic metric bảo... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Trương Thị Như Thủy METRIC HYPERBOLIC VÀ LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... z : r  z  R hình vành khăn 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết hàm hình học lĩnh vực thuộc giải tích phức nghiên cứu tính chất hình học hàm giải tích Các kết quan trong lý thuyết định lý ánh xạ Riemann,