Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi ARCHIMEDE trên một trường

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ ĐẶNG THỊ THANH THẢO MỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN  Luận văn thực hiên sau trình tích luỹ kiến thức lớp cao học khóa 17 trường Đại Học Sư Phạm TPHCM Lời tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ chúng tơi suốt q trình học tập Cuối xin cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn .1 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Một số định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối trường 1.2 Giá trị tuyệt đối phi Archimedean 1.3 Một số tính chất giá trị tuyệt đối phi Archimedean 14 Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1 Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean bao đủ 16 2.2 Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean bao đóng đại số 25 Chương - NHĨM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ 3.1 Nhóm giá trị 39 3.2 Trường thặng dư .45 3.3 Ví dụ 53 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LỜI NÓI ĐẦU Như ta biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trường Q tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường tương đương với giá trị tuyệt đối p” Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta trường R , lấy bao đóng đại số R ta trường C Còn làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archimedean p ta trường Qp , lấy bao đóng đại số Qp làm đầy đủ trường ta trường C p Trong trường hợp tổng quát, thay Q trường F với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.| Lấy K mở rộng F , liệu có tồn giá trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| K mở rộng |.| ? Và tồn có tồn hay khơng? Giả sử có giá trị tuyệt đối mở rộng mối liên quan nhóm giá trị trường thặng dư chúng nào? Đây vấn đề để xây dựng trường với giá trị tuyệt đối phi Archimedean Luận văn gồm có chương: Chương 1: Các kiến thức bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, điều kiện tương đương giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, số tính chất đặc biệt hai ví dụ giá trị tuyệt đối p-adic Q giá trị tuyệt đối trường phân thức hữu tỉ K  x  Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối bao đủ bao đóng đại số trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ trường, định lý mở rộng giá trị tuyệt đối bao đóng đại số, tính mở rộng này,… Chương 3: Nhóm giá trị trường thặng dư: trình bày khái niệm nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư trường với trường bao đủ, trường bao đóng nó,… Vì thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót, kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp vui lòng bảo lượng thứ Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƯỜNG Định nghĩa 1.1.1: Cho F trường, ánh xạ | |: F  R gọi giá trị tuyệt đối trường F thoả điều kiện sau: i | x | x  F ; ii | x.y || x | | y | iii | x  y || x |  | y | | x |  x  x , y  F x , y  F Ví dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giá trị tuyệt đối thông thường giá trị tuyệt đối theo nghĩa Ví dụ 1.1.3: Cho trường F Định nghĩa: x  |x| = x = giá trị tuyệt đối F, gọi giá trị tuyệt đối tầm thường Từ định nghĩa ta có số tính chất sau: 1) |1|=1 2) | x 1 | |x| 3) Nếu trường F hữu hạn F có giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối tầm thường Định nghĩa 1.1.4: 1) Cho F trường, |.