Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng với M là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi.. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF.[r]
(1)1 Các Khái niệm vectơ 1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Vectơ đoạn thẳng có định hướng, tức ta đoạn thẳng đó, ta điểm đầu điểm cuối
• Một vectơ có điểm đầu làA, điểm cuối B, ta kí hiệu AB# »
• Trong số trường hợp, ta không cần điểm đầu điểm cuối vectơ, ta viết
#» x ,#»y ,
Ví dụ 1.1 Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, lập vectơ có điểm đầu điểm cuối khơng trùng nhau?
Ví dụ 1.2 Cũng hỏi trên, với 2009 điểm phân biệt A1, A2, , A2009?
Định nghĩa 1.2 Vectơ có điểm đầu điểm cuối không trùng gọi vectơ - không, kí hiệu #»0
2 Hai vectơ phương
2.1 Giá vectơ
Định nghĩa 2.1 Đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi làgiá vectơ Giá vectơ AB# »là đường thẳngAB
2.2 Hai vectơ phương
Định nghĩa 2.2 Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng
3 Hai vectơ hướng
Dựa vào hình vẽ, ta biết hai vectơ hướng hay ngược hướng
Chú ý
• Hai vectơ hướng phương Điều ngược lại khơng
• Hai vectơ phương hướng hay ngược hướng
• Vectơ - khơng phương, hướng với vectơ
3.1 Xác định vị trí tương đối ba điểm phân biệt A, B, C trường hợp sau:
1 AB# »vàAC# » ngược hướng AB# »vàAC# » phương
4 Độ dài vectơ, hai vectơ nhau 4.1 Độ dài vectơ
Định nghĩa 4.1 Độ dài vectơAB# », kí hiệu |AB# »|, độ dài đoạn thẳng AB Độ dài vectơ #»0
bằng
(2)4.2 Hai vectơ
Định nghĩa 4.3 Hai vectơ #»a và #»b, gọi là bằng nhau, kí hiệu #»a = #»b nếu chúng có độ dài và hướng
4.1 Cho lục giác đềuABCDEF tâm O Tìm vectơ bằngOA# »
4.2 Chứng minh tứ giácABCD hình bình hành khiAB# »=DC# »
4.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O GọiD điểm đối xứng củaB quaO vàH
trực tâm tam giácABC
1 Chứng minh AH# »=DC# »
2 Gọi I trung điểm củaAH,M trung điểm cạnhBC Chứng minh rằngAI# »=OM# »
5 Tổng hai vectơ
Định nghĩa 5.1 Cho hai vectơ #»a và #»b Từ điểm A tuỳ ý, dựng AB# »= #»a Từ B, dựng BC# »= #»b Khi đó, # »
AC gọi làvectơ tổng hai vectơ #»a và #»b Kí hiệu AC# »= #»a +#»b. 5.1 Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có
# »
AB+BC# »=AC.# » 5.2 Quy tắc hình bình hành
bA
b
B
bD
#» u
#»v
b
C #»
u +#»v
Cho hình bình hành ABCD, ta có
# »
AB+AD# »=AC.# »
5.3 Tính chất
Với vectơ #»a, #»b, #»c, ta có #»a +#»b = #»b +#»a;
2 #»a + (#»b +#»c) = (#»a +#»b) +#»c; #»a +#»0 = #»0 +#»a = #»a.
5.1 Tính tổng #»u =AB# »+DE# »+F A# »+CD# »+EF# »+BC# ».
5.2 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằngAD# »+BE# »+CF# »=AE# »+BF# »+CD# »
5.3 Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O, A, B Với điều kiện thìOA# »+OB# » nằm đường
phân giác góc\AOB?
(3)5.5 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh với điểmM, ta có M A# »+M C# »=M B# »+M D# »
.5.6 Cho tam giácABC, bên ngồi tam giác ta vẽ hình bình hànhABM N,BCP Q,CARS Chứng
minh
1 M N# »+P Q# »+RS# »= #»0 M Q# »+P S# »+RN# »= #»0
5.7 Cho hai điểm phân biệt AvàB cố định sốk >0 Tìm tập hợp điểm M cho|M A# »+M B# »|=k 5.8 Cho vectơ #»a, #»b, #»c Chứng minh rằng |#»a|+|#»b|>|#»a+#»b| Dấu xảy nào?
5.9 Cho tứ giác ABCD Chứng minh nếu|AD# »+BC# »|=|AB# »+DC# »|, thìAC ⊥BD
5.10 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính P Q = Trên nửa đường tròn ta lấy điểm A, B, C khácP vàQ Chứng minh |OA# »+OB# »+OC# »|>1
6 Hiệu hai vectơ
6.1 Vectơ đối hai vectơ
Định nghĩa 6.1 Hai vectơ gọi đối chúng có độ dại ngược hướng • Nếu #»a và #»b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #»a =−#»b hay #»b =−#»a.
• Vectơ đối củaAB# »là −AB# », và−AB# »=BA# » • Vectơ đối #»0 #»0
7 Tính chất
Tổng vectơ #»a với vectơ đối vectơ - khơng.
7.1 Hiệu hai vectơ
Định nghĩa 7.1 Hiệu hai vectơ #»a và #»b, kí hiệu #»a −#»b, tổng vectơ #»a với vectơ đối vectơ #»
b
#»a −#»b = #»a + (−#»b). 7.2 Hiệu hai vectơ chung điểm đầu
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta ln có
# »
AB−AC# »=BC.# »
7.1 Dựng hiệu hai vectơ #»a và #»b cho trước.
7.2 Cho hình bình hành ABCD GọiO giao điểm hai đường chéo Hãy rút gọn vector
1 CO# »−BA# »; CO# »−OD# »+CB# »;
(4)7.4 Cho tam giác ABC Chứng minh |CA# »−CB# »|=|CA# »+CB# »|, tam giácABC vng C
7.5 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện AB# »+AC# » vng góc với AB# »−AC# »,
tam giácABC cân
7.6 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm độ dài vectơ AB# »−BC# »theo a
7.7 Cho lục giác đềuABCDEF Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác Chứng minh
# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »+OE# »+OF# »= #»0
7.8 Cho ngũ giác ABCDE Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác Chứng minh
# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »+OE# »= #»0
7.9 Chứng minh hai hình bình hànhABCD vàA0B0C0D0 có tâm thì
# »
AA0+BB# »0+CC# »0+DD# »0 = #»0.
7.10 Cho hình thoi ABCD có BAD\ = 60◦ và cạnh là a Gọi O là giao điểm hai đường chéo Tính |AB# »+AD# »|,|BA# »−BC# »|,|OB# »−DC# »|
.7.11 Cho hình vngABCDcạnhacóO giao điểm hai đường chéo Tính|OA# »−CB# »|,|AB# »+DC# »|, |CD# »−DA# »|
8 Tích số thực với vectơ
Định nghĩa 8.1 Cho số thực kvà vectơ #»a Tích sốk với vectơ alà vectơ, kí hiệu k#»a, xác định sau:
• Nếuk>0, vectơk#»a cùng hướng với vectơ #»a Nếu k <0, vectơ k#»a ngược hướng với vectơ #»a. • Độ dài vectơ k#»a bằng |k| · |#»a|.
9 Tính chất
Cho vectơ #»a và #»b; cho số thực k, m Ta có • k·(#»a +#»b) =k·#»a +k· #»b;
• (k+m)·#»a =k·#»a +m·#»a; • (k−m)·#»a =k·#»a −m·#»a; • k(m·#»a) = (km)·#»a;
• k·#»a = #»0 khi khi k= 0 hoặc #»a = #»0.
9.1 Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳngAB vớiM điểm bất kì, ta
có M A# »+M B# »= 2M I# »
(5)1 Chứng minh rằngGA# »+GB# »+GC# »= #»0 Ngược lại, M A# »+M B# »+M C# »= #»0, M trọng tâm
của tam giácABC
2 Chứng minh vớiM điểm bất kì, ta cóGA# »+GB# »+GC# »= 3M G# »
9.3 Cho tứ giác ABCD Xác định điểm M cho M A# »+M B# »+M C# »+M D# »= #»0
9.4 Cho hình bình hành ABCDcó O giao điểm hai đường chéo Chứng minh vớiM điểm
bất kì, ta cóM A# »+M B# »+M C# »+M D# »= 4M O# »
9.5 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh
rằngAB# »+CD# »= 2IJ# »
9.6 Cho bốn điểm A, B, C, D GọiI, J lần trung điểm cạnh BC,CD Chứng minh
2(AB# »+AI# »+JA# »+DA# ») = 3DB.# »
9.7 Cho tứ giác ABCD Hãy dựng điểm G cho GA# »+GB# »+GC# »+GD# »= #»0 Chứng minh với
mọi điểm O, ta có
# » OG=
4(
# »
OA+OB# »+OC# »+OD# »)
9.8 Cho tam giác ABC M điểm KẻM H, M K, M I vng góc với cạnh
BC, CA, AB Chứng minh # »
M A+M B# »+M C# »= 2(M H# »+M K# »+M I# »)
9.9 Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M, N, P cho
1 M A# »+M B# »−2M C# »= #»0; N A# »+N B# »+ 2N C# »= #»0; P A# »−P B# »+ 2P C# »= #»0
9.10 Cho hai tam giác ABC A0B0C0 có trọng tâm là G và G0 Chứng minh nếu # »
AA0+BB# »0+CC# »0 = #»0, thìGtrùng G0.
