Giá trị tuyệt đối phi archimede trên trường

BO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE TRÊN TRƯỜNG Luận văn Thạc sĩ Khoa học Ngành Toán học Người hướng dẫn: PTS Mỵ Vinh Quang Người thực hiện: Hồ Hữu Hòa TP Hồ Chí Minh - 1998 LỜI CẢM ƠN Luận văn đƣợc thực sau q trình tích lũy kiến thức Lớp Cao học Khóa IV Cần Thơ Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Khoa Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh Thầy Cơ khác tham gia giảng dạy, quản lý lớp học truyền đạt kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Đặc biệt, trân trọng cám ơn Thầy Mỵ Vinh Quang hƣớng dẫn tận tình để luận văn đƣợc hồn thành Cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn TP HỒ Chí Minh, 8.1998 HỒ HỮU HỊA Giá trị tuyệt đối phi Archimede… MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƢỜNG §1 Định nghĩa tính chất § Giá trị tuyệt đối phi Archimede 11 CHƢƠNG II: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƢỜNG THẶNG DƢ CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE 16 §1 Nhóm giá trị giá trị tuyệt đối phi Archimede 16 §2 Trƣờng thặng dƣ giá trị tuyệt đối phi Archimede 21 CHƢƠNG III: BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ 27 §1 Bao đủ 27 §2 Sự khai triển thành chuỗi 34 §3 Bao đóng đại số 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Giá trị tuyệt đối phi Archimede… MỞ ĐẦU Khái niệm giá trị tuyệt đối trƣờng K trƣờng hợp đặc biệt khái niệm chuẩn không gian vectơ trƣờng đƣợc xem nhƣ khơng gian vectơ Với phép tốn nhân, đặc biệt tồn phần tử nghịch đảo trƣờng nên tập hợp giá trị giá trị tuyệt đối có câu trúc nhóm G nhóm nhân số thực dƣơng R+ Trƣờng hợp giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện mạnh (điều kiện phi Archimede) nhóm G xiclic, trù mật R+ tƣơng ứng giá trị tuyệt đối rời rạc hay liên tục Điều có nghĩa dựa vào cấu trúc nhóm G, "phân loại" đƣợc giá trị tuyệt đối phi Archimede tƣơng ứng Ngoài ra, giá trị tuyệt đối phi Archimede hình cầu B [0, 1] vành K hình cầu B (0, 1) idean tối đại B [0, 1] vành thƣơng k = ⁄ trƣờng đƣợc gọi trƣờng thặng dƣ giá trị tuyệt đối Trƣờng thặng dƣ hữu hạn hay vô hạn cho biết trƣờng K compact địa phƣơng hay không Giá trị tuyệt đối phi Archimede sở chuyên ngành Giải tích phi Archmede, nghiên cứu hàm xác định trƣờng có giá trị tuyệt đối phi Archimede vấn đề liên tục, đầy đủ, đóng, compact Vì lẽ đó, việc nghiên cứu kĩ giá trị tuyệt đối phi Archimede cần thiết Luận văn gồm có chƣơng Chƣơng I: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối tƣơng đƣơng; tính chất chung đặc biệt khái niệm giá trị tuyệt đối phi Archimede điều kiện tƣơng đƣơng Cũng chƣơng đƣa hai ví dụ quan trọng đƣợc nhắc nhiều sau giá trị tuyệt đối p-adic trƣờng số hữu tỉ Q, giá trị tuyệt đối trƣờng phân thức K[x] Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Chƣơng II: trình bày khái