Bất biến tôpô và không gian tựa định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN ĐỨC BẰNG  LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CÁM ƠN Được giảng dạy nhiệt tình quý báu thầy khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh thời gian gần ba năm qua, hoàn tất chương trình cao học Toán chuyên ngành Hình học Tôpô Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy Ngoài ra, nhận quan tâm giúp đỡ phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học nhà trường Tôi biết ơn quan tâm giúp đỡ Đặt biệt, trình học tập, nghiên cứu thực luận văn này, nhận nhiều hướng dẫn, giúp đỡ, giảng dạy tận tình TS Nguyễn Hà Thanh, người dẫn dắt bước chân đường nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi đến thầy lòng kính trọng biết ơn sâu sắc Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ủng hộ động viên, khích lệ thời gian qua TP Hồ Chí Minh ngày 25 tháng 06 năm 2006 Nguyễn Đức Bằng MỞ ĐẦU Khi xét mối liên quan dãy không gian vectơ đồng cấu f' g' f g  E   F   G  (1) dãy đối ngẫu  E '  F '  G '  (2) , người ta chứng minh “ dãy (1) khớp dãy (2)” khớp Tuy nhiên, không gian lồi địa phương ánh xạ liên tục liệu tính chất tôpô hai dãy có tính ổn định hay không? Người ta chứng minh không gian E, F, G có số tính chất đặc biệt toán nói giải quyết, số có lớp không gian tựa định chuẩn Lớp không gian lồi địa phương tựa định chuẩn lần giới thiệu nghiên cứu Grothendieck Các không gian có tính chất ổn định tốt Nó bao gồm không gian Banach, không gian Schwartz Vào đầu năm 80, Valdivia Beirstedt, Meise Summer với nghiên cứu độc lập đưa kết đặc trưng không gian tựa định chuẩn không gian Frechet – Kother (A) Gần đây, Meise Vogt đưa đặc trưng quan trọng tính chất tựa định chuẩn không gian Frechet thông qua bất biến tôpô tuyến tính () nghiên cứu Vogt Wagner Tính tựa định chuẩn số không gian hàm chỉnh hình nghiên cứu nhiều tác giả, đặc biệt Dineen Năm 1997, D Garcia J Mujia cách dùng điều kiện hội tụ Mackey chặt để khảo sát tính tựa định chuẩn không gian hàm chỉnh hình Trong luận văn trình bày số tính chất không gian tựa định chuẩn, đồng thời xét tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Nội dung luận văn gồm ba chương :  Chương : Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian lồi địa phương dãy khớp để chuẩn bị cho chương sau  Chương : Không gian tựa định chuẩn Để tìm điều kiện cho dãy đối ngẫu dãy khớp ngắn không gian Frechet khớp tôpô xét lớp không gian tựa định chuẩn Trong chương kết định lý sau : “ Đối với không gian Frechet E, F, G, dãy khớp ngắn f g  E   F   G  (1) ( f, g ánh xạ tuyến tính liên tục ) Các khẳng định sau tương đương: E không gian tưa định chuẩn Với tập bị chặn B G, tồn tâp bị chặn M F cho g(M) = B f' g' Daõy  G'   F'   E'  khớp tôpô ”  Chương : Tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Trong chương này, dựa vào kết