9.11 Cho lục giác ABCDEF Gọi P, Q, R, S, T, U trung điểm cạnh AB, BC, CD,
DE,EF,F A Chứng minh hai tam giácP RT vàQSU có trọng tâm trùng
9.1 Điều kiện để hai vectơ phương
Định lí 9.1 Vectơ #»b phương với vectơ #»a 6= #»0 khi có số k sao cho #»b =k#»a 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Định lí 9.2 Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệtA, B, C thẳng hàng làAB# »=kAC# »
9.12 Cho bốn điểm A, B, C, M thoả mãnM A# »+ 2M B# »−3M C# »= #»0
9.13 Cho tam giác ABC,M vàN thay đổi cho M N# »= 2M A# »+ 3M B# »−M C# » Tìm điểmI thoả mãn 2IA# »+ 3IB# »−IC# »= #»0
(6)9.14 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâmG tâm đường trịn ngoại tiếp O Gọi I trung điểm củaBC Chứng minhAH# »= 2OI# »
2 Chứng minhOH# »=OA# »+OB# »+OC# »
3 Chứng minh ba điểmO, G, H thẳng hàng
9.15 Cho tam giác ABC Gọi I, J hai điểm xác định IA# »= 2IB# »;3JA# »+ 2JC# »= #»0 TínhIJ# »theo AB# » vàAC# »
Đáp số IJ# »=
# »
AC−2AB# »
2 Chứng minh đường thẳng IJ qua trọng tâm Gcủa tam giácABC
Đáp số IJ# »=
# » IG 9.16 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả 3M A# »+ 4M B# » = #»0 CN# » =
2
# » BC
Chứng minh đường thẳng M N qua trọng tâm Gcủa tam giácABC
9.17 Cho tam giác ABC, BC lấy điểm D cho BD# » =
# »
BC, gọi E điểm thoả mãn hệ thức
10EA# »+ 2EB# »+ 3EC# »= #»0 Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng
Hướng dẫn Chọn E làm gốc EA# »=−1
2
# » ED 9.18 Cho tam giác ABC, gọi D, I điểm xác định 3DB# »−2DC# »= #»0 vàIA# »+ 3IB# »−2IC# »= #»0
Chứng minh ba điểmA, I, D thẳng hàng
Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc{AB,# » AC# »}; AD# »= 2AI.# » 9.19 Cho tam giácABC, gọiM, N điểm xác định bởiM A# »+ 3M C# »= #»0 vàN A# »+ 2N B# »+ 3N C# »= #»0
Chứng minh ba điểmM, N, B thẳng hàng
Hướng dẫn Chọn hệ vectơ gốc{BA,# » BC# »}; BM# »=
# » BN 9.3 Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương
Định nghĩa 9.1 Cho hai vectơ #»a và #»b Nếu vectơ #»c có thể viết dạng #»c =m#»a+n#»b, với m, n hai số thực đó, ta nói vectơ#»c biểu thị được (hay phân tích được) qua hai vectơ #»a và #»b.
Định lí 9.3 Cho hai vectơ không phương #»a và #»b Khi vectơ #»x đều biểu thị một
cách qua hai vectơ #»a và #»b, nghĩa có cặp số m, n sao cho #»x =m#»a +n#»b. 9.20 Cho tam giác ABC điểmM nằm cạnh BC cho M B= 2M C Chứng minh
# » AM =
3
# » AB+2
3
# » AC 9.21 Cho tam giác ABC TrênBC lấy điểmD choBD# »=
5.Gọi E điểm thoả
4EA# »+ 2EB# »+ 3EC# »= #»0 TínhED# »theoEB# » EC# »
(7)2 Chứng minh ba điểmA, E, D thẳng hàng
Hướng dẫn EA# »=−5
# » ED
Bài toán.ChonđiểmA1, A2, , Anvà tập hợp số thựcx1, x2, , xnsao chox1+x2+· · ·+xn6=
Tìm tập hợp điểmM thoả điều kiện
|x1M A# »1+x2M A# »2+· · ·+xnM A# »n|=k
• Bước Chọn điểmI cho
x1IA# »1+x2IA# »2+· · ·+xnIA# »n= #»0
Khi đó, điểm I xác định
|x1M A# »1+x2M A# »2+· · ·+xnM A# »n|=|(x1+x2+· · ·+xn)M I# »|
• Bước Từ điều kiện cho suy raIM có độ dài khơng đổi vàM thuộc đường trịn tâm I, bán kính số xác định
9.22 Cho đoạn thẳng AB= 3a Tìm tập hợp điểm M cho |M A# »+ 2M B# »|=
Đáp số Tập hợp điểmM đường tròn tâmI, bán kính R=
9.23 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểmM cho • |M A# »+M B# »+M C# »|=
• |M A# »+ 2M B# »+ 3M C# »|= 12
Bài toán Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1, A2, , An tập hợp số thực
x1, x2, , xnsao chox1+x2+· · ·+xn6= Với điểmN thuộcd(thuộcS), ta dựng điểm M thoả điều
kiện
x1N A# »1+x2N A# »2+· · ·+xnN A# »n=N M # »
Tìm tập hợp điểmM
• Bước Rút gọn biểu thức vế trái cách chọn điểmI cho x1IA# »1+x2IA# »2+· · ·+xnIA# »n= #»0
Khi đó, điểm I xác định biểu thức vectơ rút gọn
(x1+x2+· · ·+xn)N M # »
• Bước Đẳng thức chứng tỏ N I# »vàN M# »cùng phương Từ đó, suy tập hợp điểm M
• Chú ý xét thêm giới hạn điểmM (nếu có)
9.24 Cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Với điểm N (d) ta dựng điểm M thoả N M# » = 2N A# »+ 3N B# » Tìm tập hợp điểmM N thay đổi trên(d)
9.25 Cho hai điểm A, B đường tròn (O;R) Với điểm N (O;R) ta dựng điểm M thoả # »
(8)9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng kết sau:
• Nếu|OM# »|=|#»v|vớiO cố định, #»v khơng đổi, tập hợp điểm M là đường trịn tâm O, bán kính |#»v|.
• Nếu|M A# »|=|M B# »|vớiA, B cố định, tập hợp điểmM đường trung trực đoạn thẳngAB • NếuOM# »=k· #»a vớiO cố định, #»a khơng đổi, k∈R, tập hợp điểm M là đường thẳng qua
O song song với giá #»a.
• NếuOM# »=k·OA,# » với Acố định, k∈R, tập hợp điểmM đường thẳng OA 9.26 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M cho:
1 M A# »+kM B# »=kM C# »(k∈R)
2 M A# »+ (1−k)M B# »+ (1 +k)M C# »= #»0 (k∈R) M A# »+ (1−k)M B# »+kM C# »= #»0 (k∈R)
9.27 Cho tam giác ABC, tìm tập hợp điểm M cho: |M A# »+M B# »|=|M B# »−M C# »|;
2 |2M A# »+M B# »|=|M A# »+M B# »+M C# »|; |M A# »+M B# »−M C# »|=|2M A# »−M B# »−M C# »| |M A# »+M B# »|=k(M B# »−M C# »)| (k∈R)
.9.28 Cho tam giác đềuABC tâmO,M điểm tam giác Kẻ M D, M E, M F vng
góc với cạnh BC, CA, AB
1 Chứng minh M D# »+M E# »+M F# »=
# » M O;
2 Tìm tập hợp trọng tâm tam giácDEF M chuyển động cho|M D# »+M E# »+M F# »|có giá trị khơng đổi
10 Trục toạ độ
Định nghĩa 10.1 Trục toạ độ đường thẳng mà ta chọn điểm làm gốc vectơ đơn vị
Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc nhận vectơ #»i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu (O;#»i) Hướng
dương trục hướng vectơ #»i Hướng ngược lại hướng âm
11 Toạ độ vectơ trục - độ dài đại số vectơ 11.1 Toạ độ vectơ trục
(9)11.2 Độ dài đại số vectơ
Cho hai điểm A, B trục toạ độ(O;#»i), AB# »=k#»i, độ dài đại số vectơ AB# », kí hiệu AB
12 Hệ trục toạ độ
Định nghĩa 12.1 Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ(O;#»i)và(O;#»j) vng góc với tạiO Một hệ trục
như gọi làhệ trục toạ độ vng góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy
• ĐiểmO gọi gốc toạ độ
• TrụcOx gọi trục hồnh
• TrụcOy gọi trục tung
• Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng toạ độ
13 Toạ độ vectơ
13.1 Toạ độ vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, tồn hai số thực x, y cho OM# » =
x#»i +y#»j Bộ hai số thực (x;y) gọi làtoạ độ vectơ OM# », kí hiệu OM# »= (x;y) hay OM# »(x;y)
# »
OM = (x;y)⇔OM# »=x#»i +y#»j • Toạ độ vectơ đơn vị #»i là(1; 0), tức #»i = (1; 0);
• Toạ độ vectơ đơn vị #»j là(0; 1), tức #»j = (0; 1); • Toạ độ vectơ - không là(0; 0), tức #»0 = (0; 0) Ví dụ 13.1 NếuOM# »=−2#»i + 3#»j, thìM( ; ) Ví dụ 13.2 NếuOM# »= 5#»i, M( ; )
Ví dụ 13.3 NếuOM# »=√2#»j, thìM( ; )
Ví dụ 13.4 NếuM(1;−√3), OM# »= #»i + #»j 13.2 Toạ độ điểm
Định nghĩa 13.1 Toạ độ điểm M toạ độ vectơ OM# » 13.3 Các phép toán vectơ
Cho vectơ #»a = (a1;a2),#»b = (b1;b2) và sốk Ta có #»a +#»b = (a
1+b1;a2+b2); #»a −#»b = (a
1−b1;a2−b2); k#»a = (ka
(10)4 #»a = #»b ⇔
a1 =b1, a2 =b2
5 Cho #»a 6= #»0, vectơ #»b cùng phương với #»a khi tồn số thựck thoả mãn
b1 =ka1 b2 =ka2 13.4 Toạ độ vectơ biết toạ độ hai điểm
ChoA(xA;yA) vàB(xB;yB) AB# »= (xB−xA;yB−yA)
# »
AB= (xB−xA;yB−yA)
13.5 Toạ độ trung điểm đoạn thẳng
ChoA(xA;yA) vàB(xB;yB) GọiI(xI;yI)là trung điểm đoạn thẳng AB,
xI=
xA+xB
2 ,
yI =
yA+yB
2
13.6 Toạ độ trọng tâm tam giác
Cho tam giác ABC, A(xA;yA),B(xB;yB) C(xC;yC) Gọi G(xG;yG) trọng tâm tam giác ABC,
