Các l hàm số học và định lý dirichlet về các số nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Châu CÁC L HÀM SỐ HỌC VÀ ĐỊNH LÝ DIRICHLET VỀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Châu CÁC L HÀM SỐ HỌC VÀ ĐỊNH LÝ DIRICHLET VỀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học PGS.TS Mỵ Vinh Quang Các nội dung nghiên cứu, kết đề tài trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tiểu luận liệt kê danh sách tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 03 tháng 09 năm 2016 Học viên Nguyễn Minh Châu LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tất kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người Thầy tận tình giảng dạy hướng dẫn khoa học giúp tơi hồn thành luận văn Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tơi vơ may mắn Thầy thường xuyên dẫn nghiêm túc động viên khích lệ để có tự tin đam mê nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến q thầy – khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy cho lớp Tốn Đại số lí thuyết số K25 Xin cảm ơn quý thầy – cô Hội đồng khoa học đọc cho ý kiến xác đáng Xin cảm ơn phòng Sau đại học giúp đỡ nhiều suốt q trình học tập trường Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 03 tháng 09 năm 2016 Học viên Nguyễn Minh Châu Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm Euler 1.2 Ký hiệu Legendre 1.3 Hàm chỉnh hình 1.4 Lý thuyết chuỗi CHƯƠNG 2: CHUỖI DIRICHLET 13 2.1 Chuỗi Dirichlet 13 2.2 Chuỗi Dirichlet với hệ số dương 15 2.3 Chuỗi Dirichlet thông thường 16 CHƯƠNG 3: CÁC L – HÀM SỐ HỌC VÀ ĐỊNH LÝ DIRICHLET 18 3.1 Đặc trưng nhóm Abel hữu hạn 18 3.2 Các Zeta – hàm 24 3.3 Các L – hàm 28 3.4 Độ trù mật định lý Dirichlet 31 3.5 Một số ứng dụng 34 3.6 Độ trù mật tự nhiên 35 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Bảng ký hiệu - tập hợp số tự nhiên - tập hợp số nguyên - tập hợp số thực - tập hợp số phức * - tập hợp số phức khác S - tập số nguyên  mà có ước S   n  - hàm Euler số nguyên dương n n p Am , p   an - tổng số hạng thứ m đến số hạng thứ p dãy dãy  an  nm nm ' Sm ,m '   an bn - tổng số hạng thứ m đến số hạng thứ m ' dãy  an bn  nm R  z  - phần thực số phức z Arg  z  - Argumen số phức z G  Hom  G, G m   / m *  - tập hợp đặc trưng G  - nhóm nhân phần tử * khả nghịch vành /m MỞ ĐẦU Số nguyên tố số quan trọng tốn học, sử dụng rộng rãi toán học Từ xưa, nhà tốn học cố gắng nghiên cứu phân bố, tính chất số nguyên tố, liên quan số nguyên tố với số khác Năm 1837, Dirichlet chứng minh kết tiếng phân bố nguyên tố mà nhà tốn học gọi định lý Dirichlet phân bố số nguyên tố Có nhiều người chứng minh định lý Dirichlet nhiều cách khác Một chứng minh định lý Dirichlet sử dụng tính chất L – hàm số học – hàm đóng vai trị quan trọng lý thuyết số Trong luận văn này, tơi trình bày cách xây dựng L – hàm số học chứng minh định lý Dirichlet số ứng dụng chúng Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Các kiến thức Trong chương giới thiệu số khái niệm kiến thức cần cho chương Chẳng hạn như: khái niệm, tính chất số