Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
617,61 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ ĐẶNG THỊ THANH THẢO MỞRỘNGCỦAGIÁTRỊTUYỆTĐỐIPHIARCHIMEDETRÊNMỘTTRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao học khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM. Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đến PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình gi úp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 1 Mục lục 2 LỜI NÓI ĐẦU 3 Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Một số định nghĩa và tính chất củagiátrịtuyệtđốitrêntrường 5 1.2. Giátrịtuyệtđốiphi Archimedean 9 1.3. Một số tính chất cơ bản củagiátrịtuyệtđốiphi Archimedean 14 Chương 2- MỞRỘNGGIÁTRỊTUYỆTĐỐITRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦATRƯỜNG 2.1. Mởrộnggiátrịtuyệtđốiphi Archi medean trên bao đủ 16 2.2. Mởrộnggiátrịtuyệtđốiphi Archimedean trên bao đóng đại số 25 Chương 3 - NHÓM GIÁTRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ 3.1. Nhóm giátrị 39 3.2. Trường thặng dư 45 3.3. Ví dụ 53 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI NÓI ĐẦU Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giátrịtuyệtđốitrêntrường Q hoặc tương đương với giátrịtuyệtđối thông thường hoặc tương đương với giátrịtuyệtđối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giátrịtuyệtđối thông thường ta được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy đủ Q theo giátrịtuyệtđốiphi Archi medean p ta được trường p Q , lấy bao đóng đại số của p Q rồi làm đầy đủ trường này ta được trường p C . Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giátrịtuyệtđốiphi Archimedean |.|. Lấy K là mộtmởrộngcủa F , liệu có tồn tại giámộttrịtuyệtđốiphi Archimedean ||.|| trên K là mởrộngcủa |.| ? Và nếu tồn tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giátrịtuyệtđốimởrộng đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giátrị và trường thặng dư của chúng như thế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giátrịtuyệtđốiphi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giátrịtuyệtđối , giátrịtuyệtđốiphi Archimedean, các điều kiện tương đương củagiátrịtuyệt đối, giátrịtuyệtđốiphi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là hai ví dụ về giátrịtuyệtđối p-adic trên Q và giátrịtuyệtđốitrêntrường các phân thức hữu tỉ Kx. Chương 2: Mởrộnggiátrịtuyệtđốitrên bao đủ và bao đóng đại số củamột trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ củamột trường, định lý mởrộnggiátrịtuyệtđốitrên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mởrộng này,… Chương 3: Nhóm giátrị và trường thặng dư: trình bày các khái niệm nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giátrịtuyệtđối dựa vào nhóm giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư củamộttrường với trường bao đủ, trường bao đóng của nó,… Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦAGIÁTRỊTUYỆTĐỐITRÊNTRƯỜNG Định nghĩa 1.1.1: Cho F là trường, ánh xạ |.|:FR được gọi là giátrịtuyệtđốitrêntrường F nếu thoả các điều kiện sau: i. ||0 ; ||0 0xxFxx ii. |.|| |.| | , x yxy xyF iii. |||||| , x yx y xyF Ví dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giátrịtuyệtđối thông thường là mộtgiátrịtuyệtđối theo nghĩa trên. Ví dụ 1.1.3: Cho trường F bất kì. Định nghĩa: là giátrịtuyệtđốitrên F, gọi là giátrịtuyệtđối tầm thường. Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản sau: 1) |1|=1 2) 1 1 || || x x 3) Nếu trường F hữu hạn thì trên F có duy nhất mộtgiátrịtuyệtđối là giátrịtuyệtđối tầm thường. Định nghĩa 1.1.4: 1) Cho F là trường, |.