ta có
xI =
xA+xB+xC
3 ,
yG=
yA+yB+yC
3
13.1 Cho #»u = (−1; 2),v#»= (−5;−3);m#»= (4; 1). Tìm toạ độ vectơ #»s = 2#»u −3#»v;
2 Tìm toạ độ vectơ #»t = 5m#»+ #»j;
3 Cho điểmA(1;−3) Tìm toạ độ điểm M cho 3AM# »−2#»v = #»0.
13.2 Cho hình vng ABCD có cạnh Chọn hệ trục toạ độ (A;#»i ,#»j) cho #»i AD# »
hướng, #»j AB# »cùng hướng Tìm toạ độ đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I hai đường chéo
hình vng, toạ độ trung điểm M cạnh BC toạ độ trung điểm Ncủa cạnh CD
13.3 Cho tam giácABC với A(−1; 3),B(2; 4), C(4;−1) Tìm toạ độ điểmD cho tứ giác ABCDlà hình bình hành
13.4 Cho tam giác ABC GọiM, N, P trung điểm cạnhBC, CA, AB Tìm toạ độ
đỉnh tam giácABC
13.5 Xét xem cặp vectơ sau có phương khơng? Trong trường hợp chúng phương, xét xem chúng hướng hay ngược hướng
(11)3 #»c = (3; 4) và #»d = (6; 9)
13.6 Cho A(−1; 1),B(1; 3),C(−2; 0) Chứng minh ba điểmA, B, C thẳng hàng 13.7 Cho A(3; 4), B(2; 5) Tìm xđể điểm C(−7;x) thuộc đường thẳng AB
13.8 Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3) Chứng minh AB vàCDsong song 13.9 Cho tam giác ABC vớiA(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4)
1 Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC
2 Tìm toạ độ điểmI đối xứng với A quaB
13.10 Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9;−5)
1 Chứng minh ba điểmA, B, C thẳng hàng;
2 Tìm toạ độ điểmD choA trung điểm đoạn BD;
3 Tìm toạ độ điểmE trục Oxsao cho ba điểm A, B, E thẳng hàng
13.11 Trong mặt phẳng toạ độOxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2;−2)
1 Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC;
2 Tìm toạ độ điểmD choC trọng tâm tam giácABD;
3 Tìm toạ độ điểmE cho tứ giác ABCE hình bình hành
13.12 Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ toạ độ (O;#»i ,#»j), đóO trung điểm cạnh BC, #»i hướng vớiOC# », #»j hướng với OA# »
1 Tính toạ độ đỉnh tam giácABC;
2 Tìm toạ độ trung điểm E cạnh AC;
3 Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
14 Giá trị lượng giác góc từ 0◦ đến 180◦ 14.1 Nửa đường trịn đơn vị
Trong mặt phẳng toạ độOxy, xét nửa đường trịn tâm O, bán kínhR= 1, phía trục hồnh Ta
gọi lànửa đường trịn đơn vị
14.2 Định nghĩa
Với gócα (0◦ 6α6180◦), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho \M Ox=α Giả sử
điểm M có toạ độ (x;y) Khi đó,
• tung độ y điểm M gọi làsin gócα, kí hiệu làsinα
(12)• Với x6= 0, tỉ số y
x gọi làtang góc α, kí hiệu tanα
tanα = sinα
cosα, α6= 90 ◦.
• Với y6= 0, tỉ số x
y gọi cơtang góc α, kí hiệu cotα
cotα= cosα
sinα, α6=
◦ và α6= 180◦.
Các số sinα,cosα,tanα cotα gọi giá trị lượng giác góc α
14.1 Tính giá trị lượng giác góc 120◦.
14.3 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc phụ 1) sin(90◦−α) = cosα;
2) cos(90◦−α) = sinα; 3) tan(90◦−α) = cotα; 4) cot(90◦−α) = tanα. 14.2 Tính P = tan 5◦·tan 10◦·tan 15◦· · ·tan 80◦·tan 85◦.
14.4 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù
Nếu hai góc bù nhau, sin chúng cịn cơsin, tang côtang chúng đối 1) sin(180◦−α) = sinα;
2) cos(180◦−α) =−cosα;
3) tan(180◦−α) =−tanα vớiα6= 90◦; 4) cot(180◦−α) =−cotα với0◦ < α <180◦.
14.3 Tính tổng S= cos 0◦+ cos 20◦+ cos 40◦+· · ·+ cos 140◦+ cos 160◦+ cos 180◦. 14.4 Đơn giản biểu thức
1 S1= sin 100◦+ sin 80◦+ cos 16◦+ cos 164◦
2 S2= sin(180◦−α)·cotα−cos(180◦−α)·tanα·cot(180◦−α) với0◦ < α <90◦ 14.5 Chứng minh hệ thức sau
1 sin2α+ cos2α= 1; + tan2α=
cos2α (α6= 90◦); + cot2α=
sin2α (0
◦ < α <180◦). 14.6 Cho α∈(90◦; 180◦) vàsinα=
(13)14.7 Cho cosα=−4
7 Tính giá trị cịn lại gócα
14.8 Cho tanα= Tính giá trị cịn lại gócα 14.9 Biết tana=
3 Tính
1 A= sina+ cosa sina−2 cosa; B= sin
2a+ cosa·sina+ cos2a
5 + cos2a
14.10 Biếtsinx+ cosx=m Tính theo m sinx·cosx;
2 sin4x+ cos4x; sin6x+ cos6x
14.11 Chotanx+ cotx=k Tính tổng sau theo k: tan2x+ cot2x;
2 tan4x+ cot4x; tan6x+ cot6x.
15 Tích vơ hướng hai vectơ 15.1 Góc hai vectơ
Định nghĩa 15.1 Cho hai vectơ #»a và #»b đều khác #»0 Từ điểm O nào đó, ta vẽ vectơOA# »= #»a và # »
OB = #»b Khi đó, số đo góc AOB gọi số đo góc hai vectơ #»a và #»b, đơn giản là
góc hai vectơ #»a và #»b.
Góc hai vectơ #»a và #»b kí hiệu là (#»a ,#»b). Chú ý
• 0◦ 6(#»a ,#»b)6180◦.
• Trong trường hợp có hai vectơ #»a hoặc #»b là vectơ#»0, góc hai vectơ tuỳ ý
• Nếu(#»a ,#»b) = 90◦, ta nói hai vectơ a#»và #»b vng góc với nhau, kí hiệu là #»a ⊥ #»b. 15.2 Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ
Định nghĩa 15.2 Tích vơ hướng hai vectơ hai vectơ #»a và #»b, kí hiệu #»a ·#»b, số, xác định
#»a ·#»b =|#»a| · |#»b| ·cos(#»a ,#»b). Từ định nghĩa trên, ta suy
#»a ·#»b = 0⇔ #»a ⊥ #»b
(14)1 AB# »·AC# »;AC# »·CB# »;AG# »·AB# » GB# »·GC# »;BG# »·GA# »;GA# »·BC# »
15.2 Cho tam giác ABC vng ởA có Ab= 60◦ Tính tích vơ hướng CA# »·CB# »;AB# »·BC# ». 15.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Biết AB=√2 vàAC =√3 TínhAB# »·AC# »
15.4 Cho tam giác ABC vng tạiC có AB= 9, CB= TínhAB# »·AC# » 15.3 Bình phương vơ hướng vectơ
Định nghĩa 15.3 Với vectơ #»a tuỳ ý, tích vơ hướng #»a ·#»a được kí kiệu(#»a)2hay #»a2 và gọi là bình phương
vơ hướng vectơ vectơ #»a. Ta có
#»a2 =|#»a| · |#»a| ·cos 0◦ =|#»a|2.
Bình phương vơ hướng vectơ bình phương độ dài vectơ
15.4 Tính chất tích vơ hướng
Với ba vectơ #»a, #»b, #»c tuỳ ý số thực k,ta có 1) #»a ·#»b = #»b ·#»a;
2) (k#»a)·#»b =a·(k#»b) =k(#»a ·#»b); 3) a·(#»b +#»c) = #»a·#»b +#»a· #»c; 4) a·(#»b −#»c) = #»a·#»b −#»a· #»c.
15.5 Cho hình vng ABCD có cạnh Tính giá trị biểu thức (AB# »+ 2AD# »)·(3AB# »−CD# ») 15.6 Cho vectơ #»u, #»v, w#» có độ dài 1, (#»u ,#»v) = 30◦, (#»v ,w#») = 60◦, (w,#» #»u) = 120◦ Tính P = (#»u +#»v +w#»)2.