đặc trưng không gian Frechet tựa định chuẩn Meise – Vogt để nghiên cứu tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình Kết phần hai định lý sau :  Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H(K)]' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E  Định lý : Cho S : E  F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn E vào không gian Frechet – Hilbert F  (DN) vaø  S : H (O F )  H (O E ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm sinh S Khi đó,  S ' : [H (O E )]'  [H (O F )]' toàn ánh Các kết vấn đề thời nhận quan tâm nhiều nhà toán học Các toán không gian tựa định chuẩn nghiên cứu ngày sâu sắc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường K,  tôpô E Khi đó, ( E, ) gọi không gian vectơ tôpô : i ) ( E,  ) không gian tôpô tách ii) Các ánh xạ sau liên tục : EE  E x, y   x  y ; KE  E  , x   x Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường K, tập U  E  Tập U gọi lồi ( convex ) neáu : x, y U, 0; 1 ta có x + ( 1- )y U  Tập U gọi hấp thụ ( absobent ) : xE , 0 > cho   K,   0  x  U B B B B  Tập U gọi cân đối ( balance ) neáu :   K,    U  U Định nghóa : Không gian vectơ tôpô gọi lồi địa phương có sở lân cận gốc O gồm tập lồi Trong tài liệu ta gọi lân cận gốc O lân cận Mệnh đề : Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương có sở lân cận lồi, cân đối, hấp thụ đóng Định nghóa : Cho U tập lồi, hấp thụ, cân đối không gian vectơ E trường R Ánh xạ pU : E  R, pU ( x )  inf t  : x  tU  gọi hàm Minkowski ( hàm cỡ ) tập U Định nghóa : Cho E không gian vectơ trường R Ánh xạ p : E  R gọi nửa chuẩn : i) p(x + y) p (x) + p(y), x,yE ii) p(x) = .p(x), R, xE Ánh xạ p : E  R gọi phiếm hàm lồi : i) p(x + y) p (x) + p(y), x,yE ii) p(x) = .p(x), 0, xE Mệnh đề : Nếu E không gian vectơ tôpô lồi địa phương, U lân cận lồi, cân đối, hấp thụ điểm gốc O : i) Hàm Minkowski pU nửa chuẩn liên tục E B B ii) U  x  E : pU ( x)  1  U  x  E : pU ( x)  1  U iii) U U Định nghóa : Cho E không gian vectơ tôpô lồi địa phương, họ U gồm lân cận điểm gốc O E gọi hệ lân cận gốc với lân cận U O, tồn V  U  > cho V  U Một họ p A nửa chuẩn liên tục E gọi hệ nửa chuẩn họ U   x  E , p ( x )  1A lập thành hệ lân cận điểm gốc Mệnh đề : Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương E có hệ nửa chuẩn p A Mỗi hệ nửa chuẩn p A có tính chất : i) x  E , x  O,   A : p ( x )  ii)  ,   A,   A, c  cho maxp (.), p  (.)  c p (.) Mệnh đề : Cho E không gian vectơ p  A họ nửa chuẩn E thoả i) ii) mệnh đề 1.3 tồn tôpô lồi địa phương E cho p A hệ nửa chuẩn Định lý : Cho E F không gian vectơ tôpô lồi địa phương , p A hệ nửa chuẩn E, q B hệ nửa chuẩn F, f : E  F ánh xạ tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau tương đương : i) f liên tục E ii) f liên tục điểm gốc O cuûa E iii)   B,   A, c  cho q ( f ( x))  c p ( x), x  E Định nghóa : Một không gian vectơ tôpô lồi địa