niệm nhóm giá trị, phân loại giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm giá trị; trƣờng thặng dƣ ứng dụng để xét tính chất compact địa phƣơng trƣờng K Chƣơng III: trình bày vấn đề : bao đủ (bao đóng topo); khai triển thành chuỗi trƣờng ứng dụng để xét tính compact địa phƣơng trƣờng; bao đóng đại số, chứng minh trƣờng tùy ý mở rộng thành trƣờng vừa đầy đủ vừa đóng đại số, ví dụ lí tƣởng số phức p-adic Cp Trong chƣơng trình bày số kết hàm đa thức nhƣ tính đóng tập ảnh, tính compact tập tạo ảnh trƣờng có giá trị tuyệt đối phi Archimede Luận văn có thiếu sót, kính mong Thầy độc giả vui lòng bảo lƣợng thứ Giá trị tuyệt đối phi Archimede… CHƢƠNG I: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƢỜNG §1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho K trƣờng Giá trị tuyệt đối K ánh xạ (kí hiệu | |) từ K vào tập hợp số thực không âm thỏa mãn điều kiện:: Ví dụ Trƣờng số hữu tỉ Q với giá trị tuyệt đối thông thƣờng thỏa mãn điều kiện định nghĩa Ví dụ K trƣờng tùy ý Ánh xạ |x| = [ giá trị tuyệt đối K đƣợc gọi giá trị tuyệt đối tầm thƣờng Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có số tính chất đơn giản sau : Giả sử | | giá trị tuyệt đối trƣờng K, chứng minh dễ dàng hàm d từ K X K tập hợp số thực không âm biểu Giá trị tuyệt đối phi Archimede… thức d(x,y) = |x-y| metric K đƣợc gọi metric tƣơng ứng giá trị tuyệt đối Topo sinh metric tƣơng ứng đƣợc gọi topo tƣơng ứng giá trị tuyệt, đối Định nghĩa Dãy (xn) trƣờng K đƣợc gọi dãy Cauchy : ∀ε > 0, 3no ∈ N : ∀m,n > no |xm - xn| < ε Điều kiện tƣơng ứng với dãy (|xm - xn|) → hay dãy (|xn - xn+1|) → trƣờng số thực R Dãy (xn) trƣờng K đƣợc gọi hội tụ x ∈ K (kí hiệu (xn) → x) ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 |xn - x| < ε (|xn - x|) → Có thể chứng minh đƣợc dãy hội tụ dãy Cauchy tính chất quen thuộc dãy Cauchy nhƣ tổng; tích hai dãy Cauchy dãy Cauchy Ngồi ra, chứng minh kết giới hạn nhƣ giới hạn tổng, tích Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối | |1, | |2 trƣờng K đƣợc gọi tƣơng đƣơng topo tƣơng ứng chúng nhƣ Kí hiệu | |1 ~ | |2 Định lý Giả sử | |1, | |2 hai giá trị tuyệt đối trƣờng K, mệnh đề sau tƣơng đƣơng : |x|1 < |x|2 < l , x ∈ K |x|1< l |x|2< l ,x∈K Tồn số dƣơng C > cho : |x|1 = |x|2C , ∀x ∈ K (xn) dãy Cauchy | |1 (xn) dãy Cauchy | |2 | |1 ~ | |2 Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Chứng minh a Giả sử |x|1 Chứng minh |x|2 Với x = hiển nhiên Với x 0, |x|2 > |x-1|2 = |x| < |x-1|1 < Suy |x|2 = |x|2 > mâu thuẫn Mệnh đề ngƣợc lại đƣợc chứng minh tƣơng tự b c 1 Chứng minh tƣơng tự nhƣ a Trƣớc hết ta nhận xét rằng; x ∈ K, |x|=1 < |x-1| - |x| > 1 nên tồn xo ∈ K : |xo|1 > Khi |xo-1|1 < |xo-1|2 < suy |xo|2 > Đặt a = |xo|1 > 1, b = |xo|2 > Với ∀ x ta có |x|1 = aα , α = loga|x|1 m Lấy m, n ∈ Z, m > cho n > α Ta có Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Chứng