15.7 Cho vectơ #»a, #»b có độ dài thoả mãn điều kiện|#»a+#»b|=√3 Tính(#»a ,#»b). 15.8 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh AC2+BD2 = 2(AB2+AD2)
15.9 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh
AB2+BC2+CD2+DA2 =AC2+BD2+ 4M N2 15.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh
M A2+M B2+M C2 = 3M G2+GA2+GB2+GC2 15.11 Cho hình chữ nhậtABCD,M điểm tuỳ ý Chứng minh
1 M A2+M C2 =M B2+M D2;
2 M A# »·M C# »=M B# »·M D# »;
(15)15.12 Cho tam giác ABC có AB= 7, AC = 5,Ab= 120◦. Tính tích vơ hướngAB# »·AC# » vàAB# »·BC# »;
2 Tính độ dài đườn trung tuyến AM tam giác
15.13 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâmO, bán kínhR Chứng minh với M
là điểm tuỳ ý, thìM A2+M B2+M C2+M D2 số không đổi
15.14 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâmO, bán kính R Chứng minh vớiM điểm tuỳ ý nằm đường trịn, tổng sau số không đổi
1 M A2+M B2+M C2;
2 M A4+M B4+M C4
.15.15 Cho đa giác đềuA1A2 Annội tiếp đường tròn(O, R)và điểmM thay đổi đường
trịn Chứng minh
1 cosM OA\1+ cosM OA\1+· · ·+ cosM OA\n= 0;
2 M A21+M A22+· · ·+M A2n có giá trị khơng đổi
15.16 Cho tam giác ABC với trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh # »
BC·AD# »+CA# »·BE# »+AB# »·CF# »= 15.17 Cho bốn điểm A, B, C, Dbất kì Chứng minh
# »
DA·BC# »+DB# »·CA# »+DC# »·AB# »=
Từ đó, suy cách chứng minh định lí “Ba đường cao tam giác đồng quy ” 15.5 Công thức hình chiếu
Định lí 15.1 Cho hai vectơOA,# » OB# » GọiB0 là hình chiếu vng góc củaB trên đường thẳng OA Khi đó # »
OA·OB# »=OA# »·OB# »0.
15.18 Cho đoạn thẳng AB số thựck Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức AB# »·AM# »=k
Hướng dẫn.Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng AB Ta có # »
AB·AM# »=k⇔AH = k
AB
Tập hợp điểmM đường thẳng vng góc vớiAB H
(16)15.6 Phương tích điểm đường tròn
15.23 Cho đường tròn (O;R) điểm M cố định Một đường thẳng ∆ thay đổi, ln qua M, cắt đường trịn(O;R) hai điểm A vàB Chứng minh M A# »·M B# »=M O2−R2.
Hướng dẫn.Vẽ đường kính BC đường trịn(O;R), ta cóM A# »là hình chiếu M C# »trên đường thẳng
M B Sau đó, dùng cơng thức hình chiếu
Định nghĩa 15.4 Giá trị không đổi M A# »·M B# »=M O2−R2 =d2−R2 Bài toán gọi làphương
tích điểm M đường trịn(O) kí hiệu PM/(O).
PM/(O)=M A# »·M B# »=M O2−R2=d2−R2.
Khi điểm M (O),M T tiếp tuyến của(O) (T tiếp điểm),
PM/(O) =M T# »2 =M T2.
15.24 Cho hai đường thẳng AB CD cắt M Chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn M A# »·M B# »=M C# »·M D# »
15.25 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ởM điểm C ∆(C khác M) Chứng minh
rằng∆là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khiM C2=M A·M B
15.7 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng
Cho hai vectơ #»a = (x1;y1) và #»b = (x2;y2) Khi đó 1) #»a ·#»b =x
1x2+y1y2; 2) |#»a|=px2
1+y12;
3) cos(#»a ,#»b) = p x1x2+y1y2 x2
1+y12
p
x2 2+y22
(#»a 6= #»0 và #»b 6= #»0)
Hệ quả.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy khoảng cách hai điểmM(xM;yM) vàM(xN;yN)
M N =|M N# »|=p(xN −xM)2+ (yN −yM)2
15.26 Cho ba điểmA(1; 1), B(2; 3),C(5;−1)
• Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác vuông
• Tính diện tích chu vi tam giác ABC
• Tính độ dài đường trung tuyến tam giácABC kẻ từ đỉnh A
15.27 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) B(−√3;−1) Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giácOAB (O gốc toạ độ)
Đáp số H(√3;−1) vàI(−√3; 1) 15.28 (D, 2004) Cho tam giácABC có đỉnhA(−1; 0),B(4; 0),C(0;m) vớim6= Tìm toạ độ trọng
tâmG tam giácABC theom Xác địnhm để tam giác GAB vuông tạiG
(17)15.29 Cho điểmN(2;−3) Tìm điểm M trục hồnh cho độ dài đoạn M N
Đáp số.M1(6; 0) M2(−2; 0) 15.30 Cho điểmN(−8;−13) Tìm điểm M trục tung cho độ dài đoạn M N 17
Đáp số M1(0; 28) M2(0;−2) 15.31 Cho điểmM(2; 2)vàN(5;−2) Tìm điểmP trục hồnh cho tam giác M P N vng tạiP Đáp số P1(1; 0) P2(6; 0) 15.32 Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C), biết rằng (C) đi qua điểm A(4; 2) và tiếp
xúc với hai trục toạ độ
Đáp số.C1(2; 2) R1= 2; C1(10; 10) R1 = 10 15.33 Cho hình vngABCD vớiA(3; 0)và C(−4; 1) Xác định toạ độ hai đỉnh B D
Đáp số.B(0; 4)và D(−1;−3) 15.34 Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9;−10),C(−5; 4)
1 Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp số.I(3;−2) vàR= 10
2 Xác định toạ độ trực tâm tam giácABC
3 Tìm toạ độ điểmD cho tứ giácABCD hình bình hành
15.35 Xác định độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh Acủa tam giác ABC biết A(3;−5),B(−3; 3), C(−1;−2)
Đáp số 14
√
3
2
15.36 Xác định độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnhB tam giácABC biết A(3;−5),B(1;−3), C(2;−2)
Đáp số .15.37 Cho điểmA(7;−3)vàB(23;−6) Xác định toạ độ giao điểmCcủa đường thẳngABvà trục hoành Đáp số C(−9; 0) 15.38 Cho điểm A(5; 2) vàB(−4;−7) Xác định toạ độ giao điểmC đường thẳng AB trục tung Đáp số C(0;−3) 15.39 Cho hai điểm A, B số thựck Tìm tập hợp điểm M cho AM# »·BM# »=k
Hướng dẫn ChọnA(0; 0), B(0;b) vàM(x;y) 15.40 Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh BC, AC Chứng minh AC > BC, thìAM > BN
(18)16 Hệ thức lượng tam giác
Trong mục này, với tam giácABC, ta kí hiệu
• AB=c,AC =b,BC =a;
• ma,mb,mc đường trung tuyến xuất phát từA, B, C;
• ha,hb,hc đường cao xuất phát từ A, B, C;
• R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC;
• r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC;
• S diện tích tam giác ABC;
• p= AB+BC+CA
2 nửa chu vi tam giác ABC
16.1 Định lí cơsin tam giác
Trong tam giác ABC, ta có
• a2 =b2+c2−2bccosA; • b2 =a2+c2−2accosB;
• c2 =a2+b2−2abcosA
Hệ
Trong tam giác ABC, ta có
• cosA= b
2+c2−a2
2bc ;
• cosB = a
2+c2−b2
2ac ;
• cosC = a
2+b2−c2
2ab
16.2 Định lí sin tam giác Định lí 16.1 Với tam giác ABC, ta có
a
sinA = b
sinB = c
sinC = 2R 16.3 Công thức trung tuyến
Trong tam giác ABC, ta có
• m2a= b
2+c2
2 −
a2
4;
• m2
b =
a2+c2
2 −
b2
4;
• m2
c =
a2+b2
2 −
c2
(19)16.4 Diện tích tam giác
Trong tam giác ABC, ta có
• S= 2aha=
1 2bhb =
1 2chc;
• S=
2absinC=
2acbsinB =
2bcsinA;
• S= abc 4R; • S=pr;
• S=pp(p−a)(p−b)(p−c) (công thức Hê - rông) 16.1 (Biết hai cạnh góc xen giữa)
Cho tam giác ABC có b= 4,c= Ab= 60◦ Tính cạnh a,S
ABC,ma,ha,R vàr
Đáp số a= 7,SABC = 10√3,ha=
20√3 ,R=
7√3
16.2 (Biết hai cạnh góc khơng xen giữa)
Cho tam giác ABC có AC= 8,AB= vàCb = 120◦ Tính cạnh BC,S
ABC,ma,ha,R vàr
16.3 (Biết cạnh hai góc)
Cho tam giác ABC có BC = 8,Bb = 60◦ vàCb= 45◦ Tính cạnh góc cịn lại TínhS
ABC,mb,hb,
R vàr
16.4 (Biết ba cạnh)
Cho tam giác ABC có a=√6,b= 2,c= +√3 Tính góc tam giác Tínhha,R
Đáp số.Ab= 60◦,Bb = 45◦,Cb= 75◦,h
a=
(1 +√3)√2
2 ,R =
√
2 16.5 Cho tam giácABC có trung tuyến AM =√13, độ dài cạnh BC = góc Bb = 60◦ Tính độ dài cạnh cvà R, r
Đáp số c= 4,R=
√
21 ,r=
√
3(5−√7)
3
16.6 Tính góc A tam giácABC, biết b(b2−a2) =c(c2−a2), b6=c.
Đáp số Ab= 120◦. 16.7 Cho tam giác ABC có AB= 3,AC = diện tích 3√3 Tìm cạnh BC
Hướng dẫn • S=
2AB·AC·sinA Từ đó, tìm đượcsinA
• BC2=AB2+AC2−2AB·AC·cosA
Đáp số BC =√13hoặc BC=√37
(20)16.9 Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai đường chéo
16.10 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh
1 GA2+GB2+GC2 =
3(a
2+b2+c2).