phương mà tôpô xác định họ nửa chuẩn p A hữu hạn đếm thoả điều kiện tách sau gọi không gian đếm đïc chuẩn x  O,   A : p ( x)  Định lý : Các mệnh đề sau tương đương : i) E không gian đếm chuẩn ii) E không gian lồi địa phương có sở lân cận đếm iii) E không gian lồi địa phương mê-tríc hoá Định nghóa : Một không gian đếm chuẩn đầy đủ gọi không gian Frechet Định lý : Trong không gian Frechet, tập V lồi, cân đối, hấp thụ, đóng lân cận gốc Định lý :( định lý ánh xạ mở ) Nếu f toàn ánh liên tục từ không gian Frechet E vào không gian Frechet F f ánh xạ mở Định lý : Cho E F không gian metric tuyến tính đủ, f : E  F ánh xạ tuyến tính thoả với lân cận V OE f (V ) lân cận OF Khi đó, f toàn ánh ánh xạ mở Định nghóa : Cho E không gian lồi địa phương, p A hệ nửa chuẩn E, F không gian đóng E Ta đặt p  x  F   inf  p  x  y  Khi  p A trở thành hệ nửa chuẩn yF không gian E F không gian E F với họ  p  A gọi không gian thương không gian E Định lý : Cho E không gian lồi địa phương , F không gian đóng E Khi đó, ánh xạ q : E  E F , q(x) = x + F ánh xạ mở liên tục Định lý : Nếu E không gian Frechet , F không gian đóng E F E F không gian Frechet Định nghóa 10 : Cho E không gian vectơ tôpô , gọi E* không gian phiếm hàm tuyến tính E, P P gọi E’ không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Ta gọi E’ không gian đối ngẫu ( tôpô ) E Định lý : Cho không gian lồi địa phương E hệ nửa chuẩn  ứng với sở lân cận lồi, cân đối nó, f phiếm hàm tuyến tính E Khi : f liên tục  p cho xE ta có f(x)  p(x) Định lý :(định lý Hann- Banach ) Cho E không gian lồi địa phương, p nửa chuẩn liên tục E F không gian E Khi : i) Với y F’, tồn YE’ cho YE = y B B ii) Với zE, tồn yE’ cho y(z) = p(z), y(x)p(x),xE iii) Với xE, xOE , tồn yE’ cho y(x)0 B B Định nghóa 11 : Cho E không gian vectơ trường K, F không gian tuyến tính E* tách P P điểm E ( tức với xE, xO tồn fF cho f(x)0 ) Khi ta nói ( E, F ) cặp đối ngẫu Ta xem xE phiếm hàm tuyến tính F cách đặt x(f) = f(x) Như không gian EF ta xác định dạng song tuyến tính, kí hiệu  x, f  ta nói cặp ( E,F ) đối ngẫu theo dạng song tuyến tính  x, f  Nhận xét :  Nếu E không gian lồi địa phương ( E,E’) cặp đối ngẫu  Nếu ( E,F ) cặp đối ngẫu ( F,E ) cặp đối ngẫu Giả sử ( E,F ) cặp đối ngẫu, tôpô lồi địa phương  E gọi ( E,F )chấp nhận ( E, )’ = F Định nghóa ( tập mở hữu hạn ) : Một tập U không gian vectơ E gọi mở hữu hạn U F tập mở không gian Euclid F, với không gian hữu hạn chiều F E Định nghóa ( hàm chỉnh hình Gâteaux ) : Một hàm f xác định tập mở hữu hạn U không gian vectơ E, lấy giá trị không gian lồi địa phương F gọi chỉnh hình Gâteaux ( G – chỉnh hình ) với aU, bE F’ hàm số phức theo biến số phức     f  a   b  chỉnh hình lân cận Định nghóa (hàm chỉnh hình không gian lồi địa phương ) : Cho E F không gian lồi địa phương D tập mở E Một hàm f : D  F gọi chỉnh hình f liên tục u  f hàm chỉnh hình Gâteaux