| giá trị tuyệt đối F Khi dễ dàng chứng minh d(x,y) = |x-y| mêtric F gọi mêtric cảm sinh từ giá trị tuyệt đối Hai giá trị tuyệt đối | |1 ,| |2 gọi tương đương topo cảm sinh hai mêtric Kí hiệu | |1 ~| |2 2) Dãy  xn  trường F gọi dãy Cauchy lim | xm  xn | , m ,n  nghĩa   0, n0  N / m, n  n0 | xm  xn |  3) Dãy  xn  trường F gọi hội tụ x  F lim | xn  x | , m ,n  nghĩa   0, n0  N / n  n0 | xn  x |  Kí hiệu : lim xn  x n Ta chứng minh dãy hội tụ dãy Cauchy tính chất quen thuộc dãy Cauchy tổng, tích hai dãy Cauchy dãy Cauchy … Ngồi ra, chứng minh kết giới hạn như giới hạn tổng, tích,… Định lý 1.1.5: ( Các điều kiện tương tương đương giá trị tuyệt đối) Cho | |1 ,| |2 giá trị tuyệt đối trường F, mệnh đề sau tương đương: 1) | x |1  | x |2  x  F 2) | x |1  | x |2  x  F 3) Tồn số c>0 cho | x |1 | x |2 c 4) x  F  x  dãy Cauchy giá trị tuyệt đối | | n   xn  dãy Cauchy giá trị tuyệt đối | |2 5) | |1 ~| |2 Chứng minh: 1   Phản chứng Giả sử | x |1  | x |2  Ta có: | x |2  | x 1 |2  | x 1 |1  | x |1  (trái giả thiết) Vậy | x |1  | x |2    1 Làm tương tự 1   1  3  Trường hợp hai giá trị tuyệt đối tầm thường Giả sử | |1 tầm thường suy x  F  :| x |1  ( F   F \ 0 ) Nếu | x |2  | x |1  1! Nếu | x |2  | x 1 |2  | x 1 |1  | x |1  1! Như | x |2  | |2 tầm thường suy c   :| x |2 | x |1c  Nếu | |1 không tầm thường  x0  F :| x0 |1  | x0 |2  Đặt a | x0 |1; b | x0 |2 x  F  ,| x |1  a   log a | x |1  Ta chứng minh | x |2  b Thật vậy: m m  r   Q, r    a n  a n m n | x0 |1 | x |1 | x0 |1m | x |1n (lấy mũ n 2vế ) | x n x0  m |1  | x n x0  m |2  m n | x |2 | x0 |2 | x |2 | x0 |2 | x |2  b n m m n Lấy dãy rn   Q, rn  n, rn   ,theo chứng minh | x |2  br Cho n n   ta có | x |2  b 1  Tương tự ta có với r  m m  Q, r   | x |2  b n | x |2  b n 2 Từ 1   suy | x |2  b x  F    Vậy | x |2  a loga b log a b | x |1 | x |1c  c  loga b     5 Ta có : B  a,r   x  F :| x  a |  r  x  F :| x  a | c 1     x  F :| x  a |2  r c  B2 a, r c  rc   Do A   a  A, B1  a, r   A    a  A, B2 a, r c  A  A  Vậy    | |1 ~| |2   1 Ta có : | x |  | x | n  n    x n  theo giá trị tuyệt đối | |1  x n  theo giá trị tuyệt đối | |2 | x |2 n  n   | x |2     Lấy dãy  x   F dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối | | n Khi lim | xm  xn |1  suy lim | xm  xn |1c  n n  lim | xm  xn |2    xn  dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối | |2 n   1 x  F :| x |  | x | 1 n  n    x n  theo giá trị tuyệt đối | |1     x  dãy Cauchy theo | |  x n dãy Cauchy theo | |1 n | x n1  x n |2  n   | x n ( x  1) |2  n   | x n |2 | ( x  1) |2  n    x n  theo giá trị tuyệt đối | |2 | x |2 n  n   | x |2  Tương tự ta có | x |2  | x |1  □ 1.2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN Định nghĩa 1.2.1 : Trường F với ánh xạ | |: F  R gọi giá trị tuyệt đối