2 với điểmM, ta ln có M A2+M B2+M C2 = 3M G2+GA2+GB2+GC2.
16.11 Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai đường trung tuyến kẻ từB C vng góc với b2+c2 = 5a2
16.12 Tính độ dài cạnh tam giácABC biết b2+c2 = 15,ha=
3
4,sinA=
Hướng dẫn • S=
2aha=
2bcsinA⇒bc= 4a
• a2 =b2+c2−2bccosA TừsinA=
5 ⇒cosA=±
• Xét hai trường hợp củacosA, với giả thiết suy đượca2+ 2a−15 = 0⇒a= Cóa, cóbc
vàb2+c2 Từ tìm được bvà c.
16.13 Tính diện tích tam giác ABC, biết b= 3√3,a+c= 3hb,Ab= 30◦
Hướng dẫn c= 2hb,c= 2a,a2=b2+c2−2bccosA Suy raa= 3, b= 6, S =
9√3
16.14 Tính bán kínhR đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết Ab= 45◦,Bb= 60◦,h
c = 2√2
Đáp số √2
3
16.15 Chứng minh góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện sinB = sinA·cosC, tam giác cân
16.16 Chứng minh cạnh góc tam giácABC thoả mãn điều kiện a
cosB + c
cosC =
a
sinB·sinC, tam giác vng
16.17 Kí hiệu `a độ dài đường phân giác tam giácABC kẻ từ đỉnh A Chứng minh
`a=
2ccosa
b+c 16.18 Chứng minh nếua > b, `a> `b
17 Phương trình đường thẳng
17.1 Phương trình tham số đường thẳng
Định nghĩa 17.1 Vectơ phương đường thẳng ∆là vector khác #»0, có giá song song với ∆
trùng∆
(21)17.2 Phương trình tham số đường thẳng
Cho đường thẳng∆đi qua điểmM(xo;yo)và nhận vectơ #»a = (a1;a2)làm vectơ phương Hệ phương trình
x=xo+a1·t, y=yo+a2·t,
(t∈R) (1)
được gọi làphương trình tham số đường thẳng ∆
Ngược lại, hệ phương trình có dạng (1) phương trình đường thẳng qua điểmM(xo;yo)
và nhận vectơ #»a = (a
1;a2) làm vectơ phương
18 Phương trình tổng quát đường thẳng
Định nghĩa 18.1 Cho đường thẳng∆.Vectơ pháp tuyến đường thẳng∆là vectơ khác #»0, có giá vng
góc với ∆
Nhận xét
1 Một đường thẳng cho trước có vơ số vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến phương với
2 Nếu #»n là vectơ pháp tuyến của∆và #»a là vectơ phương đường thẳng∆, thì #»n vng
góc với #»a.
3 Nếu #»a = (a1;a2) là vectơ phương đường thẳng ∆, vectơ pháp tuyến của ∆ là
#»
n = (a2;−a1) hay #»n = (−a2;a1), ngược lại
Định lí 18.1 Phương trình đường thẳng∆đi qua điểm M(xo;yo) nhận vectơ #»n = (A;B) làm
vectơ pháp tuyến
A(x−xo) +B(y−yo) = (2)
Ta viết (2) dạng
Ax+By+C= (3)
Định nghĩa 18.2 Mỗi phương trình có dạng (3), A, B không đồng thời 0, gọi
phương trình tổng quát đường thẳng nhận vectơ #»n = (A;B) là vectơ pháp tuyến. 18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn
Phương trình đường thẳng∆đi qua điểm A(a; 0) vàB(0;b) đóa·b6=
x a+
y
b = (4)
Phương trình có dạng (4) gọi làphương trình đường thẳng theo đoạn chắn
18.1 Cho tam giác ABC vớiA(3; 2),B(−2; 5),C(4; 7)
1 Viết phương trình cạnh tam giácABC;
2 Viết phương trình đường cao tam giácABC;
(22)18.2 Cho tam giác ABC với A(1;−2), B(5; 4), C(−2; 0) Viết phương trình đường phân giác
phân giác kẻ từ đỉnhA tam giác
Đáp số 5x+y−3 = 0,x−5y−11 =
18.3 Cho đường thẳng ∆ : 2x−3y−5 = điểmA(−4;−3)
1 Viết phương trình đường thẳng(d) quaA vng góc với ∆;
Đáp số 2x−3y−1 =
2 Viết phương trình đường thẳng(d) quaA song song với∆;
Đáp số 3x+ 2y+ 18 = .18.4 Cho tam giácABC biếtM(2; 1),N(5; 3),P(3;−4) trung điểm ba cạnh Viết phương
trình cạnh tam giácABC
Đáp số 7x−2y−12 = 0,5x+y−28 = 0,2x−3y−18 = 18.5 Tìm hình chiếu điểm P(−6; 4) đường thẳng ∆ : 4x−5y+ =
Đáp số (−2;−1) 18.6 Tìm toạ độ điểm Qđối xứng với điểm P(−5; 13) qua đường thẳng ∆ : 2x−3y−3 =
Đáp số Q(11;−11) 18.7 Cho điểmA(−7; 1) vàB(−5; 5)và đường thẳng ∆ : 2x−y−5 = Tìm toạ độ điểmP ∆
sao choM A+M B nhỏ
Đáp số P(2;−1) 18.8 Cho điểm A(4; 1)vàB(0; 4)và đường thẳng ∆ : 3x−y−1 = Tìm toạ độ điểmP ∆sao
cho|M A−M B|lớn
Đáp số.P(2; 5) 18.9 Cho hai điểm A(2; 5) B(4;−1) Tìm toạ độ điểm M đường thẳng ∆ : 3x+ 4y+ = 0sao
cho2M A2+ 3M B2 đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn Ta có •
2M A2+ 3M B2 = 2M A# »2+ 3M B# »2
= 2(M I# »+IA# »)2+ 3(M I# »+IB# »)2
= 5M I2+ 2M I# »·(2IA# »+ 3IB# ») + 2IA2+ 3IB2
• Chọn điểmI cho 2IA# »+ 3IB# »= #»0 Khi đó, I cố định, đó, 2IA2+ 3IB2 khơng đổi
• 2M A2+ 3M B2 = 5M I2+ 2IA2+ 3IB2 nhỏ khiIM nhỏ Điều xảy và
chỉ khiM hình chiếu I ∆
(23)18.10 (269) Trong tam giácABC, phương trình cạnhAB, phương trình đường cao AN phương trình
đường cao BN là5x−3y+ = 0,4x−3y+ = 0,7x+ 2y−22 = Viết phương trình
cạnh cịn lại viết phương trình đường cao thứ ba
In a triangle ABC, the equations of the side AB, of the altitude AN and of the altitude BN are
5x−3y+ = 0,4x−3y+ = 0,7x+ 2y−22 = 0, respectively Write the equations of the other two sides and of the third altitude of the triangle
Đáp số BC : 3x+ 4y−22 = 0,CA: 2x−7y−5 = 0,CN : 3x+ 5y−23 =
18.11 (270) Viết phương trình cạnh tam giác biết đỉnhA(1; 3) phương trình hai đường trung
tuyến làx−2y+ = 0vày−1 =
Find the equations of the sides of a triangle ABC withA(1; 3)as a vertex, ifx−2y+ = 0andy−1 =
are the equations of two of its medians ĐS.x+ 2y−7 = 0,x−4y−1 = 0,x−y+ =
18.12 (271) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(−4;−5) phương trình hai
đường cao tam giác là5x+ 3y−4 = và3x+ 8y+ 13 =
Find the equations of the sides of a triangle ABC havingB(−4;−5) as a vertex, if5x+ 3y−4 = and
3x+ 8y+ 13 = 0.are the equations of two of its altitudes
Đáp số 3x−5y−13 = 0,8x−3y+ 17 = 0,5x+ 2y−1 = .18.13 (272) Viết phương trình cạnh tam giácABC biết rằngA(4;−1)vàx−1 = 0,x−y−1 =
là phương trình đường phân giác tam giác
Find the equations of the sides of a triangleABC havingA(4;−1) as a vertex, ifx−1 = 0,x−y−1 =
are the equations of two bisectors of its angles
Đáp số 2x−y+ = 0,2x+y−7 = 0,x−2y−6 = 18.14 (273) Viết phương trình cạnh tam giácABC biết B(2; 6) nếux−7y+ 15 = 0và
7x+y+ = phương trình đường cao đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh Find the equations of the sides of a triangle havingB(2; 6)as a vertex, ifx−7y+15 = 0and7x+y+5 =
are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from one and the same vertex Đáp số 4x−3y+ 10 = 0,7x+y−20 = 0,3x+ 4y−5 = 18.15 (274) Viết phương trình cạnh tam giác ABCbiết B(2;−1) nếu3x−4y+ 27 =
vàx+ 2y−5 = 0lần lượt phương trình đường cao đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh khác
Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−1) as a vertex, if 3x −4y+ 27 = and
x+ 2y −5 = are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from diferrent vertices
Đáp số 4x+ 7y−1 = 0,y−3 = 0,4x+ 3y−5 = 18.16 (275) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết rằngC(4;−1) nếu2x−3y+ 12 =
và2x+ 3y= phương trình đường cao đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh
Find the equations of the sides of a triangle having C(4;−1) as a vertex, if 2x −3y + 12 = and
2x+ 3y= are the respective equations of an altitude and a median drawn from one and the same vertex
Đáp số 3x+ 7y−5 = 0,3x+ 2y−10 = 0,9x+ 11y+ = 18.17 (276) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết rằngB(2;−7) nếu3x+y+ 11 = 0và x+ 2y+ = 0lần lượt phương trình đường cao đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh khác
Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−7) as a vertex, if 3x+y + 11 = and
(24)Đáp số x−3y−23 = 0,7x+ 9y+ 19 = 0,4x+ 3y+ 13 = 18.18 (277) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4; 3) nếux+ 2y−5 =