học; số kiến thức giải tích phức, lý thuyết chuỗi Chương 2: Chuỗi Dirichlet Trong chương giới thiệu chuỗi Dirichlet số tính chất để sử dụng cho chương Chương 3: Các L – hàm số học định lý Dirichlet Đây chương luận văn Trong chương trình bày cách xây dựng, nêu tính chất Zeta – hàm L – hàm số học dựa vào đặc trưng nhóm; ứng dụng để chứng minh định lý tiếng lý thuyết số định lý Dirichlet phân bố số nguyên tố tập số tự nhiên Vì thời gian kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy – cô bạn CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Hàm Euler Định nghĩa 1.1.1 Hàm số  -Euler, ký hiệu   n  , số nguyên dương n định nghĩa số số nguyên dương nhỏ n nguyên tố với n k k k Mệnh đề 1.1.2 Cho n số nguyên dương Giả sử n  p1 p2 ps s pi , i  1; s số nguyên tố đôi khác Khi đó:    n   n 1  pn  1  p Bổ đề 1.1.3 Nếu n số nguyên  n    d  dn Chứng minh: Nếu d ước n, đặt C d tập n có cấp d, đặt  d tập sinh C d Do phần tử n sinh phần tử C d nên nhóm n hợp tập rời  d ta có: n  Card  n    Card       d  d dn  dn 1.2 Ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.2.1 (Thặng dư phương – thặng dư khơng phương) Cho m số ngun dương a số nguyên tố với m Nếu đồng dư thức x2  a  mod m  có nghiệm ta nói a thặng dư phương m Ngược lại, đồng dư thức x2  a  mod m  khơng có nghiệm ta nói a thặng dư khơng phương m Định nghĩa 1.2.2 (Ký hiệu Legendre) Cho p số nguyên tố lẻ a số tự a nhiên Ký hiệu Legendre   định nghĩa sau:  p  nÕu p chia hÕt a a  a thặng dư phương p p      nÕu a thặng dư không phương p nh ngha 1.2.3 Nếu n số nguyên lẻ, đặt   n  ,  n  phần tử định nghĩa bởi:  n   nÕu n   mod  n 1  mod    1 nÕu n  1 mod  0 nÕu n  1 mod8  n2   n   mod    1 nÕu n  5  mod8  Hàm  đồng cấu từ nhóm nhân nhóm nhân   * vào   * vào ; hàm  đồng cấu từ Mệnh đề 1.2.4 Cho p số ngun tố Ta có cơng thức sau: 1     p     1   p  ab   a  b         p   p  p  a b Nếu a  b       p  p  1   p  l   p   l   p  Mệnh đề 1.2.5 (Gauss)       1  p  l  2  p     1  p 24 Do m  a a  p1 p2 pk nên p số nguyên tố khác pi Khi đó:  a  p    1   p   a   p  p      p1   pk   p p    p   pi  , i  1, k Theo mệnh đề 1.2.5, ta có     i   1 p p  i   Khi đó:  p1   pk   a        p    p   p a  p    Do  a đặc trưng cần tìm Ta có  a  a  1, ta chọn x thỏa  x    1, x   mod p2 pk  ,  p1  Ta có  a  x   1 Khi a có dạng –b (hoặc 2b -2b) với b  p1 p2 pk trên, ta nhận  a tích  b với đặc trưng  1   x a  (hoặc  1  x ,  1   x    x  ) Lập luận tương tự thấy  3.2 Các Zeta – hàm Tích Euler Định nghĩa 3.2.1 Hàm f :  gọi hàm nhân f 1  f  mn   f  m  f  n  với m, n hai số nguyên tố Ví dụ:   hàm Euler hàm nhân Cho f hàm nhân bị chặn 25   Bổ đề 3.2.2 Chuỗi Dirichlet n 1 f  n hội tụ tuyệt đối miền R  s   ns tổng miền tích vơ hạn hội tụ 1  f  p  p pP s    f  p m  p  ms  (ở trở sau ta ký hiệu P tập số nguyên tố.) Chứng minh: Sự hội tụ tuyệt đối chuỗi có từ f bị chặn (mệnh đề 2.3.1) Cho S tập S  hữu hạn số nguyên tố tập số nguyên  mà có ước nguyên tố nằm S Ta có:    n S f  n   m  ms     f  p  p  s n  pS  m   Khi S tăng, vế trái dẫn đến  