Các số fibonacci và định lý lớn của fermat

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hồng Phúc CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Hồng Phúc CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2017 LỜI CẢM ƠN Tơi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy hường dẫn PGS TS Mỵ Vinh Quang, giảng viên trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Trường, Phịng Sau đại học, thầy Khoa Tốn – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ thời gian thực báo cáo TP Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2017 TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Hồng Phúc LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn PGS, TS Mỵ Vinh Quang Nội dung có tham khảo, sử dụng số kết từ sách, báo liệt kê tài liệu tham khảo Tôi xin chịu trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, ngày tháng TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Hồng Phúc năm 2017 MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐỒNG DƯ THỨC 1.2 KÝ HIỆU LEGENDRE 1.3 KÝ HIỆU JACOBI Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT 2.1 Giới thiệu số Fibonacci số Lucas 2.2 Tổng k r n   11  mod 10   k   2.3 Đồng dư thức số Fibonacci 14 2.4 Một điều kiện để p F p 1/4 23 2.5 Sự liên hệ với định lý lớn Fermat 26 Kết luận 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số Fibonacci Fn  xác định F0  0, F1  1, Fn1  Fn  Fn 1 Dãy số Fibonacci dãy số tiếng toán học có nhiều ứng dụng giải tích lý thuyết số đại Chẳng hạn, dựa vào tính chất dãy số Fibonacci, người ta chứng minh Định lý lớn Fermat cho số ngun tố Fibonacci Chính vậy, Tơi định chọn đề tài “Các số Fibonacci định lý lớn Fermat” làm đề luận văn thạc sĩ Tốn mình, để tìm hiểu, nghiên cứu thêm số Fibonacci đồng dư thức liên quan đến chúng, ứng dụng liên quan đến định lý lớn Fermat Mục đích đề tài * Khảo sát, nghiên cứu tính chất số Fibonacci * Biểu diễn tổng hệ số nhị thức n   qua hạng tử số k  r (mod 10)  k   Fibonacci, từ rút số đồng dư thức liên quan đến số Fibonacci * Tìm hiểu ứng dụng đồng dư thức liên quan đến lời giải cho định lý lớn Fermat Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas Ln tính chất chúng * Tổng hệ nhị thức n   đồng dư thức liên quan k  r (mod 10)  k   Bố cục luận văn Bản luận văn “ CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT” gồm có mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau kiến thức số học, định lý đồng dư ký hiệu số học ký hiệu Legendre Jacobi Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT Trong chương này, chúng tơi trình bày cách biểu diễn tổng hệ số nhị thức n   qua hạng tử liên quan đến số Fibonacci Như hệ quả, thu k  r (mod 10)  k   công thức cho thương Fibonacci F 5 p    p p Từ đó, chứng minh Định lý lớn Fermat trường hợp lũy thừa số nguyên tố Fibonacci số nguyên tố Lucas Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng dư thức Định nghĩa 1.1.1 Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b gọi đồng dư