4x+ 13y−10 = 0lần lượt phương trình đường phân giác đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh
Find the equations of the sides of a triangle havingC(4; 3)as a vertex, ifx+2y−5 = 0and4x+13y−10 =
are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from one and the same vertex Đáp số x+y−7 = 0,x+ 7y−5 = 0,x−8y+ 20 = 18.19 (278) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(3;−1) x−4y+ 10 =
và6x+ 10y−59 = 0lần lượt phương trình đường phân giác đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh khác
Find the equations of the sides of a triangle having A(3;−1) as a vertex, if x−4y+ 10 = 0and 6x+
10y−59 = are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices
Đáp số.2x+ 9y−65 = 0, 6x−7y−25 = 0, 18x+ 13y−41 =
.18.20 (279) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ tạo với hai đường thẳngx−y+ 12 =
và2x+y+ = tam giác có diện tích 1.5 đơn vị diện tích
Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the linex−y+12 =
and 2x+y+ = a triangle of an equal to 1.5 square units
Đáp số x+ 2y = 0,23x+ 25y= 18.21 Cho P(3; 0) hai đường thẳng : (d1) : 2x−y2 = 0, (d2) :x+y+ = Lập phương trình
đường thẳng qua P cắt(d1)và (d2) tạiA vàB choP trung điểm AB
From lines passing through the point P(3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines
2x−y−2 = 0,x+y+ = is bisecteted at the point P
Đáp số 8x−y−24 =
.18.22 (280) Viết phương trình đường thẳng qua điểmP(3; 0)và cắt hai đường thẳngd1 : 2x−y−2 = vàd2:x+y+ = tại A vàB cho P trung điểm đoạn thẳng AB
From lines passing through the point P(3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines
2x−y−2 = andx+y+ = 0is bisected at the point P
Đáp số 8x−y−24 =
18.23 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(−5; 4), biết ∆ cắt hai đường thẳng d1 : x+ 2y+ = vàd2 :x+ 2y−1 = tại A vàB cho độ dài đoạn thẳng AB
Đáp số.3x+ 4y−1 = 0và 7x+ 24y−61 =
18.24 (D, 2009)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm
cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x−2y−3 =
6x−y−4 = Viết phương trình đường thẳng AC
Đáp số 3x−4y+ = 18.25 (B, 2009, chương trình Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giácABC cân
A có đỉnh A(−1; 4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ :x−y−4 = Xác định tọa độ đỉnh B
C, biết diện tích tam giácABC 18
Đáp số B1
11 ;
và C1
3 2;−
5
hay B2
3 2;−
5
vàC2
(25)18.26 (B, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−2)2 +y2 =
5 hai đường thẳng ∆1 :x−y = 0, ∆2 :x−7y = Xác định tạo độ tâm K tính
bán kính đường tròn(C1); biết đường tròn(C1) tiếp xúc với đường thẳng∆1,∆2 tâm K thuộc
đường tròn(C)
Đáp số K
5; 18.27 (A, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD
có điểmI(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC vàBD ĐiểmM(1; 5)thuộc đường thẳngAB trung
điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng∆ :x+y−5 = Viết phương trình đường thẳngAB
Đáp số AB:y−5 = AB:x−4y+ 19 =
.18.28 (A, 2009, Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho đường tròn(C) :x2+y2+4x+4y+6 =
0và đường thẳng ∆ :x+my−2m+ = 0, vớim tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm
m để đường thẳng∆cắt(C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn
Đáp số.m= m=
15
18.29 (B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xác định toạ độ đỉnh C tam giác ABC
biết hình chiếu vng góc củaC đường thẳng AB điểmH(−1;−1), đường phân giác
gócA có phương trình x−y+ = đường cao kẻ từ đỉnhB có phương trình 4x+ 3y−1 =
Đáp số
−103 ;3
18.30 (Dự bị 1, khối A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao kẻ từ đỉnh B đường phân giác góc A có phương trình 3x+ 4y+ 10 =
x−y+ = 0, điểmM(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C đoạn √2 Tìm toạ độ
đỉnh tam giácABC
18.31 (Dự bị 1, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB =√5,
C(−1;−1), đường thẳng AB có phương trình x+ 2y−3 = trọng tâm tam giác ABC thuộc đường
thẳngx+y−2 = Hãy tìm toạ độ đỉnh Avà B
18.32 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung
sao choA B đối xứng với qua đường thẳng d:x−2y+ = 0.Tìm toạ độ điểmA vàB
Đáp số A(2; 0),B(0; 4) 18.33 (Dự bị 2, khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh Athuộc
đường thẳng d:x−4y−2 = 0, cạnhBC song song với d, phương trình đường cao BH :x+y+ =
trung điểm cạnhAC làM(1; 1) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C
Đáp số
−2
3;−
,B(−4; 1),C
3; 18.34 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân B với A(1;−1), C(3; 5) Đỉnh B nằm đường thẳng d : 2x −y = Viết phương trình đường thẳng AB, BC
(26)18.35 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),
đường cao qua đỉnhB có phương trình làx−3y−7 = đường trung tuyến qua đỉnhC có phương trình
làx+y+ = Xác định toạ độB C tam giác
Đáp số B(−2;−3), C(4;−5) 18.36 (B, 2007) Cho điểmA(2; 2) đường thẳngd1 :x+y−2 = 0vàd2 :x+y−8 = Tìm toạ
độ điểm B C thuộcd1 d2 cho tam giác ABC vuông cân ởA
Đáp số B1(3;−1), C1(5; 3)và B2(−1; 3),C2(3; 5) 18.37 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giácABC có trọng tâm G(−2; 0)
Biết phương trình cạnh AB, AC 4x+y+ 14 = 0,2x+ 5y−2 = Tìm toạ độ đỉnh
A, B, C
Đáp số A(−4; 2), B(−3;−2),C(1; 0) 18.38 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B thuộc trục
Ox có hồnh độ khơng âm điểm C thuộc trục Oy có tung độ khơng âm cho tam giác ABC vng
tạiA Tìm toạ độ điểmB, C cho diện tích tam giác ABC lớn
Đáp số B(0; 0) vàC(0; 5) .18.39 (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giácABC có điểmA(1; 2), đường trung tuyếnBM đường phân
giác trongCDtương ứng có phương trình2x+y+ = 0, x+y−1 = Hãy viết phương trình đường thẳng
BC
18.40 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) hai đường thẳng d1 :
2x−y+ = 0, d2 :x+y−3 = Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm I cắt hai đường thẳng d1, d2 tạiA, B cho IA# »= 2IB# »
Đáp số 7x−3y+ = 18.41 (Dự bị 2, B, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy cho hai đường thẳngd1 :x+y+ = 0, d2 : x+ 2y−7 = điểmA(2; 3) Tìm điểm B thuộcd1 điểmC thuộc d2 cho tam giác ABC có trọng tâm điểm G(2; 0)
.18.42 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxycho tam giácABCvuông ởA BiếtA(−1; 4), B(1;−4)
và đường thẳng BC qua điểm M
2;1
Tìm toạ độ đỉnh C
Đáp số.C(3; 5) 18.43 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho điểmA(2; 1), B(2;−1) đường thẳng
d1: (m−1)x+ (m−2)y+ 2−m= 0, d2 : (2−m)x+ (m−1)y+ 3m−5 =
Chứng minh rằngd1 cắtd2 GọiP giao điểm củad1vàd2, tìmmsao cho tổng khoảng cáchP A+P B
lớn
Đáp số m= m=
.18.44 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giác cânABC có trọng tâmG
4 3;
1
,
phương trình đường thẳngBC làx−2y−4 = phương trình đường thẳngBG là7x−4y−8 = Tìm
(27)Đáp số.A(0; 3),B(0;−2),C(4; 0) .18.45 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho điểmA(0; 2)và đường thẳngd:x−2y+2 =
Tìm trêndhai điểmB, C cho tam giác ABC vuông ởB vàAB= 2BC
Đáp số
2 5;
6
,C1(0; 1),C2
4 5;
7
18.2 Khoảng cách
Định lí 18.2 Cho đường thẳng ∆ có phương trình Ax+By+C = điểm M(xo;yo) Gọi d(M,∆)
khoảng cách từ M đến∆ Khi
d(M,∆) = |Ax√+By+C| A2+B2