n 1 trị với  f n ns f  n Từ đó, ta thấy tích vơ hạn hội tụ có giá ns  Bổ đề 3.2.3 Nếu f hàm nhân chặt, nghĩa f  nn '  f  n  f  n ' , n, n '  Ta có   n 1 Chứng minh: Ta có: f n  ns pS f  p 1 ps 26    n S f n m      m  ms      f  p  p      f  p  p  ms  s n  pS  m 0  pS  m     f  p  m    s m     f  p p        s  pS  m0  p   pS  m  f  p pS 1 ps   Zeta – hàm Áp dụng phần trước với f  Ta hàm   s   n 1 1  s s n pS  / p cơng thức có nghĩa với R  s   Mệnh đề 3.2.4 a) Zeta – hàm chỉnh hình khác nửa mặt phẳng R  s   b) Ta có   s     s s 1 Trong   s  hàm chỉnh hình với R  s   Chứng minh: Khẳng định a) hiển nhiên Đối với b) ta ý   n 1 s   t dt    t  s dt s 1 n 1 n Do ta viết   n 1  n1  s  1  s     s   t dt       n s  t  s  dt s  n1  n n  s  n1 n Bây đặt 27 n  s   n 1  n s t s  dt ,    s   n  s  n 1 n Ta phải chứng minh   s  xác định chỉnh hình miền R  s   Ta có n  s  xác định chỉnh hình miền R  s   , theo mệnh đề  1.3.2 ta phải chứng minh chuỗi n hội tụ tập compact với R  s   Thật vậy, ta có: n  s   sup n s  t  s nt  n 1 s Mà đạo hàm hàm n s  t  s t s 1 s , n x 1 n  s   chuỗi  n Từ điều ta được: x  Rs hội tụ miền R  s    ,    Hệ 3.2.5 Zeta – hàm có điểm cực đơn s  Hệ 3.2.6 Khi s  1, ta có p s p ~ log s 1  p ,k 2 bị chặn p ks Chứng minh: Ta có: log   s   1   s   s  ks pP , k 1 k p pP p    Với   s     Chuỗi  làm trội chuỗi ks  pP k   k p     1    1   p ks   p s  p s  1  p  p  1  n n    n    28 Suy  bị chặn từ hệ 3.2.5 thấy log   s  ~ log 3.2.6 Do ta có hệ s 1  3.3 Các L – hàm Cho m số nguyên  cho  đặc trưng modul m L – hàm xác định chuỗi Dirichlet tương ứng là:    n n 1 ns L  s,     Mệnh đề 3.3.1 Cho   1, ta có L  s,1  F  s   s  , F  s    1  p  s  pm Trong trường hợp L  s,1 mở rộng thành chỉnh hình miền R  s   có cực điểm đơn s  Chứng minh: Điều hiển nhiên  Mệnh đề 3.3.2 Cho   1, chuỗi L  s,   hội tụ (tương ứng hội tụ tuyệt đối) nửa mặt phẳng R  s   (tương ứng R  s   ); ta có L  s,     pP 1   p , R  s   ps Chứng minh: Điều khẳng định liên quan đến R  s   có từ điều nói mục 3.1 Điều cho ta thấy hội tụ chuỗi miền R  s   Sử dụng mệnh đề 2.3.2 ta cần chứng minh 29 v Au ,v     n , u  v u bị chặn Bây theo mệnh đề 3.1.6 ta có u  m 1   n  u Ta xét Au ,v với u  v  m , ta có Au ,v    m  Mệnh đề chứng minh  Chú ý: trường hợp L 1,   hữu hạn   Điểm cách chứng minh Dirichlet chứng minh L 1,   khác không Đây mục đích mà phần sau ta chứng minh Tích L – hàm mà quan hệ số nguyên m Trong phần này, m số nguyên không đổi  Nếu p không chia hết m, ta ký hiêu p ảnh G  m    / m  * f  p  cấp p nhóm G(m) Theo định nghĩa, f  p  số nguyên nhỏ >1 thỏa mãn p f   mod m Ta đặt g  p     m / f  p  Đây cấp thương G  m  với nhóm p sinh p Bổ đề 3.3.3 Nếu p m , ta có đẳng thức 1    p T   1  T    f p g p tích lấy tất đặc trưng G  m  Chứng minh: Cho W tập bậc f  p  đơn vị Ta có đẳng thức 30  1  wT    T f  p wW Bổ đề 3.2.3 suy từ với w W tồn g  p  đặc trưng   G  m  thỏa  p  w  Giờ ta định nghĩa hàm  m  s  cách đặt  m  s    L  s,    Tích mở rộng tất đặc trưng  G  m  Mệnh đề 3.3.4 Ta có  m s   p m   