theo mơ-đun n chúng có số dư chia cho n Điều tương đương với hiệu a-b chia hết cho n Ký hiệu: a b (mod n) Tính chất 1.1.2 Ngồi tính chất quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng, bắt cầu), phép đồng dư cịn có thêm tính chất sau: Có thể cộng, trừ, nhân nâng lên lũy thừa đồng dư thức có mơ-đun Cụ thể ta có: a1  a2 b  b2  mod n   mod n  ta có:  a1  b1    a2  b2   mod n   a1  b1    a2  b2   mod n   a1b1    a2b2   mod n  a1k  a2k  mod n  với k nguyên dương Luật giản ước 1.1.3 Nếu a1  a2  a 1.b    a2 b   mod n   b, n   (b,n nguyên tố nhau)  mod n  Nghịch đảo mô –đun 1.1.4 Nếu số nguyên dương n số nguyên a nguyên tố tồn số x  0,1, 2, , n  1 cho ax  a theo mô-đun n  mod n  , số x gọi nghịch đảo 1.2 Ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.2.1 a Cho p số nguyên tố lẻ a số tự nhiên, ký hiệu Legendre   là:  p a chia hết cho p ; a    p a thặng dư bậc hai môđun p (nghĩa tồn số nguyên k cho k2 ≡ a (mod p)); −1 a không bình phương mơđun p Tính chất 1.2.2   ab   a  b         p   p  p   Nếu a  b  1   1  p   1   p 1 /2  p   mod       1  p 1 p   mod   2  p2 1/8   p  hoaëc  mod          p 1 p  hoaëc  mod   Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ, a b    p  p  mod p    p 1   p  hoaëc 11  mod 12  3              p 1 p  hoaëc  mod 12    p 2   p  hoaëc  mod  5 Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ,     1      p 1 p  hoaëc  mod   Với số nguyên tố lẻ p bất kỳ,    p  1,3,9,19, 25 hoaëc 27  mod 28     1 p  5,11,13,15,17 hoaëc 23 mod 28    p    q   p  p 1 /2 q 1 /2 Nếu p,q số nguyên tố lẻ       1  p  q Tính chất sau gọi luật thuận nghịch bình phương Ký hiệu Legendre sử dụng tiêu chuẩn Euler Euler chứng minh a  p 1 /2  a  p  mod p  1.3 Ký hiệu Jacobi Định nghĩa 1.3.1 a Ký hiệu Jacobi   sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn số đứng Nó n định nghĩa sau: Giả sử n > số tự nhiên lẻ p1 p2 pk dạng phân tích tiêu chuẩn n k 1 2 k  a  a  a   a  Với số nguyên a bất kỳ, ký hiệu Jacobi           n   p1   p2   pk  tất ký hiệu bên vế phải Ký hiệu Legendre Tính chất 1.3.2  Nếu n số nguyên tố ký hiệu Jacobi ký hiệu Legendre  a    0,1, 1 n  a    ước chung lớn  a, n   n   ab   a  b         n   n  n    a   a  a   a        Điều dẫn tới   với số nguyên a  mn   m  n  n  số tự nhiên lẻ n 19  p 5 /10 F    p    /2   p  b   1  p 5 /10 L   1  L   1  p 5 /10    p    /2   p  p 1 /4 pK p  p   mod p   mod 4 Nếu p     p   p   /2    5    p 1/4     p  K p    q p     1  5       p 5 p 1 /4 pK p  p   mod p   mod p  Chứng minh Ta có: pq p      p 1/2     p 1/2           5 2 p     p     p 1 /2      p 1 /2     5         5    p   p   p   mod p  Bây chứng minh phần  b  (phần  a  cỏ thể chứng minh tương tự) Giả sử p   mod  Từ định lý 2.3.2 kết ta vừa xét trên, có:    p 1/4   p  K p    q p  5   5    p  p 1 /4  p 1 /2  5   pK p    pq p    5  mod p         p 1/2   p 1/2  p 5 /10   p 3 /4  p 1 /4  5   1 L       1 p     p   p   /2        p 1 /4  p 5  /10    1  L       5  ,  p  p   p   /2    5 p 1 /4   p 