phi Archimedean : i | x | x  F ; | x |  x  ii | x.y || x | | y | iii | x  y | max | x |,| y | x , y  F x , y  F Như giá trị tuyệt đối phi Archimedean giá trị tuyệt điều kiện iii) thoả bất đẳng thức tam giác mạnh Ví dụ 1.2.2: Giá trị tuyệt đối tầm thường F phi Archimedean Thật : iii Nếu | x  y | | x  y | max | x |,| y |  x  | x | Nếu | x  y |  x  y     y  | y | Do | x  y | max | x |,| y | Vậy | x  y | max | x |,| y | x , y  F Đặt x   x  G a  x  b y  1 ) Giả sử nhóm giá trị G   với   |1   |,|1   ta có   khoảng 1   ,1    không chứa điểm khác G nên điểm cô lập G Do giá trị tuyệt đối rời rạc Mệnh đề ngược lại, giả sử giá trị tuyệt đối cho rời rạc suy điểm cô lập Nếu giá trị tuyệt đối tầm thường G  Nếu giá trị tuyệt đối không tầm thường ta chứng minh G   với   1;   G Thật : trước hết ta chứng minh a  G, a  điểm cô lập G Giả sử ngược lại suy a điểm tụ G   , x  G, x  a : x   a   ; a     x x x     G,  1,    ;1   a a a  a a Do điểm tụ G ( trái với giả thiết ) Như a  G, a  a điểm cô lập G suy đoạn 1;a  có hữu hạn giá trị G tồn giá trị nhỏ   G cho   Ta chứng minh G    x  G, x  Khi    x (  phần tử nhỏ của G mà lớn 1)  tồn số tự nhiên n cho :  n  x   n1 1 x  n  x n Do x   n    ( tính nhỏ  )  x  G,0  x   1  Theo chứng minh   n , n  N x x  x   n    x 1 x  0   Như G   , mà   G nên   G Vậy G   □ Hệ 3.1.6: Các giá trị tuyệt đối sau rời rạc: Giá trị tuỵêt đối tầm thường F Giá trị tuyệt đối trường hữu hạn Giá trị tuyệt đối | | p Q Giá trị tuyệt đối |.| F  x  Định lý 3.1.7 : Hai giá trị tuyệt đối | |1 ,| |2 trường F tương đương hai nhóm giá trị tương ứng G1; G2 chúng đẳng cấu với Chứng minh: | |1 ~| |2  c  :| x |2   | x |1  x  F c      Suy   G1  | x |1 , x  F  ; G2  | x |2 , x  F   | x |1c , x  F   | x |1c ,| x |1 G1  Khi ánh xạ :  : G1  G2 | x |1 | x |1c ; x  F  Ta dễ dàng chứng minh  đẳng cấu Vậy G1  G2 □ Hệ 3.1.8: Hai giá trị tuyệt đối | |1 ,| |2 trường F tương đương : a) | |1 liên tục | |2 liên tục b) | |1 rời rạc | |2 rời rạc Chứng minh : a | |1 ~| |2 , theo Định lý 3.1.7 ta có G1  G2 Do | |1 liên tục  điểm tụ G1  điểm tụ G2  | |2 liên tục b Chứng minh tương tự □ Định lý cho phép ta so sánh nhóm giá trị trường trường bao đủ Định lý 3.1.9: Cho trường F với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.| L bao đủ F Khi nhóm giá trị L nhóm giá trị F ( | L || F  | ) Chứng minh:   | | x |, x  F  Nhóm giá trị L : | L | | x |, x  L Nhóm giá trị F : | F    Vì F  L nên | F  || L |  x  L  x   xn , xn  F  | x || xn | với n đủ lớn ( | x | lim | xn | ) n  Như với | x || L || x || F  | Suy | L || F  | Vậy | L || F  | □ Định lý cho phép ta so sánh nhóm giá trị trường trường bao đóng đại số Định lý 3.1.10: Cho trường F với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.