Phương trỡnh của đường thẳng∆đi qua điểm A(a; 0) vàB(0;b) trong đúaãb6= 0 là x
a+y
b = 1. (4)
Phương trình có dạng (4) được gọi làphương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
. 18.1. Cho tam giác ABC vớiA(3; 2),B(−2; 5),C(4; 7).
1. Viết phương trình các cạnh của tam giácABC; 2. Viết phương trình các đường cao của tam giácABC;
3. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnhA của tam giác.
. 18.2. Cho tam giác ABC với A(1;−2), B(5; 4), C(−2; 0). Viết phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài kẻ từ đỉnhA của tam giác.
Đáp số. 5x+y−3 = 0,x−5y−11 = 0.
. 18.3. Cho đường thẳng ∆ : 2x−3y−5 = 0 và điểmA(−4;−3).
1. Viết phương trình đường thẳng(d) đi quaA và vuông góc với ∆;
Đáp số. 2x−3y−1 = 0 2. Viết phương trình đường thẳng(d) đi quaA và song song với∆;
Đáp số. 3x+ 2y+ 18 = 0.
.18.4. Cho tam giácABC biếtM(2; 1),N(5; 3),P(3;−4) lần lượt là trung điểm của ba cạnh. Viết phương trình các cạnh của tam giácABC.
Đáp số. 7x−2y−12 = 0,5x+y−28 = 0,2x−3y−18 = 0.
. 18.5. Tìm hình chiếu của điểm P(−6; 4) trên đường thẳng ∆ : 4x−5y+ 3 = 0.
Đáp số. (−2;−1).
. 18.6. Tìm toạ độ điểm Qđối xứng với điểm P(−5; 13) qua đường thẳng ∆ : 2x−3y−3 = 0.
Đáp số. Q(11;−11).
. 18.7. Cho các điểmA(−7; 1) vàB(−5; 5)và đường thẳng ∆ : 2x−y−5 = 0. Tìm toạ độ điểmP trên ∆ sao choM A+M B nhỏ nhất.
Đáp số. P(2;−1).
. 18.8. Cho các điểm A(4; 1)vàB(0; 4)và đường thẳng ∆ : 3x−y−1 = 0. Tìm toạ độ điểmP trên ∆sao cho|M A−M B|lớn nhất.
Đáp số.P(2; 5).
. 18.9. Cho hai điểm A(2; 5) và B(4;−1). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng ∆ : 3x+ 4y+ 5 = 0sao cho2M A2+ 3M B2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Ta có
•
2M A2+ 3M B2 = 2# ằ
M A2+ 3# ằ M B2
= 2(# ằ M I+# ằ
IA)2+ 3(# ằ M I+# ằ
IB)2
= 5M I2+ 2# ằ M Iã(2# ằ
IA+ 3# ằ
IB) + 2IA2+ 3IB2
• Chọn điểmI sao cho 2# ằ IA+ 3# ằ
IB= #ằ
0. Khi đó, I cố định, và do đó, 2IA2+ 3IB2 không đổi.
• 2M A2+ 3M B2 = 5M I2+ 2IA2+ 3IB2 nhỏ nhất khi và chỉ khiIM nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khiM là hình chiếu của I trên ∆.
Có thể làm trực tiếp.
. 18.10. (269) Trong tam giácABC, phương trình cạnhAB, phương trình đường cao AN và phương trình đường cao BN lần lượt là5x−3y+ 2 = 0,4x−3y+ 1 = 0,7x+ 2y−22 = 0. Viết phương trình của các cạnh còn lại và viết phương trình đường cao thứ ba.
In a triangle ABC, the equations of the side AB, of the altitude AN and of the altitude BN are 5x−3y+ 2 = 0,4x−3y+ 1 = 0,7x+ 2y−22 = 0, respectively. Write the equations of the other two sides and of the third altitude of the triangle.
Đáp số. BC : 3x+ 4y−22 = 0,CA: 2x−7y−5 = 0,CN : 3x+ 5y−23 = 0 . 18.11. (270) Viết phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnhA(1; 3) và phương trình hai đường trung tuyến làx−2y+ 1 = 0vày−1 = 0.
Find the equations of the sides of a triangle ABC withA(1; 3)as a vertex, ifx−2y+ 1 = 0andy−1 = 0 are the equations of two of its medians. ĐS.x+ 2y−7 = 0,x−4y−1 = 0,x−y+ 2 = 0.
. 18.12. (271) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(−4;−5) và phương trình hai đường cao của tam giác là5x+ 3y−4 = 0 và3x+ 8y+ 13 = 0.
Find the equations of the sides of a triangle ABC havingB(−4;−5) as a vertex, if5x+ 3y−4 = 0 and 3x+ 8y+ 13 = 0.are the equations of two of its altitudes.
Đáp số. 3x−5y−13 = 0,8x−3y+ 17 = 0,5x+ 2y−1 = 0.
.18.13. (272) Viết phương trình các cạnh của tam giácABC biết rằngA(4;−1)vàx−1 = 0,x−y−1 = 0 là phương trình các đường phân giác trong của tam giác.