1 /4 p 1 /2 pK p  p     5  pK p  p  5   mod p   p  mod p  20     p 1/4   p 5 /10     p 3 /4 p 1 /2   5 L     5   1     p  p  p  p   /2        p 5  /10    1  L    p  p   /2    Vậy định lý chứng minh xong Định lý 2.3.4 Cho p  2;5 số nguyên tố Chúng ta có:  i  2K p  0  K p  p    ii  Nếu p 1 L   1 L   1  p 5 /10    p  p   /2     iii   p 5 /10 F   1 F   1  p 5 /10    p    /2   p  5 p 1 /4  p  3K p  p   K p     1      p 1/4    5  pq p     2   p  mod p  ,  mod p   mod 4 thì: Nếu p     p  p   /2     mod p   mod  thì:  p 5 /10    p    /2   p  q p  5  5 p 3 /4  p  3K p  p   K p     1      p 3/4    5  pq p  5   2   p  mod p  ,  mod p  Chứng minh Bởi phần  i  định lý 2.1.1, có: L p 1/2  F p 1/2  F p 1/2 , L p 1/2  F p 3/2  F p 1/2  F p 1/2  F p 1/2 , F p 1/2  L p 1/2  L p 1/2 , F p 1/2  L p 3/2  L p 1/2  L p 1/2  L p 1/2 Lại theo định lý 2.3.3:  1  p 5 /10    p 1/4  p  2K p    q p 5  K p  p    2  5    p  mod p  21  5 mod p    F       F     L     p     /2  p    /2  p   p  p   /2    p    p   neáu p   mod     5      L p    /2   p  L p    /2   F p    /2  mod p      p      p       p       neáu p   mod    1  p 5  /10   p 1 /4  5      p  K p  p   K p    q p     1      5 mod p    F       F     L     p    /2  p     /2  p   p  p   /2    p    p   neáu p   mod  ,    5      L p    /2   p  L p    /2   F p    /2  mod p          p        p     p   neáu p   mod   Đề chứng minh khẳng định  i  ,  ii  ,  iii  cần chứng minh : 5 2K p    K p  p   q p 5     p 5 p 1 /2 5    p p     q p 5    tức cần chứng minh: 5 1  p  K p    q p    K p  p    5 p 1/2       p Để chứng minh điều này, lưu ý rằng: p 1 /2 1  p  K p    q p    K p  p    5   mod p   mod p  , 22    p 5 /10     p 1 /4    1 p  K p    q p    K p  p       5.02  5    p   neáu p   mod  ,       p 5 /10     p 3 /4  p  K p    q p    K p  p       02    1  5   p     neáu p   mod    L2  5F2        p  p   /2  p    /2       p   2 5F     L     p  p   /2   p  p   /2     mod p  neáu p   mod   mod p  neáu p   mod  2 (Bởi định lý 2.3.3, p F    p  p   /2      1  p 1 /2   1  mod 4 , p L    p  p   /2       L2   F      p  5p   /2  p    /2    p            /2  p   p 1 /2  p    1 p   (Do định lý 2.1.1) 5     p    1   /2   p  Suy điều mà ta cần phải chứng minh Định lý 2.3.5 Cho p  2;5 số nguyên tố Khi đó: F 5 p    p p p 1  2  k 1 k k 2 p  mod 5 p 1 2 k 1 pk k  mod p  Chứng minh Do định lý 2.1.1 định lý 2.3.3, định lý 2.3.4 có: F 5 p    p  F    p    /2   p  L    p    /2   p    p 1 /2  2   5  pK p  p   p  2 pK p  p   pK p   p   mod p  Vậy định lý 2.3.5 chứng minh xong  mod p   mod p  p   mod 4 ) 23 Nhận xét 2.3.6 Đối với giá trị Fibonacci F 5 p    p / p ( p  2;5 số nguyên tố), H C Williams đạt công thức sau đây: F 5 p    p p  p 1 p /5   1 k k k 1  mod p  2.4 Một điều kiện để p F p 1/4 Cho p  số nguyên tố có dạng 4k   mod 20 Bởi định lý 2.3.3, p  13 hay 17 thì:  p 5 /10    1 F p 1/4 L p 1/4  F p 1/2  F    p  p   /2       p 1/4   5  p  mod p  p | F p1/4 Nếu p  hay  mod 20 : F p 1/4 L p 1/4  F p 1/2  F    p    /2   p  0  mod p  p | F p1/4 hay p | L p1/4 Định lý 2.4.1 Cho p  hay  mod 20   p 1 /4 p | F p1/4  5 số nguyên tố Khi đó:  p  5 /10   1  mod p  Chứng minh Bởi định lý 2.1.1 có:  p 1/4 2F p1/2  F p1/2  L p1/2  L2 p1/4   1 Vì p  hay  p 1/4  5F 2p1/4   1  mod 20  , p | F p1/2 theo định lý 2.3.3 Nếu p | F p1 /4 p | L p1/4 ( F p1/2  F p1/4 L p1/4 ) ( theo điều kiện trên):  p 1/4 2F p1/2   02   1  mod p  24 Nếu p | F p1/4 có:  p 1/4 2F p1/2   5.02   1  mod p  Bây rõ ràng rằng:  p 1/4 p | F p1/4  F p1/2   1  mod p  Theo định lý 2.3.3 :  p 5 /10  F p 1/2  F    p     /2   p     1     p 1/4  p  5 /10   p 1 /4   1   5 p    p 1 /4 Do đó, p | F p1/4  5  p  5 /10   1  mod p   mod p  Định lý 2.4.2 Cho p số nguyên tố cho p  hay  mod 20  p  x2  y với x, y số nguyên Khi đó, p | F p1/4 | xy Chứng minh Do p số nguyên tố khác 5, khơng tính tổng qt, giả sử x y số nguyên dương Ta có: x2  p  y  p Nếu p   mod 20 đó:  p  5 /10   x  mod 5 :      1 x  hay  Nếu p   mod 5 5  mod 20 x2  p   mod 5 , suy x  hay  Giả sử x  2 u  p  5 /10   x  mod 5 đó:    1   1 5  | u  , y  2 v  | v  Bởi vì:  p 1 /4 x  p 1 /4  y   p 1 /4   5 y    5    x     p  p cách sử dụng ký hiệu Jacobi, có:  mod p  , 25  5  p 1 /4    x  y            p  p   p   u  v      p  p     p  p           u  v   p    5      u  p 2    p 2    p       2   1    p   mod p   y  x      u  v       u     1   5  p  2 u       p   /10        p 1 /8  x    1      5 Theo định lý 2.4.1, được: p | F p 1/4        p2 1 0  mod  * Trường hợp 1: Nếu x số lẻ Trong trường hợp   0,   ( y phải số chẵn) Nếu   p  x2  y  u  20v2   20.1        p2 1 p2 1  1 8  mod 8  mod   mod 8 Nếu   p  x2  y  u  5.22  v2   5.0  p2 1 p2 1         0 8  mod  * Trường hơp 2: Nếu x số chẵn Trong trường hợp này,     (vì y phải số lẻ) Nếu   p  4u  5v2  4.1  5.1        p2  p2   1 1 8 Nếu   p  22 u  5v2   5.1         mod 8  mod   mod 8  p2 1 p2 1    1  0 8   Kết hợp với trên, được:  mod  26 p | F p 1/4        p2  0  mod        | xy 2.5 Sự liên hệ với định lý lớn Fermat Định lý lớn Fermat (Fermat’s last theorem (FLT)): với n  3,4,5, khơng có nghiệm nguyên thỏa mãn phương trình xn  y n  z n , xyz  Vì trường hợp n  giải Fermat, không tính tổng quát cần xem xét FLT với số mũ nguyên tố lẻ Lấy p số nguyên tố lẻ, x p  y p  z p khơng có nghiệm ngun với p | xyz nói trường hơp đầu định lý lớn Fermat (FLT1) cho số mũ p, ngược lại FLT1 khơng với p Năm 1909 A Wieferich chứng minh p1   mod p  ( p số nguyên tố lẻ) FLT1 cho số mũ p Năm 1914 H S Vandiver đạt kết sau: Bổ đề 2.5.1 Nếu FLT1 không với số ngun tố lẻ p, có:  a  p | q p  5 , nghĩa p1   b  5K p      mod p  , 1    0  p / 5  mod p  Bây sẵn sàng để đưa định lý sau đây: Định lý 2.5.2 Giả sử FLT1 không với số nguyên tố lẻ p Khi đó:  mod p  ,  i  Fp      p 5   p  ii  Lp       p  iii    mod p  , 1    0  p /10  mod p  Chứng minh Vì FLT cho số mũ 3,5, có p>5 Do bổ đề 2.5.1 định lý 2.3.4, 27 K p     q p  5 K p  p   2K p    q p  5   mod p   mod p  Do phần  i  định lý 2.5.2 dễ dàng suy từ định lý 