với u  F’ Ta kí hiệu H(D,F) không gian hàm chỉnh hình D lấy giá trị F với tôpô compact – mở Trong trường hợp D lân cận điểm gốc O  E, F = C ta kí hiệu H (OE ) Định nghóa (mầm hàm chỉnh hình ) : Cho E F không gian lồi địa phương K tập compact E, U tập mở chứa K E Trên  H(U,F) ta định nghóa quan hệ tương đương sau : f  g tồn lân cận V U K cho fV = gV Ta kí hiệu H(K,F) không gian tận lớp tương đương nói phần tử H(K,F) gọi mầm hàm chỉnh hình K Tôpô H(K,F) tôpô giới hạn quy nạp H(K,F)= lim ind H(U,F) U K Mệnh đề : Nếu F không gian định chuẩn ta đặt H  (U,F)=  f  H(U,F): f f  U  sup  f ( z) : z  U  tôpô H (U,F) tôpô sinh chuẩn   U U U   ( ) Khi đó, ta có : H (K,F)= lim ind H  (U,F) U K Trong trường hợp F = C ta kí hiệu H(K) không gian mần hàm chỉnh hình K lấy giá trị C với tôpô giới hạn quy nạp H(K)= lim ind H  (U) , ( U lân UK cận K E, H(U) không gian Banach hàm bị chặn U trang bị chuẩn sup : f U  sup  f ( z) : z  U  ) 3.1.2 nh xạ hạch, không gian hạch : Giả sử E không gian lồi địa phương, V lân cận lồi, cân đối OE Giả sử pV phiếm hàm Minkowski sinh V Không gian thương E p-1V (0) không gian định chuẩn với chuẩn x  pV ( x ), x  E Ta kí hiệu EV không gian Banach nhận làm đầy E p-1V (0) V : E  EV , V  x   x ánh xạ thương từ E vào EV Giả sử U, V lân cận lồi, cân đối O  E V  U Khi p-1V (0)  p-1U (0) ta đặt VU : EV  EU , VU x  x Dễ thấy V  VU  U  Định nghóa (ánh xạ hạch ) : Giả sử E, F không gian lồi địa phương nh xạ tuyến tính T gọi ánh xạ  hạch T  x    n an  x  yn ,x  E n 1   n   , an   E ' dãy đồng liên tục, {yn} n 1  F dãy bị chặn F nh xạ tuyến tính T gọi ánh xạ tựa hạch có dãy {an}  E’ với  a n 1  cho T  x    an  x  ,x  E n 1 Định nghóa (không gian hạch ) : n   Không gian lồi địa phương E gọi không gian hạch tồn sở lân cận U O  E cho với U  U tồn V  U , V  U để ánh xạ tắc VU : EV  EU ánh xạ hạch ( tựa hạch ) 3.1.3 Bất biến tôpô : Giả sử E không gian Frechet với hệ tăng nửa chuẩn   k kN Với tập B  E, ta định nghóa : *  B : E '   0;   , u * B  sup  u(x) : x  B , u  E' Ta vieát  q thay cho  U , Uq  x  E : x q  1 Ta noùi : * * q  E có tính chất () : p, q, k, d, C > :  *1+d q *  C  k  *d p  E có tính chất (DN) : p, q, d > 0, k, C > :  1+d q  C  k  d p  Cho  : (0; )  (0; ) laø hàm tăng nghiêm ngặt, E có tính chất () với sở lân cận gồm tập lồi tuyệt đối (Un )nN O  E ta có : p, q, k, C > 0, r > :U q  C. (r)U k + Up r Nhận xét :  () bất biến tôpô tuyến tính di truyền lên không gian thương  Bằng cách lấy đối cực, ta có : E có tính chất () : * p, q, k, C > 0, r > :  q  C. (r)  * k +  r * p Meänh đề : Nếu E không gian lồi địa phương mêtríc hoá tựa định chuẩn tồn hàm  : (0; ) (0; ) tăng nghiêm ngặt để E có tính chất () 3.2 Nội dung : 3.2.1 Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H(K)]' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau : 3.2.1.1 Bổ đề : Cho E không gian Frechet Khi