Find the equations of the sides of a triangleABC havingA(4;−1) as a vertex, ifx−1 = 0,x−y−1 = 0 are the equations of two bisectors of its angles
Đáp số. 2x−y+ 3 = 0,2x+y−7 = 0,x−2y−6 = 0.
. 18.14. (273) Viết phương trình các cạnh của tam giácABC biết rằng B(2; 6) và nếux−7y+ 15 = 0và 7x+y+ 5 = 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle havingB(2; 6)as a vertex, ifx−7y+15 = 0and7x+y+5 = 0 are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from one and the same vertex.
Đáp số. 4x−3y+ 10 = 0,7x+y−20 = 0,3x+ 4y−5 = 0.
. 18.15. (274) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABCbiết rằng B(2;−1) và nếu3x−4y+ 27 = 0 vàx+ 2y−5 = 0lần lượt là phương trình đường cao và đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−1) as a vertex, if 3x −4y+ 27 = 0 and x+ 2y −5 = 0 are the respective equations of an altitude and an angle bisector drawn from diferrent vertices.
Đáp số. 4x+ 7y−1 = 0,y−3 = 0,4x+ 3y−5 = 0.
. 18.16. (275) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằngC(4;−1) và nếu2x−3y+ 12 = 0 và2x+ 3y= 0 lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle having C(4;−1) as a vertex, if 2x −3y + 12 = 0 and 2x+ 3y= 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from one and the same vertex.
Đáp số. 3x+ 7y−5 = 0,3x+ 2y−10 = 0,9x+ 11y+ 5 = 0.
. 18.17. (276) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằngB(2;−7) và nếu3x+y+ 11 = 0và x+ 2y+ 7 = 0lần lượt là phương trình đường cao và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having B(2;−7) as a vertex, if 3x+y + 11 = 0 and x+ 2y+ 7 = 0 are the respective equations of an altitude and a median drawn from diferrent vertices.
Đáp số. x−3y−23 = 0,7x+ 9y+ 19 = 0,4x+ 3y+ 13 = 0.
. 18.18. (277) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4; 3) và nếux+ 2y−5 = 0 và 4x+ 13y−10 = 0lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle havingC(4; 3)as a vertex, ifx+2y−5 = 0and4x+13y−10 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from one and the same vertex.
Đáp số. x+y−7 = 0,x+ 7y−5 = 0,x−8y+ 20 = 0.
. 18.19. (278). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(3;−1) và nếu x−4y+ 10 = 0 và6x+ 10y−59 = 0lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ các đỉnh khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having A(3;−1) as a vertex, if x−4y+ 10 = 0and 6x+ 10y−59 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices.
Đáp số.2x+ 9y−65 = 0, 6x−7y−25 = 0, 18x+ 13y−41 = 0.
.18.20. (279). Viết phương trình của đường thẳng qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳngx−y+ 12 = 0 và2x+y+ 9 = 0 một tam giác có diện tích là 1.5 đơn vị diện tích.
Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the linex−y+12 = 0 and 2x+y+ 9 = 0 a triangle of an equal to 1.5 square units.
Đáp số. x+ 2y = 0,23x+ 25y= 0.
. 18.21. Cho P(3; 0) và hai đường thẳng : (d1) : 2x−y2 = 0, (d2) :x+y+ 3 = 0. Lập phương trình của đường thẳng qua P cắt(d1)và (d2) lần lượt tạiA vàB sao choP là trung điểm của AB.
From lines passing through the point P(3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines 2x−y−2 = 0,x+y+ 3 = 0 is bisecteted at the point P.
Đáp số. 8x−y−24 = 0.
.18.22. (280) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểmP(3; 0)và cắt hai đường thẳngd1 : 2x−y−2 = 0 vàd2:x+y+ 3 = 0 lần lượt tại tại A vàB sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AB.
From lines passing through the point P(3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines 2x−y−2 = 0 andx+y+ 3 = 0is bisected at the point P.
Đáp số. 8x−y−24 = 0.
. 18.23. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C(−5; 4), biết rằng ∆ cắt hai đường thẳng d1 : x+ 2y+ 1 = 0 vàd2 :x+ 2y−1 = 0 lần lượt tại tại A vàB sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 5.
Đáp số.3x+ 4y−1 = 0và 7x+ 24y−61 = 0.
. 18.24. (D, 2009)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x−2y−3 = 0 và 6x−y−4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
Đáp số. 3x−4y+ 5 = 0.
. 18.25. (B, 2009, chương trình Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giácABC cân tại A có đỉnh A(−1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ :x−y−4 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C, biết diện tích tam giácABC bằng 18.
Đáp số. B1 11
2 ;3 2
và C1
3 2;−5
2
hay B2 3
2;−5 2
vàC2
11 2 ;3
2
.
. 18.26. (B, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−2)2 +y2 = 4
5 và hai đường thẳng ∆1 :x−y = 0, ∆2 :x−7y = 0. Xác định tạo độ tâm K và tính bán kính của đường tròn(C1); biết đường tròn(C1) tiếp xúc với các đường thẳng∆1,∆2 và tâm K thuộc đường tròn(C).