| F bao đóng đại số F Khi nhóm giá trị F tập bậc n tuỳ ý    giá trị F tức | F | r  R  , r n | F  |, n  N Chứng minh:    Đặt G  r  R  , r n | F  |, n  N Ta chứng minh | F | G    r | F |   F / |  | r Giả sử đa thức tối tiểu  f  x   x n   an1 x  an  F  x  |  || an | n  r  r n | an || F  |   r  G | F | G  r  G  r n | F  |    F  để |  | r n suy r n  |  | Xét đa thức f  x n    F  x  Vì F bao đóng đại số F nên f có nghiệm   F    n    |  |n |  ||  |n  r n  r |  || F |   G | F |  Vậy G | F | □  Hệ 3.1.11: Nhóm giá trị | F | trù mật R  Từ suy giá trị tuyệt đối F liên tục Chứng minh: * Lấy r | F  |, r  Ta có : n  N , n r | F | lim n r  n  Suy điểm tụ | F | Suy điều phải chứng minh □ 3.2 TRƯỜNG THẶNG DƯ CỦA MỘT TRƯỜNG Định lý 3.2.1 :Cho F trường , |.| giá trị tuyệt đối phi Archimedean F A   x  F :| x | 1 ; M   x  F :| x | 1 Khi A vành F; M idean tối đại A Chứng minh : Chứng minh A vành F :  A  F; A   ( hiển nhiên )  x , y  A | x | 1;| y | | x  y | max | x |,| y |   x  y  A  x , y  A | x | 1;| y | | x.y || x | | y |  x.y  A Chứng minh M iđêan tối đại A Trước hết ta chứng minh M iđêan A  M  A; M   ( hiển nhiên )  x , y  M | x | 1;| y | | x  y | max | x |,| y |   x  yM  x  A, a  M | x | 1;| a | | x.a || a.x || a | | x |  x.a, a.x  M Chứng minh M tối đại Lấy I iđêan A thoả M  I  A , ta chứng minh I = A Thật :  M  I  a  I , a  M | a |   x  A , ta có x  a a 1.x  I ( I iđêan A) Vậy I = A  M tối đại A □ Định nghĩa 3.2.2 : M iđêan tối đại A nên A M trường gọi trường thặng dư trường F giá trị tuyệt đối |.| Chú ý |.| giá trị tuyệt đối Archimedean F A chưa vành nên trường thặng dư khơng tồn ( Ví dụ : Trường Q với giá trị tuyệt đối thông thường |1| =1; |-1| =  1, 1 A |1-(-1)| = >1   (1)  A ) Ví dụ 3.2.3 : Mơ tả trường thặng dư | | p Q    a  Ord x A  x  Q :| x | p   0; x   Q : p p  1 b      a   a  a  0;  Q : Ord p    0;  Q : Ord p a  Ord p b  b   b   b   a  Ord x  M  x  Q :| x | p   0; x   Q : p p  1 b      a   a  a  0;  Q : Ord p    0;  Q : Ord p a  Ord p b  b   b   b Ta có : a a  A \ M   Q ; Ord p a  Ord p b  (a, p)  1;(b; p)  ;  a, b   b b Do A   a    0;      a, p    b, p   M  b    Chứng minh k  A M  Z p Thật vậy:  a   a '   a a '  ab ' a ' b Nhận xét :            M bb '  b   b'   b b'  Ord  ab '  a ' b Ord  bb ' p 1 p     Ord p  ab ' a ' b   Ord p  bb '  p    Ord p  ab ' a ' b     ab ' a ' b    mod p  a Xét lớp    tuỳ ý   a, p   1;  b, p   b Suy tồn số nguyên u, v cho: bu  pv    bu   mod p   a.1  b  au    mod p  Theo a nhận xét     au  Ta chia au cho p thương q dư b r ,  r  p Suy au  qp  r  au  qp  r  au  qp  r  r Vậy k  Z p Ví dụ 3.2.4 : Mơ tả trường thặng dư F  x  ( với   1)      A  s  F  x  :| s |  0,0  s  f g 1 :  deg f deg g       0,0  s  f g 1 : deg f  deg g   0,0  s  f g 1 : deg f  deg g      M  s  F  x  :| s |  0,0  s  f g 1 :  deg f deg g    0,0  s  f g   0,0  s  f g 1 : deg f  deg g  Do A 1   : deg f  deg g   0, s   M ;  s  f g 1 cho M deg f  deg g  Chứng minh A M  F Thật vậy: Với s  f g 1  A; g  bn x n  bn1 x n1   b0  bn   , ta ln xem f  an x n  an1 x n1   a0 ( an ) Xét ánh xạ :AF an x n   a0 an   s s    bn bn x n   b0 an x n   a0 a 'm x m   a '0  s  ;s'   A ta có : bn x n   b0 b 'm x m   b '0   an b 'm  a 'm bn  x n m   a b '  a ' b m n   s  s '     n m n m   bn bm ' bn bm ' x     an a 'm     s     s ' bn b 'm  an a 'm x nm   an a 'm an a 'm   s.s '         s    s '    nm b b ' b b '  b b ' x n m n m  n m  Suy  đồng cấu vành a a a    F  s   