minh tƣơng tự ta có |x|2 bα Suy |x|2 = b α Do Trong C = log b a > số dƣơng không phụ thuộc x d Cho |x|1 = |x|2C (C > 0) Khi (xn) dãy Cauchy | |1 c Giả sử |x|1 < |x|1n → |xn|1 → (xn) dãy Cauchy | |1 (xn) dãy Cauchy | |2 |xn – xn+1|2 → |xn (1 – x)|2 = |xn|2 |1-x|2 → Do |x|1 < nên x suy |1-x|2 Nhƣ |xn|2 → |x|2n → 0 |x|2 < f Cho |x|1 = |x|2C (C > 0) Chứng minh | |2 ) Giả sử A ∈ Với x ∈ A, ∃ r1 > B(x,r ) = {y ∈A : |x-y| < r } ⊆ A Ta có: = (hai topo tƣơng ứng | |1 Giá trị tuyệt đối phi Archimede… |x – y|2 < r1C Nhƣ tồn r = r C Suy Việc chứng minh τ1⊆τ2 tƣơng tự cách lấy r2 = √ g Với giả thiết | |1 ~ | | hai topo tƣơng ứng nhƣ : |x|1 < |x|1n → |x n |1 → (x n ) hội tụ τ (x n ) hội tụ τ |x n |2 → |x|2 n → |x|2 < l Hệ quả: Nếu tổn số C , C > cho : C |x|1 ≤ |x| ≤ C |x|1 ∀x ∈ K | |1 = | |2 Chứng minh : a Trƣớc hết ta chứng minh | | ~ | |2 (x n ) dãy Cauchy | |1 |x n - x m |1 → C |x n -x m |1→0 n, m →+∞ |x n - x m |2→ (x n ) dãy Cauchy | |2 Ngƣợc lại, {x n } dãy Cauchy | | C |x n – x m |2 → m n → + ∞ {x n } dãy Cauchy | | Từ Định lý ta suy | | ~ | | (1) Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 32 Gp ≅ 〈 〉 nhóm xiclic sinh p * Trƣờng thặng dƣ || ||p: kp = k ≅ Zp trƣờng số nguyên theo modun p Định lý : Cho | |1, | |2 hai giá trị tuyệt đối phi Archimede tƣơng đƣơng trƣờng K Giả sử (L1, || ||1| (L2, || ||2) hai bao đủ hai giá trị tuyệt đối tƣơng ứng Khi L1 = L2 || ||1 ~ || ||2 Chứng minh : Lấy x = ̅̅̅̅̅̅ ∈ L1 (xn) dãy Cauchy | |1 K Áp dụng Định lý Chƣơng ta có (xn) dãy Cauchy | |2 hội tụ L2 đầy đủ Mặt khác | |1 ~ | |2 nên | |1 = | |2C (C > 0) Suy ra: Nhƣ (x)n → x theo || ||2 x ∈ L2 hay L1 ⊆ L2 Chứng minh tƣơng tự ta đƣợc L2 ⊆ L1 suy L1 = L2 = L Để làm rõ vai trò Qp Q chứng ta xét thêm Định lý sau : Định lý (Os'orovski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thƣờng trƣờng số hữu tỉ Q tƣơng đƣơng với giá trị tuyệt đối thông thƣờng tƣơng đƣơng với giá trị tuyệt đối p-adic | |p với p số nguyên tố Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Phần chứng minh xem 14] Nhƣ vậy, trƣờng số hữu tỉ Q có hai loại bao đủ - Trƣờng số thực R với giá trị tuyệt đối thông thƣờng - Trƣờng số p-adic Qp với giá trị tuyệt đối p-adic | |p (p số nguyên tố tùy ý) 33 Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 34 §2 Sự khai triển thành chuỗi Định lý Chƣơng II cho thấy giá trị tuyệt đối K rời rạc nhóm giá trị G xiclic, phần tử G biểu diễn qua phần tử sinh ρ= |u|, u ∈ K Nếu giá trị tuyệt đối khơng tầm thƣờng giả thiết < ρ < ρ số lớn G khoảng (0,1) (suy từ phần chứng minh Định lý Chƣơng II) Định lý sau giải vấn đề tự nhiên phần tử K biểu diễn qua phần tử u nói Định nghĩa Cho giá trị tuyệt đối | | phi Archimede trƣờng K Xét trƣờng thặng dƣ gọi R = {ao, a1, a2…} tập tất đại diện lớp k hệ thặng dƣ đầy đủ k nghĩa : Bổ đề Cho giá trị tuyệt đối | | phi Archimede rời rạc