2.3.5 Để chứng minh phần  ii  định lý 2.5.2, lưu ý rằng: L 5 p    p  L2    p    /2   p      p    /2  p    1  5F2    p    /2   p  Nếu p   mod 4 p | F L  5.0   1 5 p    p Nếu p  L 5 p    p 5  2   p  mod p   mod 4 p | L    p  p   /2        p    /2  p     1 5  2   p (do định lý 2.1.1) ( p | K p  p  định lý 2.3.3) đó:    p    /2   p      p    /2   p      p    /2  p    1 ( p | K p  p  định lý 2.3.3) vậy:  mod p  Chúng ta hoàn thành việc chứng minh phần  ii  Liên quan đến phần  iii  , có: 1 1      p /10   p /5  k 1  p /5  p /5 1  p /5 1        1     k k 1 k k k 1 k 1 p  k k p 1  k  p  p /5  1 k 1 k k  mod p   mod p  (do  p 1  1k 1 p 1 p /5  1k       k 1 k k k 1  F 5   p   p  p       p p     0 k  mod p  Vậy định lý 2.5.2 chứng minh xong     bổ đề 2.5.1) 28 Lấy d   Bởi hệ 2.1.4, d ước số vài số Fibonacci dương Lấy n  d  số nguyên dương bé n cho d ước Fn Ta có:   d | Fm  d | Fm , Fn d   d | F m,n d    m, n  d    n  d   n  d  | m Định lý 2.5.4 Lấy p  2;5 số nguyên tố Giả sử p | Fm p | m Khi đó: n  p   n  p  p | Fm Đặc biệt, n  p   n  p   p | F 5 p    p Chứng minh Vì p | Fm , có n  p  | m ( từ nhận xét 2.5.3), suy Fn p  | Fm Nếu n  p   n  p  ta có: p | Fn Ngược lại, p | p | F m n p  n p  p   p | Fn p   p | Fm m Nếu n  p   n  p  p || Fn p vậy, theo định lý 2.1.3 n p hay p | Fn p  Để kết thúc chứng minh, ta lưu ý p ước F 5 p    p ( theo phần  i  định lý 2.1.3 ) áp dụng chứng minh phần đầu ý 2.5.4 Định lý 2.5.5 Cho m n hai số nguyên lớn Khi đó: Fmn  Fm2 Fn2 Chứng minh Ta chứng minh định lý qui nạp theo n Với n  , ta có: F2 m  Fm Lm  Fm2 Giả sử mệnh đề n  3, m  Ta chứng minh mệnh đề với n  Fm n1  Fmn m   Fmn Lm  Lmn Fm  29  Fmn  Fm1  Fm    Fmn1  Fmn  Fm  2  Fmn Fm1  Fmn1Fm  Fmn Fm   Fmn Fm1  Fm Fmn1  Fmn Fm1  Fm  Fmn2  Fmn3   Fmn Fm1  Fm  Fmnm  Fmnm   Fmn Fm1  2Fm Fm n1  Fm2 Fn2 Fm1  Fm Fm2 Fn21  Fm2 Fn2  Fm2 Fn21  Fm2  Fn2  Fn21   Fm2  Fn  Fn 1   Fm2 Fn21 Nhận xét 2.5.6 Cho số n1 , n2 , , nk  k   số nguyên lớn Bởi định lý 2.5.5, ta có: Fn1 nk  Fn21 nk 1 Fn2k  Fn1 nk 1 Fn2  Fn21 nk 2 Fn2k 1 Fn2k   Fn21 Fn2k k Định lý 2.5.7 Định lý Fermat (FLT1) với số nguyên tố lẻ có dạng Fmn1 nk /  Fn1 , , Fnk  Chứng minh Giả sử p  Fmn1 nk /  Fn1 , , Fnk  số ngun tố lẻ Khơng tính tổng qt, lấy giá trị ni cho n1  n2   nk  Bây giờ, p || Fmn1 nk (*) Trong trường hợp n1  n2   nk  , (*) ( p  Fmn n ) Trong trường hợp khác, ta đưa kết sau để chứng minh cho (*) Fmn1 nk  Fn21 Fn2k   Fn1 , , Fnk  k 30 đó: p  Fmn nk  Fn1 , , Fnk   Fmn1 nk Fmn1 nk  Fn1 , , Fnk   Fmn1 nk Nên p || Fmn n k Thật ra, n1   n2   nk m  Fmn  pFn  Fn vậy, định lý 1 2.5.5 : Fmn1 nk  Fmn1  F2 n1  F22 Fn21  Fn21  Fn21 Fn2k ; n1  n2   ns   ns 1   nk  s  2 theo nhận xét 2.5.6 Fmn1 nk  Fmn1 ns  Fn1 ns  Fn21 Fn2s  Fn21 Fn2k Vậy ta hoàn thành chứng minh (*) Vì FLT cho số mũ 3, nên giả thuyết p  Theo kết p || Fmn n Vì n  p  | mn1 nk Fn p  | Fmn n nên có p || Fn p  k k n  p   n  p  Áp dụng định lý 2.5.4 ta nhận p | F 5 p    p Từ điều kết hợp với định lý 2.5.2 FLT1 với số mũ p có dạng