lời nói đầu Cho K tập compact Cn , ta gäi bao låi ®a thøc K cđa K tập có dạng: K = {z; z Cn , |p(z)| supK |p| cho mäi ®a thøc chØnh hình p} Cũng ta định nghĩa bao lồi hữu tỷ r(K) K tập có dạng: r(K) = {z Cn cho với đa thức p mà p(z) = {p = 0} K = } Vấn đề đặt cần mô tả cấu trúc K\K r(K)\K Hai tác giả Julien Duval Nessim Sibony đà mô tả K\K r(K)\K dòng dơng đóng song chiều (1,1) T Cn \K với giá bị chặn ddc T Cn \K Trong luận văn dòng dơng đóng vai trò trung tâm việc nghiên cứu tính lồi đa thức lồi hữu tỷ Đầu tiên xây dựng siêu mặt phức không giao víi mét tËp compact cho tr−íc phÇn bï giá dòng dơng đóng ddc ( hàm đa điều hoà dới) Sau nhận đợc kết tơng tự không gian Hausdorff metric giá dòng dơng đóng song bậc (1,1) siêu mặt giải tích Cụ thể cho T = ddc dòng dơng song chiỊu (n-1,n-1) Cn víi ϕ lµ mét hµm đa điều hoà dới Chúng chứng minh đợc Cn \suppT đợc vét cạn tập compact lồi hữu tỷ Hơn hàm nói giới hạn dÃy hàm log|fk | L1loc (B) B hình cầu đơn vị Cn , fk Nk hàm chỉnh hình Nk số nguyên dơng Phần xét tính lồi đa thức Với K tập compact cho trên, T dòng dơng song bậc (1,1) Cn \K, với giá bị chặn Nếu ddc T suppT K Ngợc lại cho x K\K có dòng T song bậc (1,1) giá compact cho ddc T = x độ đo xác suất K x độ lớn Dirac x Nh thông thờng đồng dòng song bậc (n,n) Cn với phân bố Từ suy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com r»ng nÕu K = K K\K giá dòng dơng song bËc (1,1) T víi ddc T Cịng luận văn đề cập đến khái niệm cặp Runge yếu Cn vài kết cặp Runge yếu đợc đa [10] Nh đà biết: Nếu hai tập D, D tËp më gi¶ låi cđa Cn cho D ⊂ D hàm chỉnh hình D xấp xỉ tập compact hàm chỉnh hình D (D , D) đợc gọi cặp Runge Vấn đề đặt liệu có khái niệm yếu khái niệm không với suy nghĩ tác giả đà đa khái niệm cặp Runge yếu Mỗi hàm chỉnh hình D đợc xấp xỉ tập compact thơng p/q , p, q hàm chỉnh hình D q = D, cặp (D , D) thoả mÃn tính chất gọi cặp Runge yếu Tác giả đà đa điều kiện để nhận biết cặp Runge yếu Định lý 2.2.4 chơng mà kết đợc lập luận tơng tự nh Định lý 4.3.3 [7] Trong trờng hợp D tập compact tơng đối D sử dụng Định lý 2.1.3 chơng luận văn cách chứng minh tơng tự nh kết Julien Duval vµ Nessim Sibony: Cho K lµ mét tËp compact Cn Với x r(K) có dạng dơng đóng (1,1) trơn, dơng chặt x triệt tiêu lân cận r(K) Ngợc lại giả sử x suppS , S dòng dơng đóng song bậc (1, 1) cho suppS ∩ K = ∅ th× x ∈ r(K), ta đặc trng hoá cặp Runge yếu hệ dòng dơng đóng D mà triệt tiêu tập compact D dơng chặt gần D Kết đợc trình bày Định lý 2.2.5 chơng luận văn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Quang Diệu Nhân dịp này, Tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ngời thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy phản biện LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đà dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô Bộ môn Lý thuyết hàm trờng Đại học S phạm Hà Nội đà dạy bảo suốt năm tháng học tập trờng Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006 Tác giả luận văn Đỗ Viết Tuân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mơc lơc Ch−¬ng Mét số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm chØnh h×nh 1.2 Mét sè tÝnh chÊt cđa hµm chØnh h×nh 1.3 Hµm chØnh h×nh nhiỊu biÕn 1.4 Định nghĩa hàm đa điều hòa d−íi 10 1.5 Mét số tính chất hàm đa điều hòa dới 11 1.6 Mét sè kh¸i niƯm vỊ miỊn 14 1.7 Mét sè tÝnh chÊt cđa miỊn gi¶ låi 15 1.8 Độ đo 18 1.9 Ph©n bè 19 1.10 Dßng 21 Ch−¬ng Xấp xỉ dòng dơng đóng siêu mặt phức 24 2.1 Xây dựng siêu mặt xấp xỉ dòng 24 2.2 CỈp Runge u Cn 32 Chơng Bao lồi đa thức dòng dơng đóng 37 3.1 Bao lồi đa thức dòng dơng đóng 37 KÕt luËn 44 Tµi liƯu tham kh¶o 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng Mét sè kiÕn thøc chuẩn bị 1.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f xác định miền D C XÐt giíi h¹n lim z→0 f (z + z) − f (z) ; z, z + z z∈D NÕu điểm z giới hạn tồn đợc gọi đạo hàm phức f df z , kÝ hiƯu lµ f (z) hay (z) dz Nh− vËy f (z + z) − f (z) f (z) = lim z0 z Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền D C Hàm f đợc gọi R2 -khả vi z = x + iy hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thực (x, y) Sau xin đa điều kiện cần đủ để hàm C khả vi định lý Cauchy-Riemann Định lý 1.1.3 (Điều kiện Cauchy-Riemann) Để hàm f C- khả vi z = x + iy D điều kiện cần đủ f R2 - khả vi z điều kiện Cauchy-Riemann thoả mÃn t¹i z LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x (1.1) NhËn xÐt: Giả sử f hàm R2 - khả vi z ∈ D ⊂ C, xÐt vi ph©n df = Vì dz = dx+idy dz = dxidy f f dx + dy ∂x ∂y 1 suy dx = (dz+dz), dy = (dz−dz) 2i VËy ta cã df = ∂f ∂f 1 ∂f ∂f ∂f ∂f (dz + dz) + (dz − dz) = ( − i )dz + ( + i )dz ∂x ∂y 2i ∂x ∂y ∂x ∂y NÕu ®Ỉt ∂f ∂f ∂f = ( − i ); ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = ( + i )dz ∂z ∂x ∂y th× df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z Bëi v× ∂f ∂f ∂f ∂u ∂v ∂v ∂u = ( + i )dz = [( − ) + i( + )] ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y f (z) = z Nói cách khác hàm R2 - khả vi f z C- khả vi f (z) = z nên f thoả mÃn điều kiện Cauchy-Riemann Định nghĩa 1.1.4 Hàm f xác định miền D C với giá trị C gọi chỉnh hình z0 tồn r > để f C- khả vi z D(z0 , r) D Nếu f chỉnh hình mäi z0 ∈ D th× ta nãi f chØnh h×nh trªn D LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Một số tính chất hàm chỉnh hình Định lý 1.2.1 Giả sử D C miền A(D) tập hàm chỉnh hình D Khi i, A(D) không gian véc tơ C ii, A(D) vành iii, iv, NÕu f ∈ A(D) vµ f (z) = 0, ∀z ∈ D th× 1/f ∈ A(D) NÕu f ∈ A(D) f nhận giá trị