trƣờng K với X ∈ K, |x| ≤ ∃a ∈ R, y ∈ K, |y| ≤ cho X = a + yu |u| = ρ phần tử sinh nhóm giá trị G (ρ lớn khoảng (0,1)) Chứng minh: Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Đặt y = u-1 (x – a) |y | 35 x = a + yu Định lý Cho | | giá trị tuyệt đối phi Archimede không tầm thƣờng rời rạc trƣờng K Mỗi phần tử x ∈ K, x ≠ khai triển thành chuỗi (1) Ngoài ra: * Nếu K đầy đủ chuỗi (1) hội tụ phần tử K * Nếu m số nhỏ cho am ≠ |x| = ρm Chứng minh: Khai triển đƣợc x ∈ K , x ≠ 0, nhóm giá trị G xiclic nên ∃m ∈ Z cho |x| = ρm = |u|m = |um| \ |u-m x| = Áp dụng Bổ đề u-m x ta có ∃ao ∈ R, ∃x1 ∈ K, |x1| ≤ cho u-mx = ao + x1u Lại áp dụng Bổ đề cho x1 ta có ∃a1 R ∃x2 ∈ K, |x2| ≤ cho x1 = a1 + x2u Suy u-mx = ao (a1 + x2u)u = ao +a1u + x2u2 Lặp lại q trình ta có ∀n∈N, Mặt khác nên Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 36 Suy ra: Duy Giả sử (nếu số hạng hai chuỗi khác số bổ sung = bi = thích hợp) Khi đó: Do Từ suy ra: Bằng qui nạp, ta chứng minh đƣợc = bi, ∀i Suy khai triển x Nếu K đầy đủ chuỗi (1) hội tụ Xét dãy ta có: (xn) dãy Cauchy nên hội tụ K đầy đủ Chứng minh |x| = pm m số nguyên nhỏ cho am ≠0 Trƣớc hết ta nhận thấy i < j ≠ Kết mở rộng cho tổng n số hạng tùy ý Từ suy ra: Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 37 Hệ quả: Nếu |x| ≤ 1, x ≠ thì: x = ao + aiu + a2u2 + (2) tức chuỗi khai triển x khơng có lũy thừa âm Những phần tử nhƣ phần tử (tức B[0,1]) đƣợc gọi phần tử nguyên trƣờng K giá trị tuyệt đối xét Định lý sau cho thấy ứng dụng việc khai triển thành chuỗi Định lý đƣợc phát biểu chứng minh điều kiện cần Chƣơng II (Định lý 5) Định lý Cho giá trị tuyệt đối | | phi Archimede trƣờng K Khi K compact địa phƣơng { Chứng minh Điều kiện đủ Cho giá trị tuyệt đối | | rời rạc K trƣờng thặng dƣ k hữu hạn Để chứng minh K compact địa phƣơng, ta cần chứng minh B[0,1] compact Vì trƣờng thặng dƣ k hữu hạn nên hệ thặng dƣ đầy đủ R hữu hạn Giả sử (xn) dãy tùy ý B[0,1] |xn| ≤ ∀n, Ta chứng minh tồn dãy hội tụ B[0,1] ∀n ∈ N, áp dụng Hệ Định lý ta khai triển xn thành chuỗi nguyên xn = aon + a1nu + a2nu2 + ∈R, ∀i Các phần tử aon (n = 0,1,2, ) nhận giá trị R hữu hạn nên ∃bo ∈ R cho bo đƣợc nhận giá trị vô hạn lần Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 38 Lấy dãy (xon) (xn) cho số hạng phần tử bo Trong dãy (xon), phần tử aln (n = 0,1,2, ) nhận giá trị R hữu hạn nên ∃ b1 ∈ R cho b1 đƣợc nhận giá trị vơ hạn lần, từ rút dãy (x1n) dãy (xon) cho số hạng thứ hai phần tử b1 ∈ R Nhƣ vậy, ∀ m ∈ N, tồn dãy (xmn) dãy dãy (xm-1n) cho số hạng thứ m phần tử b1∈ R Rõ ràng dãy đƣờng chéo (xmm) dãy dãy (xn) (xmm) → b = bo + b1u + b2u2 + , m→ ∞ Mặt khác |b| ≤ nên b ∈ B [0,1] Nhƣ vậy, dãy cho (xn) có dãy hội tụ B[0,1].suy B[0,1] compact K compact địa phƣơng Hệ Q, Qp với giá trị tuyệt đối | |p compact địa phƣơng Nếu K hữu hạn K(x) compact địa phƣơng (vì trƣờng thặng dƣ k ≅ K) Nếu K vơ hạn K(x) khơng compact địa phƣơng Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 39 §3 Bao đóng đại số Định lý (§1) cho thấy mà rộng giá trị tuyệt đối | | rời rạc trƣờng K thành giá trị tuyệt đối || || trƣờng L = ̂ đầy đủ || || rời rạc Việc mở rộng giá trị tuyệt đối theo hƣớng đóng đại số thay đổi tính rời rạc | | thành tính liên tục || || Trƣờng F đƣợc gọi đóng đại số đa thức f(x) ∈ F|x|, degf ≥ có nghiệm F Định nghĩa Cho K trƣờng Trƣờng F chứa K đƣợc gọi bao đóng đại số K F đóng đại số F nhỏ có tính chất Ký hiệu F = ̅ Sự tồn (sai khác đẳng cấu) bao đóng đại số đƣợc chứng minh [2] Giả sử K trƣờng với giá trị tuyệt đối phi Archimede, F = ̅ bao đóng đại số K Giá trị tuyệt đối || || ̅ cảm sinh | | K đƣợc xác định α ∈ ̅ , α = đặt ||α|| = Nếu α ≠ 0, α nghiệm đa thức tối tiểu (bài khả qui, hệ số cao 1) đặt || α || = Khi || || giá trị tuyệt đối phi Archimede ̅ (xem [4] Ngoài || || giá trị tuyệt đối đƣợc cảm sinh giá trị tuyệt đối I K α ∈ K, đa thức tối tiểu α f = x - α bậc nên || α || = Định lý = |α| Giả sử | | giá trị tuyệt đối phi Archimede rời rạc khơng tầm thƣờng K với nhóm giá trị GK trƣờng thặng dƣ kK,|| || giá trị tuyệt đối cảm sinh (phi Archimede) bao đóng đại số ̅ với nhóm giá trị GK trƣờng thặng dƣ kK Khi Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 40 GK = {r ∈ R+, rn, n ∈ N} tập bậc n tùy ý giá trị GK ̅̅̅̅ ̅ Trƣờng thặng dƣ bao đóng đại số bao đóng trƣờng thặng dƣ Chứng minh : Đặt A = {r ∈ R+, rn ∈ GK, n ∈ N} Ta chứng minh GK = A cho ||α|| = r Giả sử đa thức tối tiểu α : Khi đó: * ∀r ∈ A, ∃n ∈ N cho rn = a ∈ GK ∃α ∈ K cho |α| = a Xét đa thức f = xn – a ∈ K [x] có nghiệm β ∈ ̅ βn – α = βn = α |βn | = | α| Vậy Chứng minh * ̅ α∈ ̅ ̅ ∈ ̅ ̅ α = ̅ β ∈ ̅ , |β| < Khi β nghiệm đa thức : hay Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 41 Xét phần tử u ∈ K có |u| = ρ < phần tử sinh GK (§2, Chƣơng III) Ta có Đặt m= {ki} (do ki - m Suy tồn lớp Ngoài ra:  α = ̅ nghiệm đa thức   * Giả sử đa thức đa thức có bậc degf = n ≥ Khi đa thức : có nghiệm α ∈ ̅ hay Nếu || α || > || || = = || αn + an-1 αn-1 + …+ a1 α + ao|| = max {|| αn|| ||ai αi||, I = 0… n-1} = || αn|| = || α||n > mâu thuẫn Suy || α || hay α ∈ ̅ [0,1] Giá trị tuyệt đối phi Archimede… tồn ̅ ∈ 42 ̅ đồng thời nên ̅ nghiệm ̅ ̅̅̅̅ ⊆ ̅ ̅ Vậy ̅̅̅̅ ̅ Hệ quả: Nhóm giá trị ̅ trù mật R+ từ suy giá trị tuyệt đối || || liên tục Trƣờng thặng dƣ ̅ vô hạn ̅ không compact địa phƣơng Chứng minh ̅ trù mật Lấy r ∈ GK, r > ∀ n ∈ N, √ ∈ ̅ √ →1, n → điểm tụ ̅ Suy ̅ trù mật (Định lý Chƣơng II) áp dụng Định lý Chƣơng III Mệnh đề Cho K trƣờng đầy đủ với giá trị tuyệt đối | | phi Archimede đa thức f(x) ∈ K[x] có degf ≥ a Nếu (λn) dãy K cho dãy giá trị tuyệt đối (if (λn1)→ tồn dãy (λnm) hội tụ nghiệm K đa thức f b Nếu X đóng K f (X) đóng c Nếu X compact K f-1 (X) compact Chứng minh : Trƣớc hết ta có nhận xét hai dãy (un), (vn) K có tích (un).