nêu Ví dụ: Vì  21/  F8 / F4 , 61  610 /  2.5   F15 /  F3 , F5  Theo định lý 2.5.7 FLT1 với số mũ 61 Hệ 2.5.8 FLT1 cho tất số (lẻ) nguyên tố Fibonacci số nguyên tố Lucas Chứng minh Để ý Fn  Fn.1 / F1 Ln  F2 n / Fn Áp dụng định lý 2.5.7 đạt kết cần chứng minh 31 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu, khảo sát tính chất số Fibonacci số liên quan Lucas; việc biểu diễn hệ số nhị thức n   qua hạng tử k  r  mod 10   k   số Fibonacci, từ rút số đồng dư thức liên quan đến số Fibonacci Từ việc biểu diễn tổng hệ số nhị thức Fibonacci F 5 p    p n   , ta thu công thức cho thương k  r  mod 10   k   p , để từ kết ta chứng minh rằng: Định lý lớn Fermat trường hợp lũy thừa số nguyên tố Fibonacci số nguyên tố Lucas 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO L E Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol I, Chelsea, New York 1952, 105, 393-396 G H Hardy and E M Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Oxford Univ Press, Oxford 1981, 148-150 E Lehmer, On the quartic character of quadratic units, J Reine Angew Math 268/269 (1974), 294-301 L J Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, London and New York 1969, 60-61 P Ribenboim, 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer, New York 1979, 139-159 n Zhi-Hong Sun, Combinatorial sum n  k    and its applications in number theory k 0 k  r  mod m  (I), J Nanjing Univ Biquarterly, in press n -,Combinatorial sum n  k  and its applications in number theory (II) , ibid., in   k 0 k  r  mod m  press Zhi-Wei Sun, A congruence for primes, preprint, 1991 n n -, On the combinatorial sum  k    , submitted k 0 k  r  mod m  10 Zhi-Hong Sun and Zhi-Wei Sun (Nanjing), Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem, Acta Arithmetica, lx.4 (1992) 11 Zhi-Wei Sun, On the sum n   and related congruences, Israel J Math k  r (mod 10)  k   128(2002), 135-156 n 12 -, Combinatorial sum n  k    k 0 k  r  mod m  and its number-theoretical applications, to appear 33 13 -, Reduction of unknows in Diophan representations, Science in China (Ser A) 35 (1992), 1-13 14 H S Vandiver, Extension of the criteria of Wieferich and Mirimanoff in connec-tion with Fermat’s last theorem, J Reine Angew Math 144 (1914), 314-318 15 D D Wall, Fibonacci series modulo m, Amer Math Monthly 67 (1960), 525-532 16 H C Williams, A note on the Fibonacci quotient Fp  / p , Canad Math Bull 25 (1982), 366-370 ... sau kiến thức số học, định lý đồng dư ký hiệu số học ký hiệu Legendre Jacobi Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT Trong chương này, trình bày cách biểu diễn tổng hệ số nhị thức... Chương 2: CÁC SỐ FIBONACCI VÀ ĐỊNH LÝ LỚN CỦA FERMAT 2.1 Giới thiệu số Fibonacci số Lucas 2.2 Tổng k r n   11  mod 10   k   2.3 Đồng dư thức số Fibonacci ... số tiếng tốn học có nhiều ứng dụng giải tích lý thuyết số đại Chẳng hạn, dựa vào tính chất dãy số Fibonacci, người ta chứng minh Định lý lớn Fermat cho số nguyên tố Fibonacci Chính vậy, Tôi định