| là giátrịtuyệtđốitrên F. Khi đó dễ dàng chứng minh được d(x,y) = |x-y| là một mêtric trên F và được gọi là một mêtric cảm sinh từ giátrịtuyệt đối. Hai giátrịtuyệtđối 12 |.|,|.| được gọi là |x| = 1 nếu 0 x 0 nếu x = 0 tương đương nếu topo cảm sinh bởi hai mêtric trên là như nhau. Kí hiệu 12 |.|~|.| . 2) Dãy n x trêntrường F được gọi là dãy Cauchy nếu , lim | | 0 mn mn xx , nghĩa là 00 0, / , | | mn nN mnn x x . 3) Dãy n x trêntrường F được gọi là hội tụ về x F nếu , lim | | 0 n mn xx , nghĩa là 00 0, / | | n nN nn xx Kí hiệu : lim n n x x Ta có thể chứng minh được rằng một dãy hội tụ là dãy Cauchy và các tính chất quen thuộc về dãy Cauchy như tổng, tích hai dãy Cauchy là dãy Cauchy … Ngoài ra, cũng có thể chứng minh các kết quả về giới hạn như như giới hạn của tổng, tích,… Định lý 1.1.5: ( Các điều kiện tương tương đương củagiátrịtuyệt đối) Cho 12 |.|,|.| là các giátrịtuyệtđốitrêntrường F, các mệnh đề sau tương đương: 1) 12 ||1 || 1 x xxF 2) 12 ||1 || 1 x xxF 3) Tồn tại hằng số c>0 sao cho 12 |||| c x xxF 4) n x là dãy Cauchy đối với giátrịtuyệtđối 1 |.| n x là dãy Cauchy đối với giátrịtuyệtđối 2 |.| 5) 12 |.|~|.| . Chứng minh: 12 Phản chứng. Giả sử 1 ||1x nhưng 2 || 1x . Ta có: 11 2211 ||1| |1| |1||1xx x x (trái giả thiết). Vậy 12 ||1 || 1xx . 21 Làm tương tự 12 13 Trường hợp một trong hai giátrịtuyệtđối là tầm thường . Giả sử 1 |.| tầm thường suy ra 1 :| | 1xF x ( \ 0FF ) Nếu 2 || 1x thì 1 ||1!x Nếu 2 || 1x thì 11 211 ||1||1||1!xxx Như vậy 22 || 1|.|x tầm thường suy ra 21 10:|||| c cxx Nếu 1 |.| không tầm thường 001 02 :| | 1 | | 1.xFx x Đặt 01 02 ||;||ax bx 11 ,| | log | | a x Fx a x . Ta chứng minh 2 || x b . Thật vậy: , m n m rQr aa n 01 1 |||| m n x x 01 1 |||| mn x x (lấy mũ n 2vế ) 01 02 |. |1|. |1 nm nm xx xx 202 202 2 || | | ||| | || mm nm nn x xxxxb Lấy dãy ,, nn n rQr nr ,theo chứng minh trên 2 || n r x b . Cho n ta có 2 || 1xb . Tương tự ta có với , m rQr n thì 2 || m n x b 2 || 2xb . Từ 1 và 2 suy ra 2 || x bxF Vậy log log 211 || || || log 0 a a b b c a xa x xc b . 35 Ta có : 111 ,:|| :|| cc Bar x F x a r x F x a r 22 :| | , cc x Fxa r Bar Do đó 11 ,, A aABar A 2 2 ,, c aABar A A Vậy 12 12 |.| ~|.| . 51 Ta có : 11 ||1 || 0 n xx khi n 0 n x theo giátrịtuyệtđối 1 |.| 0 n x theo giátrịtuyệtđối 2 |.| 2 || 0 n xkhi n 2 || 1x. 34 Lấy dãy n x F là dãy Cauchy theo giátrịtuyệtđối 1 |.| Khi đó 1 lim | | 0 mn n xx suy ra 1 lim | | 0 c mn n xx 2 lim | | 0 mn n xx n x là dãy Cauchy theo giátrịtuyệtđối 2 |.| 41 11 :| | 1 | | 0 n xFx x khi n 0 n x theo giátrịtuyệtđối 1 |.| n x là dãy Cauchy theo 1 |.| n x là dãy Cauchy theo 2 |.| 1 2 ||0 nn xx khi n 2 |( 1)| 0 n xx khi n 22 |||(1)| 0 n xx khi n 0 n x theo giátrịtuyệtđối 2 |.| 2 || 0 n xkhi n . 2 || 1x . Tương tự ta cũng có nếu 21 || 1 ||1xx . □ 1.2. GIÁTRỊTUYỆTĐỐIPHI ARCHIMEDEAN Định nghĩa 1.2.1 : Trường F với ánh xạ |.|:FR được gọi là giátrịtuyệtđốiphi Archimedean nếu : i. ||0 ; ||0 0xxFxx ii. |.|| |.| | , x yxy xyF iii. ||max||,|| , x yxyxyF Như vậy giátrịtuyệtđốiphi Archimedean là giátrịtuyệtđối với điều kiện iii) thoả bất đẳng thức tam giác mạnh . Ví dụ 1.2.2: Giátrịtuyệtđối tầm thường trên F là phi Archimedean. Thật vậy : iii. Nếu ||0||max||,|| x yxy xy Nếu 0||1 ||1 0 0||1 xx xy xy yy Do đó ||max||,|| x yxy Vậy ||max||,|| , x yxyxyF . [...]... Chương 2: MỞRỘNGGIÁTRỊTUYỆTĐỐITRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦATRƯỜNGMỞRỘNGGIÁTRỊTUYỆTĐỐIPHI ARCHIMEDEAN 2.1 TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| là giátrịtuyệtđốiphi Archimedean trêntrường F Tồn tại duy nhất trườngmởrộng L của F với giátrịtuyệtđối ||.