thực f không đổi Định lý 1.2.2 (Định lý Taylor) Nếu hàm f (z) chỉnh hình hình tròn |z z0 | < R hình tròn f (z) tổng chuỗi Taylor z0 Cơ thĨ lµ ∞ Cn (z − z0 )n , |z − z0 | < R f (z) = n=0 hệ số Cn đợc xác định cách theo công thức f n (z0 ) Cn = = n! 2πi |η−z0 |=r f (η) dη |η − z0 |n+1 víi < r < R Hệ 1.2.3 Hàm f (z) xác định miền D chỉnh hình với mäi z0 ∈ D hµm f cã thĨ khai triĨn đợc thành chuỗi luỹ thừa theo z z0 mà nã héi tơ tíi f (z) víi b¸n kÝnh héi tụ R d(z0 , D) Định lý 1.2.4 (Định lý ) Giả sử f g hàm chỉnh hình miền D Nếu f (zn ) = g(zn ) dÃy điểm khác {zn } ⊂ D mµ nã héi tơ tíi điểm a D, f g LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.3 Hµm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.3.1 Hàm l : Cn C gọi R - tuyến tính (tơng øng C- tuyÕn tÝnh) nÕu i, l(z + z”) = l(z ) + l(z”) ∀z , z” ∈ Cn ii, l(λz) = λl(z) ∀z ∈ Cn , ∀λ ∈ R (tơng ứng C) Hiển nhiên hàm l : Cn → C R- tuyÕn tÝnh lµ C-tuyÕn tÝnh nÕu l(iz) = il(z) ∀z ∈ Cn Trong tr−êng hỵp l(z) = l(z) ta nói l C- phản tuyến tính Định nghĩa 1.3.2 Hàm f : C, mở Cn gọi R- khả vi (tơng ứng C- khả vi) z f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h) l R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyÕn tÝnh) vµ 0(h) → h → h Nhận xét: Hàm l (nếu tồn nhất) gọi R- tuyến tính (tơng ứng C- tuyến tính) z, ký hiệu f (z) hay df (z) B»ng c¸ch viÕt zj = xj + iyj , z j = xj − iyj j = 1, , n ta cã dz j = dxj − idyj dzj = dxj + idyj , suy dxj = dzj + dz j , dyj = dzj − dz j 2i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do n df = ( j=1 n = ( j=1 ∂f ∂f dxj + dyj ) ∂xj ∂yj ∂f dzj + dz j ∂f dzj − dz j + ) ∂xj ∂yj 2i n = ∂f ∂f ∂f ∂f ( ( −i )dzj + ( +i )dz j ) ∂x ∂y x y j j j j j=1 Nếu đặt ∂f ∂f ∂f = ( −i ), ∂zj ∂xj ∂yj ∂f ∂f ∂f = ( +i ) j = 1, , n ∂z j ∂xj ∂yj Ta cã n df = ( j=1 Ta kÝ hiÖu ∂f = ∂z n j=1 ∂f ∂f dzj + dz j ) ∂zj ∂z j ∂f = ∂z ∂f dzj , ∂zj n j=1 ∂f dz j ∂z j th× df = ∂f ∂f + ∂z ∂z Định lý 1.3.3 Hàm R - khả vi z Cn C - khả vi ∂f ∂f =0⇔ =0 ∂z j ∂z j ∀j = 1, , n Định nghĩa 1.3.4 i, Hàm gọi chỉnh hình z Cn C- khả vi lân cận z ii, f : Ω → Cm víi Ω më Cn gọi chỉnh hình z fj chỉnh hình z với j = 1, , n f = (f1 , , fm ) Định lý 1.3.5 Giả sö P = P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − aj | < rj ∀j = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1, , n} đa đĩa tâm a bán kÝnh r = (r1 , , rn ) vµ Γ = {z ∈ Cn : |z − aj | = rj ∀j = , n} Giả sử f hàm liên tục P chỉnh hình P , Cα (z − a)α f (z) = |α|=0 víi Cα = ( n ) 2πi f (ξ) dξ (ξ a)+1 d = d1 dn Định lý 1.3.6 Giả sử më Cn (n > 1) vµ K lµ tËp compact với \K liên thông Khi hàm chỉnh hình f \K mở rộng tới hàm chỉnh hình f 1.4 Định nghĩa hàm đa điều hoà dới Định nghĩa 1.4.1 Hàm u : [, ) đợc gọi nửa liên tục lim supu(z) zz0 