F  x  :   s   b b b Suy  toàn cấu  an x n   a0    ker   s  A : s     bn x n   b0   n an  an x   a0   s   A :   bn bn x n   b0      s  f g 1 : s    deg f  deg g   M Áp dụng Định lý Nơte ta có : A M F Mệnh đề 3.2.5 : Nếu trường F có đặc số p trường thặng dư k có đặc số p Chứng minh : F có đặc số p suy p  Do p  p  suy p đặc số k □ Từ mệnh đề ta thấy đặc số trường trường thặng dư có trường hợp sau: i ( Đặc số không thay đổi ) char  F   char  k  =0; char  F  =char  k   p Ví dụ giá trị tuyệt đối F  x  có trường thặng dư k  F Nếu F  Q char  F   char  k  =0 Nếu F  Z p char  F  =char  k   p ii ( Đặc số thay đổi ) char  F   0,char  k   p Ví dụ giá trị tuyệt đối | | p Q có trường thặng dư k  Z p nên char  Q   0,char  k   p Định lý 3.2.6 : Hai giá trị tuyệt đối | |1;| |2 trường F tương đương trường thặng dư tương ứng k1; k2 Chứng minh : Ta có : k1  A1 M1 ; k2  A2 M2 : A1   x  F :| x |1  1; A2   x  F :| x |2  1 M1   x  F :| x |1  1; M2   x  F :| x |2  1 | |1 ~| |2 suy : | x |1  | x |2  ; | x |1  | x |2  Do A1  A2 ; M1  M2 Vậy k1  k2 □ Định lý cho phép ta so sánh trường thặng dư trường trường bao đủ Định lý 3.2.7: Cho trường F với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.| L bao đủ F Khi trường thặng dư L đẳng cấu với trường thặng dư F Chứng minh: Trường thặng dư F : AF Trường thặng dư L : AL MF ML ( AF   x  F :| x | 1; M F   x  F :| x | 1 AL   x  L :| x | 1; M L   x  L :| x | 1 ) Xét  : AF MF  AL ML x  MF  x  ML  x , y  AF , x  M F  y  M F  x  y  M F  M L  x  M L  y  M L    x  MF     y  MF  Như  ánh xạ  x  M F , y  M F  K F , ta có :   x  M F    y  M F      x  y  M F   x  y  M L   x  ML    y  ML     x  MF     y  MF    x  M F   y  M F      x.y  M F   x.y  M L   x  M L   y  M L     x  M F    y  M F  Như  đồng cấu trường    Ker  x  M F , x  AF /   x  M F      x  M F , x  AF / x  M L    x  M F , x  AF / x  M L    x  M F , x  AF / | x | 1   x  M F , x  M F   Như  đơn cấu  Lấy x ' M L  AL ML , cần chứng minh tồn x  AF để   x  M F   x ' M L  x  M L  x ' M L  x  x '  M L | x  x ' | Thật vậy: Do x '  AL  x '   xn , xn  F ,  xn  dãy Cauchy F | x ' |  lim | xn | ta chọn để | xn | 1n n Vì  xn  dãy Cauchy nên tồn n0 / n, m  n0 ,| xn  xm | Chọn x  xi , i  n0 | x | x  F  x  AF Khi | xi  xn | 1n  n0 | x ' x | lim | xn  x | n Như  toàn cấu Vậy  đẳng cấu hay AF  AL □ MF ML Định lý cho phép ta so sánh trường thặng dư trường trường bao đóng Định lý 3.2.8: Trường thặng dư bao đóng đại số bao đóng đại số trường thặng dư Chứng minh: Cho trường F với giá trị tuyệt đối |.| F bao đóng đại số F K F trường thặng dư F K F trường thặng dư F Ta chứng minh K F bao đóng đại số K F i Chứng minh K F đại số K F :   M F  K F    AF  F Mà F bao đóng đại số F nên tồn đa thức f  x   an x n  an1 x n1   a0  F  x  nhận  làm nghiệm, an  0;  F , i  0, , n Giả sử | a j | max | |  suy i  0, ,n f x aj  Ta có : | an n an1 n1 a x  x   aj aj aj (*) | | a |  1i  0, , n  b j  i  AF aj | aj | aj Lấy lớp hai vế (*) ta đa thức : g  x   bn x n  bn1 x n1   b0  K F  x  nhận   M F làm nghiệm Suy K F đại số K F ii Chứng minh K F đóng đại số ( Chứng minh đa thức thuộc K F  x  ln có nghiệm thuộc K F ) f  x   x n  an1 x n1   a1 x  a0  K F  x   f '  x   x n  an1 x n1   a1 x  a0  AF  x   F  x  Do F đóng đại số nên f '  x  có nghiệm   F |  | c  max |1|,| a1 |, ,| an1 |  Thật Giả sử |  | c  ta có:  n  an1 n1   a1  a0    n  an1 n1   a1  a0 |  || an1    a  max | ni1i i  0, ,n 1  a1  n 2  a0  n1 |  |  max | |  c !  