đó, E tựa định chuẩn tồn không gian Banach B không gian Frechet – Kothe hạch (A) cho E’ đẳng cấu với    '( A) không gian B Chứng minh : Điều kiện đủ :    '( A) , B không gian Giả sử E’ đẳng cấu với không gian B Banach (A) không gian Frechet – Kothe haïch    '( A)]'  B '    ( A) E’’ Khi đó, E’’ đẳng cấu với không gian thương [B  tựa định chuẩn Suy E tựa định chuẩn : * u k  sup  v(u) : v  U 00 k  E '' , u  E' U k  x  E : x k  1 Điều kiện cần : Giả sử E tựa định chuẩn Ta xét phép giải tắc : R  E    Ek    Ek  k N k N R ánh xạ tuyến tính liên tục R  ( xk )kN    kk1 ( xk 1 )  xk kN với  kk1 : Ek 1  Ek ánh xạ tắc Do E tựa định chuẩn nên không tính tổng quát ta giả sử tập bị chặn Ek xấp xỉ tập bị chặn Ek+1 Từ suy tập bị chặn E k ảnh tập bị chặn k N E k qua k N ánh xạ R Bằng cách cải tiến lý luận [5] suy E đẳng cấu với không gian thương    '( A) ,  ( A) E’ đẳng cấu với không gian [B'  ( A)]'  B B' B (A) không gian cần tìm 3.2.1.2 Bổ đề : Cho E không gian Frechet Khi E tựa định chuẩn E’’ không gian tựa định chuẩn Chứng minh : Cho W lân cận O  E’’ Khi đó, tồn lân cận U O  E cho U00  W Do E tựa định chuẩn nên có lân cận V O  E cho với  > tồn tập bị chặn M thỏa : V  M + U Theo định lý song đối cực ta có : V00  Cl(E,E’)( M + U)  M00 + U00  M00 + W Vậy E’’ tựa định chuẩn 3.2.1.3 Bổ đề : Cho E không gian lồi địa phương F không gian Banach Giả sử U V lân cận lồi, cân đối O  E cho V  U ánh xạ tắc  : EV  EU hạch ( EU, EV không gian Banach liên kết với U, V ) Khi đó,  f  L( E , F ) : f U  1 tôpô L(E,F) trùng với tôpô hội tụ V Chứng minh : Do  : EV  EU ánh xạ hạch nên ta chọn an   E 'V , y n   EU cho a n n 1 vaø  ( x )   an ( x ) yn hội tụ x U0 với x  E n 1  Laáy  f   L ( E, F ) : f U  vaø f  L(E,F) Với  > ta chọn n  cho  an   Khi đó, ta chọn 0 cho với n  n moïi  > 0 : sup  f ( x ) : x  V    1 n  n an f ( yn )   an  2 n  n 3.2.1.4 Boå đề : Cho B không gian Banach E không gian Frechet hạch Khi đó, [H (O B   E )]' tựa định chuẩn Chứng minh :   E tựa định chuẩn nên theo [9] ta có H (O Do B  E )  F ' ( F không gian B  Frechet ) Cho nên ta cần chứng minh  f  H  (conv(W  U k )) : f  1 toâpoâ H (O B   E ) trùng với tôpô H  (conv(W  U k+1 )) , W cầu đơn vị B Laáy  f   H  (conv(W  U k )), f  vaø f  H (O B  E )    E conv(W  U ) Với  ta xét khai triển Taylor f  B k f ( )   Pn f ( ) n1 Pn f ( )  2 i   f ( ) 1  n1 d với   conv(W  U k ) Không tính tổng quát, giả sử 2Uk+1  Uk Khi đó, với  > tồn n  cho  n  n Pn f conv ( W U k 1 )   ,  Việc lại, ta chứng minh Pnf hội tụ  conv(W  U k+1 ) với n    E đẳng cấu với Điều kết trực tiếp bổ đề 3.2.1.3 P n ( B q  không gian    E )      ( B   E ))'  (B      B)'   E      E )' (( B       (   n n n     E ,(B      B)')  L( E       n n không gian sau tựa định chuẩn 3.2.1.5 Chứng minh định lý : Theo [12] tìm ánh xạ tuyến tính liên tục    ( A)  E R : B B không gian Banach, (A) không gian