u(z0 ) với z0 D Một cách tơng đơng tËp u−1 ([−∞, a)) lµ më víi mäi −∞ < a < + Định nghĩa 1.4.2 Cho tập mở C ánh xạ u : [, ), ánh xạ u đợc gọi điều hòa dới : i, u nửa liên tục trªn ii, Víi mäi x ∈ Ω, mäi r > cho D(x, r) ⊂⊂ Ω víi < r < d(x,) u thỏa mÃn bất đẳng thức sau : 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ⇒ |v(x)|2 C5 (r2 sup |∂u|2 + r−2n ||v||2L2 (B(x,r)) ) (2.7) B(x,r) Chän η>0 cho sup ϕ − inf ϕ B(x,r) B(x,r) η 2M suy ϕ(z) sup ϕ B(x,r) η + inf ϕ 2M B(x,r) η + ϕ(x) 2M VËy ϕ(z) η + ϕ(x) ∀z ∈ B(x, r) 2M (2.8) Tõ (2.7) vµ (2.8) ta cã |v(x)|2 C6 e2M N ϕ(x)+N η (sup(|∂u|2 e−ψ ) + ||v||2ψ ) C6 e2M N ϕ(x)+N η (C1 aN + C3 aN ) Chän r cho C7 (eη a)N e2N M ϕ(x) eη a < ⇒ |v(x)|2 C7 e2N M (x) (e a)N Đặt fk = (u v) Nk = N M dÃy {fk } thoả mÃn (2.5) (2.6) ThËt vËy (+) Víi x ∈ B th× x Ui đó, fk (x) = (u(x) v(x)) N M Pi N M ϕ(x) (|u(x)| + |v(x)|) |e | + eN M ϕ e + ⇒ |fk (x)| 4 4 N M ϕ(x) e = eN M ϕ(x) vËy (2.5) ®óng (+) Víi x ∈ X bÊt kú th× u(x) = hN (x) 1 VËy |fk (x)| ≥ |hN (x)| − eN M ϕ(x) ≥ eN M ϕ(x) − eN M ϕ(x) = eN M ϕ(x) 4 4 (+)Víi xi ∈ {x1 , , xk } th× ta có i = lân cận Uxi xi ⇒ ∂χi = Chän N cho C7 (eη a)N < 0.VËy xi ∈ {|eM Pi | < eM ϕ }, ®ã ta cã u(xi ) = eN M Pi (xi ) 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3 1 ⇒ |fk (x)| ≥ |u(xi )| − |v(xi )| ≥ eN M ϕ(xi ) − eN M ϕ(xi ) = eN M ϕ(x) 4 4 Nk ϕ VËy |fk | ≥ e trªn {x1 , , xk } ∪ X HƯ qu¶ 2.1.5 Cho hàm đa điều hoà dới Cn tồn dÃy {fk } chỉnh hình Cn dÃy số nguyên Nk cho log|fk | héi tơ tíi ϕ Nk L1loc (Cn ) H¬n hội tụ tập compact cña U = Cn \suppddc ϕ NhËn xÐt 2.1.6 NÕu hàm đa điều hoà dới miền giả lồi kết định lý 2.1.4 cho hàm fk chỉnh hình 2.2 Cặp Runge yếu Cn Trong phần xin đa khái niệm cặp Runge yếu đợc đa [10] Đầu tiên đa điều kiện tơng đơng để kiểm tra cặp (D, D ) với D, D tập giả lồi Cn có cặp Runge yếu Sau đa đặc trng hoá cặp Runge yếu trờng hợp D compact tơng đối D Định nghĩa 2.2.1 Cho D, D tập giả lồi Cn , ta nói (D, D ) cặp Runge D D hàm chỉnh hình D đợc xấp xỉ tập compact hàm chỉnh hình D Định nghĩa 2.2.2 Cho D, D tập giả lồi Cn , ta nói (D, D ) cặp Runge yếu D D hàm chỉnh hình D đợc xấp xỉ tập compact hàm p/q p, q hàm chỉnh hình D Bổ đề 2.2.3 Cho D lµ mét miỊn Cn ,K lµ tËp compact cña D cho rD (K) = K , rD (K) bao lồi phân hình K D nghĩa 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lµ: rD (K) = {z D : f hàm chỉnh hình D, {f = 0} ∩ K = ∅ ⇒ f (z) = 0} hàm chỉnh hình lân cận K đợc xấp xỉ K hàm p/q , p, q hàm chỉnh hình D Chứng minh: Dïng nguyªn lý vỊ tÝnh compact nh− chøng minh bổ đề 1.7.6 chơng 1, ta tìm thấy hàm chỉnh hình Pi , i m chỉnh hình D số nguyên dơng a1 , , am+n cho f chØnh h×nh lân cận U K, U = {z ∈ D : |z1 | < a1 , , |zn | < an , an+1 < |P1 (z)|, , am+n < |Pm (z)|} Xét ánh xạ Oka: : U Cm+n xác định : (z) = {z1 , , zn , an+1 (z)/P1 (z), , am+n /Pm (z)} Thì (U ) ánh xạ U song chỉnh hình lên đa tạp đóng, phức cđa ®a ®Üa: ∆ = {z ∈ Cn+1 : |z1 | < a1 , , |zn | < an , |zn+1 | < 1, , |zm+n | < 1} Theo Định lý thác triển Cartan, hµm f = f ◦ ϕ cã thĨ më rộng tới hàm chỉnh hình mà ta vÉn ký hiƯu lµ f Chó ý r»ng tỉng riêng fk chuỗi luỹ thừa mở rộng f hội tụ tới f tập compact cđa ∆, tõ ®ã suy fk ◦ ϕ héi tụ tới f K Định lý 2.2.4 Cho D D miền giả lồi Cn , D D, khẳng định sau tơng đơng: a, (D, D ) cặp Runge yếu b, Với điểm a D D tập compact K D , tồn hàm chỉnh hình f D cho f (a) = 0, K ∩ {f = 0} = ∅ Chøng minh: (a) ⇒ (b): 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gäi KD lµ bao låi chỉnh hình K D KD = {z ∈ D : |f (z)| ||f ||K , ∀ hàm f chỉnh hình D } Ta có rD (K) ∩ D = KD ThËt vËy gi¶ sư r»ng cã z0 ∈ rD (K) ∩ D \ KD tồn hàm f chỉnh hình D cho |f (z0 )| ≥ ||f ||K V× (D, D ) cặp Runge yếu nên ta có thĨ xÊp xØ f trªn K ∪ {z0 } bëi hàm p/q p, q hàm chỉnh hình D, q = K {z0 }, ta tìm thấy hàm p, q chỉnh hình D cho với a = p(z0 )/q(z0 ) ||p/q||K Đặt g = p aq g(z0 ) = {g = 0} K = Điều mâu thuẫn với z0 rD (K) Gi¶ sư r»ng z0 ∈ rD (K) ∩ D D, hàm lân cận đủ nhỏ a lân cận rD (K) D chỉnh hình lân cận rD (K) Theo Bổ đề 2.2.3 f đợc xấp xỉ K {z0 } hàm dạng p/q p, q chỉnh hình D Điều có nghĩa có hàm p, q chỉnh hình D cho p(z0 )/q(z0 ) ||p/q||K Lặp lại lập luận dẫn đến mâu thuẫn với z0 rD (K) Do ®ã rD (K) ∩ ∂D ∩ D = (b) (a): Cố định tập compact K D , ta hàm chỉnh hình D đợc xấp xỉ K hàm p/q với p, q hàm chỉnh hình D q = K Khi D giả lồi ta suy rD (K) compact KD D Từ (b) ta có rD (K) ∩ ∂D ∩ D = ∅ ®ã rD (K) = K1 ∪ K2 ë ®©y K1 K2 tập compact D D\D tơng ứng Theo Bổ đề 2.2.3 với hàm lân cận K1 lân cận K2 , ta tìm thấy hàm chỉnh hình p, q D, q = trªn K1 ∪ K2 1 cho |p/q| < nh−ng |p(z)/q(z)| > víi mäi z ∈ K2 , chó ý r»ng K ⊂ K1 v× vËy K2 = Do rD (K) tập compact cña D suy rD (K) = K, 34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com vËy theo Bổ đề 2.2.3 ta có đpcm Định lý 2.2.5 Cho D D miền giả lồi Cn , D compact tơng đối D khẳng định sau tơng đơng : Với điểm a D D tập compact K D , tồn a, hàm chỉnh hình f trªn D cho f (a) = 0, K {f = 0} = Với tập compact K D , tồn hàm đa điều hoà dới b, D cho u trơn vô hạn lân cận D , đa điều hoà dới chặt lân cận D D đa điều hoà lân cận K Chứng minh: (a) (b): Với x D , có hàm chỉnh hình f D cho f (x) = K {f = 0} = Bằng cách thêm vào f đa thức bậc thích hợp ta nhận đợc hàm chỉnh hình f1 , fn D mà cho toạ độ địa phơng x fi (x) = 0, K {fi = 0} = với Đặt i n n (log|fj | ∗ ρε ) vε = j=1 z )( ), > 0, hàm trơn cña |z|, suppρ = B(0, 1), ρdλ = ε2n ε Cn Cho hàm trơn vô hạn, đa điều hoà dới chặt vét cạn D Chọn = ( c > đủ lớn cho D ⊂⊂ {ρ < c} Víi ε ®đ nhỏ, v hàm đa điều hoà dới, trơn vô hạn lân cận U Dc Do hàm log|fi | đa điều hoà lân cận K nên hàm v đa điều hoà lân cận K Hơn f1 , , fn hàm toạ độ địa phơng x nên ta có v hàm đa điều hoà dới chặt lân cận x với > đủ nhỏ Lấy V lân cận Dc , V compact U 35 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt A1 = inf v , v > 0, A2 = sup vε , A3 = inf ρε > Dc V V c = max( c, 0), hàm =2 A2 A1 c + A1 A3 nhỏ v Dc lớn v V Vì hàm vx = max(ρ , vε ) trªn V D\V (2.9) đa điều hoà dới D (theo Định lý 1.5.5 chơng 1) vx = v Dc vx hàm đa điều hoà dới chặt lân cận D tõ tÝnh compact cđa ∂D ta cã thĨ tÝnh tỉng hàm địa phơng vx để nhận đợc hàm u thoả mÃn tính chất (b) (b) (a): Cho K lµ mét tËp compact cđa D vµ a D chọn hàm đa điều hoà dới D, đa điều hoà dới chặt lân cận D D đa điều hoà lân cận K U = D\ddc compact tơng đối Vậy theo Định lý 2.1.3 ta tìm đợc hàm f chỉnh hình D cho f (a) = vµ {f = 0} ∩ K = ∅ VÝ dơ 2.2.6 Trong mặt phẳng phức ta cho D = C vµ D = {z ∈ C : < |z| < 1} cặp (D , D) cặp Runge yếu nhng cặp Runge 36 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch−¬ng Bao lồi đa thức dòng dơng đóng 3.1 Bao lồi đa thức dòng dơng đóng Trong chơng ta nghiên cứu mối liên hệ K\K (K tập compact Cn ) với dòng dơng đóng song chiều (1,1) Khi xét nghiệm toán Lêvi [7], ta cã bao låi ®a thøc cđa K tơng đơng với bao đa điều hoà dới K tõ ®ã suy mƯnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 3.1.1 Cho K tập compact Cn x K tồn hàm đa điều hoà dới không âm với (x) > triệt tiêu lân cận K Hơn ta coi đa điều hoà dới chặt gần điểm x Chứng minh NÕu x ∈ K th× ta cã x ∈ KCPnSH Vậy tồn hàm P SH(Cn ) ta coi hàm trơn (vì không lấy tích chập với hàm ) cho (x) > sup |(z)| zK Ngợc lại cho mét hµm ϕ ∈ P SH(Cn ), ϕ lµ hàm trơn, (x) > = lân cận K, đa điều hoà dới chặt lân cận x Giả sử 37 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x ∈ K x KCPnSH , với hàm f ∈ P SH(Cn ) ta cã f (x) sup |f (z)| zK Đặc biệt (x) sup |(z)| = zK suy ϕ(x) (m©u thuÉn) VËy x ∈ K Mệnh đề 3.1.2 Giả sử T dòng dơng song chiỊu (1,1) Cn \K Gi¶ sư T có giá bị chặn ddc T < Cn \K th× suppT ⊂ K Chøng minh: NÕu cã x suppT \K theo Mệnh đề 3.1.1 tồn hàm đa điều hoà dới 0, = lân cận K đa điều hoà dới chặt gần điểm x Lóc ®ã ta cã < T, ddc ϕ = ddc T, Điều mâu thuẫn suppT ⊂ K MƯnh ®Ị 3.1.3 Ta nãi x ∈ K có độ đo xác suất giá K cho (x) dà (3.1) cho = logP , P đa thức chỉnh hình Nhận xét: i, Mệnh đề đợc suy từ định nghĩa độ đo Jensen Bishop [3] ii, Mệnh đề cho lớp hàm đa điều hoà dới (xem [6] [11]) đặt = x x độ lớn Dirac x, () đa điều hoà dới 38 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MÖnh đề 3.1.4 Cho phân bố với giá compact Cn Gi¶ sư ν(ϕ) ≥ hàm đa điều hoà dới, trơn tồn dòng dơng