1  p f  p s    g p Đây chuỗi Dirichlet với hệ số nguyên dương hội tụ nửa mặt phẳng R  s   Chứng minh: Thế L – hàm khai triển tích, áp dụng bổ đề 3.2.4 (với T  p  s ), ta khai triển tích  m  s  Khai triển cho thấy chuỗi với hệ số dương hội tụ R  s    Định lý 3.3.5 a)  m có điểm cực đơn s  b) L 1,    với   Chứng minh: Nếu L 1,    với   1, ta thấy L 1,    có điểm cực đơn s    m có điểm cực đơn s  Do b)  a) Vậy ta cần chứng minh b) 31 Bây giả sử tồn   cho L 1,    Khi  m chỉnh hình s  nên chỉnh hình với s thỏa R  s   (mệnh đề 3.3.1 3.3.2) Do chuỗi Dirichlet với hệ số dương, chuỗi hội tụ tất s miền mệnh đề 2.1.3 Nhưng vơ lí Thật vậy, nhân tử thứ p  m 1  p  f  p s  g p     p  f  p s  p 2 f  p s  g p trội chuỗi  p   ms  p 2  ms  Điều dẫn đến  m có tất hệ số tốt chuỗi n      m  s n , m 1 mà phân kỳ s  Định lý chứng minh    m 3.4 Độ trù mật định lý Dirichlet Độ trù mật Định nghĩa 3.4.1 Cho P tập số nguyên tố Ta thấy rằng, s tiến đến ta có p pP s log s 1 Cho A tập P Ta nói A có độ trù mật số thực k tỷ số       p s   log s     pA   Tiến đến k s  (hiển nhiên  k  ) Định lý cấp số cộng mở rộng theo định lý sau: 32 Định lý 3.4.2 Cho m  số a thỏa  a, m   Gọi Pa tập số nguyên tố thỏa p  a  mod m  Tập Pa có độ trù mật  m Hệ 3.4.3 Tập Pa vô hạn Chứng minh: Thật vậy, Pa tập hữu hạn có độ trù mật (mâu thuẫn với định lý 3.4.2)  Để chứng minh định lý 3.4.2 ta cần bổ đề sau Cho  đặc trưng G  m  Đặt f  s    p m   p ps Chuỗi hội tụ với s  Bồ đề 3.4.4 Nếu   f  log với s  s 1 Chứng minh: Thật vậy, f1 khác với chuỗi p s với hữu hạn số hạng Bổ đề 3.4.5 Nếu   f  bị chặn s  Chứng minh: L  s,   định nghĩa tích  1    p  p  Với R  s   số hạng có s 1 dạng với   Ta định nghĩa log 1 1 log L  s,   chuỗi: n ta định nghĩa  n 1 n 33 log L  s,     log  n, p   p  R  s   1 1    p  ps n np ns Ta chia log L  s,   thành phần: log L  s,    f   s   F  s  Với F  s      p n , p2 n np ns định lý 3.3.5 với hệ 3.2.6 thấy log L  s,   , F  s  bị chặn s  Do tương tụ với f   s  bổ đề chứng minh Ta đặt g a  s    pPa  với s  ps Bổ đề 3.4.6 Ta có ga  s   1   a  f  s     m  Tổng lấy tất đặc trưng  G  m  Chứng minh: Hàm   a  1 f   s  viết lại cách thay f   s    p m        a    p   p Nhưng   a    p     a p  Theo hệ 3.1.7 ta có: 1 p m 1 s  1   m  nÕu a 1 p  1 mod m    a p (trường hợp l¹i)  1   p ps : 34 Do ta có với hàm   m ga  s   Chứng minh định lý 3.4.2 Định lý 3.4.2 có từ bổ đề Thật vậy, bổ đề 3.4.4 thấy f log với   1, bổ đề 3.4.5 thấy f  bị chặn sử dụng bổ đề 3.4.6 s 1 ta thấy g a  s  1 log , điều có nghĩa độ trù mật Pa là:   m   m s 1 3.5 Một số ứng dụng Mệnh đề 3.5.1 Cho a số ngun khơng phương Tập số nguyên tố p a thỏa    có độ trù mật  p Chứng minh: Ta giả sử a số tự – phương Cho m  a  a đặc trưng (mod m), H  G  m  hạt nhân  a G  m  Nếu p số nguyên tố không ước m, đặt p ảnh G  m  a Ta có    p thuộc H Theo định lý 3.4.2 tập số nguyên  p tố thỏa điều kiện có độ trù mật nghịch đảo số H G  m  , có trù mật  Hệ 3.5.2 Cho a số nguyên Nếu phương trình X  a   mod p  có nghiệm với hầu hết số nguyên tố p phương