Frechet – Kothe haïch   ( A) Khi đó, { R(W )} cho ta sở lân Lấy {Wk } sở lân cận  B k cận O  E Do H  (R(Wk )) chứa H  (U k ) không gian với k  nên theo bổ đề 3.2.1.4 ta có [H(OF )]' tựa định chuẩn Bây giờ, ta lấy tập compact K E Do E tựa định chuẩn nên theo Mujica [9], ta có [H(K)]'  F ' ( F không gian Frechet ) Cũng theo [12] ta cần chứng minh điều sau : p, q, k, C > 0, r > :  K+U q  C. (r)  K+U k +  r K+U p H  (K + U p )  hàm số dương tăng mạnh Điều rõ ràng [H(OF )]' tựa định chuẩn 3.2.2 Định lý : Cho S : E  F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn E vào  không gian Frechet – Hilbert F  (DN) S : H (OF )  H (OE ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm sinh S  Khi đó, S ' : [H (OE )]'  [H (OF )]' toàn ánh Để chứng minh định lý ta cần có số bổ đề sau : 3.2.2.1 Bổ đề : Cho B không gian Banach với cầu đơn vị W E không gian Frechet hạch Khi đó, với p  tồn q > p cho với k > p ảnh ánh xạ hạn chế Rkp :[H  (conv(W  U k ))]'  [H  (conv(W  U p ))]' trù mật ImRqp Chứng minh :  Giả sử   k k 1 hệ nửa chuẩn E cho ánh xạ tắc Ek 1  Ek hạch với k  Lấy p  chọn q = p + , ta chứng minh ImRkp trù mật ImRqp với k  p Thật vậy, lấy   [H  (conv(W  U p ))]' vaø  > Với f  H  (conv(W  U p )) , f H  (conv(W U p )) f ( z)   Pn f (z) ; Pn f ( z)  n 0 Ta choïn m  cho  n m Pn f  có khai triển Taylor  conv(W  U p ) laø: 2 i  H  (conv(WU p ))   1 f ( z)  n 1 d  , <  < chọn cho Uq   Up Đặt     P  n ( B   Eq  0 n  m   E )n ]' không gian nên ta giả sử   E chứa [(B Do P n ( B q q     E )n ]' ' , vaø R   R        [(B qp qp q  0 n m  Mặc khác, tính hạch ánh xạ Ek  Eq nên 0 xấp xỉ   E )n ]' ' [  [( B   E )n ]']' với R   R    1    [(B kp qp k q  0 n m  n 0 Do : Rkp 1  Rqp   2 3.2.2.2 Boå đề : Nếu E không gian Frechet- Hilbert với E  (DN) E đẳng cấu với không gian   s ( I tập số s không gian dãy giảm nhanh l2 ( I ) ) Chứng minh : Chọn tập số I cho E đẳng cấu với không gian [l2 ]n Khi ta xét dãy khớp ngắn không gian Frechet hạch sau  s  s    ( xây dựng Vogt [7] ) Bằng cách lấy tích tenxơ dãy với l2 ta dãy khớp khoâng gian q   s  l2    s   l   Frechet – Hilbert :  l2  n Đặt   q 1 ( E ) E q  s  E   Do  l2   E  dãy khớp không gian Frechet – Hilbert,   s  () E  (DN), nên q có nghịch đảo phải l ( I ) Do đó, E đẳng cấu với không gian E suy E đẳng cấu với không gian  s l ( I ) 3.2.2.3 Bổ đề : Cho E không gian Frechet – Hilbert , E  (DN) Khi đó, với p, tồn q  p cho ảnh ánh xạ hạn cheá Rkp : H  (U p )  H  (U k ) trù mật ImRqp với k  p Chứng minh :   s với tập số Theo bổ đề 3.2.2.2, E xem không gian l2 ( I )   s có hệ nửa chuẩn Hilbert nên để chứng minh bổ đề ta I Do l2 ( I )  s cần chứng minh trường hợp E  l2 ( I ) Gọi {Uk} sở lân cận  s Không tính tổng quát ta giả sử 2Uk+1  Uk , k  Cho p  1, choïn q = p + Laáy f  H  (conv(W  U p )) có khai triển Taylor  conv(W  U k+1 ) laø: f ( z)   Pn f (z) với Pn f ( z)  