song chiều (1,1) với giá compact cho ddc T = ν (3.2) Chøng minh: Gäi E không gian phân bố với giá compact Cn Gi¶ sư suppν ⊂ B ë B hình cầu Cn Đặt C = {ddc T, T ≥ 0, song chiÒu(1, 1), suppT B} C nón đóng E (+) C lµ mét nãn ThËt vËy cho T, T dòng dơng song chiều (1,1) cho suppT ⊂ B, suppT ⊂ B, α, β ≥ ta có T + T dòng d−¬ng song chiỊu (1,1), ta chøng minh sup(αT + βT ) ⊂ B lÊy ®iĨm x ∈ B, gäi U lân cận x, hàm đa điều hoà dới U , ta có T + βT , ddc θ = α T, ddc θ + β T , ddc θ Do suppT ⊂ B, suppT ⊂ B nªn ta cã αT + βT , ddc θ = trªn U suy x ∈ sup(T + T ) (+) C đóng E LÊy mét d·y {ddc Tn } ⊂ C cho ddc Tn hội tụ đến tôpô yếu 39 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com E Ta cã ||Tn || = Tn , ddc |z|2 = ddc Tn , |z|2 → η, |z|2 n Vậy ||Tn || bị chặn nên dÃy {Tn } cã mét d·y {Tnk } héi tơ Gi¶ sử Tnk hội tụ đến T T dòng dơng song chiều (1,1) suppT B Ta cã ddc Tnk , ϕ → ddc T, ϕ vµ ddc Tnk , ϕ → η, ϕ víi mäi ϕ ∈ C0∞ (Cn ) Do tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n ta cã ddc T = η suy η ∈ C Coi E = (C0∞ (Cn )) , gi¶ sử (3.2) nghiệm T C Vì theo Định lý Hahn-Banach có hàm ϕ ∈ C ∞ (Cn ) vµ mét sè c cho ν, ϕ < c c n T, dd Vì C nón nên c T, ddc ϕ ∀T ∈ C , ∀n Cho n → ∞ (3.3) ⇒c Ta cã T, ddc ϕ ≥ Thật giả sử T để T, ddc < với > Do C nón nên suy nT, ddc < −nε → -∞ n → ∞ VËy tõ 3.3 ⇒ ν, ϕ < c −∞ (v« lý) VËy T, ddc ϕ ≥ víi mäi T ≥ 0, song chiỊu (1,1) suy ddc ϕ ≥ trªn B tức đa điều hoà dới B Coi ∈ P SH(Br ) ∩ C ∞ (Br ) víi r > B hình cầu đơn vị Lấy < r1 < r Đặt u = M (|z|2 − r12 ), xÐt hµm ϕ= max{ϕ, u} u trªn B (3.4) n trªn C \B Ta có với M đủ lớn u < ⇒ ϕ = ϕ trªn B 40 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi r1 = r, xÐt trªn |z| = r ta cã thĨ coi ϕ < không ta lấy hàm supp |z| = r ta có u Vậy theo Định lý 1.5.5 chơng ta có hàm đa điều hoà dới Cn B»ng phÐp lÊy tÝch chËp víi hµm ρε ta coi trơn, , < (mâu thuẫn) từ suy 3.2 có nghiệm Định lý 3.1.5 Cho K tập compact Cn điều kiện sau tơng đơng: i, xK ii, Tồn dòng dơng song chiều (1,1) T Cn với giá compact cho ddc T = x độ đo xác xuất K x độ lớn Dirac x Chứng minh: (ii)⇒ (i): LÊy x ∈ Cn \K vµ gäi Ux lân cận x, hàm đa điều hoà dới Ux > Lúc ta có ddc T, = δx , ϕ = ϕdµ − ϕ(x) = −ϕ(x) Cn \K (Do độ đo xác suất K) Vậy ddc T nên suppT bị chặn theo MƯnh ®Ị 3.1.3 ta cã x ∈ K (i)⇒ (ii): Vì x K nên với P SH(Cn ) C (Cn ) x , ϕ = ϕdµ − ϕ(x) ≥ 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hay (µ − δx )(ϕ) ≥ VËy theo MƯnh ®Ị 3.1.4 tån dòng T 0, song chiều (1,1) giá compact cho ddc T = x Định lý 3.1.6 Nếu x K tồn dòng dơng song chiều (1,1) T độ đo có giá K cho ddc T = µ − δx (3.5) Chøng minh: Gäi L lµ tËp lồi compact độ đo giá K Nếu (3.5) nghiệm (x + C) L = Theo Định lý Hahn-Banach tách tập lồi tồn hàm C (Cn ) số c1 , c2 cho ϕdλ ϕ(x) + T, ddc ϕ c1 < c (3.6) víi ∀λ ∈ L Ta cã T, ddc ϕ ≥ víi ∀T ≥ 0, song chiỊu (1,1), thËt giả sử tồn T cho T, ddc ϕ −ε (ε > 0) Do C lµ mét nãn nên có số M đủ lớn cho M T, ddc ϕ −M ε → −∞ ®ã ϕ(x) + M T, ddc ϕ → −∞ suy c2 = điều mâu thuẫn với (3.6), ddc ϕ ≥ trªn B ⊃ K 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Víi c¸ch lËp ln nh− MƯnh ®Ị 3.1.4 ta cã ϕ ®a ®iỊu hoà dới trơn Cn Do C nón nên (3.6) cho dòng dơng T tøc lµ n ϕdλ c1 < c2 ϕ(x) + T, ddc ϕ → ϕ(x) n n→∞ LÊy y ∈ K th× y ∈ K suy ϕ(y) < ϕdλ c1 < c ϕ(x) VËy ϕ(y) < (x), điều mâu thuẫn với định nghĩa K Hệ 3.1.7 Nếu T dòng dơng song chiều (1,1) cho ddc T th× K\K = suppT 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Trong luận văn đà thu đợc kết qủa sau: 1, Xây dựng đợc siêu mặt phức không giao với tập compact cho trớc phần bù giá dòng dơng ®ãng ddc ϕ víi ϕ lµ hµm ®a ®iỊu hoµ dới 2, Với hàm hàm đa điều hoà dới C n \suppddc đợc vét cạn tập compact lồi hữu tỷ Hàm nói xem giới hạn cđa mét d·y hµm log|fk | L1loc (B) ë B hình cầu đơn vị Nk n C , fk hàm chỉnh hình Nk số nguyên dơng 3, Đa khái niệm cặp Runge yếu điều kiện cần đủ để nhận biết cặp Runge yếu Đa đợc đặc trng cặp Runge yếu 4, Nêu lên đợc mối liên hệ K\K dòng dơng đóng song chiÒu (1,1) 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, năm 2001 [3] E.BISHOP Holomorphic completions, analysis continuations and interpolation of semi noms, Ann of Math.(2) 78 (1963), 468-500 [4] Zbigniew Blocki The complex Monge-Ampere operator in plurpotenial theory [5] U.CEGRELL, Removable singularities for p.s.h functions and related problÐm, Proc London Math.Soc (3) 36 (1978), 310-336 [6] R.C.GUNNING, Introduction to Holomorphic Funtions of serveral Variables Vol I, Wadsworth and Brooks/Cole,1990 [7] L.HORMANDER, An introduction to complex analysis in several variables, 3rd ed NorthHolland, Amsterdam,1988 [8] L.HORMANDER, The analysis of linear partial differential operators, Vol II,Grundlehren Math.Wiss.257, Springer-Verlag, Berlin, 1983 [9] Maciej klimek, Pluripotential Theory, Clarendon press, Oxford, 1991 [10] Nguyen Quang Dieu, Weak Runge pair in Cn Nagoya Math [11] N.SIBONY, Prologements des fonctions holomorphes bornees et metrique de CarathÐodory, Invent Math.29(1975), 205-230 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, năm... ơn chân thành đến thầy cô Bộ môn Lý thuyết hàm trờng Đại học S phạm Hà Nội đà dạy bảo suốt năm tháng học tập trờng Hà nội ngày 30 tháng10 năm 2006 Tác giả luận văn Đỗ Viết Tuân LUAN VAN CHAT LUONG... C Hàm f đợc gọi R2 -khả vi z = x + iy hàm u(x, y), v(x, y) khả vi thực (x, y) Sau xin đa điều kiện cần đủ để hàm C khả vi định lý Cauchy-Riemann Định lý 1.1.3 (Điều kiện Cauchy-Riemann) Để hàm