18.46 Tính khoảng cách từ điểmA(2;−2) đến đường thẳng3x+ 4y−1 =
Đáp số.d=
5
18.47 Tính khoảng cách từ điểmA(1;−4) đến đường thẳng
x= 1−2t, y= + 4t,
18.48 Tính khoảng cách hai đường thẳng song songd1:x+ 2y−4 = 0và d1 :x+ 2y−6 =
Đáp số d= √2
5
18.49 Cho ba điểmA(1; 5), B(−3;−2), C(3; 2)
1 Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác
2 Tính chiều cao tam giácABC kẻ từ đỉnh A Từ đó, tính diện tích tam giác ABC
3 Xác định bán kính đường trịn có tâmB tiếp xúc với đường thẳng AC
18.50 Tìm tập hợp điểm mặt phẳng cách hai đường thẳng d1 : x+ 2y−4 = d1 :x+ 2y−6 =
Đáp số d1 :x+ 2y−5 = 18.51 Viết phương trình đường thẳng qua điểm E(2;−1) cách điểm F(−3;−1) đoạn
Đáp số 3x+ 4y−2 = và3x−4y−10 = 18.52 Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểmI(−2; 3)và cách hai điểm A(5;−1)
vàB(3; 7)
Đáp số y= 3,4x+y+ = 18.53 (A, 2006) Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng sau
(d1) :x+y+ = 0; (d2) :x−y−4 = 0; (d3) :x−2y=
Tìm tọa độ điểmM nằm đường thẳng (d3) cho khoảng cách từM đến đường thẳng (d1)bằng hai
lần khoảng cách từ M đến đường thẳng(d2)
(28)18.54 (B, 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy cho hai điểm A(1; 1),B(4;−3) Tìm điểmC thuộc
đường thẳngx−2y−1 = cho tổng khoảng cách từ C đế đường thẳng AB
Đáp số C(7; 3),C2
−43
11;− 27 11
18.55 (Dự bị 1, khối D, 2003) Cho tam giác ABC phương trình đường cao vẽ từ B, C có phương
trình tương ứng làx−2y+ = và3x+y−1 = Tính diện tích tam giác ABC
Đáp số.S = 14 Hướng dẫn B(−5;−2) C(−1; 4) 18.56 Viết phương trình đường phân giác góc nhọn góc tạo hai đường thẳng 3x+ 4y−5 = 0và
5x−12y+ =
Đáp số 7x+ 56y−40 =
18.57 Viết phương trình đường phân giác góc tù góc tạo hai đường thẳng x−3y+ =
3x−y+ 15 =
Đáp số.x+y+ =
.18.58 Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳngx+2y−11 = 0và3x−6y−5 =
biết góc chứa điểmM(1;−3)
Đáp số 3x−19 =
18.59 Cho tam giác ABC biết A(3;−5), B(−3;−3), C(−1;−2) Viết phương trình đường phân giác
trong gócA tam giácABC
18.60 Cho tam giác ABC biết A(3;−5), B(1;−3),C(2;−2) Viết phương trình đường phân giác ngồi
gócB tam giácABC
Đáp sốy=−3
19 Đường trịn
19.1 Phương trình đường trịn
1 Phương trình đường trịn có tâmI(a;b) bán kính R
(x−a)2+ (y−b)2 =R2 (5)
Ngược lại phương trình có dạng (5) phương trình đường trịn nhậnI(a;b)làm tâm
có bán kính bằngR
2 Mỗi phương trình có dạng
x2+y2−2ax−2by+c= (6) với a2 +b2 −c > 0 là phương trình đường trịn nhận I(a;b) làm tâm có bán kính R=√a2+b2−c.
19.2 Vị trí tương đối điểm đường tròn
Cho điểmM đường trịn (C), tâmI, bán kínhR Khi
1 IM < R⇔ M đường tròn;
2 IM =R⇔ M đường tròn;
(29)19.3 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Cho đường thẳng δ và đường trịn(C), tâmI, bán kính R Khi đó
1 d(I,∆)< R⇔ ∆cắt(C) tại hai điểm phân biệt;
2 d(I,∆) =R⇔ ∆tiếp xúc với(C) Nếu ∆tiếp xúc với (C)tại điểmH thìH gọi làtiếp điểm của ∆
và(C); đường thẳng ∆gọi làtiếp tuyến của (C).
3 d(I,∆)> R⇔ ∆và(C) khơng có điểm chung.
Ta xét hệ phương trình
(∗)
(
∆, (7)
(C). (8)
Ta giải hệ phương trình (*) cách (7) vào (8)
• (*) có hai nghiệm phân biệt(x1;y1)và(x2;y2)khi khi∆cắt(C)tại hai điểm phân biệtA(x1;y1) vàB(x2;y2)
• (*) có nghiệm kép(x;y) khi∆tiếp xúc với (C) tại điểmH(x;y).
• (*) vơ nghiệm khi∆và(C) khơng có điểm chung.
19.1 Viết phương trình đường trịn (C) trong trường hợp sau:
1 (C) có tâmI(1;−1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x−12y+ = 0.
Đáp số (x−1)2+ (y+ 1)2 = (C) qua ba điểm A(−1; 5), B(−2;−2), C(5; 5);
Đáp số.(x−2)2+ (y−1)2 = 25
3 (C) qua hai điểmA(3; 1), B(−1; 3) và có tâm đường thẳng∆ : 3x−y−2 = 0;
Đáp số.(x−2)2+ (y−4)2 = 10
4 (C) qua hai điểmA(1; 0), B(2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :x−y= 0;
5 (C) qua hai điểmA(0; 1), B(2;−3) và có bán kính R= 5;
Đáp số.(x−5)2+ (y−1)2 = 25và(x+ 3)2+ (y+ 3)2 = 25
6 (C) qua điểmM(1; 2)và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x−4y+ = 0tại điểmN(−2;−1).
7 (C) có bán kínhR=√5 và tiếp xúc với đường thẳngx−2y−1 = 0 tại điểmM(3; 1).
8 (C) có tâmI(3;−1) và cắt đường thẳng 2x−5y+ 18 = 0theo dây cung có độ dài 6.
Đáp số (x−3)2+ (y+ 1)2= 38
9 (C) có tâm nằm đường thẳng5x−2y+ 21 = 0 và tiếp xúc với hai trục toạ độ.
Đáp số x2+y2+ 14x+ 14y+ 49 = 0và x2+y2−6x+ 6y+ = 0. 19.2 (Đại học Mỏ, Địa chất 2001) Trong mặt phẳng toạ độOxy, viết phương trình đường trịn ngoại
(30)phương trình đường thẳng BC 5x−y+ = 0, phương trình đường thẳngAC lày+x−8 = Đáp số (x−2)2+y2 = 26. 19.3 (D, 2003) Cho đường tròn (C) : (x−1)2+ (y−2)2 = 4 và đường thẳng d : x−y−1 = 0 Viết
phương trình đường trịn (C0) đối xứng với đường trịn (C) qua đường thẳng d Tìm toạ độ giao điểm
của (C) và(C0).
ĐS (C0) : (x−3)2+y2= 4.Các giao điểmA(1; 0), B(3; 2). 19.4 Cho đường tròn (C) :x2+y2−2x−4y+ = Lập phương trình đường trịn (C0) đối xứng với
đường tròn(C) qua đường thẳng d:x−2 = 0.
19.5 (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:x−y+ 1−√2 =
và điểmA(−1; 1) Viết phương trình đường trịn (C)đi quaA, gốc toạ độOvà tiếp xúc với đường thẳng d.
ĐS x2+y2−2y= 0, x2+y2−2x= 0. 19.6 (Dự bị B, 2003) Cho đường thẳng d:x−7y+ 10 = Viết phương trình đường trịn có tâm
thuộc đường thẳng ∆ : 2x+y = tiếp xúc với đường thẳng dtại điểmA(4; 2)
ĐS (x−6)2+ (y+ 12)2 = 200. 19.7 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) B(−√3;−1) Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giácOAB
ĐS Trực tâm H(√3;−1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−√3; 1)
.19.8 (B, 2005) Cho hai điểmA(2; 0)vàB(6; 4) Viết phương trình đường trịn(C tiếp xúc với trục hồnh
tại điểmA khoảng cách từ tâm (C) đến điểmB
Đáp số.(x−2)2+ (y−1)2 = 1 và(x−2)2+ (y−7)2 = 1 19.9 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương trình
đường trịn qua hai điểmA, B có bán kính R √10
Đáp số.(x+ 1)2+ (y−2)2 = 10và(x−3)2+ (y−6)2 = 10 19.10 (Dự bị, Khối A, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn(C) :x2+y2−4x−
6y−12 = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d: 2x−y+ = cho M I = 2R, I
tâm vàR bán kính đường tròn(C).
ĐS M1(−4;−5), M2
24 ;
63
19.11 (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn(C) :x2+y2−2x−2y+ = 0và
đường thẳngd:x−y+ = Tìm toạ độ điểm M đường thẳng dsao cho đường trịn tâmM, có bán
kính gấp đơi bán kính đường trịn(C), tiếp xúc ngồi với đường trịn (C)
ĐS M1(1; 4), M2(−2; 1) 19.12 (CĐSP Quảng Bình, 2006) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ cắt đường tròn
(x−1)2+ (y+ 3)2 = 25thành dây cung có độ dài
(31)19.13 (A, 2007)Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giác ABC cóA(0; 2), B(−2;−2), C(4;−2)
Gọi H chân đường cao kẻ từ B;M N trung điểm cạnhAB vàBC Viết phương
trình đường trịn qua điểm H, M, N
Đáp số H(1; 1), x2+y2−x+y−2 =
19.14 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình
x2+y2= Gọi(C0) là đường trịn có tâmI(2; 2) và cắt (C) tại hai điểmA, B sao cho độ dài đoạn thẳng
AB √2 Viết phương trình đường thẳngAB
Đáp số.OAB vng cân, x+y+ = 0vàx+y−1 =
19.15 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình
x2+y2−8x+ 6y+ 21 = 0 và đường thẳngdcó phương trình x+y−1 = 0 Xác định toạ độ đỉnh của
hình vuông ABCD ngoại tiếp(C), biết đỉnhA thuộc d.