trình X  a  có nghiệm 35 Chứng minh: Gọi Pa tập số nguyên tố p thỏa phương trình X  a   mod p  có nghiệm Do phương trình X  a   mod p  có nghiệm với hầu hết số nguyên tố (trừ hữu hạn số) nên độ trù mật Pa độ trù mật tập số nguyên tố P  Pa có độ trù mật a Mặt khác: ta thấy Pa tập số nguyên tố p thỏa     p Nếu a khơng phương theo mệnh đề 3.5.1 ta có Pa có độ trù mật (mâu thuẫn) Suy a số phương Vậy phương trình X  a  có nghiệm  3.6 Độ trù mật tự nhiên Trù mật sử dụng “độ trù mật giải tích” (hay “độ trù mật Dirichlet”) Có khái niệm khác độ trù mật “độ trù mật tự nhiên”: Tập A P có độ trù mật k tỉ s: số phần tử A mà n số phần tử P mà n tin v k n   Ta chứng minh A có trù mật tự nhiên k trù mật giải tích A tồn k Mặt khác, tồn tập có độ trù mật giải tích khơng có độ trù mật tự nhiên Trong trường hợp này, ví dụ tập P1 số nguyên tố mà chữ số Thấy dễ dàng sử dụng định lý số nguyên tố P1 khơng có độ trù mật tự nhiên độ trù mật giải tích P1 tồn 36 Tuy nhiên phát không cho tập số nguyên tố xét trên: Tập số p  P thỏa p  a  mod m  có độ trù mật tự nhiên (bằng nguyên tố với m) a  m 37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách xây dựng khái niệm, tính chất L – hàm số học, Zeta – hàm, đồng thời chứng minh định lý Dirichlet phân bố số nguyên tố tập số tự nhiên cách sử dụng tính chất L – hàm, Zeta – hàm, hội tụ hàm phức chỉnh hình hàm biến phức Đồng thời, luận văn đưa định lý rộng định lý Dirichlet thấy định lý Dirichlet hệ định lý mở rộng Ngoài ra, luận văn trình bày số ứng dụng định lý Dirichlet phương trình đồng dư, tập số nguyên tố thỏa điều Đây đề tài có ý nghĩa khoa học, thời gian hạn chế nên phát triển nghiên cứu 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2001), Toán cao cấp tập 1, Nxb Giáo dục Ngơ Thành Phong (2004), Giáo trình giản yếu giải tích tốn học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.Hồ Chí Minh Tiếng Anh E Kowalski (2012 – 2016), Automorphic forms, L-functions and number theory, Three Introductory lectures Jean-Pierre Serre (1973), A Course in Arithmetic, Springer, New York Jorn Steuding (2005), An Introduction to the Theory of L-functions, Wurzburg University, Noah Snyder (2002), lecture 2: Dirichlet L-functions, Dirichlet Characters and primes in arithmetic progressions, Columbia University, New York Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Number theory, Academic press, New York ... toán học gọi định l? ? Dirichlet phân bố số nguyên tố Có nhiều người chứng minh định l? ? Dirichlet nhiều cách khác Một chứng minh định l? ? Dirichlet sử dụng tính chất L – hàm số học – hàm đóng vai... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Châu CÁC L HÀM SỐ HỌC VÀ ĐỊNH L? ? DIRICHLET VỀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số l? ? thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN... số tự nhiên cách sử dụng tính chất L – hàm, Zeta – hàm, hội tụ hàm phức chỉnh hình hàm biến phức Đồng thời, luận văn đưa định l? ? rộng định l? ? Dirichlet thấy định l? ? Dirichlet hệ định l? ? mở rộng