|| là sự mởrộng của giátrịtuyệtđối trên F thoả: i) L đầy đủ ii) F trù mật trong L Khi đó L còn được gọi là bao đủ của F Chứng... trên F Giả sử ' là một liên hợp của Xét : K K là một F _ tự đẳng cấu của K ' ( F id ) Trêntrường K ta định nghĩa giátrịtuyệtđối || || ' là mởrộngcủa |.| trên F là || || ' : K R x || x || ' || x || Mà ||.|| thu hẹp trên K là một giátrịtuyệtđối mở rộngcủa |.| trên F Theo hệ quả 2.2.5 có tối đa một giátrịtuyệtđối trên là mởrộngcủa |.| trên F nên || |||| ... Cauchy đối với ||.|| thì là dãy Cauchy đối với || ||m Vậy ||.|| ~ || ||m suy ra theo tính bắc cầu thì mọi giátrịtuyệtđốitrên V đều tương đương º Hệ quả 2.2.5 : Nếu K là mởrộng hữu hạn của F , trong đó trường F với giátrịtuyệtđối |.| compact địa phương Có tối đa một giátrịtuyệtđối ||.|| trên K là mởrộngcủa |.| Chứng minh: Giả sử có hai giátrịtuyệtđối || ||1 ,|| ||2 trên K là mởrộng của. .. xn , xn Q, xn là dãy Cauchy đối với giátrịtuyệtđối | | p Giátrịtuyệtđốitrên Qp : | x | p lim | xn | p n x lim xn với mêtric cảm sinh từ giátrị truyệt đối n Định lý 2.1.3: Nếu | |1 ,| |2 là hai giátrịtuyệtđốiphi Archimedean tương đương trêntrường F Giả sử L1 ,|| ||1 và L2 ,|| ||2 là hai bao đủ của hai giátrịtuyệtđối tương ứng Thế thì: a L1 L2 b || ||1... trịtuyệtđối p-adic | | p với p là một số nguyên tố nào đó Chứng minh xem 4 Áp dụng định lý 2.1.3; 2.1.4 ta suy ra trường số hữu tỉ Q chỉ có hai loại bao đủ đó là : Trường số thực R với giátrịtuyệtđối thông thường Trường số p-adic Qp với giátrịtuyệtđối | | p ( với p là số nguyên tố nào đó) 2.2 MỞRỘNGGIÁTRỊTUYỆTĐỐIPHI ARCHIMEDEAN TRÊN BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ Định nghĩa 2.2.1: 1 Trường. .. ||1 || ||2 □ Định lý 2.2.6: Cho F là trường , F compact địa phương với giátrịtuyệtđốiphi Archimedean |.| F là bao đóng đại số của F Khi đó tồn tại duy nhất một giátrịtuyệtđối ||.|| trên F là mởrộngcủa |.| trên F Chứng minh: Đầu tiên ta chứng minh một số bổ đề sau: 0 F , giả sử Irr ( , F , x ) x n a1 x n1 an1 x an Ta định nghĩa chuẩn của phần tử từ F vào F là 1... 2.2.3: Cho trường F với giátrịtuyệtđối |.| , V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F ; 1 , 2 , , n là một cơ sở cố định của V V , a11 a2 2 an n , ai F Đặt || ||m max | ai | Khi đó i 1, ,n 1 || ||m là giátrịtuyệtđốitrên V 2 Nếu |.| compact địa phương trên F thì || ||m compact địa phương trên V Chứng minh: 1 Chứng minh || ||m là giátrịtuyệtđốitrên V : i... | F | K :F 1 K :F 1 K :F 1 K :F Từ nhận xét trên ta định nghĩa giátrịtuyệtđối ||.|| trên F như sau || ||| N K F | 1 K :F với K là mộtmởrộng hữu hạn nào đó của F chứa Ta chứng minh ||.|| là mộtgiátrịtuyệtđốitrên F là mởrộngcủa |.| trên F : F ,|| ||| N K F | | N F F 1 K :F | | N F ... nghiệm trên F 2 Cho F là trường , trường K chứa F được gọi là bao đóng đại số của F nếu K đóng đại số và K tối tiểu có tính chất đó Kí hiệu K F Sự tồn tại và duy nhất ( sai khác một đẳng cấu ) của bao đóng đại số được chứng minh trong 2 Định nghĩa 2.2.2: Cho F là trường, |.| là giátrịtuyệtđốitrên F V là không gian véctơ trên F Ánh xạ || ||: V R được gọi là giátrịtuyệtđối trên. .. là giátrịtuyệtđốiphi Archimedean □ Hệ quả 1.2.6 : Nếu trường F có đặc số p thì mọi giátrịtuyệtđối là phi Archimedean Chứng minh: Xét N={1,2,…} ( ở đây e = 1 ) n N , n pq r , r 0,1, , p 1 Ta có : | n || pq r || pq | | r || r | Do r chỉ nhận hữu hạn giátrị 0,1, , p 1 nên tập N bị chặn Áp dụng Định lý 1.2.5 suy ra điều phải chứng minh □ 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦAGIÁ . Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archi medean trên bao đủ 16 2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên. Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean. bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và