n 0 chọn n  cho  Pn f (conv(WU p ) n  n Do với n  0, 2 i   1 f ( z)  n 1 d  Pnf xem phần tử    s trù mật s     s   l (I )  l (I ) '   s   s  vaø s     ' p  '  p ' p  '  p ' q '  n laàn  q n lần Điều kéo theo tồn cuûa g  H  (conv(W  U p )) với f  g H  (conv(W Up ))  2 3.2.2.4 Bổ đề :   E vào không gian Frechet – Hilbert Cho S ánh xạ liên tục từ B F  (DN) ( với B không gian Banach E không gian Frechet hạch ), gọi  S : H(OF )  H(O B   E ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm sinh S Khi đó, S ''1 (Q) bị chặn với tập bị chặn Q [H (OB  E )]''  Chứng minh :   E Theo bổ đề 3.2.2.2 3.2.2.4, không Gọi {Wk} sở lân cận O  B tính tổng quát ta giả sử ánh xạ hạn cheá : R 'k 1,k : [H  (S(Wk+1 ))]'  [H  (S(Wk ))]' ; R 'k 1,k : [H  (S(Wk ))]'  [H  (S(Wk+1 ))]' coù ảnh trù mật Lấy Q tập bị chặn [H (OB  E )]'' Ta choïn p cho Q bị chặn chứa  [H  (Wp )]'' Ta chứng minh S ''1 (Q) bị chặn chứa [H  S(Wp )]'' Thật vậy, lấy   [H (OF )]'' thoả S ''   Q Choïn q  p mà   [H  (S(Wq ))]'' Khi đó, ánh xạ hạn chế R 'qp :[H  (S(Wq ))]'  [H  (S(Wp ))]' có ảnh trù mật KerR’qp = nên  phân tích qua R’qp Do đó,   [H  (S(Wp ))]'' Mặc khác, S '' : [H  (S(Wp ))]'  [H  (Wp )]' đẳng cấu lên ảnh Nên từ suy S ''1 (Q) bị chặn chứa [H  S(Wp )]'' Vậy S ''1 (Q) bị chặn chứa [H (OF )]'' 3.2.2.5 Chứng minh định lý :   ( A) , B không gian Không tính tổng quát, ta giả sử E  B Banach (A) không gian Frechet- Kothe hạch ( theo Meise Vogt [12 ] ) Laáy   [H (OF )]'  [H (OF )]''' , ta chứng minh S ''(ker  )  ([H(OF )]'',[H (OF )]') - đóng Do [H(OF )]' không gian Frechet nên ta cần chứng minh S ''(ker  )  M  ([H(OE )]'',[H (OE )]') - đóng với tập đồng liên tục M [H (OE )]'' Thật vậy, laáy    ker   [H (OF )]'' , maø   S''    M , S''    vM toâpoâ  ([H (OF )]'',[H (OF )]') Khi đó, theo bổ đề 3.2.2.4 ta có   tập bị chặn [H (OF )]''   u  [H (OF )]'' toâpoâ  ([H (OF )]'',[H (OF )]') Do tính liên tục S ''  tôpô  ([H (OF )]'',[H (OF )]') tôpô  ([H (OF )]'',[H (OF )]') nên điều dẫn đến S '' u  v với u  Ker Định lý chứng minh KẾT LUẬN Như vậy, việc xét lớp không gian tựa định chuẩn đưa điều kiện để dãy đối ngẫu dãy khớp ngắn không gian Frechet với ánh xạ tuyến tính liên tục khớp tôpô Điều thể rõ qua định lý 4, chương : f g  F  G  Đối với không gian Frechet E, F, G, dãy khớp ngắn  E  (1) ( f, g ánh xạ tuyến tính liên tục ), khẳng định sau tương đương: E không gian tựa định chuẩn Với tập bị chặn B G, tồn tập bị chặn M F cho g(M) = B f' g' Daõy  G'   F'   E'  khớp tôpô Hơn nữa, sử dụng bất biến tôpô tuyến tính , , DN để xét tính tựa định chuẩn không gian mầm hàm chỉnh hình thu số kết quan trọng Đó hai định lý sau : Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H(K)]' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E Định lý : Cho S : E  F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn E vào  không gian Frechet – Hilbert F  (DN) vaø S : H (OF )  H (OE ) ánh xạ tuyến tính liên tục cảm sinh S  Khi đó, S ' : [H (OE )]'  [H (OF )]' toàn ánh Các kết luận văn vấn đề thời sự quan tâm nhiều nhà toán học Các toán không gian tựa định chuẩn nghiên cứu sâu sắc Chúng hy vọng tiếp tục nghiên cứu sâu vấn đề Trong trình học tập, nghiên cứu thực luận văn này, nhận nhiều hướng dẫn, giúp đỡ TS Nguyễn Hà Thanh, giảng dạy nhiệt tình, quý báu thầy khoa Toán, xếp phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giúp đỡ quý báu Ngoài xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ủng hộ động viên, khích lệ thời gian qua TP Hồ Chí Minh ngày 25 tháng 06 năm 2006 Nguyễn Đức Bằng TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : GS TS Nguyễn Văn Khuê – PTS Bùi Đắc Tắc, Không gian tôpô – Độ đo Lý thuyết tích phân, NXB ĐHSP HN, 1996 Nguyễn Trọng Khâm – Trần Huyên, Modun Phạm trù, ĐHSP TPHCM, 1998 Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB ĐHQG TPHCM, 2002 Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cương – Độ đo tích phân, NXB Giáo Dục, 1994 Tiếng Anh : A Pietsch, Nuclear Locally Convex Spaces, Springer – Verlag 1972 A.P Roberson and W Roberson, Topological Vector Spaces, Cambridge University Press 1964 D.Vogt, On two classes of Frechet spaces, Arch Math 45 ( 1985), 255 – 266 H Schaefer, Topological Vetor Spaces, Springer – Verlag 1972 H Schaefer, Topological Vetor Spaces, Springer – Verlag 1972 J Mujica, A completeness criterion for inductive limits of Banach spaces, in “ Functional Analysis Holomorphy and Approximation Theory II ” ( G.I Zapata Ed ) North – Holland Math Stud 68 ( 1984 ), 319 – 329 10 Nguyễn Hà Thanh, On spaces of germs of holomorphic functions on quasinormable Frechet spaces, Publications of CFCA, 1997, 143 -1 50 11 Nguyen Van Khue and Nguyen Ha Thanh, Quasinormability and asymptotic normability of spaces of entire functions of bounded type, ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 27, Number 3, 2002, pp 333 – 342 12 R Meise and D Vogt, A characterization of the quasinormable Frechet space, Math Nachr 122 ( 1985 ), 141 – 150 13 S Dineen, Quasinormable spaces of holomorphic functions (preprint ) 14 S.Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces, North – Holland Amsterdam 1981 ... lớp không gian tựa định chuẩn Lớp không gian lồi địa phương tựa định chuẩn lần giới thiệu nghiên cứu Grothendieck Các không gian có tính chất ổn định tốt Nó bao gồm không gian Banach, không gian. .. :  Định lý : Cho E không gian Frechet tựa định chuẩn Khi đó, [H(K)]' không gian tựa định chuẩn với tập compact K E  Định lý : Cho S : E  F ánh xạ liên tục từ không gian Frechet tựa định chuẩn. .. chương trình bày định nghóa không gian tựa định chuẩn, số điều kiện để không gian Frechet tựa định chuẩn cách giải toán nói II Định nghóa : Không gian Frechet E gọi tựa định chuẩn với lân cận