Đáp số. K 8
5;4 5
. . 18.27. (A, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểmI(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC vàBD. ĐiểmM(1; 5)thuộc đường thẳngAB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng∆ :x+y−5 = 0. Viết phương trình đường thẳngAB.
Đáp số. AB:y−5 = 0 hoặc AB:x−4y+ 19 = 0.
.18.28. (A, 2009, Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho đường tròn(C) :x2+y2+4x+4y+6 = 0và đường thẳng ∆ :x+my−2m+ 3 = 0, vớim là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để đường thẳng∆cắt(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích của tam giác IAB lớn nhất.
Đáp số.m= 0 hoặc m= 8 15. . 18.29. (B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc củaC trên đường thẳng AB là điểmH(−1;−1), đường phân giác trong của gócA có phương trình x−y+ 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnhB có phương trình 4x+ 3y−1 = 0.
Đáp số.
−10 3 ;3
4
. . 18.30. (Dự bị 1, khối A, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x+ 4y+ 10 = 0 và x−y+ 1 = 0, điểmM(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một đoạn bằng √
2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giácABC.
. 18.31. (Dự bị 1, B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB =√ 5, C(−1;−1), đường thẳng AB có phương trình x+ 2y−3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳngx+y−2 = 0. Hãy tìm toạ độ các đỉnh Avà B.
. 18.32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao choA và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d:x−2y+ 3 = 0.Tìm toạ độ các điểmA vàB.
Đáp số. A(2; 0),B(0; 4).
. 18.33. (Dự bị 2, khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh Athuộc đường thẳng d:x−4y−2 = 0, cạnhBC song song với d, phương trình đường cao BH :x+y+ 3 = 0 và trung điểm của cạnhAC làM(1; 1). Tìm toạ độ của các đỉnh A, B, C.
Đáp số.
−2 3;−2
3
,B(−4; 1),C 8
3;8 3
. . 18.34. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với A(1;−1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x −y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.
Đáp số. AB: 23x−y−24 = 0 vàBC : 19x−13y+ 8 = 0.
. 18.35. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnhB có phương trình làx−3y−7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnhC có phương trình làx+y+ 1 = 0. Xác định toạ độB và C của tam giác.
Đáp số. B(−2;−3), C(4;−5).
. 18.36. (B, 2007) Cho điểmA(2; 2) và các đường thẳngd1 :x+y−2 = 0vàd2 :x+y−8 = 0. Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộcd1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân ởA.
Đáp số. B1(3;−1), C1(5; 3)và B2(−1; 3),C2(3; 5).
. 18.37. (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giácABC có trọng tâm G(−2; 0).
Biết phương trình các cạnh AB, AC lần lượt là 4x+y+ 14 = 0,2x+ 5y−2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Đáp số. A(−4; 2), B(−3;−2),C(1; 0).
. 18.38. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tạiA. Tìm toạ độ các điểmB, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Đáp số. B(0; 0) vàC(0; 5).
.18.39. (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giácABC có điểmA(1; 2), đường trung tuyếnBM và đường phân giác trongCDtương ứng có phương trình2x+y+ 1 = 0, x+y−1 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng BC.
. 18.40. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng d1 : 2x−y+ 5 = 0, d2 :x+y−3 = 0. Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tạiA, B sao cho IA# ằ= 2IB.# ằ
Đáp số. 7x−3y+ 4 = 0.
. 18.41. (Dự bị 2, B, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy cho hai đường thẳngd1 :x+y+ 5 = 0, d2 : x+ 2y−7 = 0 và điểmA(2; 3). Tìm điểm B thuộcd1 và điểmC thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(2; 0).
.18.42. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxycho tam giácABCvuông ởA. BiếtA(−1; 4), B(1;−4) và đường thẳng BC đi qua điểm M
2;1
2
. Tìm toạ độ đỉnh C.
Đáp số.C(3; 5).
. 18.43. (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho các điểmA(2; 1), B(2;−1) và các đường thẳng
d1: (m−1)x+ (m−2)y+ 2−m= 0, d2 : (2−m)x+ (m−1)y+ 3m−5 = 0.
Chứng minh rằngd1 luôn cắtd2. GọiP là giao điểm củad1vàd2, tìmmsao cho tổng khoảng cáchP A+P B lớn nhất.
Đáp số. m= 1 hoặc m= 2.
.18.44. (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho tam giác cânABC có trọng tâmG 4
3;1 3
, phương trình đường thẳngBC làx−2y−4 = 0 và phương trình đường thẳngBG là7x−4y−8 = 0. Tìm toạ độ các đỉnhA, B, C.
Đáp số.A(0; 3),B(0;−2),C(4; 0).
.18.45. (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxy, cho điểmA(0; 2)và đường thẳngd:x−2y+2 = 0.
Tìm trêndhai điểmB, C sao cho tam giác ABC vuông ởB vàAB= 2BC. Đáp số.
2 5;6
5
,C1(0; 1),C2 4
5;7 5