i 0, ,n1 Như |  |    AF    K F Hơn  n  an1 n1   a1  a0  Lấy lớp hai vế ta n   an1 n 1   a1  a0    nghiệm f  x   K F đóng đại số □ 3.3 VÍ DỤ: Lấy bao đủ trường số hữu tỉ Q theo giá trị tuyệt đối | | p ta trường Qp Trường bao đóng đại số Qp theo giá trị tuyệt đối | | p chưa đầy đủ, làm đầy đủ ta trường C p   Bây ta xem xét nhóm giá trị trường thặng dư C p   Theo ví dụ 3.1.2 nhóm giá trị Q,| | p nhóm xyclic p Áp dụng định lý 3.1.9 ta nhóm giá trị Qp nhóm giá trị | | p Q nên p Áp dụng định lý 3.1.10, nhóm giá trị Qp  p ,r  Q nên nhóm giá trị C r p   pr , r  Q Do theo hệ 3.1.11 giá trị tuyệt đối | | p C p liên tục Theo ví dụ 3.2.3 trường thặng dư | | p Q đẳng cấu với trường Z p Áp dụng định lý 3.2.7 ta trường thặng dư | | p Qp đẳng cấu với Z p Áp dụng định lý 3.2.8, trường thặng dư C p đẳng cấu với Z p KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày kết chủ yếu sau:  Xây dựng trường bao đủ trường với giá trị tuyệt đối phi Archimedean, chứng minh trường bao đủ tồn Chứng minh hai trường bao đủ hai giá trị tuyệt đối phi Archimedean trường nhau, hai giá trị tuyệt đối mở rộng tương đương  Chứng minh tồn mở rộng giá trị tuyệt đối trường bao đóng đại số  Chứng minh nhóm giá trị trường bao đủ nhóm giá trị trường ban đầu; nhóm giá trị trường bao đóng đại số tập bậc n tuỳ ý giá trị trường ban đầu từ suy trường bao đóng đại số liên tục  Chứng minh trường thặng dư trường bao đủ đẳng cấu với trường thặng dư trường ban đầu; trường thặng dư trường bao đóng đại số bao đóng đại số trường thặng dư trường ban đầu  Một ví dụ minh hoạ cho kết trường Q với giá trị tuyệt đối p TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Phan Đức Chính ( 1978), Giải tích hàm, tập I, Nxb đại học THCN, Hà Nội Serge Lang( 1978), Đại số, phần II, Nxb Đại học THCN, Hà Nội Tiếng Anh Hu P.C and Yang C.C ( 2000), Meromorphic functions over non_Archimedeanan fields, Kluwer academic publishers Neal Koblitz (1977), p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-funtions, Sproger Veriag Neal Koblitz ( 1980), p-adic analysis: a short course on recent work, Cambridge University ... 1.1 Một số định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối trường 1.2 Giá trị tuyệt đối phi Archimedean 1.3 Một số tính chất giá trị tuyệt đối phi Archimedean 14 Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI... đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, điều kiện tương đương giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, số tính chất đặc biệt hai ví dụ giá trị tuyệt đối p-adic Q giá trị tuyệt đối. .. Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN 2.1 TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| giá trị tuyệt đối phi Archimedean trường