(vn)→ tồn dãy (un) (vn) hội tụ Giả sử ngƣợc lại, hai dãy khơng có dãy hội tụ ∃ε, ε' > cho với n đủ lớn ta có: |un| > ε, |vn | > ε’ Giá trị tuyệt đối phi Archimede… Khi (un).(vn) 43 0, mâu thuẫn Bằng qui nạp, chứng minh kết cho tích k dãy,tùy ý a Xét bao đóng đại số ̅ K Đa thức f có nghiệm α1, α2, … αk ∈ ̅ Khi đó: f = a (x - α1) (x- α2) …( x – αk), a ∈ K Vì tích dãy Suy tồn dãy dãy hay (λnj) → αi Do K đầy đủ nên αi ∈ K b Giả sử (an) dãy f(X) (an) → a ∈ K Ta chứng minh a ∈ f(X) ∀n ∈ N, đặt λn ∈ X cho f(λn) = an Xét đa thức g(x) = f(x) – a ∈ K[x] ta có |g(λn)| = |f(λn) – a| = |an – a| → suy tồn dãy (λn) (λnm) → b ∈ K nghiệm g(x) hay g(b) = = f(b) –a a = f(b) ∈ f(X) c Giả sử (an) dãy f-1 (X) Khi f(an) ∈ X, ∀ n Vì X compact nên tồn dãy Đặt g(x) = f(x) – a ta có Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 44 nên có dãy b nghiệm g(x) Suy g(b) = = f(b) - a f(b) = a ∈ X b ∈ f-1 (X) Cho trƣờng K với giá trị tuyệt đối | | phi Archimede Gọi L = ̅ bao Định lý đóng đại số K Khi bao đủ L ̂ ̂ trƣờng đóng đại số ̅ Chứng minh : Cho đa thức có bậc n 1, ∈ ̂ ∀ i Ta chứng minh f(x) có nghiệm ̂ ∀ I = 0…n, đặt aij ∈ L cho (các phần tử aij nhƣ tồn lấy aij ∈ ̅ ̂ Khi Mặt khác: Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 45 ≤ = Suy Áp dụng Mệnh đề suy dãy (αj) có dãy (αjk) hội tụ nghiệm α f(x) dãy ̂ , nói cách khác, đa thức f(x) có nghiệm α ∈ ̂ Định lý cho thấy với trƣờng K cho trƣớc, tồn trƣờng mở rộng K vừa đầy đủ, vừa đóng đại số theo lƣợc đồ Sử dụng sơ đồ trƣờng số hữu tỉ Q giá trị tuyệt đối p-adic ta đƣợc Q→ Trƣờng Cp đƣợc gọi trƣờng số phức p-adic có tính chất: Cp đầy đủ Cp đóng đại số Giá trị tuyệt đối Cp liên tục Nhóm giá trị tuyệt đối | |p Cp Trƣờng thặng dƣ Cp không compact địa phƣơng Giá trị tuyệt đối phi Archimede… 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính Giải tích hàm, Tập I, NXB Đại học THCN, Hà Nội, 1978 Serge Lang Đại số, Phần II, NXB Đại học THCN, Hà Nội, 1978 Ngô Thúc Lanh Đại số Số học, Tập II, III, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1987 Neal Koblitz p-adic humbers, p-adic analysis and zeta-functions, Sproger Veriag, 1977 ... Hệ Các giá trị tuyệt đối sau rời rạc : Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng Các giá trị tuyệt đối trƣờng hữu hạn Giá trị tuyệt đối | |p Q Giá trị tuyệt đối trƣờng K(x) Ví dụ giá trị tuyệt đối phi Archimede. .. giá trị tuyệt đối tƣơng đƣơng Giá trị tuyệt đối phi Archimede? ?? 16 CHƢƠNG II: NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƢỜNG THẶNG DƢ CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE Trong chƣơng này, xét giá trị tuyệt đối phi Archimede. .. Nhóm giá trị giá trị tuyệt đối phi Archimede Định nghĩa Cho giá trị tuyệt đối | | phi Archimede trƣờng K Ký hiệu K* ={x ∈ K, x ≠ 0} K* nhóm nhân Nhóm giá trị G giá trị tuyệt đối K tập hợp giá trị