Đáp số dđi quaI;A(6;−5),B(6;−1), C(2;−1), D(2;−5) 19.16 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình
x2+y2−2x+ 4y+ = Gọi(C0) là đường trịn có tâmM(5; 1), (C0) cắt (C) tại hai điểmA, B sao cho
độ dài đoạn thẳngAB √3 Viết phương trình đường tròn(C0).
Đáp số x2+y2−10x−2y−17 = x2+y2−10x−2y+ 13 =
20 Tiếp tuyến đường tròn
20.1 Tiếp tuyến điểm thuộc đường tròn
20.1 Cho đường tròn(C) : (x+ 2)2+ (y−3)2 = 25 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(−5; 7)
20.2 Cho đường tròn (C) :x2+y2−4x+y−12 = đường thẳng ∆ :x+ 2y+ = Viết phương
trình tiếp tuyến của(C) giao điểm của(C)và ∆
20.2 Tiếp tuyến với đường trịn biết tiếp tuyến song song, vng góc với đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước
20.3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trònx2+y2+ 10x−2y+ = biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng 2x+y−7 =
ĐS.2x+y−1 = 0,2x+y+ 19 = 20.4 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn x2+y2−2x+ 4y = biết tiếp tuyến vng góc với
đường thẳngx−2y+ =
ĐS 2x+y−5 = 0,2x+y+ = 20.5 Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịnx2+y2−4x−6y+ = biết tiếp tuyến có hệ số góc k=
(32)20.3 Tiếp tuyến xuất phát, qua, kẻ từ điểm cho trước
20.6 Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2+y2+ 2x−4y = biết tiếp tuyến qua điểm A(4; 7)
ĐS.2x−y−1 = 0, x−2y+ 10 = 20.7 Cho đường tròn(C) :x2+y2+x−3y−3 = Gọi M, N tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ
điểm A(1;−2) đến(C) Tính độ dài đoạn thẳngM N
ĐS.3 20.8 (B, 2006) Cho đường tròn (C) :x2+y2−2x−6y+ = 0và điểm M(−3; 1) Gọi T
1 T2
tiếp điểm tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2
ĐS.2x+y−3 = 20.9 (Minh hoạ, A, 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình
x2+y2−6x+ = 0 Tìm điểm M thuộc trục tung cho quaM kẻ hai tiếp tuyến của (C) mà góc
giữa hai tiếp tuyến bằng60◦.
Đáp số M1(0;√7)và M2(0;−√7) 20.10 (Dự bị 2, A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độOxy, cho đường trịn (C)có phương trình
x2+y2 = Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng y=m tồn hai điểm mà từ
mỗi điểm kẻ hai tiếp tuyến với (C)sao cho góc hai tiếp tuyến bằng 60◦.
20.11 (D, 2007) Cho đường tròn(C) : (x−1)2+ (y+ 2)2= 9 và đường thẳngd: 3x−4y+m= 0 Tìm
m để trêndcó điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến P A, P B tới(C) sao cho tam
giácABC (A, B hai tiếp điểm)
Đáp số.m= 19, m=−41
.20.12 (Dự bị 1, khối D, 2006) Cho đường thẳngd:x−y+1 = 0và đường tròn(C) :x2+y2+2x−4y= 0.
Tìm toạ độ điểmM thuộc đường thẳngdmà qua ta kẻ hai tiếp tuyến với đường trịn (C)tại Avà
B cho AM B\ = 60◦.
Đáp số M1(3; 4)và M1(−3;−2) 20.13 (Đề minh hoạ, D, 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường trịn(C) có phương
trình (x−4)2+y2 = 4 và điểmE(4; 1) Tìm toạ độ điểm M trên trục tung cho từ M kẻ hai tiếp
tuyếnM A, M B đến đường tròn(C) (với A, B là tiếp điểm) cho đường thẳng AB qua đểmE.
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước góc α
20.14 Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn x2+y2 = 25, biết tiếp tuyến hợp với đường
thẳngx+ 2y−1 = gócα màcosα= √2
5
Đáp số y±5 = 0;4x+ 3y±25 = 20.15 Viết phương trình tiếp tuyến đường trịnx2+y2 = 8, biết tiếp tuyến hợp với trục Ox góc45◦.
(33)20.5 Tiếp tuyến chung hai đường tròn
20.16 (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn
(C1) :x2+y2−4y−5 = 0và (C2) :x2+y2−6x+ 8y+ 16 =
Hướng dẫn (C1) (C2) ngồi có bán kính
ĐS.2x+y+ 3√5−2 = 0; 2x+y−3√5−2 = 0;y =−1; 4x−3y−3 = 20.17 (Dự bị 2002) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn
(C1) :x2+y2−10 = và(C2) :x2+y2+ 4x−2y−20 =
Hướng dẫn (C1) (C2) cắt có bán kính
ĐS.x+ 7y−5 + 25√2 = 0;x+ 7y−5−25√2 = 20.18 (CĐ Y tế Thanh Hố, 2005) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn
(C1) :x2+y2−4x−2y+ = 0và (C2) :x2+y2+ 4x+ 2y−4 =
ĐS x= 1, y = 2,4x−3y−10 = 0,−3x−4y+ = 20.6 Vài khác
20.19 (Dự bị 2, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) B(0; 4)
Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn qua trung điểm
cạnh tam giácOAB
20.20 (Đại học Ngoại ngữ, 2000) Trong mặt phẳng cho ba điểm A(−1; 7), B(4;−3), C(−4;−1) Viết
phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Đáp số (x+ 1)2+ (y−2)2 = 20.21 Cho đường trịn(S) có phương trìnhx2+y2 = 16và tam giác đềuABC nội tiếp đường trịn, biết A(0; 4) Tìm toạ độ đỉnh lại tam giác
Đáp số B(2√3;−2) C(2√3;−2) 20.22 Cho đường tròn(C) :x2+y2−6x+ 2y+ = 0 và điểm M(1; 3) Viết phương trình đường thẳng
đi quaM cắt đường tròn hai điểm A, B choM A=AB
(34)Mục lục
1 Các Khái niệm vectơ
1.1 Định nghĩa
2 Hai vectơ phương 2.1 Giá vectơ
2.2 Hai vectơ phương
3 Hai vectơ hướng Độ dài vectơ, hai vectơ 4.1 Độ dài vectơ
4.2 Hai vectơ
5 Tổng hai vectơ 5.1 Quy tắc ba điểm
5.2 Quy tắc hình bình hành
5.3 Tính chất
6 Hiệu hai vectơ 6.1 Vectơ đối hai vectơ
7 Tính chất 7.1 Hiệu hai vectơ
7.2 Hiệu hai vectơ chung điểm đầu
8 Tích số thực với vectơ Tính chất 9.1 Điều kiện để hai vectơ phương
9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
9.3 Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương
9.4 Tìm tập hợp điểm
10 Trục toạ độ 11 Toạ độ vectơ trục - độ dài đại số vectơ 11.1 Toạ độ vectơ trục
11.2 Độ dài đại số vectơ
12 Hệ trục toạ độ 13 Toạ độ vectơ 13.1 Toạ độ vectơ
13.2 Toạ độ điểm
13.3 Các phép toán vectơ
13.4 Toạ độ vectơ biết toạ độ hai điểm 10
13.5 Toạ độ trung điểm đoạn thẳng 10
(35)14 Giá trị lượng giác góc từ 0◦ đến 180◦ 11
14.1 Nửa đường tròn đơn vị 11
14.2 Định nghĩa 11
14.3 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc phụ 12
14.4 Quan hệ giá trị lượng giác hai góc bù 12
15 Tích vơ hướng hai vectơ 13 15.1 Góc hai vectơ 13
15.2 Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ 13
15.3 Bình phương vơ hướng vectơ 14
15.4 Tính chất tích vô hướng 14
15.5 Công thức hình chiếu 15
15.6 Phương tích điểm đường tròn 16
15.7 Biểu thức toạ độ tích vô hướng 16
16 Hệ thức lượng tam giác 18 16.1 Định lí cơsin tam giác 18
16.2 Định lí sin tam giác 18
16.3 Công thức trung tuyến 18
16.4 Diện tích tam giác 19
17 Phương trình đường thẳng 20 17.1 Phương trình tham số đường thẳng 20
17.2 Phương trình tham số đường thẳng 21
18 Phương trình tổng quát đường thẳng 21 18.1 Phương trình đoạn thẳng theo đoạn chắn 21
18.2 Khoảng cách 27
19 Đường trịn 28 19.1 Phương trình đường trịn 28
19.2 Vị trí tương đối điểm đường tròn 28
19.3 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 29
20 Tiếp tuyến đường tròn 31 20.1 Tiếp tuyến điểm thuộc đường tròn 31
20.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vng góc với đường thẳng cho trước; có hệ số góck cho trước 31
20.3 Tiếp tuyến xuất phát, qua, kẻ từ điểm cho trước 32
20.4 Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước góc α 32
20.5 Tiếp tuyến chung hai đường tròn 33
20.6 Vài khác 33
Sắp chữ LATEX Trần Văn Toàn,